概率的统计定义 - 360文档中心

概率统计基础知识--简略版

（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
2016/4/16
中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

概率与统计的基本概念及计算方法

概率与统计的基本概念及计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有着广泛的应用。

概率与统计的基本概念及计算方法是我们理解和运用这两个概念的基础。

本文将从概率与统计的基本概念入手，深入探讨其计算方法，并结合实际案例进行说明。

一、概率的基本概念概率是研究随机现象的可能性的数学工具。

它描述了某一事件发生的可能性大小。

概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的定义。

样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。

例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是样本空间的一个子集，它表示我们感兴趣的结果。

例如，掷一枚骰子得到奇数的事件可以表示为{1, 3, 5}。

概率的定义是指一个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

计算概率的方法有频率法和古典概型法。

频率法是通过实验的频率来估计概率。

例如，我们可以通过多次掷骰子的实验，统计出掷出奇数的频率，从而估计出掷出奇数的概率。

古典概型法是指在样本空间中，每个结果发生的可能性相等。

例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的可能性相等，所以每个数字的概率为1/6。

二、统计的基本概念统计是研究数据的收集、分析和解释的一门学科。

它通过对一定数量的数据进行分析，推断出总体的特征。

统计的基本概念包括总体和样本、参数和统计量、抽样和抽样误差。

总体是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体。

例如，我们想研究全国人口的平均身高，那么全国所有人口就是我们的总体。

样本是从总体中选取的一部分个体，它是总体的一个子集。

参数是用来描述总体特征的数值，例如总体的平均值、方差等。

统计量是用来描述样本特征的数值，例如样本的平均值、方差等。

抽样是从总体中选取样本的过程。

为了保证抽样的公正性和代表性，我们通常采用随机抽样的方法。

抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。

由于样本是从总体中选取的一部分，所以样本统计量与总体参数之间存在一定的误差。

简述概率的统计定义

简述概率的统计定义概率是统计学中的一个重要概念，它是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值。

在统计学中，概率是指一个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。

统计学中的概率可以通过频率来估计。

频率是指在一系列重复的独立试验中，某个特定结果出现的次数与试验总次数之比。

例如，如果我们想要计算抛掷一枚硬币正面朝上的概率，我们可以进行多次试验，记录正面朝上的次数，然后将正面朝上的次数除以总的试验次数。

当试验次数趋近于无穷大时，频率将逐渐接近真实概率。

概率的统计定义可以通过大数定律来解释。

根据大数定律，当试验次数足够大时，频率将趋近于真实概率。

这意味着通过多次重复试验，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。

因此，通过统计实验的结果，我们可以得到概率的统计定义。

在实际应用中，概率的统计定义被广泛用于估计和预测。

例如，在医学研究中，研究人员可以通过对大量患者进行观察和统计，来估计某种疾病的患病率。

在金融领域，投资者可以通过分析过去的股市数据，来预测未来的股票价格变动。

这些都是基于概率的统计定义来进行的。

除了频率法外，还有其他方法来计算概率。

例如，基于概率论的方法可以使用数学模型来计算概率。

概率论是一门数学分支，它研究了随机事件的概率和统计规律。

基于概率论的方法可以更加准确地计算概率，但通常需要更多的数学知识和计算能力。

概率是统计学中的一个重要概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。

概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。

通过频率和大数定律，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。

概率的统计定义在实际应用中有着广泛的应用，可以用于估计和预测。

除了频率法外，还可以使用基于概率论的方法来计算概率。

无论是哪种方法，概率的统计定义都是统计学中不可或缺的内容。

概率论与数理统计-基础知识

P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
并且要推测“原因”时，一般使用逆概公式。
贝叶斯公式: P( A j | B) P( Aj ) P( B | A j ) ( P( B) 0) n （逆概公式） P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A ,B相互独立.
总结： X~ B(1,p) B(n,p) P() U(a,b) EX p np (a+b)/2
DX p(1-p) np(1-p)Biblioteka (a-b)2/12 2
方差的性质 1.设C是常数，则 D(C)=0. 2.设C是常数，则 D(CX)=C2D(X). 3.设X,Y为随机变量，则 D(XY)=D(X)+D(Y)2E[(X－EX)(Y － EY)] =D(X)+D(Y)2[E(XY)－E(X)E(Y) ]. 特别：(1)若Y为常数b，则 D(X+b)=D(X) (2)若X,Y相互独立，则 D(XY)=D(X)+D(Y). 推广：若X1,X2, … ,Xn 相互独立,则有 D(X1X2… Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)
3.泊松分布：P(X=k)=ke-/k!,(k=0,1,…),记作P()
分布函数设 X 是一个随机变量，x 是任意实数,函数 F(x)= P(X≤x) 称为 X 的分布函数，也记作FX(x). 分布函数的性质
1. 0≤F(x)≤1; 3. F(x)是单调不减的;
2. F(－∞)=0,F(+∞)=1 ;
随机事件间的关系 1.包含：AB(B发生则A发生) 2.相等：A=B(B发生当且仅当A发生) 3.和(并)事件：AB(A、B至少发生一个) 4.积(交)事件：AB(A、B都发生) 5.差事件：A-B=A-AB=AB 6.互斥事件（互不相容）：AB= 7.对立事件：AB=,AB=,此时A=B,B=A. 8.完备事件组：样本空间的一个划分。

概率论 2概率的统计定义、古典概型

个。
• 例８从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。掷骰子一颗，观察其点数。掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点：（1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。（2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。满足这些条件的数学模型称作古典概率。

概率论与数理统计总结1

三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件）：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中，常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,，另一个事件 A 发生的概率。在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ，事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n

概率论与统计1-3 随机事件的概率

基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日房，N=365天) ( 或月房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为

概率统计知识点

一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。

设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。

高中数学概率与统计知识点

高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。

2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。

3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。

例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。

而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。

对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。

2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。

5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。

相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。

2)必然事件与任何事件都是相互独立的。

3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。

6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。

如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。

概率论与数理统计1.3

( N )n N! P ( A) n n N N ( N n)!
旅客车站
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.
( 7 )7 7 ! P ( A) 7 7 7 7
车祸天
例设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求：恰有2件是次品被抽出的概率. A 解法一：设样本点为从100件产品抽出3件的组合次品 5 件 M件 100 总数： 3 正品 95 件件 N-M 计算A的样本点数分两步：从5件次品中抽出2件，
1 . 2
n 的增大稳定于
实验结果与主观一致!
例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的
数量和性别统计年份 1972 1974 1975 1977 1978 1979 总计
实验结果与主观不一致!
2883 2087 2039 1883 2177 2138 13207 2661 1976 1874 1787 2073 1917 12288 0.5200 0.5137 0.5211 0.5131 0.5122 0.5273 0.5180
P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)
( n)r n! P ( A) r r n n ( n r )!
例（生日问题）假定每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有 n 个人（ n 365 ），问此 n 个人中至少有两人生日在同一天的概率为多少？
解： A 表示至少有两人生日在同一天设则 A 表示每个人的生日全不相同
概率的单调性
推论 P(AB) = P(A)P(AB).
A
B
B

概率与统计的基本概念

概率与统计的基本概念概率和统计是数学中两个重要的分支，它们研究了事件发生的可能性，以及对收集的数据进行分析与解释。

本文将介绍概率和统计的基本概念及其应用。

一、概率的基本概念概率是研究随机现象发生可能性的数学工具。

在概率理论中，我们通过定义事件发生的概率来描述事件的可能性大小。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，而1表示必然事件。

1.1 事件与样本空间在概率理论中，我们将随机试验的每个结果称为事件。

事件的全体称为样本空间，通常用S来表示。

样本空间是所有可能结果的集合。

1.2 频率与概率频率指的是在大量试验中某一事件发生的次数与试验总次数之比。

频率可以作为概率的近似值，当试验次数趋于无穷时，频率逐渐接近概率。

1.3 古典概型与几何概型古典概型适用于有限个数的等可能结果，例如抛硬币、掷骰子等。

几何概型适用于连续性随机试验，例如测量长度、体重等。

二、统计的基本概念统计是研究数据收集、分析、解释及推断的学科。

统计学将数据分为总体和样本，并通过对样本数据的分析来对总体进行推断。

2.1 总体与样本总体是指我们要研究和分析的对象的全体，通常用大写字母N来表示。

样本则是从总体中选取出的一部分个体或观察值，通常使用小写字母n来表示。

2.2 参数与统计量参数是总体的数值特征，统计量是样本的数值特征。

我们通过样本统计量对总体参数进行估计。

例如，总体均值μ可以通过样本均值x 来估计。

2.3 描述统计与推断统计描述统计是通过对已有数据进行整理、归纳和概括来研究数据的分布、中心趋势和离散程度等特征。

推断统计是通过样本数据对总体进行推断，包括参数估计和假设检验等方法。

三、概率与统计的应用领域概率和统计作为数学工具，在各个领域均有广泛的应用。

3.1 自然科学领域概率和统计在自然科学中的应用非常广泛。

例如，在物理学中，我们通过概率与统计分析原子核衰变的规律；在生物学中，我们可以通过统计方法分析生态系统的平衡状态等。

3.2 社会科学领域概率和统计在社会科学中也有重要的应用。

概率统计的定义

概率统计的定义概率统计是一种统计学的分支，它研究的是随机变量的概率规律。

它的基本任务是用统计方法从抽样试验中获取随机变量的分布特征及其变化规律，以及推断出参数的取值范围，以此来推断总体特征。

概率统计的基本概念包括：概率、概率分布、随机变量、样本空间、抽样试验、抽样分布、统计量等。

概率是指发生某种事件的可能性。

它是一种不确定性的概念，表示为一个数字。

一般来说，概率的取值范围是0到1之间，其中0表示一定不会发生，而1表示一定会发生。

概率分布是指每一个可能发生的结果的概率，它可以使用概率密度函数或概率分布函数来表示。

常见的概率分布有泊松分布、正态分布、对数正态分布、伽马分布等。

随机变量是指概率统计中用来表达不确定性的变量。

它可以是定义在某一分布上的函数，它的取值不确定，但满足一定的概率分布。

样本空间是指随机变量X可能取值的完整集合。

它用来描述X的取值范围。

抽样试验是指从总体中抽取样本，以便对总体进行统计分析的过程。

它是统计分析的基础，也是统计分析结果可度的基础。

抽样分布是指从总体中抽取样本后，样本统计量的分布特征。

它可以用来描述样本统计量的变化规律，以及推断总体特征的参数的取值范围。

统计量是指用来描述样本的某种特征的量。

它可以是样本均值、样本方差、样本比例等。

综上所述，概率统计是一种研究随机变量的概率规律的统计学分支，它的基本任务是用统计方法从抽样试验中获取随机变量的分布特征及其变化规律，以及推断出参数的取值范围，以此来推断总体特征。

它的基本概念包括：概率、概率分布、随机变量、样本空间、抽样试验、抽样分布、统计量等。

概率统计是统计分析的基础，它是统计分析结果可度的基础，为统计分析提供了重要支持。

统计与概率的基本概念

统计与概率的基本概念统计与概率是数学中重要的分支，它们帮助我们理解并分析数据，为决策提供依据。

本文将介绍统计与概率的基本概念，包括样本、总体、频率、概率等内容。

一、样本与总体统计学中，我们研究的对象可以分为样本和总体。

总体是我们要研究的全部个体或事件的集合，而样本是从总体中选取的一部分个体或事件。

通过对样本的研究，我们可以推断总体的性质和规律，从而作出统计推断。

二、频率与概率频率是统计学中经常用到的一种描述性测度，表示某一事件在样本或总体中出现的次数。

频率可以通过计算事件发生的次数除以总次数得到，通常以百分比或小数形式表示。

概率是描述事件发生可能性的一种数值测度，在统计学中具有重要的作用。

概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

事件的概率可以通过样本的频率估计得到。

三、随机变量与概率分布随机变量是统计学中一个重要的概念，它表示样本或总体中的某个量的取值。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

对于离散随机变量，我们可以通过列举出每个取值和其对应的概率来描述概率分布；对于连续随机变量，我们可以通过概率密度函数来描述其概率分布。

常见的概率分布包括：1. 二项分布：描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

2. 正态分布：也称为高斯分布，广泛应用于自然科学和社会科学领域，具有钟形曲线的特征。

3. 泊松分布：用于描述在一段固定时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。

4. 均匀分布：表示每个取值在某一区间上具有相等的概率。

四、统计量与抽样分布统计量是样本中的单个数值或函数，用于描述样本的特征。

常见的统计量有均值、方差、标准差等。

通过抽样方法，我们可以计算得到不同样本的统计量，并根据抽样分布进行统计推断。

抽样分布是指统计量在大量重复的独立随机样本上的分布情况。

中心极限定理是理解抽样分布的重要原理，它指出当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

五、假设检验与置信区间假设检验是统计学中常用的方法之一，用于根据样本数据对总体假设做出推断。

概率1.2

五、概率的几何定义
如果试验的所有可能结果为无限多个，每个试验结果出现的可能性相等，古典定义就不适用，这时可借助于几何上的度量 (比如面积，长度) 来合理地规定的概率，称为概率的几何概型.
几何概型的特点：有限区域、无限样本点; 等可能性.
定义1.2.4 概率的几何定义（几何概率）
在几何概型试验中，设样本空间为 ,事件则事件A发生的概率为
0.0021
0.0016 0.0005 0.0002
维尼
2. 概率的统计定义
定义1.2.2 事件A发生的频率 f n ( A) 在某常数 p 附近摆动，且 n越大，摆动幅度越小，称常数 p为事件A的概率，记作
P A,
即
P A p.
因此，在实际应用中，当重复试验的次数较大时，可用事件的频率作为概率的近似值.
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质性质 1 不可能事件的概率为0，即
P 0.
反之是否成立呢？即概率为0的事件一定不可能发生吗？
概率为1的事件一定发生吗？
性质 2 （有限可加性）
若事件
A1 , A2 ,, An 两两互不相容，则
n n P Ai P Ai . i 1 i 1
60 x
六、概率的公理化定义
1. 定义1.2.5 设随机试验E的样本空间为
，对试验
E的任一随机事件A，定义实值函数P(A)，若它满足以下三个公理：
非负性：
规范性：可列可加性：
P A 0； P 1；
对两两互不相容的事件
A1 , A2 ,,
有
P Ai P Ai , i 1 i 1

概率与统计的基本概念

概率与统计的基本概念概率与统计是数学中重要的分支，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学和工程技术等。

本文将介绍概率与统计的基本概念，包括随机事件、概率、统计量和抽样等内容。

一、随机事件在概率论中，随机事件是指在特定条件下发生或未发生的不确定事件。

随机事件可以用符号来表示，常用的表示方法是大写英文字母。

例如，事件A、事件B等。

二、概率概率是描述随机事件发生可能性的数值。

根据随机事件发生与否的结果，概率可以分为两类，即经典概率和统计概率。

1. 经典概率经典概率是指在理论假设条件下，根据事件发生的有利结果与总可能结果的比值来计算概率。

例如，投掷一颗均匀骰子，每个面的出现概率均等，因此出现某个面的概率为1/6。

2. 统计概率统计概率是指通过实验和观察数据来估计事件发生的概率。

例如，某次实验投掷100次骰子，出现某个面的次数为20次，则该事件的概率可以估计为20/100=0.2。

三、统计量统计量是对数据进行描述和分析的指标。

常见的统计量有均值、方差和标准差。

1. 均值均值是指一组数据的平均值，可以体现数据的集中趋势。

计算均值的方法是将所有数据求和，然后除以数据的个数。

2. 方差方差是度量数据分布程度的指标，表示数据与均值之间的差异程度。

方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方求和，再除以数据的个数。

3. 标准差标准差是方差的平方根，用于度量数据的离散程度，数值越大表示数据的离散程度越大。

标准差是方差的常用衡量指标之一。

四、抽样抽样是指从总体中抽取少量样本来推断总体的性质。

抽样可以分为概率抽样和非概率抽样两种方式。

1. 概率抽样概率抽样是指每个样本都有一定概率被选中的抽样方法。

常见的概率抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。

2. 非概率抽样非概率抽样是指样本被选中概率不相等的抽样方法。

常见的非概率抽样方法有方便抽样、判断抽样和专家抽样等。

通过抽样得到的样本数据可以进行统计分析，从而得出总体的特征和规律。

000000000001 概率的统计定义、古典概型

4.古典概型的基本模型球放入杯子模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型古典概型的基本模型
(1)杯子容量无限杯子容量无限问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去求第1、2个个杯子中去,求第问题个杯子中去求第1 个杯子中各有两个球的概率, 杯子中各有两个球的概率其中假设每个杯子可放任意多个球. 放任意多个球
M + N , m+n
A 所包含的样本点个数为所包含的样本点个数为
M N M + N 故 P ( A) = m n m + n
M N , m n
(2) 有放回地摸球问题2 设袋中有4只红球和只黑球,现从袋中有放只红球和6只黑球问题设袋中有只红球和只黑球现从袋中有放回地摸球3次求前次摸到黑球求前2 黑球、回地摸球次,求前次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率. 的概率解设 A = {前 2次摸到黑球 , 第三次摸到红球 } 第3次摸到红球 4种次摸到红球种第1次摸到黑球 6种 2次摸到黑球种
第2次摸球 3次摸球 1次摸球
10种种
样本点总数为10× 10× 10 = Nhomakorabea03 ,
A 所包含样本点的个数为所包含样本点的个数为 6 × 6 × 4, 6× 6× 4 = 0.144. 故 P ( A) = 3 10
“免费摸奖”游戏：免费摸奖”游戏：免费摸奖
摸奖箱里装着10个球面写着分摸奖箱里装着个球面写着5分、10个球个球面写着个球面写着10分的共个乒乓球。分的共20个乒乓球面写着分的共个乒乓球。主办者要你随机个球，分或100分摸10个球，如果总分摸到分或个球如果总分摸到50分或分，你就会得到彩电或自行车之类的大奖。会得到彩电或自行车之类的大奖。如果总分摸到95、90、85、70、65、60、55分，就可以得、、、、、、分到价值几元钱的奖品。但如果总分摸到75分或到价值几元钱的奖品。但如果总分摸到分或 80分，则要出元钱买一瓶“水”得很的洗发元钱买一瓶“ 分则要出20元钱买一瓶精之类。乍一看，挺诱人的。精之类。乍一看，挺诱人的。

1.2概率的定义及性质

P A B P A PB P AB
推论1： P(B A) P(A) P(B).
推论2：
n
P Ai

n

P
Ai

P Ai Aj

P Ai Aj Ak 1n1 PA1 A2 An
i 1
i 1
1i jn
近百年世界重大地震
“重大”的标准
① ②
震级
死亡
7 级左右 5000人以上
时间
地点
级别死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
三、概率的公理化定义
定义1.2.3 定义在事件域F上的一个集合函数 P 称为概率。
如果它满足如下三个条件：
1.非负性：A F, P(A) 0.
2.规范性： P() 1
3.可列可加性：若

Ai
F,

i

1,
2,...
且两两互不相容,有
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
60年代后又创立了信息算法理论;
1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括и.M. 盖尔范德,B.и.阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人.