重庆市第十一中学高一数学下学期期中试题(特优班)
2020-2021学年重庆高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ 等于()A. (−1,11)B. (4,7)C. (1,6)D. (5,−4)2.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为64.54.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为()A. (−3,−2)B. (−3,−1)C. (2,4)D. (−5,−3)5.已知直线l经过点A(−2,0)与点B(−5,3)，则该直线的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 60°D. 45°6.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB=2:3，则a:b=()A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37.已知数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，记c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，则数列{c n}的前10项和为()A. A10+B10B. 12(A10+B10) C. A10⋅B10 D. √A10⋅B108.某公司某种产品的定价x(单位：元)与销量y(单位：件)之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＾=6.5x+17.5，则表格中n 的值应为()A. 45B. 50C. 55D. 609.已知α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，满足a>β的概率为()A. 19B. 29C. 13D. 1210. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定11. 已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n+1=2a n +1 , n ∈N ∗则数列{a n }=( )A. {a n }是等比数列B. {a n }不是等差数列C. a 2=1.5D. S 5=12212. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据为19，18，23，24，21，则这组数据的中位数为____． 14. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α=sin β，则α=β；③“实数a =0”是“直线x −2ay =1和直线2x −2ay =1平行”的充要条件； ④若f (x )=log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.16. 已知直线l 1：kx −y +1−k =0与l 2：ky −x −2k =0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否100则不需要大调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．3(1)求a n；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积22.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ =(4,7)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．【解答】∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．【解答】解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是62+672=64.5，众数是67，平均数是18(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，极差为76−58=18，故选：D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查直线方程的应用，属于基础题．依题意先设点P 关于直线对称点的坐标，再根据对称性即可列出方程组，求出坐标． 【解答】解：设点P 关于直线l 的对称点的坐标是(x,y)，依题意可得：{y−2x−1=1x+12+y+22+1=0解得{x =−3y =−2 ∴点P 关于直线的对称点坐标是(−3,−2) 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设该直线的倾斜角为θ， 则tanθ=0−3−2−(−5)=−1， ∵θ∈[0∘,180∘),∴θ=135°． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目． 直接利用正弦定理得出即可． 【解答】解：∵sinA:sinB =2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵a n=A n−A n−1，b n=B n−B n−1，n≥2，c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，∴c n=a n(B n−b n)+b n A n=(A n−A n−1)(B n−b n)+b n A n=A n B n−A n−1(B n−b n)=A n B n−A n−1(B n−B n+B n−1)=A n B n−A n−1B n−1，∴数列{c n}的前10项和为：c1+c2+c3+⋯+c10=A1B1+(A2B2−A1B1)+(A3B3−A2B2)+⋯+(A10B10−A9B9)=A10B10．故选：C．由已知条件推导出c n=A n B n−A n−1B n−1，由此利用累加法能求出数列{c n}的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，x=15(2+4+5+6+8)=5，y=15(30+40+n+50+70)=38+n5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+n5=6.5×5+17.5，∴n=60．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，利用列举法能求出满足a >β的概率． 【解答】解：α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)， 基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， (1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共9个，满足a >β包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，共3个， ∴满足a >β的概率为p =39=13． 故选C ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题． 由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 【解答】解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：由a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则：a n+1−a n=12．∴数列{a n}是等差数列，公差为12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∴a2=32=1.5．故选：C．变形利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．【解答】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1．即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.【答案】21【解析】【分析】本题主要考查对中位数的理解，属于基础题．【解答】解：这组数据从小到大排列依次为18，19，21，23，24，∴这组数据的中位数为21，故答案为21．14.【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°=sin150°⇒/30°= 150°，所以②错误；对于③，l1//l2⇔A1B2=A2B1，即−2a=−4a⇒a=0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．15.【答案】20√63【解析】【分析】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．【解答】解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．16.【答案】(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查两直线交点坐标的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得，两直线不平行，故它们的斜率不相等，故k ≠±1，联立{kx −y +1−k =0ky −x −2k =0可得交点坐标为(k k−1,2k−1k−1)， 因为交点在第一象限，所以{k k−1>02k−1k−1>0， 解得k >1或k <0，综上可得实数k 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．故答案为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0，解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b⃗ ，又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0， 解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ． (Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．【解析】本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n人，则0.6n=1800，解得n=3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X=80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a、b，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A、B、C、D，所以抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共9个，所以所求概率p=915=35．【解析】本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得．20.【答案】解：(1)∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，且S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S2，若q=1，则a n=a1=13，S1=13,S2=23,S3=1，∴4S2=83≠S1+3S3 =103，∴q≠1，4a1(1−q2)1−q =a1+3a1(1−q3) 1−q，∴4(1+q)=1+3(1+q+q2)，整理，得3q2−q=0，解得q=13，q=0(舍)，∴a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)∵b n=na n=n⋅3n，∴T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，∴T n=(n2−14)⋅3n+1+34．【解析】(1)由已知条件得4S2=S1+3S2，由此求出公比，从而能求出a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)由b n=na n =n⋅3n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.【答案】解：由题意，∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=√3在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos150°=7∴AC=√7；△ABC的面积为S=12AB⋅BC⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34．【解析】在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积． 本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．。
重庆市第十一中学学年高一数学下学期期中试题(特优班)
重庆十一中高2018级8、9班月考数学试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：（本题共12个小题，满分60分）1．已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A.135B.90C.45D.302．复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C. 5z z ⋅=D.ziz =3．已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A B ．15C ．D ．15-4．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，212122-++=n n n a a a （n ≥2）则a 6=（ ）A ．16B ．．455．△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →＝( )． A.32B. 3 C ．3 D ．2 3 6．数列{错误！未找到引用源。
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}前10项和错误！未找到引用源。
（ ）A.55B.50C.45D.407．在△ABC 中，若sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形8．函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则c =（ ）A. 2B. 4C. 6D.2或69．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形10.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为( )． A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016 11．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．12．定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)使不等式2f (x)<x '()f x <3f (x)恒成立，其中'()f x 为f (x)的导数，则( ) A ．8<(2)(1)f f <16 B ．4<(2)(1)f f <8 C ．3<(2)(1)f f <4 D ．2<(2)(1)f f <3 二、填空题（共20分） 13．若复数z 满足201520161zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z ＝ 14．在ABC ∆中，已知30150350===B c b ，，，则边长=a 。
重庆市高一下学期数学期中考试试卷
重庆市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）已知点若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A .B .C . 或D .2. （2分） (2016高一下·宿州期中) 在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（）A . -B . -C . -D . -3. （2分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC= ，SA=SC=2，SB= ，则该四面体外接球的体积是（）A . 8 πB . πC . 24πD . 6π4. （2分）(2018·鸡西模拟) 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰且直角三角形D . 等边三角形5. （2分） (2017高一上·武邑月考) 已知过两点，的直线与直线平行，则的值是（）A . 3B . 7C . -7D . -96. （2分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A .B .C .D .7. （2分）直线x•sin2θ+y﹣5=0的倾斜角的取值范围是（）A .B .C . [)D .8. （2分）(2017·厦门模拟) 在底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=SC=SD，异面直线AD与SC所成的角为60°，AB=2．则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A . 6πB . 8πC . 12πD . 16π二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一下·沭阳期中) 已知表示直线，表示平面，下列正确的是（）A .B .C .D . 或10. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，11. （3分） (2020高一下·沭阳期中) 下列说法正确的是（）A . 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B . 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C . 垂直于同一直线的两条直线相互平行D . 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直12. （3分） (2020高一下·沭阳期中) 下列说法中，正确的有（）A . 过点且在x，y轴截距相等的直线方程为B . 直线在轴上的截距为-2C . 直线的倾斜角为D . 过点并且倾斜角为的直线方程为三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·河北期末) 直线的倾斜角为________．14. （1分） (2017高二下·宜春期末) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c=2，，则b=________．15. （1分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．16. （1分） (2016高二上·凯里期中) 过点P（2，﹣1）且与直线y+2x﹣3=0平行的直线方程是________．四、解答题 (共6题；共52分)17. （10分）(2017·甘肃模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a= ，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．18. （10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AA1 ，D，E，F分别是B1A，CC1 ， BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF．19. （10分） (2018高二上·南昌期中) 已知直线与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.20. （10分）如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）21. （2分）锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量=(c-a,b-a)，=(a+b,c)且（1）求角B的大小；（2）若b=1，求a+c的取值范围．22. （10分）(2020·汨罗模拟) 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共52分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
重庆市数学高一下期中测试题
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 6．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．32C 322D ．227．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．6 8．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D ．419．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④11．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1012．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A ．[√33,1]B ．[√63,1] C ．[√63,2√23] D ．[2√23,1] 13．(0分)[ID ：12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72πB ．56πC ．14πD ．64π14．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．115．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.17．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.18．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____19．(0分)[ID ：12510]若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ． 20．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.21．(0分)[ID ：12452]将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.22．(0分)[ID ：12495]正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．23．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.24．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12625]如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.27．(0分)[ID ：12608]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积28．(0分)[ID ：12594]如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.29．(0分)[ID ：12618]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．30．(0分)[ID ：12616]如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：DC平面GBE；（1）设G为AD中点，求证：//⊥．（2）若平面DAE⊥平面ABCE，且F为AB中点，求证：DF AC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．B5．B6．B7．B8．A9．B10．B11．D12．B13．C14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两17．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程20．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球21．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故22．【解析】如图过S作SO1⊥平面ABCD由已知=1在Rt△SO1C中∵SC＝∴∴O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D故O1是过SABCD点的球的球心∴球的半径为r＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力24．【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．2．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 4．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.223416,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 7．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为1，则A 1C 1=√2,A 1C =√3,A 1O =OC 1=√1+12=√32,OC =√12，所以cos∠A 1OC 1=32+32−22×32=13,sin∠A 1OC 1=2√23，cos∠A 1OC =32+12−32×√32=−√33,sin∠A 1OC =√63. 又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A 1OC 为钝角，所以sinα的范围为[√63,1]，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.13．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．B解析：B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质15．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为 【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.17．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】 【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．19．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1 【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1 考点：圆的方程20．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】 【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为2244(7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．21．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】 【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-.【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.22．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.23．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28 【解析】 【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析：25x y +=【解析】 【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k =∴=-，所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=，故答案为：25x y += 【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】 【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得128AB x =-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
重庆市高一数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年重庆高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．34．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．38．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有盏灯”．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】利用笔记的记录方法直接求解．【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．故选：D．2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，故选：C3．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n即可【解答】解：数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．可得a n+4=a n．∴a2017=2017，故选：C6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：∵ =1，||=2，∴由⊥，得•=．即，解得cos＜＞．故选：A．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；对于②，•（•表示与共线的向量，（•）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；对于③，若，则（）=0，即，∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心，故③正确．故选B．8．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C 的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=或ab=﹣1（舍去），所以S△ABC=absinC=，故选：A．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∴数列中值最小的项是第1009项．故选：B．11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．【考点】93：向量的模．【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，∵，，∴==， ==，∴||=BC=2，故A正确；==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；||=||=||=CD=，故C错误；=2+，∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．故选C．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴===．故答案为：．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有 2 盏灯”．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【解答】解：设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，则=510，解得a1=2．故答案为：2．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为﹣2017 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S2017．【解答】解：S2009=，S2007=，∴﹣=﹣=d=2，∵a1=﹣2017，∴S2017=na1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为﹣18 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=2a2=8，即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，可得a42=a2a9，即有4（4+7d）=（4+2d）2，解得a1=1，d=3（0舍去）；（2）由（1）可得，则．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA ⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=∵0＜A＜π∴A=（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，s△ABC==220．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，．当n≥2时，，故所求；（2）由，T n=b1+b2+b3+…+b n==．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，∴，即：﹣cosB=，∴cosB=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（2）由正弦定理，可得： == [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）=sin（A+）∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜≤，故的取值范围为（1，]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；（2）求得a n=2n﹣1，b n==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n （A、q为非零常数），即可求得λ的值．【解答】解：（1）证明：由题知S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0．即当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2．则数列{a n}是等差数列．（2）由（1）知数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，∵b n==．则T n=+++…++，①∴T n=+++…++，②由①﹣②得T n=+2（++…+）﹣=+2•﹣，∴T n=3﹣；（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．。
重庆市高一下学期数学期中考试试卷
重庆市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在△ABC 中，若， 则 A 等于（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或2. （2 分） (2019 高一下·邢台月考) 如图，三棱锥中， 、 分别是 、 的中点，、 分别是 、 上的点，且，下列命题正确的是（ ）A.B.与是异面直线C.平面D . 直线、、 相交于同一点3. （2 分） (2020 高一下·通州期末) 在下列各组向量中，互相垂直的是（ ）A.，B.，第 1 页 共 20 页C.，D.，，4. （2 分） (2020 高三上·平阳月考) 下列命题中，（1）若若，，，，则，，，则，，则；（2）空间中， ， 为平面， ， 为直线，；（3）空间中， ， 为平面， ， 为直线，若，；其中正确的个数为（ ）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2 分） 若△ABC 的周长等于 20，面积是，A.5B.6C.7D.8， 则 BC 边的长是（ ）6. （2 分） (2017 高一上·成都期末) 在△ABC 中，若，，，O 为△ABC 的内心，且，则 λ+μ=（ ）A.B. C.D.第 2 页 共 20 页7. （2 分） 已知三个向量 的三条边及相对三个角，则A . 等腰三角形 B . 等边三角形 C . 直角三角形 D . 等腰直角三角形， 的形状是（, ）共线，其中 a,b,c,A,B,C 分别是8. （2 分） 已知 率的取值范围是为椭圆 （）的两个焦点，P 为椭圆上， 则此椭圆离心A. B.C.D. 9. （2 分） 将正方体的纸盒展开如图，直线 AB、CD 在原正方体的位置关系是（ ）A . 平行 B . 垂直 C . 相交成 60°角 D . 异面且成 60°角第 3 页 共 20 页10.（2 分）(2020 高一下·和平期中) 已知，， 与 的夹角为方向相同的单位向量，则 在向量上的投影向量为（ ）， 是与向量A.B.C.D.11. （2 分） (2020 高二上·赤峰月考) 在空间直角坐标系，，，，则该四面体的体积为（中，一个四面体的顶点坐标分别是 ）．A.2 B.C.D.12. （2 分） (2019 高二上·石门月考) 如图，在中， 是边 上的点，且，，，则的值为（ ）第 4 页 共 20 页A. B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高二下·大庆期末) 已知平面向量 =________．，且，则14. （1 分） (2020 高三上·会昌月考) 在锐角的面积为 ，若，，中，角的对边分别为，，则的面积 为________．15. （1 分） (2016 高二下·惠阳期中) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=2 ，棱锥 O﹣ABCD 的体积为 8 ，则 R=________16.（1 分）设 α 是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且 cosα= ，则 x=________ ，tanα=________三、 解答题 (共 6 题；共 35 分)17. （5 分） (2020 高二下·上海期末) 等腰直角△为抛物线的顶点，，△的面积是 16.内接于抛物线（ ） ，其中 O（1） 求抛物线 C 的方程；（2） 抛物线 C 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 M､N 两点，交 y 轴于点 E，若证明：是一个定值.第 5 页 共 20 页，，18. （5 分） (2018·株洲模拟) 在中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知，，.（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ） 若角 为锐角，求 的值及的面积.19. （10 分） (2018 高一下·汪清期末) 在中，角的对边分别为（1） 已知，求 的大小；（2） 已知，求 的大小．20. （5 分） 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 BC 的中点 O．，点 A1 在底面 ABC 的投影是线段（1） 证明：在侧棱 AA1 上存在一点 E，使得 OE⊥平面 BB1C1C，并求出 AE 的长； （2） 求三棱柱 ABC﹣A1B1C 的侧面积．21. （5 分） (2017·沈阳模拟) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C 的大小；（Ⅱ）求 sin2A+sin2B 的取值范围．22. （5 分） (2017·长沙模拟) 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面相互垂直，AB= 为线段 AD 上的任意一点．，AF=1，G第 6 页 共 20 页（1） 若 M 是线段 EF 的中点，证明：平面 AMG⊥平面 BDF；（2） 若 N 为线段 EF 上任意一点，设直线 AN 与平面 ABF，平面 BDF 所成角分别是 α，β，求 围．的取值范第 7 页 共 20 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 8 页 共 20 页解析： 答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 9 页 共 20 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 10 页 共 20 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
重庆市第十一中学高一数学下学期期中试题 文
2015-2016学年（下）半期高2018级数学试题（文）考试说明：1.考试时间: 120分钟 2.试题总分：150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点)1,1(),3,2(--B A =( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知数列{}n a 是,11=a 公差为3的等差数列，若100=n a ，则n =( )A ．34B ． 33C ．32D ．313.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若6,127,2ππ===B A b ，则c 边长为（ ）A ．2B ．C ．4．已知)2,4(-=a ρ， )5,(k b =ρ且b a ρρ//，那么k =( )A ．10B ．5C ．－25 D ．－105．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若bc c b a -=--222，则A =( )A ． 030 B ．0120 C ．060 D ．01506.在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，且 b a ρρ==,，则=（ ）A.a b ρρ21+B.a b ρρ21-C.b a ρρ21+D.b a ρρ21-7．已知等差数列｛n a ｝满足,02016321=++++a a a a Λ则有（ ）A.020161>+a a B.020143<+a a C.010171000=+a a D.01008>a8．已知数列12211,5,,()n n n a a a a a n N *++===-∈，则2016a 的值是( )A ． 1B ． 4-C ． 4D ．59．已知等比数列{}n a 中， 52-=a ， 104030-=a ，则=2016a （ ）A ．52B ．-52C ． ±52D ．50 10．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边， ccb A 422cos 2+=，则ABC ∆的形状为( )A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 11．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足,015>S 016<S ，则11a S ，22a S ，…，1515a S 中最大的项为( )A.11a S B. 77a S C. 88a S D. 99a S 12．在ABC ∆中,3,4==AC AB ， AC AB ,边的垂直平分线交点P ，则BC AP ⋅的值为（ ）A ．29 B ．27 C ．29- D ．27- 二、 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置）13．化简：)(21)23(41231b a b a b a ρρρρρρ-----）（=14.已知{}n a 是由正数组成的等比数列，若5642a a a -=，则公比q = 15．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若===B c a ,2,3365π， 则b ＝16. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24171593=+++a a a a ，则21S ＝三 、解答题：（本大题共6小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知)5,(),4,2(),3,2-=-==k c b a ρρρ（. （1）求a ρ和b a ρρ⋅的值；（2）若b a c ρρρ//)3(+，求k 的值.18. （本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 中，3,131-==a a .（1）求数列{}n a 的通项公式n a .（2）若数列{}n a 的前n 项和35-=n S ，求n 的值.19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知）2sin ,2(cos ),2sin ,2(cos C C n C C m -==ρρ且m ρ和n ρ的夹角为3π. (1)求角C 的大小;(2)已知边27=c ，ABC ∆的面积2s =，求b a +的值.20.（本小题满分12分）已知a ρ，b ρ是两个单位向量.（1）若323=-b a ρρ，求b a ρρ⋅的值；（2）若a ρ，b ρ的夹角为060，求b a ρρ+2与a b ρρ-的夹角正弦值.21. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知0cos )sin 3(cos cos =++B A A C（1）求B 的大小；（2）若)36,1(),,31(a y c x -==ρρ，且y x ρρ//，求b 的取值范围.22．（本小题满分10分） 在数列{}n a 中，8,111=⋅=+n n a a a .（1）设n n a b 2log =，求证：数列{}2-n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项的积n S .高2018级数学试题（文）参考答案1-6DABDCB 7-12CBBACD13. b a ρρ311211+- 14.2 15.7 16. 22117.（1）13=a ρ8=⋅b a ρρ（2）)4,6(3+=+k a c ρρΘ )6(48+=-∴k 8-=∴k18.（1）32+-=n a n（2）由35-2n 2=+-=n S n 得7=n19.（1）1cos 3cos Cn m n m =⋅⋅=ρρρρΘπ3π=∴C(2) 23343sin 21===∆ab C ab S ABC Θ 6=∴ab ab c b a C 2cos 222-+=Θ 1244912)(212--+=∴b a211=+∴b a 20.（1）Θ323=-b a ρρ∴31=⋅b a ρρ(2) Θ732=+b a ρρ,1=-a b ρρ,⋅+)32(b a ρρ21)(-=-a b ρρ721cos -=∴θ 14213sin =∴θ 21.(1) Θ0cos )sin 3(cos cos =++B A A C∴0cos sin 3cos cos )cos(=+++-B A B A B A∴0cos sin 3sin sin =+B A B A ∴0cos 3sin =+B B∴3tan -=B 32π=∴B (2) Θy x ρρ//∴2=+c aΘB ac c a b cos 2222-+= ∴ac B ac c a b 2cos 2)(22--+=ac c a -+=2)()2(4a a --=3)1(2+-=a 3≥ 3≥∴b 又2<b 32≥>∴b22.（1）证明：2log 2log 222121--=--++n n n n a a b b Θ2log 28log 22--=n n a a 2log 2log 218log 22---=n n a a 2log log 2112--=n na a 21-={}2-∴n b 以-2为首项，以21-为公比的等比数列 （2）由（1）可知数列{}2-n b 的前n 项和211)21(12+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=n n Tn b b b n 221-+⋅⋅⋅++=n a a n 2log log 212-+⋅⋅⋅+=n S n 2log 2-=n S n n 21)21(34log 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∴ n n nS 21)21(342+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∴。
重庆市重点高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，是坐标原点，则（ ）()()1,1,,22A B -O AB OA +=A ．B ．C ．D ．()1,3-()3,1-()1,1-()2,2-【答案】D【分析】根据向量线性运算可得，由坐标可得结果. +=AB OA OB 【详解】 ()2,2+=+==-AB OA OA AB OB 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.2．若是方程的两个根，则（ ） tan ,tan αβ2640x x -+=tan()αβ+=A ． B ．1 C ． D ．21-2-【答案】C【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， tan ,tan αβ2640x x -+=由韦达定理得，， tan tan 6αβ+=tan tan 4αβ=所以，tan tan 6tan()21tan tan 14αβαβαβ++===---故选：C3．下列函数最小正周期不是为的函数是（ ） πA ． B ．sin y x =cos 2y x =C ．D ．πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】求出各选项中函数的最小正周期，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，令，该函数的定义域为，()1sin f x x =R ，作出函数的图象如下图所示：()()()11πsin πsin sin f x x x x f x +=+=-==sin y x =结合图象可知，函数的最小正周期为，A 选项满足；sin y x =π对于B 选项，令，则该函数的最小正周期为，B 选项满足； cos 2cos 2y x x ==2ππ2=对于C 选项，函数的最小正周期为，C 选项满足； πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2=对于D 选项，函数的最小正周期为，D 选项不满足.πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2故选：D.4．如图，在中，，点是的中点，设，，则（ ）ABC A 14AD AB = F BC AB a = AC b = DF =A ．B ．C ．D ．1342a b + 1142a b +3342a b +3142a b +【答案】B【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为AF DF DA AF =+，整理即可得结论. ()1142AB AB AC -++【详解】解：连结，AF在中，因为，点是的中点，ABC A 14AD AB =F BC 所以,()111111424242DF DA AF AB AB AC AB AC a b =+=-++=+=+故选：B.5．在中，角，，的对边分别为，，，向量与平ABC A A B C a b c (,)m a b = (cos ,sin )n A B =行．若， a =b =c =A ．B ．C ．D ．123【答案】D【分析】由向量的坐标运算和正弦定理的边角互化，求得，得到，再由sin cos 0A A -=4A π=余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，向量，所以， //m nsin cos 0a B b A -=由正弦定理可得， sin sin sin cos 0A B B A -=又，则，即，sin 0B ≠sin cos 0A A -=tan 1A =因为，所以，0A π<<4A π=又因为，a =b =由余弦定理，即，2222cos a b c bc A =+-2222cos 4c π=+-即，解得（负根舍去）， 2230c c --=3c =故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算，以及合理应用正弦定理的“边角互化”，以及余弦定理列方程是解答的关键着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．6．设，，，则有（ ） 1cos662a =︒︒2sin13cos13b =︒︒c =A ．B ．C ．D ．c b a <<a b c <<a c b <<b<c<a 【答案】C【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式，化简，再利用正弦函数的单调性 ,,a b c 比较大小．【详解】因为， 1cos 66sin(306)sin 242a =︒︒=︒-︒=︒，，2sin13cos13sin 26b =︒︒=︒sin 25c === 函数单调递增，si n ,(,)y x x 02π=∈所以，即. sin 24sin 25sin 26<< a c b <<故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的单调性、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力.7．在，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，且，则ABC A sin ,20,73c B CA CB c π⎛⎫⋅+=⋅== ⎪⎝⎭ 的周长为（ ）ABC A A ．13 B ．20C ．18D ．15【答案】B【分析】由正弦定理结合和的正弦公式化简可得，求得，由得sin C C =3C π=20CA CB ⋅=，由余弦定理可求出，即可求出周长.40ab =a b +【详解】由及正弦定理得，sin 3c B π⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭12sin (sin )2C B B A =整理得． sin sin sin B C B C A =∵，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴ ， sin sin sin cos sin B C B C B C B C +=+∴，sin sin cos B C B C又，∴，故sin 0B ≠sin C C tan C =，；0C π<< 3C π∴=∴，∴．cos 20CA CB ab C ⋅==40ab =由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-即， 222249()3()120a b ab a b ab a b =+-=+-=+-解得． 13a b +=∴． 20a b c ++=故选：B ．【点睛】思路点睛：解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起． 222()2a b a b ab +=+-ab 8．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最AP BD ⋅大值为（ ）A ．3B ．C ．D ．3+3【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三P 角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标D AD x D AD y系，则，，(2,0)A-32B ⎛- ⎝12C ⎛- ⎝圆的方程为，可设，D 2214x y +=11cos ,sin 22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所以． 11cos 2,sin 22AP αα⎛⎫ ⎪⎭=+⎝u u ur 3,2BD =⎛ ⎝u u ur 故．3113cos 2sin cos 32224AP BD αααα⎛⎫⋅=⨯+= +⎪⎝⎭u u u r u u ur 36πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以的最大值为AP BD ⋅ 3故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.二、多选题9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）202321i z =--i A ．的虚部为z i -B ．在复平面内对应的点在第二象限 z C ．的共轭复数为z 1i -+D ．若，则的最大值是 01z z -=0z 1+【答案】CD【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A 选项；利用复数的几何意义可z 判断B 选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数模的三角不等式可判断D 选项. 【详解】因为，则.2023450533i i i i ⨯+===-()()()202321i 221i 1i 1i 1i 1i z --====-----+-+--对于A 选项，的虚部为，A 错；z 1-对于B 选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B 错； z 对于C 选项，的共轭复数为，C 对； z 1i -+对于D 选项，因为01z z -==由复数模的三角不等式可得， 0001z zz z z z z =-+≤-+=当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D 对. 0z z -=0z 1故选：CD.10．已知向量、、是三个非零向量，下列说法正确的有（）a b cA ．若，则与共线且反向a b a b -=+ a bB ．若，，则//a b r r //b c//a c C ．向量、、是三个非零向量，若，则a b c a c b c ⋅=⋅ a b =D ．若，则 a b a b +=- a b ⊥ 【答案】ABD【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断AD 选项；利用平面向量共线的基本定理可判断B 选项；利用平面向量垂直的数量即表示可判断C 选项.【详解】对于A 选项，由可得，a b a b -=+ ()22a b a b-=+即，即，222222a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ a b a b ⋅=-⋅ 因为、都是非零向量，则， a bcos ,1a b a b a b⋅==-⋅因为，则，即与共线且反向，A 对； 0,πa b ≤≤ ,πa b = a b对于B 选项，因为、、是三个非零向量，且，，a b c//a b r r //b c 则存在非零实数、，使得，，则，故，B 对； λμ∈R b a λ= c b μ= c μb λμa == //c a对于C 选项，向量、、是三个非零向量，a b c若，则，所以，或，C 错；a cbc ⋅=⋅ ()0a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅= a b =()a b c -⊥ 对于D 选项，因为，则，a b a b +=- 22a b a b +=- 所以，，整理可得，222222a a a b b a b b -=+⋅+⋅+ 0a b ⋅=因为、都是非零向量，所以，，D 对.a ba b ⊥ 故选：ABD.11．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到π3sin(3y x =+12的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）π3()y g x =A ．函数的图象关于点对称()y g x =π,06⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数的图象最小正周期为 ()y g x =πC ．函数的图象在上单调递增()y g x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数的图象关于直线对称 ()y g x =5π12x =【答案】ABD【分析】经过变换得到，对于选项利用周期公式可以判断，对π3sin()3y x =+π()3sin(2)3g x x =-B 于选项，利用整体角的方法进行求解判断即可.ACD 【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），π3sin(3y x =+12得到， π3sin(2)3y x =+再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，即.π3π3sin(2)3y x =-π()3sin(2)3g x x =-对于选项：令，解得，A π2π(Z)3x k k -=∈ππ62k x =+当时，，所以是对称中心，所以选项正确.0k =π6x =π(,0)6A 对于选项：因为最小正周期为：，得， B sin()y A x ωϕ=+2πT ω=2π2ππ2T ω===所以选项正确. B 对于选项：令，解得， C πππ2π22π(Z)232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的递增区间为，，当时，递增区间为， ()g x π5π(π,π)1212k k -++(Z)k ∈0k =π5π(,)1212-选项不是子集，显然错误.C π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5π(,)1212-对于选项：解得，当时，，所以选项正确.D ππ2π(Z)32x k k -=+∈5ππ122k x =+0k =5π12x =D 故选：.ABD 12．已知内角、、所对的边分别为、、，以下结论中正确的是（ ）ABC A A B C a b cA ．若，，则该三角形有两解 2a =b =π3B =B ．若，则一定为等腰三角形 cos cos a A b B =ABC A C ．若，则一定为钝角三角形 222sin sin sin C A B >+ABC AD ．若，则是等边三角形 ()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=ABC A 【答案】CD【分析】利用余弦定理可判断AC 选项；利用余弦定理边角互化可判断B 选项；利用余弦函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由余弦定理可得，即， 2222cos b a c ac B =+-2425c c +-=即，因为，解得， 2210c c --=0c>1c =此时，只有一解，A 错； ABC A 对于B 选项，因为，即，cos cos a A b B =()()22222222a b c a b a c b bcac+-+-=整理可得，所以，或，()()222220a b a b c -+-=a b =222+=a b c 故为等腰三角形或直角三角形，B 错；ABC A 对于C 选项，因为，由正弦定理可得，222sin sin sin C A B >+222c a b >+所以，，则为钝角，即为钝角三角形，C 对；222cos 02a b c C ab+-=<C ABC A 对于D 选项，因为、、，则，，， A B ()0,πC ∈ππA B -<-<ππB C -<-<ππC A -<-<所以，，，， ()1cos 1A B -<-≤()1cos 1B C -<-≤()1cos 1C A -<-≤又因为， ()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=则，()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=所以，，则，此时，为等边三角形，D 对.000A B B C C A -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A B C ==ABC A 故选：CD.三、填空题13．已知复数为纯虚数，则________ 23()z m m mi m =-+∈R m =【答案】3【分析】根据纯虚数的定义，可求得的值．m【详解】因为是纯虚数， 23()z m m mi m =-+∈R 属于根据纯虚数定义可知且 230m m -=0m ≠可解得，故答案为3.3m =【点睛】本题考查了纯虚数的定义，注意实部为0且虚部不为0，属于基础题． 14．_____ 5ππππcoscos cos sin 126126+=【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】原式 5πππ5ππ5ππ5ππcoscos cos sin cos cos sin sin 1262126126126⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭5πππcos cos 1264⎛⎫=-== ⎪⎝⎭15．求的最小值是_____ 2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）【答案】/0.5 12【分析】先应用换元法,再应用二次函数最值求解即得.sin t x =22sin 2sin 1,y x x =-+【详解】,()222()2cos 2sin 321sin 2sin 32sin 2sin 1f x x x x x x x =--+=---+=-+令,22sin 2sin 1,sin y x x t x =-+=,[]2221,1,1y t t t =-+∈-当,. 2142t -=-=min 111221422y =⨯-⨯+=故答案为:1216．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，测量者选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C与D ，并测得，，，在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔CD =135BDC ∠=︒15BCD ∠=︒高___________.AB =m【答案】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得BCD △BC Rt ABC △，由此解答即可.AB 【详解】因为在中，，，， BCD△CD =135BDC ∠=︒15BCD ∠=︒所以，1801351530CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得，解得，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠=40m BC =在中，，所以， Rt ABC △60ACB ∠=︒tan 60ABBC =︒=故塔高. AB =故答案为：四、解答题17．已知向量、的夹角为，且，.a bπ31a = ()3,0b = (1)求的值；a b +(2)求与的夹角的余弦. aa b +【答案】 【分析】（1）先由题意求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果；a b ⋅（2）先由题意，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.()b a a +⋅【详解】（1）∵向量、的夹角为，且，，所以，a bπ31a = 3b = π313cos 32a b ⋅=⨯⨯=∴a +=（2）由题意，，()235122a ab a a b ⋅+=+⋅=+=∴()cos ,a a b a a b a a b⋅+<+>===+18．在中，已知向量，，且．ABC A 2(sin sin ,sin sin sin )m B C A B C =++ (sin sin ,1)n B C =+- m n →→⊥(1)求A ；(2)若，求面积的最大值． 3BC =ABC A 【答案】(1) 23A π=【分析】（1）由，可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边，再利用余弦m n →→⊥0m n →→⋅=定理计算可得；（2）由（1）可得且 229b c bc =++sin A 【详解】（1）解：设中，角的对边分别为， ABC A ,,A B C ,,a b c ∵，∴m n →→⊥0m n →→⋅=又，，2(sin sin ,sin sin sin )m B C A B C =++(sin sin ,1)n B C =+- ∴，()()()22sin sin 1sin sin sin 0B C A B C ++-⨯+⋅=即， 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=-∴由正弦定理得， 222b c a bc +-=-∴由余弦定理得， 2221cos 22b c a A bc +-==-又∵ ∴. ()0,A π∈23A π=（2）解：由（1）得，1cos 2A =-222b c a bc +-=-又∵3BC a ==∴即且229b c bc +=--229b c bc=++sin A ∴面积ABC A 1sin 2ABC S bc A ==△又由基本不等式得即 22923b c bc bc bc bc =++≥+=3bc ≤当且仅当b c ==∴面积ABC A 1sin 2S bc A ==≤故ABC A19．已知向量，，且.()1,cos a θ= (sin ,b θ= 02πθ<<（1）若，求的值；a b ⊥cos 2θ（2）若的值. a + sin θ【答案】（1）；（2. 12-【分析】（1）利用可求，从而可得，然后可求；a b ⊥tan θθcos 2θ（2）利用，结合平方关系可求.a + 1sin 2θθ=sin θ【详解】（1）因为，，，所以，即；()1,cos a θ= (sin ,b θ= a b ⊥sin 0θθ=tan θ=因为，所以，所以.02πθ<<3πθ=21cos 2cos32θπ==-（2）因为，，所以, ()1,cos a θ=(sin ,b θ= (1sin ,cos a b θθ+=+因为，整理得， a + ()(221sin cos 6θθ++=1sin 2θθ=因为，所以22sin cos 1θθ+=sin θ=【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及三角函数求值，稍具综合性，向量垂直及模长的转化是题目求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.20．如图，在梯形中，，.ABCD //AB CD sin 2sin AD D CD B ⋅=⋅(1)求证：；2BC CD =(2)若，，求的长度. 2AD BC ==120ADC ∠= AB 【答案】(1)证明见解析 (2) 3AB =【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理可得，ACD A ABC A sin sin AD D AC ACD ⋅=⋅∠，再由，可得，所以得，再sin sin AC CAB BC B ⋅∠=⋅//AB CD ACD CAB ∠=∠sin sin AD D BC B ⋅=⋅结合已知条件可得，从而可证得结论；sin 2sin BC B CD B ⋅=⋅（2）在中，由余弦定理可求得 在中，再ACD A AC =cos cos CAB ACD ∠=∠ABC A 利用余弦定理结合四边形为梯形可求出， ABCD AB 【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得，ACD A sin sin AD ACACD D=∠即，sin sin AD D AC ACD ⋅=⋅∠因为，所以，所以， //AB CD ACD CAB ∠=∠sin sin AD D AC CAB ⋅=⋅∠在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BCB CAB=∠即，所以.sin sin AC CAB BC B ⋅∠=⋅sin sin AD D BC B ⋅=⋅又，所以，即. sin 2sin AD D CD B ⋅=⋅sin 2sin BC B CD B ⋅=⋅2BC CD =（2）解：由（1）知. 112CD BC ==在中，由余弦定理得 ACD A 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，故.2212122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AC =所以. 222cos cos 2CD AC AD CAB ACD CD AC +-∠=∠===⋅在中，由余弦定理得， ABC A 2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠即，解得或. 22272AB AB =+-2430AB AB -+=1AB =3又因为为梯形，所以.ABCD 3AB =21．在△中，角的对边分别为，， ABC ,,A B C ,,a b c 22sin cos 212A CB ++=（1）若，求的值；3b a ==c （2）设，当取最大值时求A 的值. sin sin t A C =t 【答案】（1）；（2）4c =3A π=【分析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得，利用余弦定理，可求的值； B c （2）利用二倍角、辅助角公式，化简，结合的范围，即可得取最大值时求的值． A t A 【详解】解：（1）， 22sincos 212A CB ++= ，21cos()22cos 112A CB -+∴⋅+-=即，22cos cos 10B B +-=舍去）， 1cos (cos 12B B ∴==-又，，()0,B π∈3B π∴=由余弦定理，可得，21139232c c =+-⨯⨯，2340c c ∴--=或，1c ∴=4c =时，，，与三角形内角和矛盾，舍去，1c =c<a<b 3C A B π<<=；4c ∴=（2）， 2111sin sin sin sin()sin sin )sin(2)32264t A C A A A A A A ππ==-=+=-+，， 2(0,3A π∈∴72(,)666A πππ-∈-， ∴1sin(2(,1]62A π-∈-当，∴262A ππ-=即时，．3A π=34max t =22．已知向量，，若函数的最小正),cos a x x ωω=-()()sin ,cos 0b x x =<ωωω()12f x a b =⋅+r r 周期为.π(1)求的单调递增区间：()f x (2)若关于的方程在有实x 25π2π5ππ22330123126a fx f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦数解，求的取值范围.a 【答案】(1)()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)或1a ≥a ≤【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然后求ω解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；()f x（2）化简方程为：，令()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=[]π21,14t x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，原方程化为，整理，等价于在()2222330a tt a ---+=22230att a +--=22230at t a +--=有解，利用参变量分离法可知[]1,1-在上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数取值范围. 212132t a t-=-[]1,1-a【详解】（1）解：因为，，),cos a x x ωω=- ()()sin ,cos 0b x x =<ωωω，()2111πcos cos 2cos 2sin 22226f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅+=-+=-=- ⎪⎝⎭ ωωωωωω因为且函数的最小正周期为，则，解得， 0ω<()f x π2πππ2T ===-ωω1ω=-所以，，()ππsin 2sin 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由可得， ()ππ3π2π22π262k x k k +≤+≤+∈Z ()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z 所以，函数的单调递增区间为.()f x ()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）解：，()5π5ππsin 2sin 2πsin 212126f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2π2ππ3πsin 2sin 2cos 23362f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦方程，25π2π5ππ22330123126a fx f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦即方程，()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=因为，则，π04x ≤≤πππ2444x -≤-≤设，[]πsin 2cos 221,14t x x x ⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，， ()()22sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x ++-= ()22sin 2cos 22x x t ∴+=-原方程化为，整理，()2222330a tt a ---+=22230att a +--=方程等价于在在有解，22230at t a +--=[]1,1-设，()2223g t at t a =+--当时，方程为得，故； 0a =230t -=[]31,12t =∉-0a ≠当时，在上有解在上有解，0a ≠()221230a t t -+-=[]1,1-212132t a t-⇔=-[]1,1-问题转化为求函数上的值域，()2211132t y x t-=-≤≤-设，则，，，32u t =-23t u =-[]1,5u ∈()232117622u y u u u --⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭设，任取、且， ()7h u u u=+1u []21,5u ∈12u u <则()()()1212121212171717766222h u h u u u u u u u u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()()12121212121277122u u u u u u u u u u u u ---⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦当，，则， 121u u ≤<<120u u -<1207u u <<()()12h u h u>时，，，则， 125u u <<≤120u u -<127u u >()()12h u h u <所以，函数在上单调递减，在上单调递增，()hu ⎡⎣⎤⎦所以，的取值范围是，y 3,1⎤⎦在上有实数解或212132t a t -⇔=-[]1,1-13,11a a ⎤⇔∈⇔≥⎦a ≤。
重庆数学高一下期中经典复习题(提高培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．642．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+3．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．(0分)[ID ：12400]若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．65．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B C ．D ．26．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线m α，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤7．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个 C ．有无限多个 D ．不存在8．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ）A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π10．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒； ④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒ 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a12．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83313．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离14．(0分)[ID ：12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π15．(0分)[ID ：12385]一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．√33B ．√17C ．√41D ．√42二、填空题16．(0分)[ID ：12490]已知圆锥的底面半径为10，高为30，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是_____.17．(0分)[ID ：12514]过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.18．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．19．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.20．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号________21．(0分)[ID ：12467]已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________． 22．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______23．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.24．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.25．(0分)[ID ：12496]如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12627]已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．27．(0分)[ID ：12592]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值.28．(0分)[ID ：12591]如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值.29．(0分)[ID ：12560]如图，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC 可以通过Rt AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．30．(0分)[ID ：12556]如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD，且直线HA与平面PAD所成角的正弦值为.若存在，求PM的长；若不存25在，请说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．C4．B5．D6．D7．A8．A9．D10．B11．B12．B13．B14．C15．C二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r高为h得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r高为h侧面积为S则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内17．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D118．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结19．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心20．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方21．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④22．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用23．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为24．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC ＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心25．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()22233h ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．2．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4031---=﹣1，PB的斜率为2031--=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.3．C解析：C【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.5．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min PC =，2222+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+ 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.9．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABCS不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确；对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D SAB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=. 故选：B.13．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.14．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15．C解析：C 【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面ABCD 边长为4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，点P 在底面的射影为E ，所以PE ⊥AD,DE =1,AE =4,PE =4,所以PA =√PE 2+AE 2=5,PB =√PE 2+BE 2=√41,PC =√PE 2+CE 2=√33,PD =√PE 2+DE 2=√17,底面边长为4，所以最长的棱长为√41，故选C.考点：简单几何体的三视图．二、填空题16．；【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 得到将侧面积表示为底面半径的函数用配方法求二次函数的最大值【详解】设内接圆柱的底面半径为r 高为h 侧面积为S 则时侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥内 解析：150π； 【解析】 【分析】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，得到303h r =-，将侧面积表示为底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值. 【详解】设内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，侧面积为S ,则303033010h rh r -=∴=-22660S rh r r πππ∴==-+226(10)6(5)150r r r πππ=--=--+5r ∴=时，侧面积max 150S π=故答案为：150π 【点睛】本题考查了圆锥内接圆柱的问题，考查了学生空间想象，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.17．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4【解析】 【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．故答案为4． 【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．18．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结【解析】 【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为1||(1),12,2AF a a a a -+===.故答案为：12-+. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.19．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π【解析】 【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得2213222322D ABC O ABC V V d --==⨯⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方解析：①② 【解析】 【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线; ②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角; ②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行.【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题;对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos nα时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②. 故答案为:①② 【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.22．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||||221||||||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.23．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】 【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．24．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， 再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．25．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V .详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r hV V r hr hππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==.三、解答题 26．（1）证明见解析；（2）34m =-， 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为= 故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.27．（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】。
重庆市第十一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(特
重庆市第十一中学2015至2016学年度高二下半期数 学 试 题（理科二)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 若复数z 满足i i z 23)1(+=-,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13 B.－12 C.13 D.123. 用数学归纳法证明命题：2 (3214)22n n n +=++++时，则从n k =到1n k =+左边需增加的项数为( )A.12-nB. n 2C. 12+nD. 12+-n n4. 已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5. 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是（ ）A ．2B ．22C ．223D ．236. 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为( )A ．33 B ．332 C ．554 D ．56 7. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点（1，1）处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体EFD A '的四个顶点在同一个球面上，则该球面的面积为（ ）．A.π3B. π6C. π10D. π189. 设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．2(1－ln 2)B. 1－ln 2 C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)10. 已知,(0,)2αβπ∈，且ββααsin sin <，则下列结论正确的是（ ）．A ．βα<B ．2πβα>+ C ．βα> D ．2πβα<+11. 若圆222)5(3x r y =++-）（上有且仅有两个点到直线4x －3y ＝2的距离 等于1，则半径r 的范围为( )A.[)64，B.(4,6)C.(]64，D.[4,6] 12.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，11)0(=f ，则不等式xx e e x f 10)(+>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．),10(+∞ B.),11()0,(+∞⋃-∞ C.)11,(-∞ D ．(,0)-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，则围成封闭图形(阴影部分)的面积是__________．14. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是________． 15. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．16.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分。
重庆市第十一中学校教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
重庆市第十一中学校教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．下列命题正确的是（ ）A ．若a r P ,b b r r P c r ，则a r P c rB ．若,a b r r 的方向相反，则,a b r r 是相反向量C ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若a r 与b r 不共线，则,a b r r 可构成一组基底3．已知等边三角形ABC 的边长为1，设B C a =r u r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r ，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r （ ） A ．3 B ．3- C ．32 D ．32- 4．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A ．,,m n m αα⊂⊂P ,n βP βα⇒P βB ．αP ,m m βα⊂⇒P β；C ．n P ,m n m α⊂⇒P αD ．m P ,n m αα⊂⇒P n .5．在ABC V 中，已知：4a =，b x =，60A =o ，如果解该三角形有两解，则（ ）A ．>4xB ．04x <≤C ．43x ≤≤D ．43x << 6．解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.我校数学兴趣小组为了测量其高度AB ，在地面上共线的三点C ，D ，E 处分别测得顶点A 的仰角为30,45,60o o o ，且22m C D D E ==，则解放碑的高AB 约为（ ）2.449≈）A ．24mB ．27mC ．30mD ．33m7．如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC VAP u u u r 的最小值为（ ）A B C ．1 D ．348．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2sin sin cos sin a A c B A b B -=，且()230cos 9cos21650B C A λλ++++…恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．7,88⎡⎢⎣⎦B ．71,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦二、多选题9．以下四个命题正确的是（ ）A ．三个平面最多可以把空间分成八部分B ．若直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则“a 与b 相交”与“α与β相交”等价C ．若l αβ=I ，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，且a b P =I ，则P l ∈D ．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为6，则（ ）A ．设圆锥的轴截面三角形为PAB V ，则其为等边三角形B ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则12278V V = D ．设,S T 是圆锥底面圆上的两点，且3ST =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为3π511．设复数()i ,R z a b a b =+∈，其中i 为虚数单位，则下列正确的是（ ）A ．若0,1a b ==，则2320261z z z z +++⋯+=B ．若()2i z ⋅+=2z z ⋅=C ．若1z =，则1z -的最大值为3D ．方程2560z z -+=在复数集中有6个解三、填空题12．已知单位向量a r ，b r满足|2|a b -=r r ，则a r 与b r 的夹角为 ．13．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对应的边，ABC S =△若在ABC V 中有22sin 3,cos ,sin 5C c B a b c A ==>>，则利用“三斜求积术”求ABC V 的面积为 .14．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,AA AB AD ===P 为线段1A B 上的一个动点，当P 为1A B 中点时，三棱锥11A PAD -的体积为 ，当1AP D P +取最小值时，1A PPB = .四、解答题15．如图所示，四边形ABCD 是矩形，且24AB AD ==，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.(1)求阴影部分形成的几何体的表面积；(2)求阴影部分形成的几何体的体积.16．已知向量a r ，b r 的夹角为60o ，且()1,0a =r .（1）若2b =r ，求b r 的坐标；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r ，R λ∈，求a b λ+r r 的最小值. 17．如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上.（1）若sin CMA ∠=，求CM 的长；（2）点N 是线段CB 上一点，MN =12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====.(1)若点E 为PC 的中点，M 为DC 的中点，求证：平面BEM //平面PAD .(2)在棱PD 上是否存在一点F ，使得AF //平面PBC ？若存在，请求出PF FD的值：若不存在，请说明理由. 19．“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120o 时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=o 的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120o 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos2cos22sin B A C -=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC V 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)设点P 为ABC V 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值.。
重庆市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （ ） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = ab （ ） A. 1B.C.D.1-bb -5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）ADA.B. C. D.112π348π128π208π7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A. B. C. D.2π4π6π8π8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（ ）2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1 B.C.D.563423二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）l αβA. 若，则 //,//l l αβ//αβB. 若，则 //,//l αβα//l βC. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβD 若，则 //,l αβα⊥l β⊥10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（ ） π,03⎛⎫-⎪⎝⎭A. 是的一个周期 2π()f xB. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π11. 中，是角的对边，，则（ ）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（ ） G 11A B A. DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC GC. 直线与平面AB 1BC GD. 过点且与直线垂直的平面F DE α+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.14. 已知复数满足，则__________. z 24i z z +=+z =15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =16. 已知平面向量满足，则的最大值为__________. ,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==-（1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+ k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.abk 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 22. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++秘密★启用前[考试时间：5月12日14：30-16：30]重庆一中高2025届高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数代数形式的四则运算化简，再由复数的几何意义得结果. 【详解】由，则有3i z =+， ()()()()24223i 3i 3i (412i (1i)(1i)2i)4z ⎡⎤=+=+=+⨯-=⎣+⎦+-⋅-所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限. 4(1i)z ⋅+()12,4--故选：C.2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （ ） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得，进而利用三角形内角和进行判断即可． sin sin b CB c=【详解】∵中，，ABCA 2,30b c C === ∴根据正弦定理，得sin sin b c B C=sin sin b C B c ===∵B 为三角形的内角，，则有或， b c >60B = 120B = ∴三角形的解有两个． 故选：B ．3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A ，设，无解，即不共面，故可以作()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+,,a b c为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+,,a b c一个基底，故B 错误；对于C ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+,,a b c一个基底，故C 错误；对于D ，设，解得，所以共面，故不可以()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+12λμ==,,a b c作为空间向量一个基底，故D 正确. 故选：D4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = a b （ ） A. 1 B.C.D.1-bb -【答案】C 【解析】【分析】由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.1a b ⋅= 【详解】因为，，1b = ()22a b b a b b +⋅=⋅+= 所以，1a b ⋅=所以，向量在向量上的投影向量为. a b 111a b b b b bb ⋅⋅=⋅= 故选：C ．5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<【答案】B 【解析】【分析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.表示出3个几a b R S 何体的表面积，得出，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案. ,,a b R 【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为. a b R S 正方体表面积为，所以， 26S a =26S a =所以，； ()()3232321216S V aa ===如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底-P ABC D AC O ABC A PO -P ABC 面上的高.ABC 则，，所以， BD AC ⊥12AD b=BD ==所以，21122ABC S AC BD b =⨯⨯=⨯=A 所以，正四面体的表面积为，所以. -PABC 24ABC S S ==A 2b =又为的中心，所以. O ABCA 23BO BD ==又根据正四面体的性质，可知， PO BO ⊥所以，PO ==所以，22213ABC V S PO ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭A 2213⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭363117272b S ⎫==⨯=⎪⎪⎭；球的表面积为，所以， 24πS R =24πSR =所以，.2233341π336πV R S ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为， 3333311136π144216S S S >>>=所以，，222312V V V >>所以，.213<<V V V 故选：B.6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）ADA. B. C. D.112π348π128π208π【答案】D【解析】【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段AD 或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半AD 径，即可得出答案.【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.取圆台的轴截面由题意知，球心一定在线段或的延长线上 O AD AD如图1，当球心在线段上时.O AD过点作于点，则， C CEAB ⊥E sin 302CE BC == cos30BE BC ==所以，CD =AB =设球的半径为，，，R ()02OA x x =≤≤2OD x =-则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得（舍去）；50x +=5x =-如图2，当球心在的延长线上时.O DA 过点作于点，则，C CEAB ⊥E sin 302CE BC ==cos30BE BC == 所以，CD =AB =设球的半径为，，则，R ()0OA x x =>2OD x =+则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得.50x -=5x =所以，，227352R =+=所以，圆台外接球的表面积为.24π208πR =故选：D.7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A.B. C. D.2π4π6π8π【答案】B【解析】【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶π6点，因此，该正八面体的总曲率为.62π8π4π⨯-=故选：B.8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（ ） 2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1B. C. D. 563423【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，进而可得，，可求a 4()ab a b =-a b ．(1sin )(1sin )A B +-【详解】由正弦定理得，即，，24sin sin sin a b c R A B C====4sin a A =4sin b B =， 4sin c C =又，则， 224(sin sin ))sin A B b B -=-2216sin 16sin )4sin A B b B -=-则，即，得①， 22)a b b b -=-2a =a 因为，则， 1()2ABC S c ab =-A 11sin ()22ab C c a b =-则，即②， 1()4abc c a b =-4()ab a b =-结合①②解得，， b =1)a =则， 1sin 1114a A +=+=+-=1sin 1114b B -=-=-=所以．(1sin )(1sin )1A B +-=故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）l αβA. 若，则//,//l l αβ//αβB. 若，则//,//l αβα//l βC. 若，则,l l αβ⊥⊥//αβD. 若，则//,l αβα⊥l β⊥【答案】CD【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.【详解】若，则与可能平行，可能相交，A 选项错误；//,//l l αβαβ若，则或，B 选项错误；//,//l αβα//l βl β⊂若，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则，C 选项正确； ,l l αβ⊥⊥//αβ若，一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则一定垂直与另一个，则//,l αβα⊥l β⊥，D 选项正确.故选：CD.10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（ ） π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 是的一个周期2π()f x B. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π【答案】BD【解析】 【分析】由题意，利用正弦函数的图像和性质，先求出函数的解析式为，从而可判断其周期、轴对称、变换后的解析式，即可判断A ，B ，()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ；依题意求得函数在上与有两个交点，进而即可判断D ． ()y f x =[]0,π910y =【详解】由函数在上单调，则，得()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12πππ22ω⨯≥+． 203ω<≤又函数图像关于点对称，则，，得． ()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭πππ36k ω-+=k ∈Ζ132k ω=-+所以，即． 12ω=()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故有的最小正周期为，故A 错误；()f x 2π4π12=又为最大值，可得的图像关于对称，故B 正2ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2π3x =确；将的图像向右平移个单位后对应函数为，是一个奇函数，故C 错误； ()f x π3sin 2x y =由，则，则， []0,πx ∈ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π1sin ,1262x f x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又，， π1sin 62=2πsin 3=9110<<所以函数在上与有两个交点，即函数在上有2()y f x =[]0,π910y =9()10y f x =-[]0,π个零点，故D 正确．故选：BD ．11. 中，是角的对边，，则（ ）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则 π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线 ,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈【答案】ABD【解析】【分析】根据题意并结合余弦定理可得，由正弦2222cos b a c ac B =+-2cos a c a B =-定理以及三角恒等变换可得，即可判断AB 正确；由等面积2B A =可知，即C 错误；根据三角形形状可得，ABC ABD BCD S S S =+△△△BD =ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可确定，可解得，所以D 正确. ()28,12b ∈(b ∈【详解】根据题意由，结合余弦定理可得， 22b a ac =+2222cos b a c ac B =+-，又因为，所以；22cos ac c ac B =-0c ≠2cos a c a B =-利用正弦定理可得，sin sin 2sin cos A C A B =-再由可得，，()sin sin C A B =+()sin sin 2sin cos A A B A B =+-即，所以； sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-()sin sin A B A =-又因为，所以，即；(),0,πA B ∈A B A =-2B A =对于A ，若，则，故A 正确； π2B =4π2B A ==对于B ，若，则，由可得， ,2π6A a ==3π2B A ==2cos a c a B =-4c =所以的面积为，即B 正确； ABC A 1sin 2ABC S ac B ==△对于C ，如下图所示：由等面积可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△由选项B 可得，所以， 3π4,c B ==π6ABD CBD ∠=∠=即，解得，所以C 错误；1π1πsin sin 2626ABC S c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅=A BD =对于D ，若为锐角三角形，，则可得， ABC A 2a =2cos 24cos c a aB B =+=+且，即，解得，所以 π0,2π0,2π0,2A BC ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩π022π02π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，所以，因此，即D 正确. 2288cos b a ac B =+=+()28,12b∈(b ∈故选：ABD12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（ ）G 11A B A.DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC G C. 直线与平面AB 1BC G D. 过点且与直线垂直的平面FDE α+【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，利用是否等于D DE BG ⋅u u u r u u u r零，即可判断A ；求出平面的法向量，与是否垂直，即可判断B ；根据直线1BC G AF 与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据AB 1BC G AB1BC G 角的关系求出所要求的结果，即可判断C ；做出过点且与直线垂直的平面的截面F DE α图，根据几何关系即可求出其周长，即可计算出D ．【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立坐标D DA DC 1DD x y z 系，如图所示，则，，，，，，()0,0,0D ()1,2,1E ()2,2,0B ()2,1,2G ()2,0,0A ()0,1,1F ()10,2,2C ，，()2,1,2G 对于A ，由，，则，所(1,2,1)DE = (0,1,2)BG =-u u u r 102(1)120DE BG ⋅=⨯+⨯-+⨯= 以，故A 正确；DE BG ⊥ 对于B ，设平面的法向量为， 1BC G 111(,,)n x y z =由，，，1(2,0,2)BC =-u u u r (0,1,2)BG =-u u u r (2,1,1)AF =-u u u r 则即，令，则，，则， 100BC n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111122020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩11z =11x =12y =(1,2,1)n = 又，所以与平面不平行，故B 错误； (2)1121110AF n ⋅=-⨯+⨯+⨯=≠ AF 1BC G 对于C ，设直线与平面所成的角为，AB 1BC G α又，结合选项B 得所以(0,2,0)AB = πsin cos()2AB n AB n αα⋅=-===⋅，故C 正确； cos α==对于D ，结合C 选项得，则平面，n DE = DE ⊥1BC G 取，的中点为，，， 11A D 1AA X T 112WD CV AU ===由几何关系可知，，，则组成一个平面，WX U ∥V WV TU ∥WXTUV 由，，，均在平面内，BG TU ∥1BC TX ∥TU TX WXTUV 则平面，即过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如DE ⊥WXTUV F DE α图所示平面，WXTUV 则截面的周长为 WXTUVWX XT TU UV VW ++++=+=，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了立体几何的综合应用，属于难题． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.【答案】【解析】【分析】求出正的面积，再利用直观图与原图形面积间的关系计算作答.A B C '''A【详解】依题意，正的面积， A B C '''A 221πsin 223A B C S A B '''''===A所以的面积ABC A A ABC B C S '''==A A故答案为：14. 已知复数满足，则__________.z 24i z z +=+z =【答案】34i --【解析】【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解【详解】设，()i ,R z a b a b =+∈∵，24iz z +=+，即，解得， i 24ia b ++=+24a b ==⎪⎩34a b =-⎧⎨=⎩则有，.34i z =-+34z i =--故答案为：.34i --15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =【答案】1【解析】【分析】设，有，，在π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-ACD A 中，由正弦定理求出，得到，可求.θC ∠sin C 【详解】如图所示，设，由，则， π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭AD BD =ABD θ∠=所以，，， 2ADC θ∠=π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-在中，由正弦定理可得， ACD A 2ππsin sin 33AD DC θθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 2AD CD =2ππsin 2sin 33θθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，即， 1sin sin 2θθθθ-=+tan θ=π6θ=，. 2π2πππ3362C θ∠=-=-=sin 1C =故答案为：116. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 【答案】12 【解析】【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察和以及两个向量夹角的变化，b c判断取最大值的位置.b c ⋅【详解】设，则,,OA a OB b OC c ===,BA a b CA a c =-=- 由，则，B 点在以A 为圆心2为半径的圆周上，C 点在2,1a a b a c =-=-=2OA = 以A 为圆心1为半径的圆周上，如图所示，，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置，cos b c OB OC OB OC ⋅=，,,A B C有最大值4，有最大值3，此时取最大值1，OBOC cos ,OB OC 所以的最大值为12.b c ⋅故答案为：12.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==- （1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. abk 【答案】（1）1-（2） (,1)(1,1)-∞-⋃-【解析】【分析】（1）根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，22a b k ⋅=-+即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即0a b ⋅< a b可求解. 【小问1详解】解：由向量，可得，()()2,2,1,a b k ==- 22a b k ⋅=-+因为，可得，解得.()2a a b ⊥+ ()2228440a a b a a b k ⋅+=+⋅=-+= 1k =-【小问2详解】解：由（1）知，，解得，220a b k ⋅=-+<1k <又由向量与不共线，可得，解得，a b22(1)k ⨯≠⨯-1k ≠-所以实数的取值范围是k (,1)(1,1)-∞-⋃-18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由勾股定理证明所以，又，可证平面.ACBC ⊥AC PC ⊥AC ⊥PBC （2）由，利用体积法求点到平面的距离. D PBC P BCD V V --=D PBC 【小问1详解】四边形为等腰梯形，， ABCD //,2,4AB CD AD CD AB ===过点C 作于E ，如图所示，CEAB ⊥则，可知，1BE =60ABC ∠= 由余弦定理知， 2222cos 164812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-=则，所以，222AC BC AB +=ACBC ⊥又，平面，， AC PC ⊥,PC BC ⊂PBC PC BC C ⋂=所以平面. AC ⊥PBC 【小问2详解】 连接BD ，如图所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面， AC ⊥PBC AC ⊂ABCD ABCD ⊥PBC 平面平面，平面，，平面， ABCD ⋂PBC BC =PB ⊂PBC PB BC ⊥PB ⊥ABCD又，， 2sin 60CE == 12BCD S CE CD =⋅=A所以， 11433P BCD BCD V S PB -=⨯⋅==A在中，由，得PBC A PB BC ⊥12PBC S PB BC =⋅=A设点到平面的距离为d ，则，D PBC 13D PBC V -=⨯，解得到平面D PBC P BCD V V --=d =D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 【答案】（1） 49π3S =（2） BD =【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，7a =R =即可求出； 49π3S =（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得. 32AD =BD =【小问1详解】由，利用余弦定理可得 2π,5,33A b c ===，所以；22212cos 259253492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭7a =因此的外接圆的半径为，ABC AO 112sin 2a R A =⨯==所以的外接圆的面积 ABC A O 249ππ3S R ==【小问2详解】 如下图所示：由直线平分角，利用角平分线定理可得， BD ABC ∠37AD AB DC BC ==又，所以， 5b AC ==33102AD AC ==因此在中，由余弦定理可得ABD △，222931632cos 9234224BD AB AD AB AD A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以，即线段BD =BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值. 【小问1详解】过N 作NG DE 与AD 交于G 点，连接MG ，因为NG 平面CDE ，平面CDE ，A ⊄DE ⊂所以NG 平面CDE ，因为NG DE ，所以， A A AN NG AGAE DE AD==因为，，所以，所以MG AB CD ， BM NA =AE BD =AG BMGD MD=A A 因为MG 平面CDE ，平面CDE ，所以平面CDE ， ⊄DC ⊂MG A 因为，平面MNG ，平面MNG ，⋂=MG NG G MG ⊂NG ⊂所以平面MNG 平面CDE ，因为平面MNG ，所以直线MN 平面CDE ； A MN ⊂A 【小问2详解】因为平面平面，平面平面，ABCD ⊥ADEF ABCD ⋂ADEF AD =又平面ADEF ，，所以平面ABCD ，AF ⊂AF AD ⊥AF ⊥则以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标，如图， 可得，，，，(0,0,0)A (0,3,0)D 2(,1,0)3M 1(0,1,3N所以，，1(0,1,3AN = 2(,1,0)3AM = 设平面AMN 的法向量为，则，所以，(,,)n x y z = 0AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 203103x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令，可得，，3x =(3,2,6)n =-设平面MND 的法向量为，，，(,,)m a b c = 1(0,2,3DN =- 2(,2,0)3DM =- 则，所以，令，可得， 0DM m DN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22031203a b b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩3a =(3,1,6)m = 所以，cos ,m n ==所以平面与平面夹角的余弦值.AMN DMN cos ,m n ==21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 【答案】（1）证明见解析；（2，②最大值为35【解析】【分析】（1）由三棱台性质及其边长即可证明平面，利用面111ABC A B C -BC ⊥AOM 面垂直的判定定理即可证明平面平面；ABC⊥AOM （2）①由题意可知即为二面角的平面角，，以为坐AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠O 标原点建立空间直角坐标系，可得，平面的一个()12,,BB θθ=-11AACC 法向量为，把代入可得直线与平面所成角的3,n ⎛=- ⎝ π6θ=1BB 11AAC C ；②当时，，利用的范围即ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin α=θ可求得直线与平面所成角的正弦的最大值为. 1BB 11AAC C 35【小问1详解】因为为等腰三角形，为的中点，所以， ABC A O BC BC AO ⊥又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以，11BCC B M 11B C BC MO ⊥又平面， ,,AO MO O MO AO ⋂=⊂AOM 因此平面，BC⊥AOM 平面，所以平面平面BC ⊂ABC ABC ⊥AOM 【小问2详解】在平面内，作， AOM ON OA ⊥由（1）中平面平面，ABC⊥AOM 且平面平面，平面，可得平面； ABC ⋂AOM OA =ON ⊂AOM ON ⊥ABC 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：,,OB OA ON x yz又因为，，BC MO ⊥BC AO ⊥所以即为二面角的平面角，所以， AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠在中，，易知， ABC A 8,5BC AB AC ===4,3OB OA ==又，可得； 1114,O B B C CC C M =⊥=OM =所以()()()()()10,3,0,4,0,0,4,0,0,0,,,2,,A B C M B θθθθ-，；()12,,C θθ-即，()12,,BB θθ=- ()()14,3,0,2,,CA CC θθ==设平面的一个法向量为，11AAC C (),,n x y z =所以，143020n CA x y n CC x y z θθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+⋅+⋅=⎪⎩可令，则，即； 3x =-4,y z ==3,n ⎛=- ⎝①当时，，，π6θ=(1BB =-(3,4,n =-- 设直线与平面所成角的为， 1BB 11AAC C α所以111sin cos ,BB n BB n BB n α⋅====即时，直线与平面. π6θ=1BB 11AAC C ②当时， ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦111sin cos ,BB n BB n BB nα⋅====设，则在恒成立，ππ(),42f θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()0f θ'=>ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以在上单调递增，， ()f θππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f θ∈-，所以；[]20,3∈时，， 0=()max3sin 5α=所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为. ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 3522. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.A （2）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式T 结合余弦定理可解.【小问1详解】由正弦定理得即)2222sin bcA b c a =+-sin A=由余弦定理有，sin A A =若，等式不成立，则， cos 0A =cos 0A ≠所以. tan A =因为， ()0,πA ∈所以. π=3A 【小问2详解】.222444=AB BC ACa a T PD PE PF PD P c E PF c PD a PEb b P b Fc =++++=++又， 111,,,222PAB PBC PAC PAB PBC PAC ABC S c PD S a PE S b PF S S S S ===++=A A A A A A A.2ABC c PD a PE b PF S ∴++=A由三维分式型柯西不等式有. ()222224422ABC b c b c T c PD a PE b PF S ++⨯=++≥=A 当且仅当即时等号成立. 112PD PE PF===2=2PE PD PF 由余弦定理得， 222=2cos a b c bc A +-224=c b b c +-所以即，则()243b c bc +-=()24=3b c bc +-2T ≥令，则4t b c =++2128T t t≥=因为解得，当且仅当时等号成立.()224=322b c b c bc b c a ⎧+-+⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+>=⎩2+4b c <≤b c =所以.则. 68t <≤11186t ≤<令，则在上递减， 2212811111233y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭21111233y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,86111t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭当即时，有最大值，此时118t==2b c =y 316T 【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.。
重庆十一中高一下期中数学试卷文科
2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．34．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．38．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有盏灯”．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA ﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．20．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年重庆十一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（）A．写下对定理或公式的验证方法B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上【考点】V3：中国古代数学瑰宝．【分析】利用笔记的记录方法直接求解．【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确；要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确；用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确；没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误．故选：D．2．观察数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…的结构特点，则x的值最好应该填（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，问题得以解决【解答】解：从第三个数字开始，后面的数总是前2个数字的和，故x=8+13=21，故选：C3．已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，则a5等于（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2﹣8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．4．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．5．已知数列{a n}满足，则a2017的值为（）A．B．C．2017 D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．=a n即可可得a n+4【解答】解：数列{a n}中，a1=2017，a n+1=，∴a2=﹣，a3=﹣，a4=，a5=2017，…．=a n．∴a2017=2017，可得a n+4故选：C6．已知向量，满足=1，||=2，⊥，则向量与向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，得•=0，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：∵=1，||=2，∴由⊥，得•=．即，解得cos＜＞．故选：A．7．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（）①若•=•，则=②•（•=（•）•③在△ABC中，，则点P必为△ABC的垂心．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．【解答】解：对于①，在等边三角形中，，显然，故①错误；对于②，•（•表示与共线的向量，（•）•表示与共线的向量，显然•（•≠（•）•，故②错误；对于③，若，则（）=0，即，∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心，故③正确．故选B．8．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A 和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a2+c2﹣b2=2ac•cosB，b2+c2﹣a2=2bc•cosA，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D9．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA，c=3，，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=，结合范围0＜C＜π，可求C的值．由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，因为sinB≠0，所以cosC=，因为0＜C＜π，所以C=．由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0…①，又…②，将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得ab=或ab=﹣1（舍去），=absinC=，所以S△ABC故选：A．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，则数列中值最小的项是（）A．第1008 项B．第1009 项C．第2016项D．第2017项【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a1008＞0，a1009＜0，由此能求出数列中值最小的项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1008+a1009＞0，a1009＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∴数列中值最小的项是第1009项．故选：B．11．△A BC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论不正确的是（）A．B． C．D．【考点】93：向量的模．【分析】作出向量示意图，用三角形ABC的边表示出，，根据等比三角形的性质判断．【解答】解：取AB的中点D，BC的中点E，∵，，∴==，==，∴||=BC=2，故A正确；==1×2×cos120°=﹣1，故B正确；||=||=||=CD=，故C错误；=2+，∵，∴（2+）⊥，∴（4+）⊥，故D正确．故选C．12．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），若S5=31，则实数p的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性．【分析】由题意求出a1，a2，a3，a4，a5，利用S5=31，即可求出p的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=2a n+p（n∈N*），所以，n=1时，S1=2a1+p，a1=﹣p，n=2时，a1+a2=2a2+p，a1=﹣p，∴a2=﹣2p，n=3时，a1+a2+a3=2a3+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，∴a3=﹣4pn=4时，a1+a2+a3+a4=2a4+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，∴a4=﹣8p，n=5时，a1+a2+a3+a4+a5=2a5+p，a1=﹣p，a2=﹣2p，a3=﹣4p，a4=﹣8p，∴a5=﹣16p，∵S5=31，∴31=2a5+p=﹣31p，∴p=﹣1．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴===．故答案为：．14．《写给全人类的数学魔法书》第3部遇到任何数学题都能够解答的10种解题思路中有这样一道例题：“远望巍巍塔八层，红光点点倍加增，其灯五百一十，则顶层有2盏灯”．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【解答】解：设顶层灯数为a1，由题意得：q=2，则=510，解得a1=2．故答案为：2．15．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣2017，﹣=2，则S2017的值为﹣2017．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】求出﹣=﹣=d=2，由此能求出S2017．【解答】解：S2009=，S2007=，∴﹣=﹣=d=2，∵a1=﹣2017，∴S2017=na1+d=﹣2017×2017+2017×2016=﹣2017．故答案为：﹣2017．16．O为△ABC的外心，D为AC的中点，AC=6，DO交AB边所在直线于N点，则的值为﹣18．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用垂径定理可得在上的投影为﹣3，利用定义求出的值．【解答】解：∵D是AC的中点，∴OD⊥AC，即DN⊥AC，∴CN•cos∠ACN=CD=AC=3，∴=AC•CN•cos=﹣6CNcos∠ACN=﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤）17．在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）运用等差数列的性质和等比中项的定义，结合等差数列的通项公式，计算可得首项a1和公差d；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）在单调递增的等差数列{a n}中，a1+a3=2a2=8，即有a2=4，又因为a4为a2和a9的等比中项，可得a42=a2a9，即有4（4+7d）=（4+2d）2，解得a1=1，d=3（0舍去）；（2）由（1）可得，则．18．已知，且，求当k为何值时，（1）k与垂直；（2）k与平行．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1），可得﹣5+2t=1，解得t=2．k与垂直，可得（k）•（）=0，联立解得k．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．可得16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得k．【解答】解：（1），∴﹣5+2t=1，解得t=2．∵k与垂直，∴（k）•（）=﹣3=k（1+t2）+（1﹣3k）﹣3×（25+4）=0，联立解得．（2）k=（k﹣5，2k+2），=（16，﹣4）．∴16（2k+2）+4（k﹣5）=0，解得．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足acosC=2bcosA ﹣ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，c=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=即可（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，即可求得面积．【解答】解：（1）由正弦定理可将acosC=2bcosA﹣ccosA转化为sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，⇒sin（A+C）=sinB=2sinBcosA⇒cosA=∵0＜A＜π∴A=（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=b2+4﹣2b→b2﹣2b ⇒8=（b﹣4）（b+2）=0，解得b=4，s△ABC==220．设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）当n=1时，．当n≥2时，，故所求；（2）由，T n=b1+b2+b3+…+b n==．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，求：（1）角B的大小；（2）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围【解答】解：（1）向量=（sinB，cosB）与向量的夹角为，∴，即：﹣cosB=，∴cosB=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（2）由正弦定理，可得：== [sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA﹣sinA）=sin（A+）∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜≤，故的取值范围为（1，]．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证；（2）求得a n=2n﹣1，b n==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），即可求得λ的值．【解答】解：（1）证明：由题知S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0．即当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2．则数列{a n}是等差数列．（2）由（1）知数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，∵b n==．则T n=+++…++，①∴T n=+++…++，②由①﹣②得T n=+2（++…+）﹣=+2•﹣，∴T n=3﹣；（3）∵=（3﹣+λ）•=﹣，∴数列{}为等比数列的充要条件是=A•q n（A、q为非零常数），∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列．2017年7月1日。
重庆市第十一中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
重庆市第十一中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．()3,5C ．()
5,3--
二、多选题
五、证明题
20．我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．
f x；
(1)求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用()
(2)为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？
七、解答题
21．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．。
重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}1,2,5,6,2,3,5,6A B ==，则A B = （）A ．{}1,2,3,5,6B ．{}2,5,6C ．{}2,3D ．{}5,62．命题2x ∀>，210x +≤的否定是（）A ．2x ∃≤，210x +≥B ．2x ∃>，210x +>C ．2x ∃≤，210x +>D ．2x ∃>，210x +≥3．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝x 3D ．1y x=-4．已知3m >，则43m m +-的最小值为（）A ．1B ．3C ．5D ．75．设p：x >q ：23x >，则p 是q 的（）条件．A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要6．下列各组函数是同一组函数的是（）A ．11y x =-与211x y x +=-B ．|1|||y x x =++与21,01,1021,1x x y x x x +>⎧⎪=-≤<⎨⎪--<-⎩C ．y x =与y =D ．y x =与2y =7．下列函数中，值域是()0,∞+的是（）A．y =B ．()2,0,1x y x x ∞+=∈++C ．21,21=∈++y x x x ND ．11y x =-8．若关于x 的不等式22430ax ax a ++-≥对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（）A ．{}|01a a <≤B ．{}|01a a ≤≤C ．{}0a a D ．{}|0a a ≥二、多选题9．下列选项是正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>且0m <，则22m m a b >C ．若22ad bd >，则a b>D ．若a b >且c d <，则a c b d->-10．已知x ，y 都为正数，且24x y +=，则下列说法正确的是（）A ．2xy 的最大值为4B ．224x y +的最小值为12C ．21y x +的最小值为94D 11．函数()y f x =的定义域为[1,0)(0,1]-⋃，其图象上任一点(,)P x y 满足||||1x y +=．则下列命题中正确的是（）A ．函数()y f x =可以是奇函数；B ．函数()y f x =一定是偶函数；C ．函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数；D ．若函数()y f x =值域是(1,1)-，则()y f x =一定是奇函数．三、填空题12．设2,0()1,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，则((1))f f -=．13．某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买张车票．14．已知函数2()|67|f x x x =-+在[1,](1)m m >上的最大值为A ，在[,21]m m -上的最大值为B ．①当15m <≤时，A =②若2≥A B ，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知二次函数()22f x x mx n =++的图象过0,3，且函数图象顶点的横坐标为1x =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]2,3-上的值域．16．已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|122B x m x m =-≤≤+．(1)若2m =，求A B ⋂；(2)若A B A = ，求m 的取值范围．17．已知函数2326()1x a f x x +-=+是奇函数．(1)求函数()f x 的表达式；(2)用定义法讨论函数()f x 的单调性；(3)设()()g x f x =，[1,)x ∈+∞，满足(1)(25)g a g a -<-，求a 的取值范围．18．中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.19．若函数Q 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y =-，则称函数Q 是在m x n ≤≤上的“平稳函数”．(1)函数①1y x =+；②2y x =；③2y x =，其中函数______是在12x ≤≤上的“平稳函数”（填序号）；(2)已知函数()2:230Q y ax ax a a =--≠．①当1a =时，函数Q 是在1t x t ≤≤+上的“平稳函数”，求t 的值；②已知函数2:23(0)Q y ax ax a a =-->，若函数Q 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“平稳函数”，且存在整数k ，使得maxminy k y =，求a 的值．。
2024-2025学年重庆十一中教育集团高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆十一中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={1,2,5,6}，B ={2,3,5,6}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,5,6}B. {2,5,6}C. {2,3}D. {5,6}2.命题“∀x >2，x 2+1≤0”的否定是( )A. ∃x ≤2，x 2+1≥0B. ∃x >2，x 2+1>0C. ∃x ≤2，x 2+1>0D. ∃x >2，x 2+1≥03.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )A. y =x +1B. y =−x 2C. y =x 3D. y =−1x 4.已知m >3，则m +4m−3的最小值为( )A. 1B. 3C. 5D. 75.设p ：x > 3，q ：x 2>3，则p 是q 的( )条件．A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要6.下列各组函数是同一组函数的是( )A. y =1x−1与y =x +1x 2−1B. y =|x +1|+|x|与y ={2x +1,x ≥01,−1≤x <0−2x−1,x <−1C. y =|x|与y = x 2D. y =|x|，y =( x )27.下列函数中，值域是(0,+∞)的是( )A. y = x 2−2xB. y =x +2x +1,x ∈(0,+∞)C. y =1x 2+2x +1,x ∈N D. y =1|x−1|8.若关于x 的不等式ax 2+2ax +4−3a ≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为( )A. {a|0<a ≤1}B. {a|0≤a ≤1}C. {a|a >0}D. {a|a ≥0}二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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重庆十一中高2018级8、9班月考数学试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：（本题共12个小题，满分60分）1．已知ABC ∆中，2a =,3b =, 60B =o ，那么角A 等于（ ）A.135oB.90oC.45oD.30o2．复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C. 5z z ⋅=D.ziz =3．已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-r r r，若()//a c b -r r r ，则向量a r 与向量c r 的夹角的余弦值是（ ） A ．5 B ．15C ．5-D ．15-4．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，212122-++=n n n a a a （n ≥2）则a 6=（ ） A ．16 B ．4 C. 22 D ．455．△ABC 外接圆圆心为O ，半径为1，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →＝( )． A.32B. 3 C ．3 D ．2 3 6．数列{错误!未找到引用源。
}满足错误!未找到引用源。
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}前10项和错误!未找到引用源。
（ ）A.55B.50C.45D.407．在△ABC 中，若sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 8．函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则c =（ ）A. 2B. 4C. 6D.2或69．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )．A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形10.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为( )． A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016 11．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．12．定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)使不等式2f (x)<x '()f x <3f (x)恒成立，其中'()f x 为f (x)的导数，则( ) A ．8<(2)(1)f f <16 B ．4<(2)(1)f f <8 C ．3<(2)(1)f f <4 D ．2<(2)(1)f f <3 二、填空题（共20分） 13．若复数z 满足201520161zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z ＝ 14．在ABC ∆中，已知ο30150350===B c b ，，，则边长=a 。
15.已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g eg x x -'=-+，若存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，且 31cos()32A B -=， 则ABC ∆的面积为 ． 三、解答题 （共70分）17．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求函数在（,2)2(f ）处的切线方程。
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值；18．设ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-（Ⅰ）若b=2，求c 边的长；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值，并指明此时三角形的形状。
19．已知数列{错误!未找到引用源。
}各项均为正数，其前n 项和为错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
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（1）求数列{错误!未找到引用源。
}的通项公式； （2）求数列{错误!未找到引用源。
}的前n 项和T n .20.已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且b 2、c 2是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根．(1)求角A 的值；(2)若a =B θ=，△ABC 周长为y ，求()y f θ=的最大值．21．已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. （I ）1a =时，求函数()y f x =的零点个数；（II ）当0a >时，若函数()y f x =在区间[]1,e 上的最小值为2-，求a 的值；22．已知2()sin2xf x x ax π=++，x ∈(0，1)．(1)若f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围;(2)当2a =-时，记f (x )的极小值为f (x 0)，若f (x 1) = f (x 2)，求证：x 1 + x 2 > 2x 0．重庆十一中高2018级8、9班月考数学试题考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：（本题共12个小题，满分60分）1．已知ABC ∆中，2a =,3b =, 60B =o ，那么角A 等于（ C ）A.135oB.90oC.45oD.30o2．复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ C ）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C. 5z z ⋅=D.ziz =3．已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-r r r，若()//a c b -r r r ，则向量a r 与向量c r 的夹角的余弦值是（ A ） A ．5 B ．15C ．5-D ．15-4．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，212122-++=n n n a a a （n ≥2）则a 6=（ B ） A ．16 B ．4 C. 22 D ．455．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →＝( C )． A.32B. 3 C ．3 D ．2 36．数列{错误!未找到引用源。
}满足错误!未找到引用源。
,则数列{错误!未找到引用源。
}的前10项和错误!未找到引用源。
（A ）A.55B.50C.45D.40 7．在△ABC 中，若sin C(cosA+cosB) =sinA+sinB ，则△ABC 的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 8．函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则c =（ ）A. 2B. 4C. 6D.2或69．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( D )．A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 10.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为(B ． )． A ．1 B ．2 C ．2015 D ．201611．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．12．定义在区间(0，+∞)上的函数f (x)使不等式2f (x)<x '()f x <3f (x)恒成立，其中'()f x 为f (x)的导数，则(B ) A ．8<(2)(1)f f <16 B ．4<(2)(1)f f <8 C ．3<(2)(1)f f <4 D ．2<(2)(1)f f <3 二、填空题（共20分） 13．若复数z 满足201520161zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z ＝ 14．在ABC ∆中，已知ο30150350===B c b ，，，则边长=a 。
15.已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g eg x x -'=-+，若存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31cos()32A B -=， 则ABC ∆的面积为 ． 解法1：由等比定理sin sin sin sin sin sin a b a b a bA B A B A B+-===+-得9(sin sin )1(sin sin )A B A B ⋅-=⋅+，故18sin cos 2sin cos 2222A B A B A B A B -++-=，即tan 9tan22A B A B+-=． 因为cos()A B -=221tan 21tan 2A BA B ---+，又根据a b >知A B >，所以7tan 2A B -，从而 37tan 2A B +=于是7tan cot 22C A B +=37sin C ，1157sin 2S ab C == 解法2：在边AB 内取点1A ，使14CA CA ==，则11ACB CA A ABC A B ∠=∠-∠=-．由条件及余弦定理得，22131345245322A B =+-⋅⋅⋅=，进一步有222111119cos cos 216CA A B BC A CA B CA A B +-=-∠=-=⋅，因此1193246162c AA A B =+=⋅⋅+=，29574116c h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11572c S ch ==三、解答题 （共70分）17、已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求求函数在（,2)2(f ）处的切线方程。