定积分的直接积分法
定积分的算法及其特殊形式
定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。
本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。
一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。
1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。
该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。
该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。
2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。
它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。
常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。
例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。
例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。
例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。
1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。
例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。
方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。
2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
定积分计算法则
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
定积分的积分法
a
f (x)dx
-a
0
例3 （1）1 x3 ex2 dx -1 被积函数是奇函数 0
（2）2 cos 4xdx -2
被积函数是偶函数
2
2
cos 4xdx
0
二、定积分的分部积分法
定理2 设函数 u(x)，v(x)在区间a,b上具有连续
导数 u(x),v '(x)，则有定积分的分部积分公式
高等数学之——
6.3.1定积分法
第六章 定积分 第三节 定积分法
一. 定积分换元法 二. 定积分的分部积分法
一、定积分的换元积分法
例1
计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0, x 0 t 1,
b
bb
a udv (uv) a a vdu
2
例4 求 x ln xdx 1
解
原式=
1 2
2
ln xd
1
x2
= 1 x2 ln x 2 1 2 x2d ln x
2
1 21
=2ln 2 1
2
xdx
21
=2 ln 2 1 x2 2 41
=2 ln 法
b
a
f ( x)dx
f [ (t)](t)dt
定积分的分部积分公式
b
bb
a udv (uv) a a vdu
2
2 0
cos5
x sin xdx
0 1
t
5dt
-
t6 6
1 0 . 16
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。
本文将总结几种常见的定积分计算方法。
1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。
通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。
但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。
该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。
常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。
换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。
例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。
3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。
通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。
该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。
4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。
例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。
5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。
例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。
通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。
6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。
当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。
直接积分法 模态法
直接积分法模态法
直接积分法和模态法都是在工程领域中常用的方法，它们分别用于解决不同类型的问题。
直接积分法是一种求解定积分的方法。
在实际应用中，我们通常需要计算某个函数在某个区间内的积分值，如计算某个物体的质量、体积、重心位置等。
直接积分法就是通过将被积函数的原函数求出来，然后计算原函数在积分区间两个端点处的函数值之差，即可得到积分值。
直接积分法的优点是计算简单、直观，但它只适用于一些简单的函数积分，对于复杂的函数积分则需要使用其他方法。
模态法是一种求解振动模态的方法。
在机械工程、结构工程等领域中，我们通常需要研究物体的振动特性，如振动频率、振幅等。
模态法就是通过将物体的振动方程解出来，得到物体的振动模态，进而分析物体的振动特性。
模态法的优点是可以准确地求解物体的振动特性，但它需要对物体的振动方程进行分析和求解，计算比较复杂。
直接积分法和模态法都是工程领域中常用的方法，它们各自解决不同类型的问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行计算和分析。
几种求定积分的方法
面的尽量配成复合函数的自变量形式，然后把 d 后面的式子进行
［F（x）］ba 。
换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
由上式可知，想求定积分，先要求不定积分，然后再代值作 差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：
（一）直接积分法 直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行
（1）当含有 姨a2-x2 时，可令 x=asint
（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分
（2）当含有 姨x2+a2 时，可令 x=atant
时，可以先把其中比较简单的一个积分积到 d 后面，然后把 d 后 面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
（3）当含有 姨x2-a2 时，可令 x=asect 以上三种变换叫做三角代换。
的形式，也可以用分部积分法。
定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积
乙 乙 分部积分公式： udv=uv- vdu。它的作用在于：把比较难求 分的几何意义。
乙 乙 的 udv 化为比较容易求的 vdu 来计算，可化难为易。
乙a
例 7.求 姨a2-x2 dx（a＞0） 0
分部积分的解题步骤：
关键词：定积分；不定积分；牛顿—莱布尼兹公式；数形结合思想
一、用牛顿—莱布尼兹公式求定积分 牛顿-莱布尼兹定理：函数 （f x）在闭区间［a，b］上连续，F（x）是
乙b
（f x）的任一个原函数，则有 （f x）dx=F（b）-F（a）。 a 上式叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式。该
式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处的差。
乙b
为计算方便，上述公式常采用这样的格式 （f x）dx=F（x）│ba = a
定积分的积分法
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
定积分概念及牛顿莱布尼茨公式 ppt课件
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
在区间
上的定积分,
记作
b
a
f
(x)
dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(i
)
xi
o
a x1
i
x xi1xi b
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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21
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
定积分与不定积分的计算方法
添加标题
定义：牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分之间的联系公式，表示定积分等于不定积分的一个 原函数在积分上下限之间的差值。
添加标题
公式形式：∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中∫baf(x)dx表示定积分，F(x)是f(x)的一个原函数，F(b) 和F(a)分别是F(x)在b和a处的函数值。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不 定积分计算新变量的积分； c. 将新变量的积分还原为原变量的积分。
a. 确定中间变量，并写出相应的等价变换； b. 利用不定积分计算新变量的积分； c. 将新基础方法 之一，对于掌握不定积分的计算具 有重要意义。
定积分的计算方法
第二章
直接积分法
定义：直接积 分法是通过直 接计算积分来 求解定积分的
方法。
适用范围：适 用于被积函数 容易积分的情
况。
计算步骤：首 先将被积函数 进行不定积分， 然后利用不定 积分与定积分 的联系，求出 定积分的值。
添加标题
应用范围：牛顿-莱布尼茨公式适用于任何在区间[a,b]上连续的函数f(x)，只要该函数有一个原函 数。
添加标题
意义：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的基本公式之一，它建立了定积分与不定积分之间的联系， 使得定积分的计算可以通过求不定积分的方法来解决。
定积分与不定积分的转换关系
定积分与不定积分都是微积分的基本概念，它们之间存在密切的联系。 不定积分是求函数的原函数或反导数的过程，而定积分则是计算某一区间上函数的积分值。 定积分与不定积分之间可以通过微积分基本定理相互转换。 微积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，通过不定积分可以计算定积分，反之亦然。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。
!定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。
基本积分公式和直接积分法
2
dx
x arctan x C
例3 计算 tan2 xdx 解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C
例4
计算
cos2
x dx 2
解
cos2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
dx cosdx
1 ( x sin x) C
7
作业: 习题4.2
8
2
6
三、小结
1、基本积分公式 由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分
公式是与基本微分公式对应的积分公式。 在基本微分公式较熟 悉的前提下，基本积分公式是不难记住的。
2、直接积分法 用直接积分法求不定积分时，需先对被积函数作代数恒 等变形（如例1，例2等）或三角恒等变形（如例3，例4等）， 然后再利用不定积分的基本运算法则，化为能直接用基本积分 公式求不定积分的形式，而后求出积分。这里灵活地对被积函 数进行恒等变形是很重要的。
定理1 两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分 的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 因为
f ( x)dx
g( x)dx
Байду номын сангаас
f
( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x)
故由不定积分的定义即知定理1成立。类似地，可以证明
定理2 非零常数因子可以提到积分号前面，即
4.2 基本积分公式和直接积分法
主要内容: 1.基本积分公式 2.直接积分法
1
一、基本积分公式
1) 0dx C
3)
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
3.3-直接积分法
4. 求解定积分只要求出一个原函数（不要加 c），再把上下限代入即可.
（1） 0dx C ；
（2） kdx kx C (k为常数) ；
（3）
x dx 1 x 1 C
1
( 1) ；
（4） axdx 1 ax C ； ln a
（5） exdx ex C ；
（6）
1 x
dx
ln
|
x
|
C
；
（7） cos xdx sin x C ；
（8）sin xdx cos x C ；
解 原式 x3dx xdx 4dx
1 x4 1 x2 4x C 42
例3.3.2 求不定积分 (2x 2sin x 2x x)dx . 3
解 原式 2xdx 2sin xdx 2x2dx
2x 2cos x 4 x2 x C
ln 2
5
解题熟练后可不用和差性质，直接求积分.
3.3 直接积分法
不定积分与导数的关系：
( f (x)dx) f (x) 或 d( f (x)dx) f (x)dx ；
f (x)dx f (x) C或 df (x) f (x) C .
显然微分运算与积分运算是互逆运算，先 积后微，形式不变；先微后积，多一常数.
不定积分的一组公式（14个基本公式）：
1 x
2
dx
arctan
x
C
arc
cot
x
C
；
不定积分运算性质： 性质1 （和差性质）
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx ;
性质2 （数乘性质）
cf (x)dx c f (x)dx （c为常数）。
定积分常用的计算方法
定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。
1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。
比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。
1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。
有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。
像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。
二、换元积分法。
2.1 这是个很巧妙的方法。
当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。
比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。
这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。
2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。
要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。
2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。
这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。
三、分部积分法。
3.1 分部积分法也很有用。
公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。
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p( x )
o
a
x
b x
定理6.1
上限函数 p x a f t dt 在 a, b 可导，
x
若 f x 在 a, b 上连续，则积分
且 p' x f x
a x b
.
d x 或者: f t dt f x a dx
定理6.2
三、微积分基本公式
1.定理3
间 a, b上的一个原函数，则
b
若函数 F x 是连续函数 f x 在区
a f x dx F b F a
该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式.
2.说明
(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
f x 在积分区间 a, b上必须连续，若不满足
例7
2 ( x 2 1)dx
3
解
2 ( x 1)dx
2 3 3 x3 3 2 ( x) |3 ( 3) ( 2) 2 3 3 3 2 1 6 5 3 3
3
例 8：已知
1 0
(2 x k )dx 2 ，求 k 的值．
解：
2 1 ( 2 x k ) dx ( x kx ) | 0 0 1 k 2
同学练习1
1
d 1 sin t cos t dt dx x d x tan t dt dx 0
2
2
3
x
x3
2
1 dt 4 1 t
练习答案
2. 求 解
d x tan tdt 0 dx
2
由法则2得
d x 2 2 2 tan t dt tan x x 2 x tan x dx 0
例3：
d x sin tdt 0 dx
2
d x x f t dt f x 结论2： x dx
0
例4：
d x sin tdt x dx
2
结论3：
d x f t dt f x x f x x dx x
例
e dt 求 lim cos x 2
t 2 x 0
1
x
0 “” 解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法 0 1 t cos x t ex dt＝－1 e dt 则计算，分子为 cos
2 2
cos x t d cos x cos x 1 e dt e cos x e sin x dx
分上限函数 p x a f t dt 是 f x 在区间
x
若函数 f x 在 a, b上连续，则积
a, b 上的一个原函数.
例1：
d x 2t e dt a dx
例2：
d 1 2 cos tdt x dx
d a 结论1： x f t dt f x dx
x
解
当 0 x 1 时，
x 0 f t dt 0 t dt
x x 2
1 3 1 3 t x 3 0 3
x
当1 x 2 时，
x 0 f t dt
x
0 f t dt 1 f t dt
1 x
0 t dt 1 tdt
1 3 1 2 1 2 1 t t x 6 3 0 2 1 2
1 x
1 2
x
1 x 3 ,0 x 1, 3 所以， x 1 x 2 1 ,1 x 2 2 6
由例7，例8，例9可见，若被积函数在积分区 间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间 上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在 积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数 在各积分区间上的连续性或非负性.
条件，不能使用公式. (2)微积分基本公式揭示了定积分与不定积分 之间的关系.
3.例题
例5 解 求
0 x dx
2
1
1 1 3 1 0 x dx 3 x 3 0 3 0
1 2
1
例6Biblioteka 求244
1 dx x
解
1 4 2 xdx ln x 2 ln 4 ln 2 ln 2
2 2 3 2 3
解
同学练习2
x0 2 x , 1． 已知 f ( x) 2 ， 3x 1, x 0
求
2 1
f ( x)dx ．
x ,0 x 1 例8(*) 设 f x ， x,1 x 2
2
求 x 0 f t dt ，在 0,2 上的表达式.
1
同学练习1
1．求定积分
1 0
( x 2 2 x)dx ．
2. 已知 (2 x 1) dx 4 ，求 a 的值．
1
a
例9
求
3
分段函数定积分
1| 2 x |dx
1| 2 x |dx 1 (2 x)dx 2 ( x 2)dx
x 2 x 3 (2 x ) |1 ( 2 x) |2 2 2 5 3 2 ( ) 2 5 2 2
第二节 微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数
1.积分上限函数
且 x a , b ，则 均有唯一的数
设 f t 在区间a , b 上连续，
x
x 存在，如积分上限 f t dt a 在 a , b上任意变动，那么对于每一取定的 x 值，
x x
a f t dt 与之对应，所以 a f t dt 是一个定义在 a , b上的关于 x 的函数，记为 x f t dt a x b
x a
定积分
变上限积分
a f x dx
b
px a f t dt
x
几何意义 变上限积分函数 p x 在几何上表 示为右端线可以变动的曲边梯形的面积.
2
例 求
lim
x 0
x
0
sin t 2 dt x3
0 “” 解 这是一个 型未定式，可利用洛必达法 0 x
则计算，分子为
0
sin t 2 dt
d x 2 2 sin t dt sin x dx 0
因此
lim
x 0
x
0
sin t 2 dt x3
sin x 2 1 lim 2 x 0 3 x 3
2 2 2
因此
e lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
x
lim
x 0
e
cos 2 x
sin x 1 2x 2e
同学练习2
1.
1 0 1 t dt lim x x
x
t
2.
e lim
x 0
1
t 2
cos x
dt
x2
定积分的直接积分法