定积分的第二换元法

x x4
dx

1
1
x
2
dx

0

x3 3
|1
1

2 3
练习2 计算

2

cos
xx
5

sin
4
x

1.dx
2
练习2 答案

计算
2

cos
xx5

sin
4
x

1.dx
2

解
2

cos
xx5

sin
4
x

1dx
2


2
2
x5

cos x sin 奇函数
4
x
§6.5 定积分的第二换元法
一、第二换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
例1：求积分
81
0 1 3
dx x
解: 令
3 x t ， x t3 ， dx 3t2dt
原式=
2
0 1
1
t

3t
2dx

3 2 0
(t
2
1 1 t
1)dx

3 2 0
(t
1

1
1
t
)dx
则有
b
a
f

x
dx



f

t

t
dt
--------------定积分第二换元法
练习：
4 x dx
0 2x 1
结论：
如果
f
(x)
是偶函数，则 a a
f
xdx

2 a 0
f
(x)dt
；
如果
f
(x)
a
是奇函数，则 a
f
xdx
Байду номын сангаас
0
（两个特征：积分区间对称，奇函数）；
3(t 2 t ln |1 t |)|2 3ln 3
2
0
设函数 f (x) 在[a,b] 上连续,令 x (t) ,如果：
（1） x (t) 在[ , ] 上有连续导数 '(t) ；
（2）当 t 从 变化到 时， x (t)
从 a 单调地变到 b ，
例 2：
1 1
x5 x2 1
dx

，
1 (x5 ln x2 x2 ) dx 1
例 3：设 f (x) 在区间a , a 上连续，
则 a x2 f (x) f (x)dx a
例4：
1 x 1 1 x4

x2

dx
解：原式=
1
1 1
dx


2
2
cos x 偶函数
dx


0


2 2 0
cos
xdx

2sin
x2 0

2