定积分的第二换元法
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
第二类换元法
x 1 2
目录
C
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2. 求不定积分
2sin x cos x 1 sin x dx 2 2 sin x
2
解： 利用 凑微分法, 得 原式 =
1 sin 2 x 2 2 sin x
d(1 sin x )
2
令 t 1 sin2 x
2t 2 1 d t 2 (1 )d t 2 2 1 t 1 t
2 2 ,
), 则
x 2 a 2 a 2 tan2 t a 2 a sec t
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 t
a sec t
d t sec t d t
ln sec t tan t C1
x2 a2 x ) ln( a a
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例17.求
解:令 x a sin t , t (
a 2 x 2 dx (a 0)
,
a x dx a cos t d t t 2 2 ∴ 原式 a cos t a cos t d t a cos t d t 2 2 a x t sin 2t 2 a C 2 4 x a2 x2 sin 2t 2sin t cos t 2 a a x 1 a2 2 2 arcsin x a x C a 2 2
2)
2x 3 1 2 x x2
2 3 x 1 C 3 (2 2 x ) 5 dx dx 2
1 2x x
d(1 2 x x 2 ) 1 2 x x2
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
定积分的换元积分法和分部积分法
a f (x)dx 2 a f (x)dx ．
a
0
（2）若 f (x) 为奇函数，则 f (x) f (x) 0 ，从而得到
a f (x)dx 0 ． a
1.1 换元积分法
例 6 若 f (x) 在[0，1] 上连续，证明：
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ；
2
2
t 1．
于是
2
cos
x sin
xdx
1
1 dt 1
2 dt
0 1 cos 2 x
2 2t 21 t
1 2
[ln
t
]12
1 2
ln 2 ．
1.1 换元积分法
例4
解
计算 sin3 x sin5 xdx ．
0
sin3 x sin5 xdx
3
sin 2 x | cos x | dx
0
0
（2）
xf (sin x)dx
0
2
f (sin x)dx ，并由此计算
0
0
x 1
sin x cos2
x
dx
的值．
证明 （1）令 x t ，则 dx dt ．当 x 0 时，t ；当 x 时，t 0 ．因
2
2
2
而有
2 0
f (sin x)dx
0 2
f
0
0
3
2 sin 2 xd sin x
0
3
sin 2
xd sin
x
．
2
2 5
sin
5 2
2 x 0
2 5
sin
5 2
x
02-109、定积分第二类换元法
f
( x) ] dx
令 x = −t
f (−x) = f (x)时
=
f (−x) = − f (x)时
∫ 例8
计算
1
2x2 + x cos x dx.
−1 1 + 1 − x2
∫ ∫ 1
解 原式 =
2x2
1
dx +
x cos x dx
−1 1 + 1 − x2
−1 1 + 1 − x2
偶函数
奇函数
23
1
例7.
偶倍奇零
(1) 若
∫则 a −a
f
( x) dx
=
∫a
2
0
f
( x) dx
(2) 若
∫则 a f (x) dx = 0 −a
∫ ∫ ∫ 证:
a f (x) dx =
0 f (x) dx +
a
f (x)dx
−a
−a
0
=
∫a 0
f
(−t) d t
+
∫a 0
f
( x) dx
=
∫a
[
0
f
(−x) +
4
π
∫ = n 2 sin t dt 0
∫ = n 2 π sin t dt = 2 2 n 0
∫ 解: (1) 记 Φ (a) = a+T f (x) dx, 则 a Φ ′(a) = f (a + T ) − f (a) = 0
可见Φ (a)与a无关，因此Φ (a) = Φ (0), 即
并由此计算
∫ nπ 1+ sin 2x dx 0
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
2 换元积分法
∫ 1+ x
dx = arctan x + C ,
∫a
1
2
+x
2
dx =
=
1 1 x d( ) dx = x 2 a 1+ ( x )2 a 2 a [1 + ( ) ] a a
1
∫
1 x arctan + C. a a
x (20) = arcsin + C. 类似地， 类似地，还可得到 ∫ 2 a a − x2
4
3x3
解
sin t (1)∫ dt = 2∫ sin t d t = −2 cos t + C t
(2)∫ tan xdx = sin x dx = − d cos x = − ln cos x + C ∫ cos x ∫ cos x
1 (3)∫ tan x sec xdx = ∫ tan xd tan x = tan11 x + C 11
再把u = 2x代回，得 1 1 sin u + C = sin 2x + C. 2 2
综合上述分析，此题的正确解法如下： 综合上述分析，此题的正确解法如下：
求∫ cos2xdx.
1 u 解 令 = 2x, 得du = 2dx, 得dx = du，则有 2 1 ∫ cos2xdx = 2 ∫ cosudu
1 = [ln( + sin x) − ln(1 − sin x)] + C 1 2
= ln| secx + tanx | +C
类似地， 类似地，还可得到
∫ csc x d x = ln csc x − cot x + C
例8 求下列不定积分
定积分的换元法
dt sin xdx ,
x t 0, 2
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
例2
计算 0
sin 3 x sin 5 xdx .
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin 5 x cos x sin x
5、 2 2 ；
17 8 当 0 时 9、 ； 10、 , 2 ； 当0 2 4 3 8 8 3 2 时, 2 ； 当 时, 2 . 3 3 3 1 三、 1 ln( 1 e ) . 六、 2.
3 6、 ； 2
7、 ； 4
8、 ； 8
2
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
由此计算
2 0
x sin sin x sinx x . dx dx dx 2 2 sin x cos 1 cos x x 2 0 1 cos x
1 d (cos x ) arctan(cos x ) 0 2 0 2 2 1 cos x
2 0 2
( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ；
8、 max{ x , x 3 }dx ； 9、 x x dx
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
第二类换元法
2 2
dx 例12： ∫ 1 + e x
指数代换
解: 令 e x = t , x = ln t
1 1 d ln t dt = ∫( − )dt =∫ 原式= ∫ t 1+ t t (1 + t ) 1+ t
= ln t − ln(1 + t )
= x− ln(1 + e x ) + C
x −a a
2
2
x
x −a
2
2
t
a
2
+ C1 +C
= ln x + x − a
2
(C = C1 − ln a )
当x < − a 时 , 令 x = − u , 则 u > a , 于是
∫
dx
x2 − a2
= −∫
du
u2 − a2
= − ln u + u 2 − a 2 + C1
= − ln − x + x 2 − a 2 + C1 = − ln
a2
− x − x2 − a2
2 2
+ C1
= ln x + x − a
x > a 时， ∫
+ C (C = C1 − 2 ln a )
2 2
dx
x −a
2 2
= ln x + x − a
+C
倒代换 分母次数较高时 dx 例10. ∫ 7 x( x + 2) 1 解: 令 t = x 1 d t 6 dt 1 d (1 + 2t 7 ) t =− ∫ = −∫ 原式= ∫ 7 14 1 + 2t 7 1 + 2t 1 1 ( 7 + 2) t t
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
43第2类换元积分法
17
二、小结
两类积分换元法：
（一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换
基本积分表(2)
作业：p129 3（10）（15）（19）
18
练习题
三、 求下列不定积分：
1、 x
dx ； 1 x2
3、
1
dx 2
x
；
二、 求下列不定积分：
1、
a
x dx
；
a x
2、
x
ln
x
dx ln (
分 (20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C;
(21)
表
x2
1
a2 dx
1 2a
ln |
x x
a a
|
C;
(22)
(2)
(23)
a2
1
x2 dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C;
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(24)
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 sec
t
a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
第二换元积分法
第二换元积分法第二换元积分法是一种求解复杂积分计算的有效方法，它将复杂的定积分表示成由多个简单的积分相加或相减而得出。
它可以简化复杂的积分计算，并且具有良好的计算结果。
第二换元法最初由德国数学家冯诺依曼（Friedrich Wilhelm von Nuemann）提出。
第二换元法的基本原理是把一个复杂的定积分改写成多个简单积分的和，或者说改变积分的自变量，从而得到一个更简单的积分。
例如，当在实际应用中发现存在积分难以求解时，可以通过第二换元积分法将该积分改写为两个或更多简单积分的和，从而轻松求解。
举例来说，考虑定积分：∫xdx如果然后使用第二换元积分法，可以将其转换为：∫udu +∫v dv其中：u = x，v = x。
现在，求解此积分的容易方法是将它写成两个简单定积分：∫udu = 1/2u2 + c1∫vdv = 1/2v2 + c2最后，第二换元积分法的结果将是：∫xdx = 1/2(u2 + v2) + c1 + c2同样，可以将任何复杂的定积分改写为多个简单定积分，从而使求解变得更加容易。
第二换元积分法也可以用于不同类型的积分，包括权函数积分、综合积分和反向积分等。
例如，如果要解决一个权函数积分，那么可以用第二换元积分法将它改写为多个简单的权函数积分之和，从而得到最终的结果。
此外，第二换元积分法还可用于积分变换，如果一个较复杂的积分改变到比较简单的形式，那么就可以使用第二换元积分法求解该积分从而把复杂的积分转换成比较简单的形式，以便求解。
综上所述，第二换元积分法是一种有效的求解复杂积分计算的方法，能够简化复杂的积分计算，并且具有良好的计算结果。
它可以用于求解各种不同类型的积分，以及积分变换，从而使积分求解变得更加容易。
由此可见，第二换元积分法在计算复杂积分计算中具有重要的作用，在求解数学问题时具有重要意义。
换元积分法(2)
3.1.2换元积分法(2) ——第二类换元法
第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx f (u )d u u ( x)
难求 易求
若所求积分 f (u )d u 难求，
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
问题
dx
f ( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) [ f ( x)]
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
小结 常用简化技巧:
5 2 x 1 x dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程
令 x sin t dx cos tdt ,
第二类换元法(变量替换法）
第二类换元法解题思路： 先引入新的积分变量，将被积函数变 为容易积分的式子。 难点：如何确定要引入什么新积分变量呢？
（一）简单根式代换
习
题
dx 1 3 x 2
解 令t 3 x2
dx 1 3 x 2
则x t 3 2
3
2 3 t dt d (t 2) 1 t 1 t t 2 1 1dt 1 3 3 [(t 1) ]dt 1 t 1 t 3 2 t 3t 3ln | t 1| C 2 33 ( x 2) 2 3 3 x 2 3ln | 3 x 2 1| C 2
说明
当被积函数含有两种或两种以上的 根式 k x ,, l x 时，可采用令 x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数）
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
定积分换元法
0
令x 2sin t , 则dx 2 cos tdt , 4 x 2 2 cos t ;
t=0 ,
x=2 t=/2. 于是
2
2
x 2 4 x 2 dx 2
2
2
0
16sin 2 t cos 2 tdt 8
2 0
2
sin 2 2tdt
0
4
0
1 (1 cos 4t )dt 4(t sin 4t ) 4
2 2
2
0
sin 2tdt 4
2
2
0
1 cos 4t dt 2
1 2 2 (1 cos 4t )dt 2(t sin 4t ) 0 4
2 0
定积分换元积分法
7(5)
1
0
(1 x 2 ) dx 令x tant，则 dx sec tdt
2
3 2
且x 0 t 0； x 1 t
dx a cos tdt , x 0 t 0,
dt
d (sin t cos t ) sin t cos t
0
2
a sin t a 2 (1 sin 2 t )
0
cos t 1 dt 2 sin t cos t
2
0
cos t sin t 1 sin t cos t dt
4
4 4 （ 1 tan2 t） sec 2 tdt （ sec 2 t） sec 2 tdt 0 0