一轮复习函数的奇偶性活动单

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(新人教)高三数学第一轮复习教案2.3.3函数奇偶性(1)

一．课题：函数奇偶性（1）二．教学目标：1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念；使学生掌握判断函数奇偶性的方法；2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。

三．教学重点：函数奇偶性的概念四．教学过程：（一）复习：（提问）1．增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤；2．练习：函数228y x x =--+的单调递增区间是 .3．轴对称与中心对称图形。

（二）新课讲解：请同学们观察图形，说出函数2x y =和3y x =的图象各有怎样的对称性？1．奇偶性的定义：（1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

例如：函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函数。

（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

例如：函数x x f =)(，xx f 1)(=都是奇函数。

（3）奇偶性的定义：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，3x y =2x y =则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案

≤ 0,
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )

2019-2020学年高考数学一轮复习《函数的奇偶性》教案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习《函数的奇偶性》教案②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R ，又∵f(-x)=log 2［-x+1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x+12+x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x+1)(2+-x ］+log 2(x+12+x )=log 21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x|x ≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：（1）f （x ）=（x-2）xx -+22 （2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x 典型例题（1）求证：f(x)（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明： ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称. ∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一设x,y ∈R +，∵f （x+y ）=f （x ）+f （y∴f （x+y ）-f （x ）=f （y ）.x ∈R +，f （x ）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0,f(x+y)＜f(x). ∵x+y ＞x,f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R.则f(x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＜0.∴f(x 2)-f(x 1)＜0.即f(x)在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ），即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ).例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明： ∵f （x+2）=-f （x ∴f （x+4）=-f （x+2）=-［-f （x ）］=f （x ）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数. （2）解：当0≤x ≤1时，f(x)=21x,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x. ∵f(x)是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f(x)= 21x. 故f(x)= 21x(-1≤x ≤1) 又设1＜x ＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=21(x-2),又∵f （x-2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x∴-f （x ）=21（x-2∴f （x ）=-21（x-2）（1＜x ＜3）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x由f(x)=-21,解得x=-1. ∵f （x ）是以4为周期的周期函数.f(x)=-21的所有x=4n-1 (n ∈Z ). 令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21. 变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43, ∵a ≤21,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f(x)=x 2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a ≥-21，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的最小值为f(a)=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f(x)的最小值为a 2+1.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.小结归纳。

函数的奇偶性-任务单

函数的奇偶性
学习目标
1.了解函数奇偶性的含义，会判断并证明一些简单函数的奇偶性；
2.初步把握函数性质研究的基本方法，从特殊到一般，从定性到定量，体会数形结合，类比的思想方法；
3.经历研究函数性质的一般过程，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养.
课前学习任务
复习函数单调性的定义，回顾断具体函数的奇偶性，
推荐的学习资源
人教A版《数学》必修第一册页至页
绘制函数，，和的图象．
课上学习任务
【学习任务一】
观察函数和的图象，思考图象特点并列表计算函数值．
【学习任务二】
用符号语言描述上述图象特点，探究偶函数定义．
【学习任务三】
类比偶函数的研究方式，探究奇函数的定义及所对图象的特点．
【学习任务四】
比较奇（偶）函数定义中的相同点与不同点，思考定义的等价形式．

高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性教案新课标

4.函数的奇偶性一．知识点1．定义: 设y=f(x)，定义域为A ，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=，称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x) ，定义域为A ，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=-，称y=f(x)为奇函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性。

2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称,y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 ⑤奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3．函数奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系；二．例题选讲例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f 解：（1）定义域为),(+∞-∞，对称于原点，又)()11(11)(x f x x x x x f -=--+-=---+-=-，)(x f 为奇函数（2）由011≥-+xx 得定义域为[)1,1-，关于原点不对称，所以)(x f 没有奇、偶性。

高三数学第一轮复习函数的奇偶性教案文

函数的奇偶性一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、函数的奇偶性定义：2、利用定义判断函数奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )A ．y =．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 【答案】D【解析】试题分析：函数y =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．[探究二]：应用函数的奇偶性解题例3、【2014高考湖南卷改编】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。

高三数学第一轮复习 11：函数的奇偶性

高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。

奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。

2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。

[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。

模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。

（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。

（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。

（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。

（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。

高三数学第一轮复习第10课时—函数的奇偶性教案

一．课题：函数的奇偶性二．教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．三．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数的奇偶性的定义； 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 4．设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用．（三）例题分析：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩．解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数（3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．例2．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f ．解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例3．（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．（2）（《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则（ B ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<- 例4．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求 ()f x 的最小值．解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++，若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +，当12a >，函数()f x 的最小值是34a +．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，（1）求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；（2）证明()f x 是R 上的奇函数．（参见《高考A 计划》教师用书57P ）（四）巩固练习：《高考A 计划》考点10智能训练6．五．课后作业：《高考A 计划》考点10，智能训练2，3， 8，9，10，11，13．。

2019-2020学年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性学案学考考察重点 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．本节复习目标 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于_______对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是_________，两个奇函数的积是___________；②两个偶函数的和、积都是___________；③一个奇函数，一个偶函数的积是___________．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．基础知识·自我测试1． (课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．4．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则)25( f 等于 ( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.变式训练1：下列函数：①f (x )＝1－x 2＋x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x2； ⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5题型二函数的奇偶性与周期性例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．变式训练2：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.题型三函数性质的综合应用例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．变式训练3：(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f(－25)<f(11)<f(80)B ．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f(11)<f(80)<f(－25)D ．f(－25)<f(80)<f(11)(2)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．。

高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性

1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对称中心是( ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数 y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到，故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).
周期性求f(1)+f(2)+…+f(2 012).
(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),
列方程
组求解.
【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12) =…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
(2)因为f(x)的周期为2,所以
即
又因为
所以
∴3a+2b=-2
①,
又因为f(-1)=f(1),所以
即b=-2a ②,

高三数学一轮复习第21课时函数的奇偶性与周期性导学案苏教版

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习第21课时函数的奇偶性与周期性导学案苏教版【学习目标】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.能利用奇偶性图像的特征解决函数相关问题【重难点】函数奇偶性与单调性、周期性的综合问题【课时安排】1-2课时【活动过程】一、自学质疑函数的奇偶性：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )是偶函数，图像特点；如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )是奇函数，图像特点；周期性：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有______；偶函数的有________；既不是奇函数也不是偶函数的有________．2 设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a ．3 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［a-1,2a ］，则a= ，b ＝ 4、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则()f x 的解析式为 5、已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f x ，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________二、互动研讨考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 2－1＋1－x 2 ②f (x )＝ln 1－x 1＋x. 【训练1】 (1)(2013·湖南卷改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于____．考点二函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)在函数①f (x )＝1x；②f (x )＝－x ；③f (x )＝2－x －2x ；④f (x )＝－tan x 中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是________．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________．考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．。

高三数学函数导数高考一轮复习教案24函数的奇偶性

2.4函数的奇偶性一、学习目标：考纲点击：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．热点提示：1.函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题2.每年的高考试题中，各种题型都可能出现，多以小题形式出现，属中低档题本节复习重点:函数的奇偶性的定义及应用．二、知识要点：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有_________，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有_________，则称函数()y f x =为偶函数；2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件：_________()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象_________；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于_________；()3奇函数在对称的单调区间内有_________的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有_________的单调性.（4）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．（5）若奇函数()f x 的定义域包含0，则_________．3.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 三、课前检测： 1.（09江西文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+=2.(09四川文）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f =3.(09辽宁文）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是4．（09陕西卷文）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则f(3),f(-2),f(1)三者大小的关系为 5.（09重庆理）若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = ．四．典型例题;热点考向一：一般函数的奇偶性判断例1．判断下列各函数的奇偶性：()1()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）2|2|)1lg()(22---=x x x f(4)())f x x = (5))111lg()(22+-+-=x x x f(6) 22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 热点考向二：分段函数的奇偶性例2．()1已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，12)(2+-=x x x f ，则()f x 的解析式为 ()2设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当x ∈ ()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <热点考向三：抽象函数的奇偶性例3．（1）已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数. ()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围热点考向四：函数奇偶性与单调性的综合应用例4．函数f(x)的定义域为D={x|x ≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,f （x1·x2）=f(x1)+f(x2) （1）求f(1)的值（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论（3）若f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在），（∞+0上是增函数，求x 的取值范围。

[精品]新高中数学第一轮复习第四课时函数奇偶性导学案

函数的奇偶性【学习目标】1.掌握函数的奇偶性的判断方法。

2.掌握求函数奇偶性与单调性结合的综合问题。

3.体会高中数学中数形结合的思想。

4.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】函数奇偶性的判断。

【学习难点】奇偶性与单调性结合问题的处理。

[自主学习]1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有，则称f (x)为奇函数；若，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f(x) .② 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.3）奇函数f(x)在定义域内，对称区间上单调性有什么特点？___________________偶函数又有怎样的特点？____________________4)奇函数在对称区间上最值有怎样的特点？___________________________________偶函数在对称区间上最值又有怎样的特点____________________________________5) 你能举一个既是奇函数也是偶函数的函数吗？______________________________这样的函数有什么的特点？_____________________________________________6）函数奇偶性与单调性有什么联系与区别？________________________________________________________________________2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期[典型例析]例1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R ); (3)f(x)=lg|x-2|.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）x x -+22 （2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x小结：例2 已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.变式训练2：已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)（1）求证：f(x)是周期函数；1x,求f(x)[-1,1] 的解析式。

河北省高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品导学案

函数、导数及其应用
2.3函数的奇偶性
【高考目标定位】一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。二、热点难点提示 1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。 2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。【考纲知识梳理】一、函数的奇偶性奇偶性偶函数定义图象特点如果对于函数f(x)的定义关于y轴对称域内任意一个，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。如果对于函数f(x)的定义关于原点对称域内任意一个，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
〖例2〗设函数 f ( x) 在 (,) 上满足 f (2 x) f (2 x) ， f (7 x) f (7 x) ，且在闭区间[0，7]上，只有 f (1) f (3) 0 。（1）试判断函数 y f ( x) 的奇偶性；（2）试求方程 f ( x) 0 在闭区间 [2005,2005] 上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由 f (2 x) f (2 x) ，得函数 y f ( x) 的对称轴为 x 2 ∴ f (1) f (5) 而 f (5) 0 f (1) f (1) ，即 f ( x) 不是偶函数又 ∵ f ( x) 在[0，7]上只有 f (1) f (3) 0 从而知函数 y f ( x) 不是奇函数故函数 y f ( x) 是非奇非偶函数 ∴ f (0) 0
∴f(x)为偶函数；
用心爱心专心
（另解）先化简：
f ( x)
16 x 1 1 4 x 4x 1 x 4 ，显然 f ( x) 为偶函数；从这可以看

高考一轮复习计划教案函数奇偶性及周期性

第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性联合详细函数，认识函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特色假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有对于 y 轴对称偶函数f (－ x)＝ f(x)，那么函数 f(x)是偶函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有奇函数对于原点对称f (－ x)＝－ f(x)，那么函数 f (x)是奇函数易误提示1．判断函数的奇偶性，易忽略判断函数定义域能否对于原点对称．定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，一定对定义域内的每一个x，均有 f (－ x)＝－ f(x)，而不能说存在 x 0使 f(－x0)＝－ f (x0)、f(－ x0)＝ f (x0)．3．分段函数奇偶性判准时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否认函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1) 假如一个奇函数 f (x)在原点处有定义，即f(0)存心义，那么必定有f(0)＝0.(2)假如函数 f( x)是偶函数，那么 f(x)＝ f(| x|)．(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种种类，即f(x )＝0，x∈ D，此中定义域 D 是对于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上拥有同样的单一性；偶函数在两个对称的区间上拥有相反的单一性．2．相关对称性的结论：(1) 若函数y＝ f(x＋ a)为偶函数，则函数y ＝ f(x )对于x＝ a对称．若函数 y ＝f(x＋ a)为奇函数，则函数y＝ f(x)对于点(a,0)对称．(2)若 f (x)＝f (2 a－ x)，则函数 f (x)对于 x＝ a 对称．若 f(x)＋f(2 a－ x)＝2 b ，则函数 f(x)对于点(a， b )对称．[ 自测练习 ]1．函数f(x)＝ lg( x＋ 1) ＋ lg( x－ 1) 的奇偶性是 ()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log 2 x，则f(－2)＝()1A．－2C．2D．－ 23．若函数 f (x)＝ x2－|x＋ a|为偶函数，则实数a＝________.知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数y＝ f(x)，假如存在一个非零常数T，使适当x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f( x)的最小正周期．必记结论定义式 f(x＋ T)＝ f(x)对定义域内的x 是恒建立的．若 f (x＋a)＝ f(x＋ b )，则函数 f(x)的周期为 T＝|a－ b|.11若在定义域内知足f(x＋ a)＝－ f(x)，f(x＋ a)＝，f(x＋a)＝－(a>0) ．则f(x)为周期函fx fx数，且 T＝2 a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1) 若函数f(x)的图象对于直线x＝ a 和直线 x＝ b 对称，则函数 f (x)必为周期函数，2| a －b|是它的一个周期．(2)若函数 f(x)的图象对于点(a,0)和点( b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2| a－ b |是它的一个周期．(3)若函数 f(x)的图象对于点(a,0)和直线 x＝ b 对称，则函数 f (x)必为周期函数，4| a－ b| 是它的一个周期．[ 自测练习 ]14．函数f(x)对于随意实数x 知足条件 f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.fx考点一函数奇偶性的判断|判断以下函数的奇偶性．(1)() ＝ 1 － 2 ＋x2－1 ； (2)( ) ＝ 3 － 2x＋f x x f x2 x－3 ；4 －x2(3) f( x)＝ 3 x－ 3 －x；(4) f(x)＝；|x＋ 3| －3x2＋ x， x>0，(5)f( x)＝x2－ x， x<0.函数奇偶性的判断的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|f(x )是定在R上的奇函数，且随意数x，恒有 f (x＋2)＝－ f (x)．当 x∈[0,2]， f(x)＝2 x－ x2.(1)求： f (x)是周期函数；(2)当 x∈[2,4]，求 f (x)的分析式；(3)算 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋⋯＋ f(2 017)．判断函数周期性的两个方法(1) 定法．(2) 象法．已知函数 f (x)是定在R上的偶函数，若于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－1，且当 x∈[0,2) fx， f(x)＝log2(x ＋1)，求 f(－2 015)＋ f (2 017)的________．考点三函数奇偶性、周期性的用 |高考于函数性的考，一般不会地考某一个性，而是奇偶性、周期性、性的合考．起来常的命研究角度有：1．已知奇偶性求参数．2．利用性、奇偶性求解不等式．3．周期性与奇偶性合．4．性、奇偶性与周期性相合．研究一已知奇偶性求参数1． (2015 ·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln( x＋a＋x 2)偶函数，a＝________.研究二利用性、奇偶性求解不等式12． (2015 ·高考全国卷Ⅱ)函数f(x) ＝ ln(1 ＋ |x|)－1＋x2，使得 f (x)> f(2 x－1)建立的x 的取值范围是()∪(1 ，＋∞ )1∪，＋∞3研究三周期性与奇偶性相联合3． (2015 ·石家庄一模) 已知f (x)是定义在R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f (1)<1，f(5)2a－3＝，则实数 a 的取值范围为()a＋1A． (－ 1,4)B． (－ 2,0)C． (－ 1,0) D ． (－ 1,2)研究四单一性、奇偶性与周期性相联合4．已知定义在R 上的奇函数f(x)知足 f(x－4)＝－ f( x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)< f(11)< f (80)B．f(80)< f(11)< f( －25)C．f (11)< f(80)< f(－ 25) D ．f (－ 25)< f(80)< f(11)函数性质综合应用问题的三种常有种类及解题策略(1)函数单一性与奇偶性联合．注意函数单一性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性联合．此类问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进行互换，将所求函数值的自变量转变到已知分析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单一性联合．解决此类问题往常先利用周期性转变自变量所在的区间，而后利用奇偶性和单一性求解．2.结构法在函数奇偶性中的应用x＋12＋sin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M ＋ m ＝________.【典例】设函数 f(x)＝x2＋1[思路点拨 ] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不行取，因此可考虑对函数整理化简，结构奇函数，依据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法评论 ]在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的状况下，经过察看函数的结构，发现其局部经过变式可结构出奇偶函数，这样就能够依据奇偶函数独有的性质解决问题．[追踪练习 ]已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－ 26B．－ 18C．－ 10D． 10A 组考点能力操练1．(2015 ·陕西一检)若f(x)是定义在R 上的函数，则“f(0) ＝ 0 ”是“函数f (x)为奇函数”的()A．必需不充足条件B．充要条件C．充足不用要条件D．既不充足也不用要条件2． (2015 ·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋ log1－x11的值为 () 2＋ 1 ，则f＋ f －1＋x22A． 2B．－ 2C． 01 D． 2log 233 ．设f( x) 是定义在 R上的周期为 3的函数，当 x ∈[－2,1)时， f (x)＝4 x2－ 2，－ 2 ≤x≤05x，0< x<1，则 f＝ ()2A． 0B．1D．－ 14．在 R 上的奇函数f(x)知足f( x＋3) ＝f(x)，当 0< x≤1时，f (x)＝ 2 x，则f(2015) ＝ ()1A．－ 2B．2C．－25．设奇函数f (x)在 (0 ，＋∞) 上是增函数，且f(1)＝0，则不等式 x[f (x)－ f (－ x)]<0的解集为 ()A． {x|－ 1< x<0 ，或x>1}B． {x|x< －1 ，或 0< x<1}C．{ x|x< －1 ，或x>1} D ． {x|－ 1< x<0 ，或 0< x<1}6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(2)＝1，且对随意的x∈R，都有 f(x＋3)＝ f (x)，则 f(2 017)＝________.x＋1x＋ a7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.x38．已知函数 f (x)在实数集R上拥有以下性质：①直线x＝1是函数 f (x)的一条对称轴；②f (x＋2)＝－ f(x )；③当1≤x1< x2≤3时，[ f(x2)－f(x1)]( x2－ x1)<0，则 f(2 015)， f(2 016)，f(2 017)从大到小的次序为________．－x2＋2 x， x>0，9．已知函数 f (x)＝0 ，x＝ 0，是奇函数．x2＋ mx ，x<0(1)务实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单一递加，务实数 a 的取值范围．10 ．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等1式 f x x－<0的解集．2B 组高考题型专练1． (2014 ·高考新课标全国卷Ⅰ )设函数f(x)， g (x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g (x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()A．f(x)g (x)是偶函数B． |f (x)|g (x)是奇函数C．f (x)| g(x)| 是奇函数D． |f (x)g (x)|是奇函数2．(2014·高考安徽卷) 设函数f(x)(x∈ R)知足f(x＋π)＝f( x)＋ sin x．当 0 ≤x <π时，f(x)23π＝0 ，则f＝ ()61C．0 D ．－23． (2015 ·高考广东卷)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝ 1 ＋x21 B．y＝x＋x1C．y＝2 x＋2x D ．y＝x＋ e x4．(2015 ·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f(x )＝2|x－m|－1( m 为实数)为偶函数．记a＝ f ，b＝ f (log25)，c＝f(2m)，则a， b， c 的大小关系为()A．a< b < c B．a< c< bC．c< a< b D ．c< b < a5． (2015 ·高考湖南卷)设函数f(x)＝ ln(1 ＋x) －ln(1 －x)，则f(x)是 ()A．奇函数，且在(0,1) 上是增函数B．奇函数，且在(0,1) 上是减函数C．偶函数，且在(0,1) 上是增函数D．偶函数，且在(0,1) 上是减函数答案 :x＋1>01.分析：由知x>1，定义域不对于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．x－1>0答案： C2.分析：由于函数f(x)是偶函数，因此 f(－2) ＝f(2) ＝ log 212＝，应选 B.2答案： B3.分析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈ R 恒建立，∴|－x＋a|＝ |x＋a|对于x∈ R 恒建立，两边平方整理得 ax＝0对于 x∈R恒建立，故a＝0.答案： 0114.解：f(x＋ 2) ＝，∴f(x＋ 4) ＝＝ f(x )，fx fx ＋211∴f (5)＝ f (1)＝－5，∴f (f(5))＝ f(－5)＝ f(3)＝＝－ .f 151答案：－5考点一x2－1≥0，得 x＝±解： (1) 由 1 ，1 －x2≥ 0 ，∴f (x)的定义域为{－1,1}．又 f(1)＋ f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即 f(x)＝±f(－ x)．∴f (x)既是奇函数又是偶函数．3(2) ∵函数f (x)＝ 3 －2 x＋ 2 x－3 的定义域为，不对于坐标原点对称，2∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f (－ x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－ f( x)，因此 f (x)为奇函数．4 －x2≥ 0 ，(4) ∵由得－ 2 ≤x≤2且x≠ 0.|x＋ 3| － 3 ≠ 0 ，∴f (x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，4 －x24－x24－x2∴f (x)＝＝＝，|x＋ 3| － 3x＋3－3x∴f (－ x)＝－ f(x)，∴f (x)是奇函数．(5) 易知函数的定义域为(－∞， 0) ∪ (0 ，＋∞ )，对于原点对称，又当x>0时， f( x)＝ x2＋x，则当 x <0时，－ x>0，故 f(－ x)＝x2－ x＝ f(x)；当 x<0时， f(x)＝ x2－ x，则当 x>0时，－ x<0，故 f(－ x)＝x2＋ x＝ f(x)，故原函数是偶函数．[解 ](1) ∵f(x＋ 2) ＝－f(x)，∴f (x＋4)＝－ f(x＋2)＝f(x)．∴f (x)是周期为4的周期函数．(2)当 x∈[－2,0]时，－ x∈[0,2]，由已知得f(－x )＝2(－ x)－(－ x)2＝－2 x－ x2.又 f(x)是奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)＝－2 x－ x2，∴f (x)＝ x2＋2 x.又当 x ∈[2,4]时， x－4∈[－2,0]，∴f (x－4)＝(x－4)2＋2( x－4)．又 f(x)是周期为4的周期函数，∴f (x)＝ f(x－4)＝(x－4)2＋2( x－4)＝ x2－6 x＋8.进而求得 x∈[2,4]， f(x)＝ x2－6 x＋8.(3) f(0) ＝ 0 ，f(2) ＝ 0，f(1) ＝ 1，f(3) ＝－ 1.又 f(x)是周期4的周期函数，∴f (0)＋ f (1)＋ f (2)＋ f (3)＝ f(4)＋ f (5)＋ f (6)＋ f (7)＝⋯＝ f (2 008)＋f(2 009)＋ f (2 010)＋f(2 011)＝ f(2 012)＋f(2 013)＋ f(2 014)＋ f(2 015)＝0，∴f (0)＋ f (1)＋ f (2)＋⋯＋ f(2 017)＝ f(0)＋ f(1)＝0＋1＝1.分析：当 x≥0 ， f (x＋2)＝－1，fx∴ (＋4)＝()，即4是()(≥0)的一个周期．f x f x f x x∴f (2 017)＝f(1)＝log22＝1，1f(－2 015)＝ f (2 015)＝ f(3)＝－＝－1，f1∴f (－2 015)＋ f(2 017)＝0.答案： 01.分析：由意得f(x)＝ x ln( x＋a＋x 2)＝ f(－ x)＝－ x ln(a＋ x2－ x)，因此a＋ x2＋x＝1，解得 a＝1.a＋ x2－ x答案： 112.分析：函数f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－1＋x2，∴f (－ x)＝ f (x)，故 f(x)偶函数，又当 x∈(0，1＋∞)，f (x)＝ ln(1 ＋x)－1＋x2， f(x)是增的，故f(x)> f (2 x－1) f(|x|)> f(|2 x－1|)，∴|x|>|2 x－ 1| ，解得1< x <1 ，故 A. 3答案： A3.分析：∵f(x)是定在 R 上的周期 3 的偶函数，∴f (5)＝ f (5－6)＝ f (－1)＝ f(1)，2a－3∵f (1)<1， f(5)＝a＋1，2 a－ 3a－4∴a＋1 <1 ，即a＋1 <0 ，解得－ 1< a<4 ，应选 A.答案： A4.分析：∵f(x)知足f (x－4) ＝－f(x)，∴f (x－8)＝ f( x)，∴函数 f (x)是以8为周期的周期函数，则 f(－25)＝ f(－1)，f(80)＝ f(0)， f(11)＝ f(3)．由 f(x)是定义在R 上的奇函数，且知足f(x－4) ＝－f(x)，得f(11) ＝f(3) ＝－f( －1) ＝f(1) ．∵f (x)在区间[0,2]上是增函数， f(x)在R上是奇函数，∴f (x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)< f(0)< f(1)，即 f (－25)< f(80)<f(11)．答案： D[分析 ]2x＋ sin x【典例】易知 f (x)＝1＋.x2＋ 1设 g (x)＝ f (x)－1＝2 x＋ sin x，x2＋1则 g (x)是奇函数．∵f (x)的最大值为M ，最小值为m ，∴g (x )的最大值为 M －1，最小值为m －1，∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋ m ＝2.[答案]2分析：由 f (x)＝ x5＋ ax3＋bx －8知 f(x )＋8＝x 5＋ax3＋ bx ，令 F(x)＝f (x)＋8可知 F(x)为奇函数，∴F(－ x)＋ F(x)＝0.∴F(－2)＋ F(2)＝0，故 f (－2)＋8＋ f (2)＋8＝0.∴f (2)＝－26.答案： A1.分析：f(x)在 R 上为奇函数f(0)＝0； f(0)＝0/f(x)在R上为奇函数，如f( x)＝ x2，应选 A.答案： A2.分析：由题意知，f(x)－ 1＝－x＋ log1－ x1＋x 1 －x1＋x，f(－ x)－ 1 ＝ x＋ log1－x＝ x－log 1 ＋x 222＝－ (f(x)－ 1) ，因此f(x)－ 1 为奇函数，则f 1－ 1＋f－11＋ f －12－ 1 ＝ 0，因此f＝ 2.222答案： A51113.分析：由于f(x)是周期为3的周期函数，因此 f＝ f －＋3＝ f －＝ 4×－22222－2＝－ 1，应选 D.答案： D4.分析：由f(x＋3) ＝f( x)得函数的周期为 3 ，因此f (2 015) ＝f( 672 × 3 －1) ＝f (－ 1) ＝－f(1)＝－2，应选 A.答案： A5.分析：∵奇函数f( x)在(0，＋∞)上是增函数， f(－ x)＝－ f(x)， x[f(x)－ f(－ x)]<0，∴xf(x)<0，又 f(1)＝0，∴f (－1)＝0，进而有函数f(x )的图象如下图：则有不等式x[ f(x)－ f(－x)]<0的解集为{x|－1< x<0 或 0< x<1} ，选 D.答案： D6.分析：由f(x＋3)＝ f(x)得函数 f(x)的周期 T＝3，则 f(2 017)＝f (1)＝ f(－2)，又 f(x)是定义在R 上的偶函数，因此f(2 017)＝ f(2)＝1.答案： 17. 分析：由题意知， g ( x )＝(x ＋1)( x ＋ a )为偶函数，∴ a ＝－ 1. 答案：－ 18. 分析：由 f (x ＋ 2) ＝－ f (x )得 f (x ＋ 4) ＝f (x )，即函数 f (x )是周期为4 的函数，由③知 f (x )在 [1,3] 上是减函数．因此f (2 015) ＝ f (3) ， f (2 016) ＝ f (0) ＝ f (2) ， f (2 017) ＝ f (1) ，因此f (1)> f (2)> f (3) ，即 f (2 017)> f (2 016)> f (2 015) ．答案： f (2 017)> f (2 016)> f (2 015) 9．解： (1) 设 x <0 ，则－ x >0 ，因此 f (－ x )＝－ (－ x )2＋ 2( － x ) ＝－ x 2 － 2 x .又 f (x )为奇函数，因此f (－ x )＝－ f (x )，于是 x <0 时， f (x )＝ x 2 ＋2 x ＝x 2 ＋mx ，因此 m ＝ 2.(2) 要使 f (x )在 [－ 1 ， a －2] 上单一递加，a － 2> － 1 ，联合 f (x )的图象知a － 2 ≤ 1 ，因此 1< a ≤ 3 ，故实数 a 的取值范围是 (1,3] ．10. 解：∵y ＝ f (x )是奇函数，∴ f (－1) ＝－ f (1) ＝ 0. 又∵y ＝ f (x )在 (0 ，＋∞ )上是增函数，∴y ＝ f (x )在 (－∞， 0) 上是增函数，x x －1 >0 ，12若 f x x － <0 ＝ f (1) ，∴21x x － <1 ，21 11＋ 17 1 － 17 即0< xx － <1 ，解得 2 < x < 4 或< x <0.2 4x x －1<0 ， 12f x x － <0 ＝ f (－ 1) ，∴12x x －< －1.21 ∴x x －< －1 ，解得 x ∈ .2∴原不等式的解集是11＋ 17 1－ 17 x < x < 或 < x <0.2 4 41. 分析：由题意可知f (－ )＝－ ( ) ，g (－ x )＝ ( )，对于选项 A ， (－ )·(－ )＝－x f x g xf xg xf (x )·g (x )，因此 f (x )g (x )是奇函数，故 A 项错误；对于选项B ， |f (－x )| g (－ x )＝ |－ f (x )|g (x )＝| f (x )| g (x )，因此 |f (x )|g (x )是偶函数，故 B 项错误；对于选项C ，f (－ x )| g (－ x )|＝－ f (x )| g (x )| ，因此 f (x )|g (x )|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D ，|f (－ x )g (－ x )| ＝|－f (x )g (x )|＝ |f (x )g (x )| ，因此 |f (x )g ( x )|是偶函数，故 D 项错误，选 C.答案： C2.分析：∵ f (x ＋ 2 π)＝ f (x ＋π)＋ sin( x ＋π)＝ f (x )＋ sin x － sin x ＝ f (x )，∴f (x )的周期 T ＝2 π，又∵当 0 ≤x <π 时， f (x )＝ 0 ，∴f5π＝ 0 ，6π π π即 f －＋π ＝ f －＋ sin －＝ 0，6 6 6 ∴f π 1－＝ 2，6∴f23ππ π 1＝f 4 π－＝ f －＝ .应选 A.66 6 2答案： A3.分析：选项 A 中的函数是偶函数；选项 B 中的函数是奇函数；选项 C 为偶函数，只有选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案： D4.分析：由f(x )＝2 |x－m|－ 1 是偶函数得m ＝0，则 f (x)＝2|x|－1，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1递增，又 a ＝ f ＝ f (||)＝ f(log23)， c ＝ f(0)，且0<log 2 3<log 25，则f(0)< f(log23)<f(log 2 5)，即c<a<b.答案： C5.分析：由题意可得，函数f (x)的定义域为 (－ 1,1) ，且f(x) ＝ln 1＋x2＝ ln－1 ，易1－x1－x2在 (0,1) 上为增函数，故f (x)在 (0,1)f(－ x)＝ln(1－ x)－ln(1知 y＝－ 1上为增函数，又1－x＋x)＝－ f(x)，故 f(x)为奇函数，选 A.答案： A。

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课题8：函数的奇偶性
活动目标：1. 掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；
2. 能判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决问题．
活动一：基础知识梳理
活动二：基础训练（见苏大P17基础训练1,2,3；P18，2）
5. 已知()x f y =是偶函数，则函数()1+=x f y 的对称轴是
6. 已知函数()1,21x f x a =-
+若()f x 为奇函数，则a = 7.已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且其定义域为[]则,2,1a a -_______=a ，
_______=b
活动三：典型例题
例1. 判断函数的奇偶性，并说明理由.
（1）[]4,1,1)(2-∈+-=x x x x f （2）x x x f -++=11)(
（3
）()(f x x =-（4）()
2
21lg )(22
---=x x x f
（5） ⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤-<+=.1,2,1,0,1,2)(x x x x x x f （6）()R a a x f ∈=)(
（7）设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是
①()()f x f x ⋅-是奇函数
②()()f x f x ⋅-是奇函数 ③()()f x f x +-是偶函数
④()()f x f x --是偶函数（8）已知函数,,1)(2R a x
ax x f ∈+
=讨论)(x f 的奇偶性，并证明你的结论.
（9）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（I ）求证：()f x 为奇函数；（II ）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
例2.由奇偶性求函数的解析式
（1）数)(x f 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，且0>x 时，,12)(2
+-=x x x f 则)(x f 的解析式为____________________.
（2）函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =
（3）()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f x g x x +=
-，求)()(x g x f 及.
例3.用奇偶性解决问题
（1）若函数a x x x f +-=2)(为偶函数，则实数________=a
（2）函数_______)(,2)(),(1sin )(3=-=∈++=a f a f R x x x x f 则若
（3）设函数_______0)()12lg()(的取值范围是的是奇函数，则使x x f a x
x f <+-= （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(1)1(==f f ，则)4()3(f f -=____
（5）奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是。