二次函数的单调性的应用
函数的单调性和奇偶性的综合应用
函数的单调性和奇偶性的综合应用对称有点对称和轴对称:数的图像关奇函于原点成点对称,偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性:应用:若()y f x =是增函数,12()()f x f x > ⇒ 1x2x应用:若()y f x =是减函数,12()()f x f x > ⇒ 1x 2x相关练习:若()y f x =是R 上的减函数,则(1)f 2(22)f a a ++2、熟悉常见的函数的单调性:y kx b =+、ky x=、2y ax bx c =++相关练习:若()f x ax =,()bg x x=-在(,0)-∞上都是减函数,则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数(增、减)3、函数的奇偶性:定义域关于原点对称,()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数定义域关于原点对称,()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数(当然,对于一般的函数,都没有恰好()()f x f x -=±,所以大部分函数都不具有奇偶性)相关练习:(1)已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数,且(1)5f =,求a 、b(2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数,则()f x 的递减区间是 。
(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f = 。
(4)函数()y f x =的奇偶性如下:画出函数在另一半区间的大致图像O点对称:对称中心O 轴对称:偶函数奇函数奇函数奇函数4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】相关练习:(1)根据函数的图像说明,若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数,则()f x 在(0,)+∞上是 函数(增、减)(2) 已知()f x 为奇函数,当0x >时,()(1)f x x x =-,则当0x <时,()x =(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数,3()4f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在((,)-∞+∞上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞为增函数,则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是( ) A. ()(3)(2)f f f π->>- B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(2)(3)f f f π-<-<(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5,那么()f x 在区间[7,3]--上( )A. 最小值是5B. 最小值是-5C. 最大值是-5D. 最大值是5(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数,且最小值是-5那么()f x 在[7,3]--上是( ) A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数,那么当10x <,20x >且120x x +<时,有( )A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 不确定(8)如果()f x 是奇函数,而且在开区间(,0)-∞上是增函数,又(2)0f =,那么()0x f x ⋅< 的解是( )A. 20x -<<或02x <<B. 20x -<<或2x >C. 2x <-或02x <<D. 3x <-或3x >(9) 已知函数()f x 为偶函数,x R ∈,当0x <时,()f x 单调递增,对于10x <,20x >,有12||||x x <,则( )A.12()()f x f x ->- B. 12()()f x f x -<- C. 12()()f x f x -=- D. 12|()||()|f x f x -<-5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】相关练习:(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数,解不等式(3)(2)f x f x +>-(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数,且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<,求a 的取值范围。
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法;(2)图象法;(3)利用函数的性质“增+增=增,减+减=减”判断;(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断;(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域,在定义域内求单调区间.单调区间不连续时,要用“和”或“,“连接,不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内,利用函数的单调性比较大小;(2)解函数型不等式:利用函数单调性,由条件脱去“f”;(3)求参数值或取值范围:利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1.函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为( ) A .[1,+∞),[1,+∞) B .(﹣∞,1],[1,+∞) C .(1,+∞),(﹣∞,1] D .(﹣∞,+∞),[1,+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ,()g x 进行化简,再求单调区间即可. 【解析】 解:()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩,()f x ∴在[)1,+∞上单调递增,()()222()211g x x x x x x -=-==--, ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增,故选:A.2.函数y =)A .3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C .[)0,+∞D .(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意,230x x +≥,可得3x ≤-或0x ≥,函数y =(][),30,-∞-⋃+∞,令23t x x =+,则外层函数y =[)0,+∞上单调递增,内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减,在[)0,+∞上单调递增,所以,函数y =(],3-∞-.故选:D. 【点睛】方法点睛:求解函数的单调区间一般有以下几种方法:一是图象法,主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数,可以借助图像来得到函数的单调区间;二是复合函数法,主要适用于函数结构较为复杂的函数,采用换元的思想将函数解析式分解为多层,利用同增异减的原理来求解;三是导数法,对于可导函数,可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3.函数()f x 在区间()4,7-上是增函数,则使得()3=-y f x 为增函数的区间为( ) A .()2,3- B .()1,7-C .()1,10-D .()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到,再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到,故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数,得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选:C.4.函数()2f x x x =-的单调减区间是( ) A .[]1,2 B .[]1,0-C .[]0,2D .[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式,即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间;【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式,结合二次函数图象得:(,1),(2,)-∞+∞递增,在[]1,2递减,故选:A.5.函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A .[3,)-+∞ B .(,3]-∞- C .(,5)-∞ D .[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质,比较对称轴和区间端点的大小,列不等式可得a 的取值范围. 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-,开口向上,则14a -≥,解得3a ≤- 故选:B6.若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围为( ). A .(1,)+∞ B .(,1)-∞ C .(0,)+∞ D .(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解:任取12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增,所以12()()f x f x <,即22120ax ax ---<,所以221211()0a x x -<,21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅, 因为120x x <<,所以210x x +>,210x x ->,22120x x ⋅>,所以0a <. 故选:D7.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减,那么实数a 的取值范围是( ) A .3a ≤- B .3a ≥-C .5a ≤D .5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴,根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件,即可求出a 的取值范围. 【解析】 解:二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-,抛物线开口向上,∴函数在(-∞,1]a -上单调递减,要使()f x 在区间(-∞,4]上单调递减, 则对称轴14a -, 解得3a-.故选:A . 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键. 8.“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数,利用()y f x =单调递减,则()0f x '≤恒成立,求出m 的范围,比较所求范围和条件中给定范围的关系,得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--,若函数()y f x =单调递减,必有当(0,)x ∈+∞时,2210m x x--≤恒成立,可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭,可得m 1≥.故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选:A. 9.若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞,1)∪[2,5),则其值域为( ) A .(﹣∞,0)B .(﹣∞,2]C .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D .1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2,5)两种情况,利用反比例函数的性质得出函数的值域. 【解析】由题意可得:当x<1时,则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞,0) 当x ∈[2,5)时,则x ﹣1∈[1,4),所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选:D.10.若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈,1]2上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]2-B .(0,1]C .1[2-,1]D .[1,)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化,构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解:由题意知,342xx a +-在(0x ∈,1]2上恒成立,设3()42x f x x =+-,则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦,上为增函数,∴当12x =时,()12max 113()4211222f x f ==+-=-=, 则1a , 故选:D . 【点睛】 关键点睛:本题的关键是将已知不等式恒成立问题,通过参变分离得到参数的恒成立问题,结合函数的单调性求出最值.11.若01m n <<<且1mn =,则2m n +的取值范围是( )A.)+∞ B .[3,)+∞C.)+∞D .(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=,再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知,22m n m m +=+,故设()2(),01f m m m m+<<=, 设1201m m <<<,则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12120,01m m m m -<<<,即1222m m >,故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,即12()()f m f m >, 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减,2(1)131f =+=,故函数的值域为(3,)+∞. 故选:D. 【点睛】方法点睛:利用定义证明函数单调性的方法(1)取值:设12,x x 是该区间内的任意两个值,且12x x <; (2)作差变形:即作差,即作差12()()f x f x -,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断符号的方向变形; (3)定号:确定差12()()f x f x -的符号;(4)下结论:判断,根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12.函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为( ) A .2 B .103C .174D .265【答案】C 【分析】 令4t x x =+,利用基本不等式求得4t ≥,构造函数()1g t t t=+,证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数,由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+,则21144x x t x x==++,因为0x >,所以44t x x =+≥=,又2414x y x t x x t =++=++,令()1g t t t=+,其中4t ≥, 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >,即124t t >≥,则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 124t t >≥,120t t ∴->,121t t >,()()120g t g t ∴->,即()()12g t g t >,所以,函数()g t 在[)4,+∞上为增函数,因此,()()min 1174444f xg ==+=. 故选:C. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.13.若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4,则实数a 的值为( ) A .-1 B .1C .3D .1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解,0a >时,1y ax =+在区间[]1,3上为增函数,从而可求出其最大值,当0a <时,1y ax =+在区间[]1,3上为减函数,从而可求出其最大值,进而可得答案 【解析】解:当0a >时,1y ax =+在区间[]1,3上为增函数,则当3x =时,y 取得最大值,即314a +=,解得1a =;当0a <时,1y ax =+在区间[]1,3上为减函数,则当1x =时,y 取得最大值,即14a +=,解得3a =舍去, 所以1a =, 故选:B14.函数2y ax =+在[1,2]上的最大值与最小值的差为3,则实数a 为( ) A .3 B .-3 C .0 D .3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值,判断函数的单调性,求出函数的最值,作差即可求解. 【解析】解:①当0a =时,2=2y ax =+,不符合题意;②当0a >时,2y ax =+在[]1,2上递增,则()()2223a a +-+=,解得3a =; ③当0a <时,2y ax =+在[]1,2上递减,则()()2223a a +-+=,解得3a =-.综上,得3a =±, 故选:D .15.已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2,则实数t 的值为( )A .2或3B .1或3C .2D .3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++,4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+,根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++,4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时,即52t ≤时,最大值42t -=解得:2t =;当41t t -<-时,即52t >时,最大值12t -=解得:3t = 综上所述:t 的值等于2或3. 故选:A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围,再结合绝对值的性质进行求解. 16.若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围为( ) A .1[2,1)B .1(0,)7C .1[7,1)2D .1[2,1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ,具有连续性,由12log y x =是减函数,可得(21)3y a x a =-+也是减函数,故得210a -<,(21)231a a -⨯+-,可得答案. 【解析】解:函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R , 由12log y x =是减函数,(21)3y a x a ∴=-+也是减函数,故得210a -<, 解得:12a <, 函数()f x 的值域为R ,12(21)23log 21a a -⨯+=-,解得:17a. ∴实数a 的取值范围是1[7,1)2.故选:C .17.若函数()f x 是R 上的减函数,0a >,则下列不等式一定成立的是( ) A .2()()f a f a < B .1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C .()(2)f a f a <D .2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性,以及题中条件,逐项判断,即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数,0a >,A 选项,()21a a a a -=-,当1a >时,2a a >,所以2()()f a f a <;当01a <<时,2a a <,所以2()()f a f a >,即B 不一定成立; B 选项,当1a >时,1a a >,所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭;当01a <<时,1a a <,所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即B 不一定成立;C 选项,0a >时,2a a >,则()(2)f a f a >,所以C 不成立;D 选项,()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭,则21a a >-;所以2()(1)f a f a <-,即D一定成立. 故选:D.18.已知函数2()f x x bx c =++,且(2)()f x f x +=-,则下列不等式中成立的是( ) A .(4)(0)(4)f f f -<< B .(0)(4)(4)f f f <-< C .(0)(4)(4)f f f <<- D .(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-,即可得到()f x 图象的对称轴为1x =,所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =,所以()f x 在(,1]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,且(4)(2)f f =-, 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-, 故选:C. 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关函数值的比较大小的问题,解题方法如下:(1)首先根据题中所给的函数解析式,判断函数类型,根据题中所给的条件,判断出函数图象的对称轴;(2)利用对称性,将自变量所对应的函数值进行转换; (3)根据函数的单调性求得结果.19.若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数,则下列各式一定成立的是( ) A .()()06f f < B .()()32f f -> C .()()13f f -> D .()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数,知在(,0]-∞上是增函数,即可判断各项的正误. 【解析】A :在[)0,+∞上是减函数,即()()06f f >,错误;B :(3)(3)f f -=,()f x 在[)0,+∞上是减函数,有()()32f f <,即()()32f f -<,错误; C :(1)(1)f f -=,()f x 在[)0,+∞上是减函数,有()()31f f <,即()()13f f ->,正确; D :由题意,()f x 在(,0]-∞上是增函数,()()58f f ->-,错误; 故选:C20.设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,又若a R ∈,则( ) A .()()2f a f a >B .()()2f a f a < C .()()2f a a f a +<D .()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误,利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项,取0a =,则2a a =,()()2f a f a ∴=,A 选项错误; 对于B 选项,取0a =,则2a a =,所以,()()2f af a =,B 选项错误;对于C 选项,取0a =,则2a a a +=,所以,()()2f a a f a +=,C 选项错误;对于D 选项,对任意的a R ∈,211a +≥,所以,()()211f a f +≤,D 选项正确.故选:D.21.函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数,且()0f x '>,则不等式()()20x f x ->的解集是( )A .(,1)(2,)-∞⋃+∞B .(,1)(1,)-∞⋃+∞C .(0,1)(2,)+∞D .(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增,又()10f =,即可得到1x <时,()0f x <;1 x >时,()0f x >;再分类讨论分别计算最后取并集即可;【解析】解:由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增,又()10f =,1x <时,()0f x <;1 x >时,()0f x >; 对于()()2 0x f x ->,当2x >时,不等式成立, 当12x <<时,()20, 0x f x -<>,不等式不成立; 当1x <时,20x -<,且()0f x <, 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选:A .22.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足'()()0f x f x ->,()20212021f e =,则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭)A .()6063,e +∞B .()20210,eC .()2021,e +∞D .()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =,得到函数的单调性,对问题进行变形,由单调性转化为求解不等式问题,即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=,'()()0f x f x ->,则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>, 所以函数()F x 在R 上单调递增,2021(2021)(2021)1f F e==,将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=, 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭,有1ln 20213x <,故得60630x e <<,所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ,故选:D. 【点睛】关键点睛:本题的解题关键是构造新函数,然后运用函数单调性求解不等式,通常情况构造新函数的形式如:()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等,需要结合条件或者问题出发进行构造.23.已知函数2()121xf x =-+,且()41(3)xf f ->,则实数x 的取值范围是( ). A .(2,)+∞ B .(,2)-∞C .(1,)+∞D .(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性,再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+',所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减, 由于()41(3)xf f ->所以413x-<,得1x <故选:D 【点睛】关键点点晴:判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24.已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =,对x ∀∈R 恒有()2f x '<,则()21f x x ≥+的解集为( ) A .[)1,+∞ B .(],1-∞C .()1,+∞D .(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--,利用导数判断()F x 单减,又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--,则()()2F x f x ''=-, 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立, 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=, 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选:B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于: (1)分段函数型不等式; (2)复合函数型不等式;(3)抽象函数型不等式; (4)解析式较复杂的不等式;25.已知函数f (x ) f (2a 2-5a +4)<f (a 2+a +4) ,则实数a 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,+∞)B .[2,6)C .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D .(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增,由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++,即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意,()f x 在[2,)+∞上单调递增,∵22(254)(4)f a a f a a -+<++,即2222544a a a a ≤-+<++, ∴260a a -<或22520a a -+≥,可得26a ≤<或102a <≤. 故选:C 【点睛】关键点点睛:利用函数的单调性,列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26.已知函数()f x 的图象关于y 轴对称,当0x ≥时,()f x 单调递增,则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________. 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数,再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-,转化为(2)(1)f x f x >-,再由当0x ≥时,()f x 单调递增,可得21x x >-,从而可求出x 的范围 【解析】解:依题意,()f x 为偶函数,当0x ≥时,()f x 单调递增,要满足(2)(1)f x f x >-,则要求21x x >-,两边平方得22412x x x >-+,即23210x x +->,即(1)(31)0x x +->,解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞. 故答案为:1(,1)(,)3-∞-⋃+∞.27.设()xf x a x =+,若()36f =,则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =,解出a ,讨论()xf x a x =+的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+,且()36f =,,所以33a =,解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+,()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为:21x x ->解得:1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为:()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于: (1)分段函数型不等式;(2)复合函数型不等式;(3)抽象函数型不等式;(4)解析式较复杂的不等式;28.已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数,且()20f =,画出()f x 的草图,结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化,解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数,且在区间(0,)+∞上为严格减函数,有()20f =,∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =,可作出()f x 的草图:不等式(1)01f x x +≥-可化为:()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩,当1x >时()12,10x f x +>+<,无解;对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩,当1x <时()12,10x f x +<+≤,由图像观察,210x -≤+≤解得:31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为:[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型:(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法; (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则; (3)高次不等式用穿针引线法; (4)含参数的不等式需要分类讨论.29.已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立,则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意,把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立,列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立,即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立,所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <,所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为:4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】(1)求参数的范围是常见题型之一,处理的方法有两种:①不分离参数,直接求最大值或最小值,解不等式;②分离参数法.(2)解指、对数型的不等式,通常化为同底的结构,利用函数的单调性解不等式.30.设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则不等式()26()f x f x ->的解集为_________.【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性,再解抽象不等式. 【解析】当1x >时,31+1y x x=-是增函数,此时1y >; 当1x ≤时, y x =是增函数,此时1y ≤, 所以函数()f x 是单调递增函数,()()2266f x f x x x ->⇔->,解得:32x -<<,所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为:()3,2-。
高中数学二次函数最值与单调性解题方法
高中数学二次函数最值与单调性解题方法二次函数是高中数学中非常重要的一个知识点,掌握二次函数的最值与单调性解题方法对于学生来说是至关重要的。
本文将从最值和单调性两个方面介绍二次函数的解题方法,并通过具体的例题来说明考点和解题技巧。
一、二次函数的最值解题方法1. 最值的概念首先,我们来了解一下最值的概念。
对于一个函数,最大值是指函数在定义域内取得的最大值,最小值是指函数在定义域内取得的最小值。
2. 最值的求解方法对于二次函数,我们可以通过求导数的方法来求解最值。
具体步骤如下:(1)先求出二次函数的导数;(2)令导数等于零,解方程得到临界点;(3)将临界点代入原函数,求出函数在临界点处的函数值;(4)比较函数值,得出最值。
下面通过一个例题来说明最值的求解方法。
例题1:求函数f(x) = x^2 - 2x + 3的最值。
解:首先求导数,f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0,解方程得到临界点x = 1。
将临界点代入原函数,f(1) = 1^2 - 2 * 1 + 3 = 2。
因此,函数f(x)的最小值为2。
二、二次函数的单调性解题方法1. 单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。
对于一个函数,如果在定义域内任意两个点x1和x2,当x1 < x2时,有f(x1) < f(x2),则函数为增函数;当x1 < x2时,有f(x1) > f(x2),则函数为减函数。
2. 单调性的判断方法对于二次函数,我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来判断函数的单调性。
(1)当二次项系数大于零时,二次函数开口向上,函数为增函数;(2)当二次项系数小于零时,二次函数开口向下,函数为减函数。
下面通过一个例题来说明单调性的判断方法。
例题2:判断函数g(x) = -x^2 + 4x - 3的单调性。
解:由于二次项系数为负,所以二次函数开口向下,函数为减函数。
综上所述,通过求导数的方法可以求解二次函数的最值,而通过判断二次项系数的正负可以判断二次函数的单调性。
二次函数的单调性分析
二次函数的单调性分析二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c (其中a≠0)的函数,它是一个关于x的二次多项式函数。
在这篇文章中,我们将重点讨论二次函数的单调性分析。
一、二次函数的基本性质1. a的正负决定开口方向当a>0时,二次函数的图像开口向上;当a<0时,二次函数的图像开口向下。
2. 顶点坐标在二次函数的图像中,顶点是其中最高或最低点的坐标。
顶点的横坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 计算得出,纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得出。
3. 对称轴二次函数的图像存在对称轴,对称轴是通过顶点的垂直直线。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b/(2a) 得到。
二、二次函数的单调性判断方法要判断二次函数的单调性,我们需要考虑两种情况:当二次函数开口向上和开口向下。
1. 当二次函数开口向上时(a>0)由于二次函数是一个抛物线形状的图像,开口向上的二次函数在对称轴的左侧是递减的,在对称轴的右侧是递增的。
因此,该二次函数在对称轴的左侧是单调递减的,在对称轴的右侧是单调递增的。
2. 当二次函数开口向下时(a<0)对于开口向下的二次函数,情况与开口向上时相反。
在对称轴的左侧是递增的,在对称轴的右侧是递减的。
因此,该二次函数在对称轴的左侧是单调递增的,在对称轴的右侧是单调递减的。
三、实例分析为了更好地理解二次函数的单调性分析,我们来看两个具体的例子。
示例1:考虑函数 y = 2x^2 + 3x - 1 。
首先,我们可以看出a的值为2,因此二次函数开口向上。
根据公式 x = -b/(2a) ,我们可以计算出对称轴的横坐标为 x = -3/4 。
对称轴左侧的一点 A:取 x = -4,计算 y = 2(-4)^2 + 3(-4) - 1 = 17对称轴右侧的一点 B:取 x = -2,计算 y = 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 1根据计算结果,我们可以得知:对于 x < -3/4 ,函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递减;对于 x > -3/4 ,函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递增。
二次函数的对称性与单调性
二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数,在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
掌握二次函数的基本性质,对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。
一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为:f(x) = ax² + bx + c,其中a、b、c为常数,且a ≠ 0。
根据对称性的不同,可以分为以下几种情况。
1. 关于y轴对称当a为偶数时,二次函数关于y轴对称。
即若f(x)为二次函数,则有f(-x) = f(x)。
例子:考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1,将x改为-x,则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x),因此该二次函数关于y轴对称。
2. 关于x轴对称当c = 0时,二次函数关于x轴对称。
即若f(x)为二次函数,则有f(x) = f(-x)。
例子:考虑二次函数f(x) = x² - 4,将x改为-x,则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x),因此该二次函数关于x轴对称。
3. 关于原点对称当b = 0时,并且a、c异号,二次函数关于原点对称。
即若f(x)为二次函数,则有f(-x) = -f(x)。
例子:考虑二次函数f(x) = -x²,将x改为-x,则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x),因此该二次函数关于原点对称。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。
根据二次函数的a值的正负,可以判断其单调性。
1. 当a > 0时,二次函数在定义域上单调递增。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c,如果a > 0,则对于任意x₁、x₂,若x₁ < x₂,有f(x₁) < f(x₂),即函数在定义域上单调递增。
例说二次函数单调性的一般应用
例说二次函数单调性的一般应用
鄢七正
【期刊名称】《中学生数理化(尝试创新版)》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】二次函数的单凋性既是函数的单调性的重要表现,也是对初中二次函数知识的深化.二次函数的单调区间是以对称轴来划分的,所以对称轴在二次函数的单调性中显得尤为重要.
【总页数】1页(P8-8)
【作者】鄢七正
【作者单位】安徽
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.浅议二次函数单调性的应用 [J], 李稀琰
2.浅议二次函数单调性的应用 [J], 李稀琰;
3.Hawgent皓骏软件应用于初中数学课堂的探索
——以"二次函数"的单调性为例 [J], 刘华彬
4.Hawgent皓骏软件应用于初中数学课堂的探索——以“二次函数”的单调性为例 [J], 刘华彬
5.例说利用二次函数解决数学应用型问题 [J], 唐浩达
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二次函数在高中阶段应用举例论文
二次函数在高中阶段的应用举例二次函数的相关知识,学生在初中阶段已经掌握了一部分内容,但是初中时期学生接受知识的能力有限,学习二次函数知识的方法很机械,不能从本质上加以理解和吸收.而进入高中阶段后,虽然这部分知识没有做具体的系统的学习,但是二次函数的应用却始终贯穿其中,尤其是在学习了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质后,进入到高三总复习的时候,这部分知识更是显得尤为重要,因此,对于二次函数的知识高中阶段需要作进一步地深入研究.对于这部分知识的复习,不能简单地识记,可以结合二次函数的图像来深入研究其性质,以便灵活地应用这些相关性质.一、从函数概念本身来深入了解二次函数的意义初中阶段已经介绍了函数的定义,进入高中后在学习了映射的基础上,接着重新学习了函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是以二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合a(定义域)到集合b(值域)上的映射f:a→b,使得集合b中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合a中的元素x对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a ≠0).这里y=ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素x 在值域中的像.从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:(1)已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+3).这里不能把f(x+3)理解为x=x+3时的函数值,只能理解为自变量为x+1的对应函数值.(2)设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x).这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的像是x2-4x+1,求定义域中元素x的像,其本质是求对应法则.二、利用二次函数的图像解一元二次不等式掌握一元二次不等式的解法是对高中学生最基本的运算要求.对于这部分知识的讲解,利用二次函数的图像最直观、最清晰,学生也容易从图像中发现一元二次不等式和二次函数的区别与联系,易于掌握,便于理解.高中阶段涉及一元二次不等式的解法的应用很多,例如:(1) 在区间[-1,4]上随机取一个数x,求(x+2)(x-1)≤0的概率.(2) 求函数的定义域:y=x2-2x.(3) 求函数f(x)=x3-3x2-10的单调区间.三、利用二次函数的单调性求值域及最值在学习函数的单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c 在区间-∞,-b[]2a及-b[]2a,+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.例如:画出下列函数的图像,并通过图像研究其单调性.(1)y=x2+2|x-1|-1.这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系,掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图像.(2)设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t).求g(t)并画出y=g(t)的图像.解 f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2.当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2;当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1;当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2.g(t)=t2-2, (t1).四、二次函数知识的综合运用例如:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1[]a.(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x 1.(2)设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x0<x[]2.解题思路本题要证明的是x<f(x),f(x)<x1和x0<x[]2,由题中所提供的信息可以联想到:①f(x)=x,说明抛物线与直线y=x 在第一象限内有两个不同的交点;②方程f(x)x=0可变为ax 2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a,b,c之间的关系式,因此解题思路明显有三条:①图像法.②利用一元二次方程根与系数的关系.③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导.二次函数是贯穿初高中数学教学的重点,也是历年高考的热点,更是学生学习中的一个难点.在初、高中阶段,教材对其处理方式是不同的.初中阶段,教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态;而高中阶段,教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用.因此,在高中阶段,教师应引导学生打破思维定式,用后继知识不断充实对其新的认识和理解,化暗为明,让其丰富的内涵得到充分的展现和深化二次函数.。
2022数学第二章函数2
2。
4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。
幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α是。
(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。
二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.(2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n](m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。
3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=m,当a〉0时,若|x1-m|〉|x2-m|,则f(x1)〉f(x2);当a〈0时,若|x1-m|>|x2—m|,则f(x1)<f(x2). 4。
一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:(1)方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.()(2)幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。
()(4)幂函数的图象不经过第四象限。
()(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.()2.如图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为()A.a>b〉cB.a<b<cC。
b<c〈aD.a<c〈b3.(2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a,a+2]均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是()A。
二次函数性质总结
二次函数性质总结二次函数是高中数学中经常遇到的一个函数类型,它的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,a不等于0。
二次函数的性质有很多,下面就逐一进行总结:一、基本性质:1. 对称性:二次函数在抛物线的顶点处有对称轴,对称轴是图像的一条垂直线。
如果二次函数是y=ax^2+bx+c,则对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 零点:二次函数的零点是函数图像与x轴的交点,即使f(x)=0的解。
对于y=ax^2+bx+c,可以用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a来求解。
3. 导函数:二次函数的导函数是一次函数,即f'(x)=2ax+b。
导数可以用来研究函数的变化趋势、极值等性质。
二、图像特征:1. 开口方向:当a>0时,二次函数的抛物线开口向上,称为正向抛物线;当a<0时,二次函数的抛物线开口向下,称为负向抛物线。
2. 顶点坐标:对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数,顶点坐标为(h,k),其中h为对称轴的横坐标,k为对称轴的纵坐标。
3. 最值:当二次函数开口向上时,最小值为顶点值;当二次函数开口向下时,最大值为顶点值。
4. 平移变换:二次函数的图像可以通过平移变换来进行位置调整,平移的方式有水平、垂直两个方向,可以通过更改常数c、h、k来实现。
三、根性质:1. 根的个数:二次函数的根的个数不会超过2个。
当判别式D=b^2-4ac大于0时,方程有两个不相等的实数根;当判别式D=0时,方程有两个相等的实数根;当判别式D小于0时,方程没有实数根。
2. 根的关系:如果一个二次函数有两个根x1和x2,则有以下性质:根的和x1+x2=-b/a,根的积x1x2=c/a。
3. 根的位置:根的位置与二次函数的开口方向有关。
当二次函数开口向上时,如果根存在,则根的值在顶点的两侧;当二次函数开口向下时,根的值在顶点的外侧。
四、函数变化:1. 单调性:二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。
二次函数的应用(解析版)
一、集合1.集合的概念:由某些确定的对象组成的整体叫做集合,简称集.组成集合的对象叫做这个集合的元素,一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合,小写英文字母a,b,c…表示集合的元素.2.元素的性质: (1)互异性:一个给定的集合中的元素都是互不相同的;只要构成两个集合的元素是一样的,我们就说这两个集合相等。
(2)无序性:一个给定的集合中的元素排列无顺序;(3) 确定性:一个给定的集合中的元素必须是确定的.3.常用的数集: (1)所有自然数组成的集合叫做自然数集,记作N .(2)所有正整数组成的集合叫做正整数集,记作*N 或+Ζ.(3)所有整数组成的集合叫做整数集,记作Z .(4)所有有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q .(5)所有实数组成的集合叫做实数集,记作R .(6)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.例如,方程x 2+1=0的实数解的集合里不含有任何元素,所以这个解集就是空集。
4.集合的表示方法:列举法、描述法、V enn 图法5.集合的基本关系:(1)元素与集合:a A ∈;a A ∉. (2)集合与集合:包含关系(子集),A B ⊇或B A ⊆(A 包含于B ,B含于A ,A>B )6. 子集:(1)任何一个集合A 都是它自身的子集,即A A ⊆.(2)规定:空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.(3)如果A B ⊇,同时B A ⊇,那么集合B 的元素都属于集合A ,同时集合A 的元素都属于集合B ,因此集合A 与集合B 的元素完全相同,由集合相等的定义知A B =(4)如果集合B A ⊆,但存在元素B x A x ∉∈且,,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作A ⫋B 。
(5)如果A B ⊇,同时B A ⊇,则 A B =。
(6)空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.7.集合的基本运算:(1)并集:A ⫋B ={x |x ⫋A ,或x ⫋B };(2)交集:A ∩B ={x |x ⫋A ,且x ⫋B }.(3)补集(⫋U A ={x | x ⫋U ,且x ⫋A },U 为全集.)二、函数的基本概念1.函数的定义一般地,设A ,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,通常记为y =f (x ),x ⫋A .集合与函数知识讲解 AB2.函数的三要素:定义域、对应关系和值域.3.函数相等:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等.4.函数的表示法:解析法、图象法、列表法.5.映射的概念设A ,B 是两个非空集合,如果按照某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任何一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。
函数单调性和二次函数解析版
专题3 函数的单调性【知识回顾】1.函数在区间上增加(减少)的定义2.单调区间、单调性和单调函数的概念 (1)函数的单调区间如果y =f (x )在区间A 上是增加的或是减少的,那么称A 为单调区间.在单调区间上,如果函数是增加的,那么它的图像是上升的;如果函数是减少的,那么它的图像是下降的.(2)函数的单调性如果函数y =f (x )在定义域的某个子集上是增加的或减少的,那么就称函数y =f (x )在这个子集上具有单调性.(3)单调函数如果函数y =f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.【典例应用】类型一 用定义判断或证明函数的单调性【例1】 证明函数f (x )=x +1x 在(0,1)上为减函数.[思路探究] 在(0,1)上任取x 1,x 2且x 1<x 2,通过作差比较法证明f (x 1)>f (x 2). [解] 任取x 1,x 2∈(0,1),且x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1 =(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,由0<x 1<x 2<1,得x 2-x 1>0,x 1x 2-1<0,x 1x 2>0, 所以,f (x 2)-f (x 1)<0, 于是f (x 2)<f (x 1).根据减函数的定义知,f (x )在(0,1)上为减函数.练习:对于例1中的函数,证明其在区间(1,+∞)内是增函数.[证明] 任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,则 f (x 2)-f (x 1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,由x 2>x 1>1,得x 2-x 1>0,x 1x 2-1>0,x 1x 2>0, 所以f (x 2)-f (x 1)>0, 于是f (x 2)>f (x 1),根据增函数的定义知,f (x )在(1,+∞)上是增函数. 类型二 已知函数的单调性求参数的取值范围【例2】 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +1在区间(-∞,4]上单调递减,求实数a 的取值范围.[思路探究] 求出f (x )的单调递减区间,利用集合之间的关系求解. [解] ∵f (x )=[x +(a -1)]2-(a -1)2+1. ∴f (x )的单调递减区间是(-∞,1-a ]. 又f (x )在区间(-∞,4]上单调递减, 则(-∞,4]⊆(-∞,1-a ], ∴1-a ≥4,解得a ≤-3.练习1.设函数f (x )=(1-2a )x +1是R 上的增函数,则有( ) A .a <12 B .a >12 C .a <-12D .a >-12A [依题意,1-2a >0,解得a <12.]2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1ax ,x >1是R 上的增函数,则a 的取值范围是________.-3≤a ≤-2 [依题意,⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a1,类型三 利用单调性求函数的最大(小)值【例3】 求函数f (x )=2x +1x +1在区间[1,3]上的最大值与最小值.[思路探究] 先判断函数f (x )在区间[1,3]上的单调性,再利用单调性求最值. [解] f (x )=2x +1x +1=2(x +1)-1x +1=2+-1x +1.其图像如下:由上图知,f (x )在区间[1,3]上递增, 所以,f (x )max =f (3)=2+-13+1=74; f (x )min =f (1)=2+-11+1=32. 练习 求函数f (x )=xx -1在区间[2,5]上的最值. [解] f (x )=x x -1=(x -1)+1x -1=1+1x -1.其图像如下:由上图知,f(x)在[2,5]上递减,所以,f(x)max=f(2)=2;f(x)min=f(5)=5 4.【等级过关练】1.函数f(x)的部分图像如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是()A.-1,3B.0,2C.-1,2 D.3,2C[当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.]2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=3-x B.y=x2+1C.y=1x D.y=-|x+1|B[y=3-x,y=1x,y=-|x+1|在(0,2)上都是减函数,只有y=x2+1在(0,2)上是增函数.]3.已知函数y=ax和y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是()A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0A[因为y=ax和y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,所以a <0,b <0,f (x )=bx +a 为减函数且f (0)=a <0,故选A.] 4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上为减函数,则( ) A .f (a )>f (2a ) B .f (a 2)<f (a ) C .f (a 2+a )<f (a )D .f (a 2+1)<f (a )D [因为a 2+1-a =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+34≥34,所以a 2+1>a ,又f (x )在(-∞,+∞)上为减函数,所以f (a 2+1)<f (a ).] 5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-1),B (3,1)是其图像上的两点,那么|f (x +1)|<1的解集是( )A .(1,4)B .(-1,2)C .(-∞,1)∪(4,+∞)D .(-∞,-1)∪(2,+∞) B [因为|f (x +1)|<1,所以-1<f (x +1)<1,由题意知,0<x +1<3, 所以-1<x <2.]6.设函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈R 都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]>0,则f (-3)与f (-π)的大小关系是________.f (-3)>f (-π) [由(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0, 可知函数f (x )为增函数,又因为-3>-π, 所以f (-3)>f (-π).]7.对a ,b ∈R ,记max{a ,b }=⎩⎨⎧a ,a ≥b ,b ,a <b ,函数f (x )=max{x +1,3-x }(x ∈R )的最小值是________.2 [函数f (x )的图像如图(实线部分),故f (x )的最小值为2.]8.若函数y =kx +1在区间[1,3]上的最大值为4,则k =________.1 [当k >0时,y =kx +1是增函数,所以,3k +1=4,k =1; 当k =0时,不合题意;当k <0时,y =kx +1是减函数,所以,k +1=4,k =3(舍去). 综上得,k =1.]9.用定义证明函数f (x )=1x是减函数. [证明] f (x )的定义域是(0,+∞),任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则 f (x 2)-f (x 1)=1x 2-1x 1=x 1-x 2x 1x 2=x 1-x 2(x 1+x 2)x 1x 2,由x 2>x 1>0,得x 1-x 2<0,x 1+x 2>0,x 1x 2>0, 所以,f (x 2)-f (x 1)<0, 于是f (x 2)<f (x 1).根据减函数的定义知,f (x )是减函数. 10.判断函数f (x )=x -2x +1(x ≥0)的单调性,并求出值域. [解] f (x )=x -2x +1=x +1-3x +1=1-3x +1,设0≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-3x 1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-3x 2+1=3x 2+1-3x 1+1=3(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1),因为0≤x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,x 1+1>0,x 2+1>0,于是f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故函数f (x )=x -2x +1在[0,+∞)上为增函数.f (x )min =f (0)=-2,无最大值. 画出函数的大致图像,如图所示,知函数f (x )=x -2x +1(x ≥0)的值域为[-2,1). 专题4 二次函数的图像【知识回顾】1.函数y =x 2与函数y =ax 2(a ≠0)的图像间的关系二次函数y =ax 2(a ≠0)的图像可由y =x 2的图像各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的a 倍得到.其中a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小. |a |越大,开口越小.2.函数y =ax 2(a ≠0)与函数y =a (x +h )2+k (a ≠0)的图像 y =ax 2――――――――――――→h >0向左平移h 个单位h <0,向右平移|h |个单位y =a (x +h )2――――――――――――→k >0,向上平移k 个单位k <0,向下平移|k |个单位y =a (x +h )2+k .【典例应用】类型一 二次函数图像间的变换【例1】 若把函数y =x 2-6x +6图像的横坐标缩小到原来的12倍,得到图像C 1,再把C 1的纵坐标扩大到原来的2倍,得到图像为C 2,试写出图像C 2的解析式.[解] y =x 2-6x +6―――――――→横坐标缩小到原来的12倍y =(2x )2-12x +6=4x 2-12x +6――――――→纵坐标扩大到原来的2倍y 2=4x 2-12x +6,即y =8x 2-24x +12.所以图像C 2的解析式为y =8x 2-24x +12.练习 二次函数y =x 2+bx +c 的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y =x 2-2x +1的图像,则b =________,c =________.-6 6 [二次函数y =x 2+bx +c 的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的函数为y =(x +2)2+b (x +2)+c +3.整理得,y =x 2+(b +4)x +7+2b +c , 又y =x 2-2x +1, 则⎩⎨⎧b +4=-2,7+2b +c =1, 解得⎩⎨⎧b =-6,c =6,∴b =-6,c =6.]类型二 求二次函数的解析式【例2】 已知二次函数的图像的顶点坐标是(1,-3),且过点P (2,0),求这个函数的解析式.[思路探究] 已知二次函数的图像的顶点(1,-3),可设其解析式为y =a (x -1)2-3,再利用其图像过点(2,0)求a .[解] 因为二次函数的图像的顶点坐标是(1,-3), 所以,可设其解析式为y =a (x -1)2-3. 又其图像过点P (2,0), 则a (2-1)2-3=0, 解得a =3.所以,这个函数的解析式为y =3(x -1)2-3.练习1.已知二次函数的图像与x 轴的交点为A (-1,0)和B (1,0),且与y 轴的交点为(0,-1),求这个函数的解析式.[解] 因为二次函数的图像与x 轴的交点为A (-1,0)和B (1,0), 所以,可设其解析式为y =a (x -1)(x +1). 又其图像与y 轴的交点为(0,-1), 则a (0-1)(0+1)=-1, 解得a =1.所以,这个函数的解析式为y =(x -1)(x +1)=x 2-1.2.已知二次函数的图像过点A (1,1),B (0,2),C (3,5),求这个函数的解析式. [解] 设这个函数的解析式y =ax 2+bx +c (a ≠0),依题意,得⎩⎨⎧ a +b +c =1,c =2,9a +3b +c =5,∴⎩⎨⎧a =1,b =-2,c =2,所以,这个函数的解析式为y =x 2-2x +2. 类型三 二次函数图像的应用【例3】 求函数f (x )=x |x -1|的单调区间.[思路探究] 画出函数f (x )的图像,通过观察函数的图像求其单调区间. [解] f (x )=x |x -1|=⎩⎨⎧x 2-x ,x ≥1,-x 2+x ,x <1.其图像如下:观察图像,得f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12,[1,+∞).递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1.练习:如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图像的一部分,图像过点A (-3,0),对称轴为直线x =-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b . 其中正确的序号是________.①④ [由该函数图像与x 轴交于两点,得b 2>4ac .①正确;因为对称轴为直线x=-1,所以-b2a=-1,即2a-b=0.②错误;结合图像,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;因为图像开口向下,所以,a<0,所以5a<2a=b.④正确.]【等级过关练】1.用配方法将函数y=12x2-2x+1写成y=a(x-h)2+k的形式是()A.y=12(x-2)2-1B.y=12(x-1)2-1C.y=12(x-2)2-3 D.y=12(x-1)2-3A[y=12x2-2x+1=12(x2-4x+4)-1=12(x-2)2-1.]2.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图,则此函数的解析式可能为()A.y=12x2-12x-3B.y=12x2-12x+3C.y=-12x2+12x-3D.y=-12x2-12x+3A[由图像可知,抛物线开口向上,a>0,顶点的横坐标为x=-b2a>0,故b<0,图像与y轴交于负半轴,故c<0.]3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为(0,11),则()A.a=1,b=-4,c=-11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=11D [由题意c =11,-b 2a =2,44a -b 24a =-1,所以a =3,b =-12.]4.将抛物线y =2(x -4)2-1如何平移可得到抛物线y =2x 2( )A .向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B .向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C .向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D .向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C [抛物线y =2(x -4)2-1的顶点是(4,-1),抛物线y =2x 2的顶点是(0,0),图像平移时,把点(4,-1)平移至(0,0).故选C.]5.函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图像可能是( )C [当a >0时,y =ax 2+bx +1开口向上,y =ax +1递增且过(0,1)点,D 不符合,C 符合要求.当a <0时,y =ax 2+bx +1开口向下,y =ax +1递减且过(0,1)点,A 、B 不符合,故选C.]6.若函数f (x )=ax 2+2x -4的图像位于x 轴下方,则a 的取值范围是________.a <-14 [依题意,⎩⎨⎧a <0,Δ=4+16a <0,解得a <-14.] 7.如果一条抛物线的形状与y =13x 2+2的图像形状相同,且顶点坐标为(4,-2),则它的解析式是________.y =±13(x -4)2-2 [依题意,二次项系数为±13,又顶点为(4,-2),故其解析式为y =±13(x -4)2-2.]8.把函数y =x 2+m 的图像向下平移2个单位长度,得到函数y =x 2-1的图像,则实数m =________.1 [依题意,m -2=-1,解得m =1.]9.通过配方,把二次函数由一般式化成顶点式,并写出对称轴方程与顶点坐标.[解] 设y =ax 2+bx +c (a ≠0),则y =a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+b a x +c =a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2+b a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2+c =a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2-b 24a 2+c =a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +b 2a 2+4ac -b 24a , 其对称轴方程为x =-b 2a ,顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a,4ac -b 24a . 10.由函数y =2(x -1)2+1的图像通过怎样的变换可以得到函数y =x 2的图像?[解] y =2(x -1)2+1――――――――――→向左平移1个单位长度y =2x 2+1――→向下平移1个单位长度y =2x 2――――――――――→横坐标不变纵坐标变为原来的12倍y =x 2.。
函数单调性总结及应用
yxo 函数的基本性质 单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数....(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数....(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③1212()(()())0x x f x f x -->或12120()()x x f x f x ->-等价于单增;1212()(()())0x x f x f x --<或12120()()x x f x f x -<-等价于单减;(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2oy=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211课后练习【感受理解】 1.函数2y x=-的单调递_____区间是______________________. 2.函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________.3.已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数,则k 的取值范围是______________. 4.下列说法中,正确命题的个数是______________. ①函数2y x =在R 上为增函数; ②函数1y x=-在定义域内为增函数; ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >,则12x x >; ④函数1y x=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞. 【思考应用】5.函数()1f x x =+的增区间为 . 6.函数1()1f x x =+的单调减区间为 . 7.函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减,在),2[+∞-上递增,则实数m = . 二、解答题: 8.证明函数1()1g x x=-在()1,+∞是减函数.9.求证函数1()f x x x=-在()0,+∞是单调增函数.10.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数,求a 的取值范围【能力提高】 12.讨论函数1()f x x x=+的单调性.函数的单调性(2)课后训练【感受理解】1.已知函数)y f x =(在R 上是增函数,且f (m 2)>f (-m ),则m 的取值范围是: __________.2.函数()f x =的单调减区间 .3.函数1()1xf x x-=+的单调递减区间 . 4.函数y _____________.【思考应用】5. 若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数,则实数m 的取值范为 .6. 函数)(x f 在),0(+∞上是减函数,那么)1(2+-a a f 与)43(f 的大小关系是 .7. 设)(x f 为定义在R 上的减函数,且0)(>x f ,则下列函数: ①)(23x f y -=;② )(11x f y +=;③ )(2x f y =;④ )(2x f y += 其中为R 上的增函数的序号是 . 8. 函数xx x f 2)(+=在]1,0(上有最 值 . 9.函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 . 10. 定义在R 上的偶函数满足:对任意的,有.则A) B) C) D) 11.求证:函数()f x x =在R 上是单调减函数.【能力提高】12.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-3)B .(0,+∞)C .(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(3,+∞)13.()y f x =是定义在(0,)+∞上增函数,解不等式()[8(2)]f x f x >-.()f x 1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠2121()()0f x f x x x -<-(3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-。
二次函数单调区间
二次函数单调区间二次函数是数学中的常见函数,其图像呈现出一条弧线,具有很多特点。
其中一个重要特点是其单调性,也就是函数在定义域内的增减性。
本文将着重讨论二次函数的单调区间。
我们来回顾一下二次函数的一般形式:y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或开口朝下的弧线,也可以是一个平行于x轴的抛物线。
在这个函数中,a决定了抛物线的开口方向和形状,而b和c则影响了抛物线的位置。
要确定二次函数的单调区间,我们需要找到函数的导数。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说,其导数为y'=2ax+b。
由于导函数y'是一次函数,因此它的单调性很容易确定。
根据一次函数的性质,当a大于0时,y'是单调递增的;当a小于0时,y'是单调递减的。
也就是说,二次函数的单调性与a的正负有关。
当a大于0时,二次函数的图像开口朝上,形状类似一个U形。
此时,函数在整个定义域内都是单调递增的。
这是因为导数y'的斜率是正的,表示函数的增长速度是逐渐加快的。
所以,在这种情况下,二次函数的单调区间是整个定义域。
当a小于0时,二次函数的图像开口朝下,形状类似一个倒过来的U形。
此时,函数在整个定义域内都是单调递减的。
由于导数y'的斜率是负的,表示函数的增长速度是逐渐减慢的。
因此,在这种情况下,二次函数的单调区间也是整个定义域。
需要注意的是,在某些特殊情况下,二次函数可能存在单调区间为空的情况。
当二次函数的抛物线与x轴有切点时,也就是当函数的零点存在时,函数的单调区间就为空。
这是因为函数在零点处由单调递减变为单调递增,或由单调递增变为单调递减。
除了这种特殊情况,由于二次函数的图像是一个连续的弧线,其单调区间一定是整个定义域。
二次函数的单调区间与函数的a值有关。
当a大于0时,函数在整个定义域内都是单调递增的;当a小于0时,函数在整个定义域内都是单调递减的。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点,也是高中数学的基础。
下面是对二次函数的最全知识点总结:一、二次函数的定义和表示:1. 定义:二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的函数,其中 a、b、c 是常数,且 a 不等于 0。
2. 一般式:二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
3.顶点式:二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k,其中(h,k)是顶点坐标。
4.描述:二次函数的图像为抛物线,开口向上或向下,对称轴为x=-b/(2a),顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
二、二次函数的图像:1.开口方向:当a大于0时,抛物线开口向上;当a小于0时,抛物线开口向下。
2.对称轴:对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线,其方程为x=-b/(2a)。
3. 零点:即二次函数与 x 轴的交点,由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。
a) 判别式:Δ = b^2 - 4ac,当Δ 大于 0 时,有两个不同实根;当Δ等于 0 时,有一个重根;当Δ 小于 0 时,无实数根。
b)零点公式:x=(-b±√Δ)/(2a)。
4.最值:当a大于0时,抛物线开口向上,最小值为顶点的纵坐标;当a小于0时,抛物线开口向下,最大值为顶点的纵坐标。
5.对称性:二次函数关于顶点对称,即f(x)=f(2h-x)。
6.平移:通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移,顶点坐标为(h,k),则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。
三、常用二次函数的性质和应用:1.单调性:当a大于0时,抛物线开口向上,函数单调递增;当a小于0时,抛物线开口向下,函数单调递减。
2.单调区间:根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。
3.奇偶性:二次函数一般是奇函数,即f(-x)=-f(x),因为二次项的系数是奇数。
4.零点个数和位置:根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数的单调性与凹凸性二次函数是高中数学中的重要内容,它的单调性与凹凸性是我们在研究二次函数图像时必须要重点关注和理解的概念。
本文将会详细讨论二次函数的单调性与凹凸性,并通过图像和严格的数学证明来展示相关的性质及应用。
一、二次函数的定义与性质回顾二次函数的一般形式可以表示为 f(x) = ax² + bx + c,其中a、b、c 为实数,且a≠0。
我们可以通过一些性质回顾来更好地理解二次函数的单调性与凹凸性。
1. 二次函数的开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定,当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。
2. 二次函数的顶点二次函数的顶点坐标可以通过顶点公式 x = -b/2a 来求得。
顶点坐标为(x_v, y_v),其中x_v = -b/2a,y_v = f(x_v)。
3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点并与二次曲线对称的一条直线,其方程可以通过对称轴公式 x = -b/2a 来确定。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质。
在讨论二次函数的单调性时,我们需要考虑系数a的正负以及函数的开口方向。
1. 当a>0时,二次函数开口向上。
此时,二次函数在定义域内单调递增。
2. 当a<0时,二次函数开口向下。
此时,二次函数在定义域内单调递减。
三、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性指的是函数在定义域内的凹凸性质。
凹凸性可以通过二次函数的二阶导数来判断。
1. 当二次函数的二阶导数大于0时,函数在该区间上为凹函数。
2. 当二次函数的二阶导数小于0时,函数在该区间上为凸函数。
3. 当二次函数的二阶导数等于0时,函数在该点可能为拐点,需要通过其他方法进一步判断。
四、单调性与凹凸性的应用单调性和凹凸性是分析二次函数图像的重要工具,它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
1. 在最优化问题中,通过研究二次函数的单调性和凹凸性,我们可以确定函数的最值点和最优解。
二次函数的最值与单调性
二次函数的最值与单调性二次函数是指拥有形如y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
本文将讨论二次函数的最值和单调性。
一、最值二次函数的最值可以通过其抛物线的开口方向来确定。
如果a > 0,抛物线开口向上,该二次函数的最小值就是它的顶点;如果a < 0,抛物线开口向下,该二次函数的最大值同样是它的顶点。
1. 最小值当二次函数的开口向上且a > 0时,我们可以通过求解顶点的坐标来得到最小值。
顶点的x坐标可以通过公式x = -b / (2a)计算得出,而对应的y值即为最小值。
举个例子,考虑函数y = x^2 + 2x + 1,通过计算可得到顶点坐标(-1, 0),因此最小值为0。
2. 最大值当二次函数的开口向下且a < 0时,同样可以通过顶点的坐标来计算最大值。
顶点的求解方式与上述相同,只是它对应的y值即为最大值。
举个例子,考虑函数y = -x^2 + 2x - 1,通过计算可得到顶点坐标(1,0),故最大值为0。
二、单调性二次函数的单调性取决于a的正负性。
当a > 0时,二次函数为增函数;当a < 0时,二次函数为减函数。
1. 增函数当二次函数的a > 0时,表示抛物线开口向上,函数呈现出向上的凸性。
这意味着随着自变量的增大,函数值也随之增大。
举个例子,考虑函数y = x^2,可以看到,随着x的增加,y的值逐渐增大。
2. 减函数当二次函数的a < 0时,表示抛物线开口向下,函数呈现出向下的凹性。
这表明随着自变量的增大,函数值会减小。
举个例子,考虑函数y = -x^2,可以观察到,随着x的增加,y的值逐渐减小。
总结:二次函数的最值和单调性可以通过抛物线的开口方向、顶点以及a 的正负性来确定。
对于最值,当抛物线开口向上时,二次函数的最小值为顶点的纵坐标;当抛物线开口向下时,二次函数的最大值同样为顶点的纵坐标。
对于单调性,当a > 0时,二次函数为增函数;当a < 0时,二次函数为减函数。
二次函数的单调性的概念
二次函数的单调性的概念二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b、c是实数且a不等于0。
在讨论二次函数的单调性之前,先简要回顾一下函数的单调性的概念。
函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体地说,如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2,当x1小于x2时,函数值f(x1)小于f(x2),则称函数在该段定义域上是递增的;当x1小于x2时,函数值f(x1)大于f(x2),则称函数在该段定义域上是递减的。
对于二次函数来说,它的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的单调性与抛物线的开口方向有关。
下面分别讨论二次函数的单调性。
首先讨论当二次函数的系数a大于0时,即抛物线开口朝上的情况。
当二次函数的系数a大于0时,其图象是一个开口朝上的抛物线。
在这种情况下,二次函数取得最小值的点是抛物线的顶点。
对于任意的x1和x2,如果x1小于x2,则f(x1)小于等于f(x2)。
也就是说,二次函数在定义域内是递增的。
这是因为抛物线开口朝上的特点导致了这种单调性。
图中抛物线越靠近顶点,斜率越小,增长速度越慢。
当x1小于x2时,x2离顶点更远,对应的函数值也更大。
因此,二次函数在抛物线顶点两侧是递增的,在整个定义域内是递增的。
但是需要注意的是,尽管二次函数整体是递增的,但抛物线的开口方向决定了函数图像在顶点处的单调性。
如果顶点是最小值点,那么函数图像在顶点处是取得最小值的点,也就是局部极小值点。
如果顶点是最大值点,那么函数图像在顶点处是取得最大值的点,也就是局部极大值点。
综上所述,二次函数在抛物线的开口朝上的情况下,在整个定义域内都是递增的,但在顶点处取得极值。
接下来讨论当二次函数的系数a小于0时,即抛物线开口朝下的情况。
当二次函数的系数a小于0时,其图象是一个开口朝下的抛物线。
同样地,在这种情况下,二次函数取得最大值的点是抛物线的顶点。
对于任意的x1和x2,如果x1小于x2,则f(x1)大于等于f(x2)。
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二次函数的单调性的应用
——执教者绍兴市职教中心陈辉10
一.教学目标说明
(1)认知目标:从数和形两个方面准确地理解二次函数的单调函数的单调性是函数的性,从而对函数的单调性有更深刻、具体的理解。
的主要性质,是函数问题的(2)能力目标:掌握、利用二次函数的单调性和对称性比较函数重点。
二次函数的单调性值大小和求值。
既是对二次函数知识的深化(3)思想方法目标:促进学生数形结合这种数学思想方法的形成。
,同时还为后续知识的学习(4)情感目标:帮助学生感受形数的和谐统一美,图形的对称美,提供基础,易于让学生理加深学生对数学美的艺术体验。
解、接受函数单调性。
二次教学重点:二次函数单调性的应用。
函数单调性、对称性较多体教学难点:二次函数图象的对称轴与增减区间的相对位置关系。
现着数形结合思想、数学思
想方法,是数学知识的精进段:是知识化为能力的桥梁,有一、复习回顾、新课引入普遍应用的意义。
通过对这
部分内容的学习,能强化
学生的数学思想方法。
回顾概念、呈现旧知识
(2)出示下图,请学生回答,如图两个二次函数的单调区间复习旧知识
(3)函数10
6
2+
-
-
=x
x
y的单调增区间是______
单调减区间是______
二、新课知识呈现,看图并由学生回答,教师补充
从上述题目中可以得出,二次函数的单调区间是以对称轴来划分新知识的引入
的,当0
>
a时,在对称轴的左侧,函数单调减
在对称轴的右侧,函数单调增
当0
<
a时,则反之
x
2
x
三、例题讲解 新课呈现:
例1:已知()7622
+--=x x x f ,则( ) 本课第一个知识点,如何利用二次函
A 、)219()2111(->-f f
B 、)219()2111(-<-f f 数的单调性比较几个函数值的大小。
C 、)2
1
9()2111(-=-f f D 、无法确定 例1起点低,学生易于理解,可由学
分析:所要比较的两个函数值在同一单调区间,直接运 生在教师启发下,画出二次函数草图 用二次函数的增减性可得。
,由二次函数的单调性可得。
例2:若函数c x x x f +-=4)(2
,那么( ) 例2
A 、)4()1()2(f f f <<
B 、)4()2()1(f f f << 数单调性相结合。
C 、)1()4()2(f f f <<
D 、)1()2()4(f f f << 多媒体的演示富有直观性 分析:所要比较的三个函数值不在同一单调区间,可以 考虑运用二次函数的对称性,)3()1(f f =,则可用二 次函数单调性进行比较。
本课第二个知识点:抛物线的对称性
例3:已知函数,2)1(2)(2
+-+=x m x x f 当[)∞∈,4x 与单调区间的相对位置关系
时是增函数,当(]4,∞-∈x 时是减函数,则求m 的值。
例3:条件充分,结论显而易见, 分析:由题意知412
)
1(2=-=--
=m m x 若削弱条件,则成例4。
3-=m 例4:学生容易理解二次函数的单
例4:已知函数2)1(2)(2
+-+=x m x x f 在区间)4,(-∞调性是以对称轴为出发点来考虑,但
上是减函数,求实数m 往往把对称轴局限于直线4=x ,教 学时通过多媒体直观形象的演示,拓 宽学生思维而帮助学生感悟到解题
时应考虑对称轴相对于区间的不同
位置。
四、巩固练习 学生练习: (1)已知二次函数32)(2
-+=x x x f ,则)2
(),(π
π-
-f f ,)0(f 教师提问、指点,并由学
之间大小关系是____________________________ 生回答。
(2)已知2)1(2)(2
+-+=x m x x f 在区间[)+∞,4是增函数,求m
的取值范围。
x
~
五、归纳小结
(1)要比较不同区间上的几个函数值的大小,应利用二次函数的对称 师生共同归纳 性,转化同一单调区间,再运用单调性来判断。
(2)二次函数的对称轴与增减区间的相对位置关系,值得注意。
(3)函数图象形象地显示函数性质,为研究数量关系问题提供了“形” 的直观性,是探求解题途径获得问题结果的重要工具,应当注意数 列结合解题的思想方法。
六、作业布置:
1、抛物线)0()(2
<++=a c bx ax x f 的对称轴为2=x ,则下列判断正确的是( )
A 、)3()1(f f ≠
B 、)3()1(f f >
C 、)4()1(f f <
D 、)4()1(f f > 2、若函数)0()(2
>++=a c bx ax x f 满足)1()4(f f =则( )
A 、)5()0(f f >
B 、)1()2(f f >
C 、)4()3(f f <
D 、)3()2(f f > 3、54)(2
+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数,求m 的范围。
4、若函数5)1(2
+--=x a x y 在区间)1,2
1(上是增函数,求a 的取值范围。