复变函数经典例题

第一章例题

例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？

（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；

（2）倾角的直线；

（3）双曲线。

解设，则

因此

（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。

（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。

例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0.

证因在点连续，则，只要，就有

特别，取，则由上面的不等式得

因此，在邻域内就恒不为0。

例1.3设

试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则

从而（沿正实轴）

而沿第一象限的平分角线，时，。

故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。

第二章例题

例2.1在平面上处处不可微

证易知该函数在平面上处处连续。但

当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。

例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。

证因。故

但

在时无极限，这是因让沿射线随

而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。

例2.3讨论的解析性

解因, 故

要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性

解因, 故

要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。

例2.5讨论的可微性和解析性，并求。

解因, 而

在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且

。

例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。

解设，则

由代入得

解得：，从而

。

例2.7设则

且的主值为。

例2.8考查下列二函数有哪些支点

(a)

(b)

解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即

从而

故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。

任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

单闭曲线，则

故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。

最后不是的支点。因若设含0，1的简单闭曲线，则

故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。

（b）可能的支点是0，1，。设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则

结果的终值较初值均发生了变化。故0，1，都是支点，此外别无支点。

例2.9试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。并求出在点取负值的那个分支在的值

解易知的支点是。因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开。在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。

现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则

于是

又由题设，可取。故得

。

（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：

即

其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。

例2.10试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。并求时等于零的那一支在的值。

解的支点为。这是因

当变点单绕一周时，

故的值增加了，的值未改变，从而，的值增加了，

从一支变成另一支。故是支点，同理也都是支点，此外无其它支点。故在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。

现设是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线。则

故

这就是所要求之值。

例2.11求反正弦。

解

例2.12求

解

。

第三章例题

例3.1命表连接点及的任一曲线，试证

（1）（2）

证（1）因，故

，即

（2）因,选则得

，

但我们又可选，则得

由定理3.1，可知积分存在，因而的极限存在，且应与及的极限相等，从而应与的极限相等。今

，

所以。

注当为闭曲线时，

例 3.2（重要的常用例子）

这里表示以为心，为半径的圆周。（注意，积分值与,均无关）。

证的参数方程为：。故

；

当为整数且时

例3.3试证。积分路径是连接和的直线段

证的参数方程为

即

沿，连续，且

而之长为2 ，故由定理3.2 ，。

例 3.4计算积分

其中积分路径为：

（1）连接由点到点的直线段；

（2）连接由点到点1的直线段及连接由点1到点的直线段所组成的折线。解（1）连接及的直线段的参数方程为：

（），

故。

（2）连接与1的直线段的参数方程：

。

连接点1与的直线段的参数方程为：

，

即，

故

由此例可以看出，积分路径不同，积分结果可以不同。

例3.5计算积分

解在单连通区域：内，函数的一个原函数，且

在内解析，故由牛顿—莱布尼兹公式有

例3.6计算下列积分

（1），

（2），其中为右半圆周，，，起点为,终点为；（3）那一支。

解（1）因为的支点为,所以它在闭圆上单值解析。于是由柯西积分定理3.9