相似中的基本图形反A、蝴蝶型

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几何中的蝴蝶定理

几何中的蝴蝶定理几何中的蝴蝶定理几何之蝴蝶定理一、基本知识点模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS1US2 =aUb ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的211×= 346模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）As2BDs1S3CS4①S1US2=S4US3 或者S1×S3=S2×S4 ②AOUOC=（S1+S2）U（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）几何中的蝴蝶定理as1s2S3bS4①S1US3=aUb22②S1*****S4= aUbUabUab ;2③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质22bBhacCHahcBHAA①abch; ABCH22②S1US2=aUA二、例题分析例1、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD 三角形DEF的面积.A111AB，BE BC，CF CA，求234D例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，BEFCE为几何中的蝴蝶定理AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 3 例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？几何中的蝴蝶定理例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义

模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。

常见的相似图形

《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节，同时也是较难学的章节之一。

不少同学在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似，对于证明两个三角形相似也无从下手。

这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型，建立图感，就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。

首先，让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。

一、A型如图1，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，由判定定理一，得出△ABC∽△ADE。

【提示】这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称为A型。

同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用，比如公共角。

二、反A共角型1、如图2，这种图形是A型的变型。

若DE与BC不平行，△ABC与△ADE能否相似？我们可以移动成段DE，使∠AED=∠B，由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE【提示】B、C的对应点由D、E变成E、D，因而对应角和对应线段也发生了相应的变化，这种图形形象地称为反A共角型。

2、变型Ⅰ继续移动成段DE，使E点与C点重合，并保持∠AED=∠B，如图3所示，得△ABC∽△ACD，从而有=，即AC2=AD·AB(比例中项概念)3、变型Ⅱ当AC⊥BC，CD⊥AB时，变成图4，对应点没变，上述结论仍成立，就得出射影定理这个重要定理。

△ABC∽△ACD∽△CBD由△ACD∽△CBD，对应边成比例得出：CD2=AD·DBAC2=AD·ABBC2=BD·AB【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。

三、X型如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，△ADE∽△ABC这种基本图形形象地称为X型。

四、蝶型如图6，DE不平行AB，当∠B=∠E时，△ABC∽△DEC，这种图形形象地称为蝶型。

认识完了基本图形，现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。

专题13 A字型和反A字型相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。

【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。

【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE =2，EC =3，∴AC =AE +EC =5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：A ．【例2】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明：点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ABC ∴ ，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF == ，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~ ，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF S BE BF ab ∴=⋅= ，1322AOE S AE OM ab =⋅= ，1322COF S CF ON ab =⋅= ，1922ABC S AB BC ab =⋅= ，OEF ABC BEF AOE COF S S S S S ab ∴=---= ，2992OEF ABC S ab S ab ∴== ，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S ，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S == ，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯= ，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。

三角形相似模型总结

三角形相似模型总结
三角形相似是初中数学里非常重要的知识点，是中考中一定会涉及的考点之一。

三角形相似的判定和应用题型千变万化，但“万变不离其宗”，常用的一共有以下8种模型。

1、8字形模型
2、反8字形模型
3、A字形模型
4、反A字形模型
5、共边反A字形模型
6、剪刀反A字形模型
7、一线三等角模型
8、一线三垂直模型
【应用举例】
通常来讲，题目中遇到线段成某个比例的已知条件，往往会和三角形相似结合起来。

因为三角形相似就能利用线段的比例。

本题中，△CEF和△EFD是对折关系，所以∠EDF=∠C=60度。

进而得到∠A=∠B=∠EDF=60度，一线三等角模型太明显不过了。

因此：△AED ∽△DBF。

小学奥数之蝴蝶定理

小学奥数---蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

【大全】相似三角形模型分析大全

【关键字】大全第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．求证：（1）；（2）．例2、已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD△BC于D，CG△AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE相关练习：1、如图，梯形ABCD中，AD△BC，对角线AC、BD交于点O，BE△CD交CA延长线于E．求证：．2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．3、已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD△AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且△EPD=△A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，△A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD△△ACE；（2）△ADE△△ABC；(3)BC=2ED解答：证明：（1）△CE△AB于E，BF△AC于F，△△AFB=△AEC，△A为公共角，△△ABD△△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，△A为公共角，△△ADE△△ABC（两边对应成比率且夹角相等的两个三角形相似）(3)△△ADE△△ABC△AD：AB=DE：BC又△△A=60° △BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,△DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.如图△△ABC是等边三角形△△ABC=△BAC=△ACB=60°又△DBCE在一条直线上△△ADB+△DAB=△CAE+△AEC=△ABC=60°△△DAE=120°△△DAB+△CAE=△DAE-△BAC=120°-60°=60°由上可知△ADB=△CAE，△DAB=△CAE△△DAB△△AEC△三角形相似对应边成比率△BD／AC=AB／CE△BD=1，CE=3△AB=AC=√32、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，△DAE=45°．求证：（1）△ABE△△ACD；（2）．解答：证明：（1）在Rt△ABC中，△AB=AC，△△B=△C=45°．（1分）△△BAE=△BAD+△DAE，△DAE=45°，△△BAE=△BAD+45°．（1分）而△ADC=△BAD+△B=△BAD+45°，（1分）△△BAE=△CDA．（1分）△△ABE△△DCA．（2分）（2）由△ABE△△DCA，得．（2分）△BE•CD=AB•AC．（1分）而AB=AC，BC2=AB2+AC2，△BC2=2AB2．（2分）△BC2=2BE•CD．（1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，△EDF=60°（1）求证：△BDE△△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE证明：（1）△△ABC是等边三角形△△B=△C=60°△△EDF=60°△△CDF+△EDB=180°-△EDF=120° △BED+△EDB=180°-△B=120°△△CDF=△BED△△B=△C△△BDE相似△CFD2、△BD=1△CD=BC-BD=6-1=5△△BDE相似△CFD△BE/CD=BD/CFBE/5=1/3 BE=5/3例2、已知在梯形ABCD中，AD△BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足△BPC＝△A．①求证；△ABP△△DPC②求AP的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足△BPE ＝△A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．解答：解：（1）∵ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB=DC ． ∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC ，∴△ABP ∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP ∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x ＜4）． ②当CE=1时，AP=2或．点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键．例3：如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF △△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长1.证明:∵AB=CD.∴梯形ABCD 为等腰梯形,∠B=∠C;又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.∴⊿CMF ∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B.∴△MEF ∽△BEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.∴EF ∥BC;又BE=3=AB/2.故EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM 平行BM,则四边形ABMD 为平行四边形.∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F 与D 重合,此时EF=CD=6.3.解:∵EF ⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM.∴∠EFM=45°=∠BME.作EG ⊥BM 于G,则EG=GM;作AH ⊥BM 于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB ²-BH ²)=3√15/2.设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14.BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.练习：如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x的取值范围。

相似基本图形—“X”型

相似基本型—“X”型一、基本型：条件AB ∥CD⑴ ⑵ ⑶ (4) 每个图中相似的三角形是⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；若AB ︰CD=2︰3，则S △ABE ︰S △DCE = ；S △ACE ︰S △BDE = ；S △ABC ︰S △AEC = ； S △AEC ︰S △DEC = 二、基本型变式1.“蝴蝶”型：条件 ∠A=∠C ，隐含条件∠AEB= ，则①△AEB ∽ ， ②BEAE=③“蝴蝶”型与“X”型区别是 .2.双“蝴蝶”型：若∠EAB=∠ECD ，且∠ =∠ ；则△AEB ∽ ，那么① △AEC ∽△BED 吗？为什么？ . ∵△AEB ∽ ， ∴BEAE=，∴____________________，且∠AEC= ∴△AEC ∽ .②点A 、B 、D 、C 四点共圆吗？为什么？3.双高型中的双蝴蝶型在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 与CE 相交于点O.则 ①△BOE ∽ ；理由是；②△EOD ∽ ；理由是 . ③点B 、C 、D 、E 共圆吗？为什么？三、图形识别练习1.如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥BD ，DO ︰OC=1︰2，S △AOC =36，则S △BOD= .2.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP= .3.如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于F ，①若32=BC BE ，则=BDBF. ②若E 是BC 的中点，则S △BEF ︰S △ADF= ；S △ABF ︰S △AFD= ；S △BEF ︰S △ABD= ；S △BEF ︰SABCD= .C N B C M BM N B CCB A1题 2题 3题 4题 5题 6题 4.如图，AD 与BC 相交于点E ，∠B=∠D ，AB=3，CD=2，CE=1.5，则AE= .5.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 与CE 相交于点O ，BC=10，DE=4，OC=5，则CD= .6.如图，⊙O 的直径AB=7，两弦AC 、BDE 相交于点，弦CD=27，且BD=5，则DE= . 7.已知正方形ABCD ，过点B 作∠EBF=45°，BE 交直线AC 于E ，BF 交AC 于G ，交直线CD 于F. ⑴如图1，当点E 在AC 上，点F 在CD 上时，求证：CF+2AE=BC⑵如图2，当点E 在CA 的延长线上，点F 在CD 的延长线时，CF 、AE 、BC 的数量关系是___________； ⑶在⑵的条件下，连接EF ，若AE=42，CG=32，求EF 长.B图1E图2CBABDBBBA。

相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(解析版)-2024年中考数学常见几何模型

相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

本专题重点讲解相似三角形的(双)A字模型和(双)8(X)字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31)“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔ADAB =AEAC=DEBC.2)反“A”字模型条件：如图2，∠AE D=∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔ADAC =AEAB=DEBC.3)同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔EGBD=FGCD=AGAD1(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE=BF=CG=AH，若菱形的面积等于24，BD=8，则EF+GH=．【答案】6【分析】连接AC，交BD于点O，由题意易得AC=6，AC⊥BD，AO=3，BO=4，则有AB=AD=5，然后可得EF∥AC∥GH，设BE=BF=CG=AH=a，则有DH=5-a，进而根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，BD =8，∴AB =BC =AD =CD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，BO =OD =12BD =4，∵S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴AC =6，∴AO =3，∴AB =AO 2+BO 2=5=AD ，∵BE =BF =CG =AH ，∴AE =CF =DH =DG ，∴BE AE=BF CF ，∴EF ∥AC ，同理可得GH ∥AC ，设BE =BF =CG =AH =a ，则有DH =5-a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE BA =EF AC ，即a 5=EF 6，∴EF =65a ，同理可得DH DA =GH CA，即5-a 5=GH 6，∴GH =6-65a ，∴EF +GH =6；故答案为6．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023·安徽·九年级期末)如图，在三角形△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =3，BD =1，AE =2，EC =4．(1)求证：∠ADE =∠C ；(2)若∠BAC 的平分线交DE 于点F ，交BC 于点G ，求AF FG．【答案】(1)见解析(2)AF FG =1【分析】(1)证明AE AB =24=12，AD AC =36=12，可得AE AB =AD AC，结合∠DAE =∠CAB ，从而可得结论；(2)由(1)可得△DAE ∽△CAB ，可得∠ADE =∠C ，证明∠DAF =∠CAG ，可得△ADF ∽△ACG ，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】(1)解：∵AD =3，BD =1，AE =2，EC =4，∴AB =AD +BD =4，AC =AE +CE =6．∴AE AB =24=12，AD AC =36=12，∴AE AB =AD AC，又∵∠DAE =∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴∠ADE =∠C ．(2)由(1)可得△DAE ∽△CAB ，∴∠ADE =∠C ，又∵AG 平分∠BAC ，∴∠DAF =∠CAG ，∴△ADF ∽△ACG ，∴AF AG =AD AC=12，∴AF FG =1．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．3(2022·山东东营·中考真题)如图，在△ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，EH =2EF ,AD 是△ABC 的高．BC =8,AD =6，那么EH 的长为．【答案】245##4.8【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH ∥BC ，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM AD=EH BC ，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴AM AD =EH BC ,DM =EF ，∴AM =AD -DM =AD -EF =6-EF ，∵EH =2EF ，代入可得：6-EF 6=2EF 8，解得EF =125，∴EH =2×125=245，故答案为：245．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．4(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ,AC ,BC 上的点，DE ∥BC ,BF =CF ,AF 交DE 于点G ，求证：DG =EG ．(2)如图2，在(1)的条件下，连接CD ,CG ．若CG ⊥DE ,CD =6,AE =3，求DE BC的值．(3)如图3，在▱ABCD 中，∠ADC =45°,AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF =40°,FG 平分∠EFC ,FG =10，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+53【分析】(1)利用DE ∥BC ，证明△ADG ∼△ABF ,△AEG ∼△ACF ，利用相似比即可证明此问；(2)由(1)得DG =EG ，CG ⊥DE ，得出△DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC的值；(3)遵循第(1)、(2)小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN ⊥BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE ∥BC ，∴△ADG ∼△ABF ,△AEG ∼△ACF ，∴DG BF =AG AF ,EG CF =AG AF，∴DG BF =EG CF ．∵BF =CF ，∴DG =EG ．(2)解：由(1)得DG =EG ，∵CG ⊥DE ，∴CE =CD =6．∵AE =3，∴AC =AE +CE =9．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∼△ABC ．∴DE BC =AE AC=13．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN ⊥BC ，垂足为N ．在▱ABCD 中，BO =DO ,∠ABC =∠ADC =45°．∵EG ∥BD ，∴由(1)得ME =GE ，∵EF ⊥EG ，∴FM =FG =10，∴∠EFM =∠EFG ．∵∠EGF =40°，∴∠EMF =40°，∴∠EFG =50°．∵FG 平分∠EFC ，∴∠EFG =∠CFG =50°，∴∠BFM =180°-∠EFM -∠EFG -∠CFG =30°．∴．在Rt △FMN 中，MN =FM sin30°=5,FN =FM cos30°=53．∵∠MBN =45°,MN ⊥BN ，∴BN =MN =5，∴BF =BN +FN =5+53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第(1)、(2)小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．5(2023•安庆一模)如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．(1)若点D 是边BC 的中点，且BE =CF ，求证：DE =DF ；(2)若AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；(3)若AE =AF =1，求1AB +1AC的值．【分析】(1)根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE =FC ，同理可得DF =BE ，即可解答；(2)根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD =∠CAD ，然后利用平行线的性质可得∠EDA =∠CAD ，从而可得∠BAD =∠EDA ，进而可得EA =ED ，即可解答；(3)根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，从而可得DE AC=BD BC ，DF AB =CD BC ，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】(1)证明：∵点D 是边BC 的中点，DE ∥CA ，∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE =12AC ，∵点D 是边BC 的中点，DF ∥AB ，∴点F 是AC 的中点，∴FC =12AC ，∴DE =FC ，同理可得：DF =BE ，∵BE =FC ，∴DE =DF ；(2)证明：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，BD =CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB =AC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE ∥AC ，∴∠EDA =∠CAD ，∴∠BAD =∠EDA ，∴EA =ED ，∴四边形AEDF 是菱形；(3)∵DE ∥CA ，∴∠EDB =∠C ，∵∠B =∠B ，∴△BED ∽△BAC ，∴DE AC =BD BC ，∵DF ∥AB ，∴∠B =∠FDC ，∵∠C =∠C ，∴△CDF ∽△CBA ，∴DF AB =CD BC ，∴DE AC +DF AB=BD BC +CD BC =BD +CD BC =1，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴DE =AF ，DF =AE ，∵AE =AF =1，∴DE =DF =1，∴1AB +1AC =1，∴1AB +1AC的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A 字模型相似三角形的关键．模型2.“X ”字模型(“8”模型)【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD =OA OC =OB OD.2)反“8”字模型条件：如图2，∠A =∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD =OA OD =OB OC .3)平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE DF =BE CF =AB CD4)斜双“8”字模型条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3=∠4.1(2022·辽宁·中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB =6，则△AEF 的面积为．【答案】3【分析】由正方形的性质可知AE =12AD =12AB =12BC =3，AD ⎳BC ，则有△AEF ∽△CBF ，然后可得EF BF =AE BC=12，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴AD =BC =AB =6，AD ⎳BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴EF BF =AE BC，∵E 为AD 的中点，∴AE =12AD =12AB =12BC =3，∴EF BF =AE BC=12，S △ABE =12AE ⋅AB =9，∴EF BE =13，∴S △AEF =13S △ABE =3；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图，AB ∥CD ,AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是()A.DH FH =CH BHB.GE DF =CG CBC.AF CE =HG CGD.FH AG =BF FA【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∴DH FH =CH BH ，∴A 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴∠CGE =∠CHD ，∠CEG =∠D ，∴△CEG ∽△CDH ，∴GE DH =CG CH ，∴EG CG =DH CH ，∵AB ∥CD ，∴CH CB =DH DF ，∴DH CH =DF CB ，∴GE CG =DF CB ，∴GE DF =CG CB，∴B 选项正确，不符合题目要求；∵AB ∥CD ，AE ∥DF ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AF =DE ，∵AE ∥DF ∴DE CE =GH GC ，∴AF CE =HG CG ；∴C 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴△BFH ∽△BAG ，∴FH AG =BF AB ，∵AB >FA ，∴FHAG ≠BF FA∴D 选项不正确，符合题目要求．故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．3(2021·上海·中考真题)如图，在梯形ABCD中，AD⎳BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．(1)当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求ADBC的值；(2)若DE=2,OE=3，求CD的长．【答案】(1)①见解析；②23；(2)1+19或3+19【分析】(1)①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，∠DAC=∠DCA=∠OBC=∠OCB，由此可得△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．根据30°所对直角边是斜边的一半可知CH=m，由此可得ADBC的值．(2)①当点E在AD上时，可得四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62-(x-2)2=x2-22求解即可．②当点E在CD上时，设AD=CD=x，由△DAC∽△OBC，得DCOC=ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m；由△EOC∽△ECB得EOEC=ECEB=OCCB，所以3x-2=x-2m+3=OCCB，解出x的值即可．【详解】(1)①由AD=CD，得∠1=∠2．由AD⎳BC，得∠1=∠3．因为BO是Rt△ABC斜边上的中线，所以OB=OC．所以∠3=∠4．所以∠1=∠2=∠3=∠4．所以△DAC∽△OBC．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC=2m3m=23．(2)①如图5，当点E在AD上时，由AD⎳BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD =CD =x ，已知DE =2，所以AE =x -2．已知OE =3，所以AC =6．在Rt △ACE 和Rt △DCE 中，根据CE 2=CE 2，列方程62-(x -2)2=x 2-22．解得x =1+19，或x =1-19(舍去负值)．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD =CD =x ，已知DE =2，所以CE =x -2．设OB =OC =m ，已知OE =3，那么EB =m +3．一方面，由△DAC ∽△OBC ，得DC OC =AC BC ，所以x m =2OC BC ，所以OC BC=x 2m ，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC 是公共角，得△EOC ∽△ECB ．所以EO EC =EC EB =OC CB ，所以3x -2=x -2m +3=OC CB．等量代换，得3x -2=x -2m +3=x 2m ．由3x -2=x 2m ，得m =x 2-2x 6．将m =x 2-2x 6代入3x -2=x -2m +3，整理，得x 2-6x -10=0．解得x =3+19，或x =3-19(舍去负值)．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．4(2022·贵州铜仁·中考真题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记△COD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2．(1)问题解决：如图①，若AB ⎳CD ，求证：S 1S 2=OC ⋅OD OA ⋅OB(2)探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE =OC ，过点E 作EF ∥CD 交OD 于点F ，点H 为AB的中点，OH 交EF 于点G ，且OG =2GH ，若OE OA=56，求S 1S 2值．【答案】(1)见解析；(2)(1)中的结论成立，理由见解析：(3)2554【分析】(1)如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF=OB ⋅sin ∠BOF ，然后根据三角形面积公式求解即可；(2)同(1)求解即可；(3)如图所示，过点A 作AM ∥EF 交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD=OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到OF OM =OE OA =56，设OE =OC =5m ，OF =OD =5n ，则OA =6m ，OM =6n ，证明△OGF ∽△OHN ，推出ON =32OF =15n 2，BN =MN =ON -OM =3n 2，则OB =ON +BN =9n ，由(2)结论求解即可．【详解】解：(1)如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF =OB ⋅sin ∠BOF ，∴S △OCD =S 1=12OC ⋅DE =12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE ，S △AOB =S 2=12OA ⋅BF =12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF ，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin ∠DOE =sin ∠BOF ；∴S 1S 2=12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE 12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF =OC ⋅OD OA ⋅OB ；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF =OB ⋅sin ∠BOF ，∴S △OCD =S 1=12OC ⋅DE =12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE ，S △AOB =S 2=12OA ⋅BF =12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF ，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin ∠DOE =sin ∠BOF ；∴S 1S 2=12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE 12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF =OC ⋅OD OA ⋅OB ；(3)如图所示，过点A 作AM ∥EF 交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF ∥CD ，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD (AAS )，∴OD =OF ，∵EF ∥AM ，∴△OEF ∽△OAM ，∴OF OM =OE OA=56，设OE =OC =5m ，OF =OD =5n ，则OA =6m ，OM =6n ，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN ∥AM ∥EF ，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OH =OF ON ，∵OG =2GH ，∴OG =23OH ，∴OG OH =OF ON =23，∴ON =32OF =15n 2，BN =MN =ON -OM =3n 2，∴OB =ON +BN =9n ，由(2)可知S 1S 2=OC ⋅OD OA ⋅OB=5m ⋅5n 6m ⋅9n =2554．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．模型3. “AX”字模型(“A8”模型)【模型解读与图示】图1图2图3 1)一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ADAB=AEAC=DEBC=DFFC=FEBF2)两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：1BC +1DE=1AF.3)四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,1BC+1DE=1AF=1AG；结论：AF=AG1(2022·山东东营·中考真题)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD 相交于点F，则下列等式中不成立的是()A.ADDB =AEECB.DEBC=DFFCC.DEBC=AEECD.EFBF=AEAC【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．【详解】解：∵DE∥BC，∴AD BD =AEEC，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴DE CB =DFCF=EFBF，DECB=AEAC，故B不符合题意，C符合题意；∴EF BF =AEAC，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．2(2021·江苏南京·中考真题)如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF⎳CD，交BD的延长线于点F．(1)求证△AOB≌△DOC；(2)若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)EF=8 3【分析】(1)直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；(2)先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：(1)∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC AAS；(2)∵△AOB≌△DOC AAS，AB=2,BC=3,CE=1∴AB=DC=2，BE=BC+CE=3+1=4，∵EF⎳CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BE BC，∴EF2=43，∴EF=83，∴EF的长为83．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．3(2022·重庆九年级期中)如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB +1CD=1EF.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴EFAB=DFDB.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴EFCD=BFBD.∴EF AB +EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1.∴1AB+1CD=1EF.4(2022•安庆模拟)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．(1)如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE=12CD．(2)如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：EFAB =EFCD=2．(3)如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD=8，OE=6，直接写出线段MN长度．【分析】(1)由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB=OD，可得结论；(2)由△DFO∽△DAB，得FOAB =DODB，同理OFCD=AOAC，OEAB=COCA，EOCD=BOBD，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；(3)作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO=DF=8，由△DMF∽△EMO，可得EM=34DM，由△DMN∽△DOE，得MNOE=DMDE=47，从而得出答案．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE=12CD；(2)证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴FOAB =DO DB，同理OFCD=AOAC，OEAB=COCA，EOCD=BOBD，∴FOAB+OFCD+OEAB+EOCD=DODB+AOAC+COCA+BOBD，∴FO+OEAB +EO+OFCD=AO+COAC+BO+DOBD，即，EFAB+EFCD=2；(3)解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO=∠BOC=∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO=DF=8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴EM DM =EODF=EODO=68=34，∴EM=34DM，∴DMDE=DMDM+ME=DMDM+34DM=47，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴MNOE =DMDE=47，∴MN6=47，∴MN=247．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1(2021·山东淄博·中考真题)如图，AB,CD相交于点E，且AC⎳EF⎳DB，点C,F,B在同一条直线上．已知AC=P,EF=r,DB=q，则p,q,r之间满足的数量关系式是()A.1r +1q=1pB.1p+1r=2qC.1p+1q=1rD.1q+1r=2p【答案】C【分析】由题意易得△BEF∽△BAC，△CEF∽△CDB，则有EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，然后可得EFAC+EFBD=1，进而问题可求解．【详解】解：∵AC⎳EF⎳DB，∴△BEF∽△BAC，△CEF∽△CDB，∴EF AC =BFBC，EFBD=CFBC，∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=1，∵AC=P,EF=r,DB=q，∴rp +rq=1，即1p+1q=1r；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AC，对角线AC与BD相交于点E，DE=3BE，AC⊥AD，∠ACB=75°，AE=33，则对角线AC与BD的长分别是()A.AC=43，BD=123B.AC=9，BD=419C.AC=6，BD=83D.AC=8，BD=419【答案】D【分析】过点B作BO∥AD交AC于点O，证明△AED∽△OEB，可求得OE=3，AO=43，根据勾股定理求出BO的长，进而可求出AC的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而求出BD的长．【详解】过点B作BO∥AD交AC于点O，如图所示：∵AC ⊥AD ，BO ∥AD ，∴∠DAC =∠BOA =90°．∵∠AED =∠OEB ，∴△AED ∽△OEB ，∴BE DE =EO AE =BODA．∵DE =3BE ，∴EO AE =BO DA=13．∵AE =33，∴OE =3，∴AO =43．∵AB =AC ，∠ACB =75°，∵∠ABC =∠ACB =75°，∴∠BAC =30°，∴AB =2BO ．在Rt △AOB 中，BO 2+AO 2=AB 2，即43 2+BO 2=2BO 2，解得：BO =4，∴AB =AC =8．∵OE =3，BO =4，∴BE =BO 2+OE 2=19，∴DE =3BE =319，∴BD =BE +DE =419．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE 的长度．3(2023·福建福州·校考二模)在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计AB =AC =50cm ，风筝顶角∠BAC 的度数为110°，在AB ，AC 上取D ，E 两处，使得AD =AE ，并作一条骨架AF ⊥DE ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B ，C 两点间的距离大约是( )(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)A.41cmB.57cmC.82cmD.143cm【答案】C【分析】设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，根据已知易证△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质可得∠ADE =∠ABC ，从而可得DE ∥BC ，进而可得BC ⊥AF ，再利用等腰三角形的三线合一性质可得BC =2BH ，∠BAH =12∠BAC =55°，最后在Rt △BAH 中，利用锐角三角函数的定义求出BH 的长，即可解答．【详解】解：设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，∵AD =AE ，AB =AC ，∴AD AB =AEAC，∵∠DAE =∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE =∠ABC ，∴DE ∥BC ，∵AF ⊥DE ，∴BC ⊥AF ，∵AB =AC ，AF ⊥BC ，∴BC =2BH ，∠BAH =12∠BAC =55°，在Rt △BAH 中，AB =50cm ，∴BH =AB ⋅sin55°≈50×0.82=41cm ，∴BC =2BH =82cm ，∴B ，C 两点间的距离大约是82cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4(2022·湖北十堰·中考真题)如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为()A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm【答案】B【分析】求出△AOB 和△COD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB ，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵OA ：OC =OB ：OD =3，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB ：CD =3，∴AB ：3=3，∴AB =9(cm )，∵外径为10cm ，∴19+2x =10，∴x =0.5(cm )．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长．5(2022·湖南怀化·中考真题)如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则S △ABC =．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，DE BC=12，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，DE BC =12所以△ADE ∽△ABC ∴S △ADE S △ABC =DE BC2=14∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．6(2023·广东梅州·九年级统考期末)如图，在△ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，EH =2EF ，AD 是△ABC 的高，BC =15，AD =5，那么EH 的长为．【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH ∥BC ，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM AD=EHBC ，再将数据代入即可得出答案．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴AM AD=EHBC ,DM =EF ，∴AM =AD -DM =AD -EF =5-EF ，∵EH =2EF ，代入可得：5-EF 5=2EF15，解得EF =3，∴EH =2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．7(2023·广东深圳·校考三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ，若∠CFE =45°，BD =2AD ，则CE =．【答案】2【分析】过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点，先利用解直角三角形求出CD 的长，其次利用△CDG ∽△CBD ，求出CG 的长，得出BG 的长，最后利用△BDG ∽△BAE ，求出BE 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点，∵在Rt △ABC 中，AC =BC =6，∴AB =AC 2+BC 2=62，又∵BD =2AD ，∴AD =22，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH =DH =2，∴CH =6-2=4，在Rt △CHD 中，CD =CH 2+DH 2=25，∵DG ∥AE ，∴∠CFE =∠CDG =45°，∠B =45°，∴∠CDG =∠B ，又∵∠DCG =∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴CD CB =CGCD ，∴CD 2=CG ⋅CB ，即20=6CG ，∴CG =103，∴BG =BC -CG =6-103=83，又∵DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又∵BD =2AD ，∴BD BA=BG BE =23，又BG =83，∴BE =BG ×32=4，∴CE =6-4=2，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．8(2022·四川宜宾·中考真题)如图，△ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，∠1=∠2．若BC =4，AF =2，CF =3，则EF =．【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF BC =AF AC 即EF BC =AFAF +CF即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AF AC ，即EF BC =AF AF +CF∵BC =4，AF =2，CF =3，∴EF 4=22+3，∴EF =85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．9(2022·辽宁阜新·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是．【答案】27【分析】根据矩形ABCD的性质，很容易证明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出△BCF的面积．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠EDF=∠CBF，∵∠EFD=∠CFB，∠EDF=∠CBF∴△DEF∽△BCF，∵AE=2DE，AD=BC，∴DE：BC=1：3，∴S△DEF：S△BCF=DE2：BC2，即3：S△BCF=1：9，∴S△BCF=27．故答案为：27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．10(2022·湖北荆门·中考真题)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为．【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．【详解】解：∵CG：GF=2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6=9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积=△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9=18，故答案为：18．【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．11(2023·福建·统考中考真题)阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图4，测得AC =am ，BC =bm ；(ⅱ)分别在AC ，BC ，上测得CM =a 3m ，CN =b3m ；测得MN =cm ．求解过程：由测量知，AC =a ，BC =b ，CM =a 3，CN =b3，∴CM CA=CN CB =13，又∵①，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB=13．又∵MN =c ，∴AB =②m ．故小水池的最大宽度为m ．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB 用到的几何知识是；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a ，b ，c ⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB ，且测量的次数最少，才能得满分)．【答案】(1)①∠C =∠C ；②3c (2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为a cos α+a sin αtan βm ，见解析【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；(2)根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；(3)测量过程：在小水池外选点C ，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC =β；用皮尺测得BC =am ；求解过程：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据锐角三角函数的定义推得BD =a cos α，CD =a sin α，AD =a sin αtan β，根据AB =BD +AD ，即可求得．【详解】(1)∵AC =a ，BC =b ，CM =a 3，CN =b 3，∴CM CA =CN CB =13，又∵∠C =∠C ，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB=13．又∵MN =c ，∴AB =3c m ．故小水池的最大宽度为3cm ．(2)根据相似三角形的判定和性质求得AB =3MN =3c ，故答案为：相似三角形的判定与性质．(3)测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC =β；(ⅱ)用皮尺测得BC =am ．求解过程：由测量知，在△ABC 中，∠ABC =α，∠BAC =β，BC =a ．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CBD 中，cos ∠CBD =BDBC，即cos α=BD a ，所以BD =a cos α．同理，CD =a sin α．在Rt △ACD 中，tan ∠CAD =CDAD，即tan β=a sin αAD，所以AD =a sin αtan β．所以AB =BD +AD =a cos α+a sin αtan βm ．故小水池的最大宽度为a cos α+a sin αtan βm ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．12(2023秋·山西运城·九年级统考期末)综合与实践问题情境：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，点D 是AC 上一点，将△BCD 沿直线BD 折叠，点C 落在AB 上的点E ，连接DE ．独立思考(1)如图1，求tan ∠DBC 的值；问题拓展如图2，点F 是图1中AB 上一动点，连接CF ，交BD 于点G ．(2)当点F 是AB 的中点时，求证：DG BG=49；(3)当点G 是BD 的中点时，请你直接写出AFBF 的值．【答案】(1)13；(2)见解析；(3)94【分析】(1)由折叠性质可知DE =CD ，利用等面积求出CD 长即可；(2)添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；(3)作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．【详解】解：(1)方法一：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴12BC ·AC =12BC ·CD +12AB ·DE ，∴12×3×4=12×4CD +12×5DE ，∴CD =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，tan ∠DBC =CD BC=434=13，方法二：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，BC =BE ，∠C =∠DEB =90°，∴AE =AB -BE =5-4=1，∵∠C =∠DEA =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AE AC=DE BC ，∴13=DE 4，∴DE =43，∴CD =DE =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，∴tan ∠DBC =CD BC=434=13，方法三：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，BC =BE ．∠C =∠DEB =90°，∴AE =AB -BE =5-4=1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan A =BC AC ，在Rt △ADE 中，∠AED =90°，tan A =DEAE，∴BC AC =DE AE，∴43=DE 1∴DE =43，∴CD =DE =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，∴tan ∠DBC =CD BC =434=13，(2)方法一：延长CF 到点M ，使FM =FC ，连接BM ，∵FA =FB ，∠BFM =∠AFC ，∴△BFM ≌△AFC SAS ．∴AC =BM ，∠M =∠ACF ，∴BM ∥AC ，∴∠MBG =∠CDG ，∴△MBG ∽△CDG ，∴DG BG =CD BM ，∴DG BG=433=49，方法二：过点B 作BM ∥AC 交CF 的延长线于点M ，∴∠MBF =∠A ，∠M =∠ACF ，∠MBG =∠CDG ，又∵FA =FB ，∴△BFM ≌△AFC AAS ，∴AC =BM ，∠M =∠ACF ，∴△MBG ∽△CDG ，∴DG BG =CD BM ，∴DG BG=433=49．方法三：作GM ⊥BC 于点M ，∴∠GMB =∠DCB =90°，∴GM ∥DC ∴DG BG =CD BM ∵∠ACB =90°，FA =FB ．∴FB =FC ，∴∠FBC =∠FCB ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠ABC =AC BC =34，∴tan ∠GCM =tan ∠ABC =34设GM =a ，在Rt △GMC 中，∠GMC =90°，tan ∠GCM =GM CM =34．∴CM =43a ，在Rt △GMB 中，∠GMB =90°，tan ∠GBM =GM BM =13．∴BM =3a ．∴DG BG=43a 3a =49(3)如图，过B 作BN ∥AC ，交CF 延长线于点N ，∴∠BNG =∠DCG ，△BNF ∽△ACF ，∵G 为BD 中点，∴BG =GD ，∵∠BGN =∠DGC ，∴△BGN ≌△DGC AAS ，∴BN =CD =43，。

相似三角形的证明——K字型相似教案

课题：相似三角形的证明---- K型相似（教案）学校：茶陵思源实验学校教师姓名：段中明教学目标：1、通过习题引入，了解“ K型图”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；2、利用“ K型图”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；3、在“K型图”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“ K型图”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征一一“ K型”；2、在非“K型”图形中画辅助线，得到“ K型”图形；3、在“K型”图的两个三角形中，探索其相似条件。

学情分析：学生刚刚学习完湘教版九上数学第三章图形的相似，复习完本章各知识点后，进行一些思维拓展延伸，教师已引导学生学习相似三角形中的基本图形，如“A”字型、“X”字型、“母子”型、“双垂直”型等。

结合中考试题探究“ K型图”相似这个问题，本课将在此基础上展开学习。

教学过程：一、课前寄语：学生在老师的心里就是自己的孩子，所以老师祝福天下所有的孩子健康成长，快乐学习！二、复习与回顾：1. 相似三角形的判定3条定理；2. 相似三角形的基本图形：A字型、反A字型、母子型、X型、蝴蝶型、双垂直型……3. 图形演变：双垂直型变三垂直型，三垂直型变K字型。

三、新课讲解：（一）.呈现学习目标：（1）.能利用k形图证明三角形相似；（2）.能构造k形图解决相关问题（3）.体会分类讨论”的数学思想（二）.轻松一刻：（突出快乐学习）同学们，这幅画美吗看到这幅画我就想起小学时学过的一首小诗，一首富有诗情画意的诗，哪位同学能把这首诗读出来吗对，是《小池》。

它句句是诗，句句是画，描绘了明媚的初夏风光，自然朴实又真切感人。

今天我们边欣赏古诗边学习新课。

下面我们跟着这首古诗走进今天的例题探究。

（三）•例题探究：1. 如图，在矩形ABCD中，E在AD 上, EF丄BE，交CD于F，连结BF,已知AE=4,ED=2 AB=3 贝U DF= _______2. 在等边△ ABC中，D 为BC 边上一点,E为AC 边上一点，且/ ADE=60° ,BD=2,CE=1,则厶ABC的边长为 _______________ .A EB 4•如图，已知直线11 // 12// 13 // 14 // 15 // 16，如果正方形 ABCD 的四个顶点在平行直线上相邻两条平行直线间的距离相等且为 1，AB 与14交于点G.(1)求正方形的面积；(2)求CG 的长课堂练习:1.如图，折叠矩形的一边 AD ，点D 落在BC 边上的点F 处，已知 AB=8cm, AD=10cm ，3•如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是边AB 上的动点,(1)若 DE 丄 EF ，求证：△ ADE ^A BEF ;⑵若BF=1,当厶ADE 与厶BEF 相似时，求AE 的长。

几何中的蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理
一、基本知识点
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2=a︰b ；
模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =
模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形的对角线与交于点（如图）所示。
如果三角形的面积等于三角形的面积的，且
，，那么的长度是的长度的_________倍。
例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CE、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且的面积比的面积大6平方厘米。
3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？

相似三角形的一些模型

第三讲相似三角形模型【知识要点】（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）“K ”字型：D【典型例题】1. 如图5，P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点（除A 、B 外），过点P 作直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线的作法共有（） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种2．（3分）（2013•柳州二模）如图，直角三角形ABC 的两直角边BC=12，AC=16，则△ABC 的斜边AB 上的高CD 的长是（） A ．20 B ． 10 C ． 9.6 D ．83.如图5，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为（） A. 2 B. 334C.32D. 344．（11·贵港）如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是 A ． 3B ． 2C ．1D ．1.55．如图6，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3BC '=，则AM 的长是A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.56．（11·柳州）（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，锐角∠DAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，作CD ⊥AD ，垂足为D ，直线图5E DCBA图6ABCEDOCD 与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线CD 为⊙O 的切线；（2）当AB ＝2BE ，且CE ＝3时，求AD 的长．7．（本题满分10分）如图12，AB 为O ⊙直径，且弦CD AB ⊥于E ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．（1）若M 是AD 的中点，连接ME 并延长ME 交BC 于N ．求证：MN BC ⊥．（2）若4cos 35C DF ∠==，，求O ⊙的半径．【南宁中考题】1. 如图7所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y轴的平行图12线，与反比例函数()80y x x=>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________. 2．（3分）（2013•南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．3．已知点A （3，4），点B 为直线x =－1上的动点，设B （－1，y ）．（1）如图1，若点C （x ，0）且－1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B 的坐标为（－1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．1A 2A 3B2B1B3C2C 1C Oxy3A图74．如图，已知矩形纸片ABCD ，AD =2，AB =4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ．（1）如图1，求证：A ，G ，E ，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG 的长．5．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．A D D A F P F25．如图11-①，AB 为⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A DE ，与⊙O 相切于点E ，点C 为DE 延长线上一点，且.CE CB = （1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）连接AE ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点（如图11-②所示）.若252AB AD ==，，求线段BC 和EG 的长.【中考题】1．（2012•玉林）如图，已知点O 为Rt △ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ，与AC 相交于点D ，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠CAB ；（2）探求图中∠1与∠C 的数量关系，并求当AE=EC 时tanC 的值．图13-1C BEB图11-②GOAD EC图11-①BOADEC2. （10分）（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB 边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．3.（2011广西崇左，24，14分）（本小题满分14分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作圆O的切线交边BC于点N.（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你能发现怎样的结论？4．（2012•广西）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，过点D 垂直于AC 的直线交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O 的直径．5．如图（5），正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则DOAO等于（） A ．352B ．31C ．32D ．21图（5）AB FC DE O。

相似中的基本图形A型X型

相似中的基本图形---A 型.X 型基本图形:A 型 X 型一、可以判断A 、X 型相似的条件： 1、 2、 3、 4、（注意：在A 型中可以直接由由平行得到，在X 型中不可以直接由平行得到相似，需要由平行得到角相等，再由角相等判断三角形相似）上述四个条件中任意一个都可以判断△ADE ∽△ABC二、若△ADE ∽△ABC ，则有下列结论： 1） 2 3、4、周长比：5、面积比：6、等积式：例1、如图，△ABC ，AD=2，BD=3，AE=1，若DE ∥BC ，求CE 的长。

基础练习：1、如图1，在△ABC 中DE=2，BC=5，CE=4，若DE ∥BC ，则AE= 。

2、在△ABC 中D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，已知AD ：DB=2：3，则S △ADF ：S △BCED = 。

3、已知D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为3：7，则AD ：DB= 。

4、如图2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ，则△ADE ∽ ，相似比K 1= ；△ODE ∽ ，相似比K 2= 。

A B D E C A E DB C A B D EC AB D E CB A COD E5、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中有相似三角形对。

6、如图，AB ∥EF ∥DC ，若每两个相似的三角形构成一对，那么图中的相似三角形有对，它们分别是。

7、如图，在△ABC 中，AB ⊥BC ，BD ⊥AC 于D ，DE ∥AB 交BC 于E ，则图中与△ABC 相似的三角形的有个，它们分别是。

8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AC ，则图中与△ABC 相似的三角形为 9、如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，则DE ：BC= ；S △OED ：S △OBC = 10．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：1）AE BF EC FC =；2）AD ABBF BC=；3）EF DE AB BC =；4）CE EACF BF=，其中正确的比例式的个数有对。

蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2CFEADBCBE FDA定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。

相似的基本模型教师版带答案

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：DADEDB⋅=2；相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=︒GBM90（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景A CDEB（五）一线三直角型：一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE例2：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；相关练习：1、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．2、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式【练习1】在直角ABC ∆中，43tan ,5,90===∠B AB C o，点中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线（1）、求AC 和BC 的长（2）、当BC EF //时，求BE 的长。

相似中的基本图形反A、蝴蝶型

反A、蝴蝶型训练一、基本图形解析：（一）反A型：（1）已知：如图∠AED=∠B，求证：AD·AB=AE·ACB C（2）已知，如图∠AED=∠B，AB=8，AC=6，若求。

B C（3）已知，如图∠E=∠B，求证：AD·AB=AE·ACE（4）已知，如图∠E=∠B，AB=6，AE=4，若求。

E（二）蝴蝶型（反8）（1）已知，如图∠A=∠D，求证：OA·OC=BO·DOB（2）已知，如图∠A=∠B，AC=6，BD=8，若求C（3）已知，如图∠BAC=∠BDC，求证：∠DAC=∠DBCC二、基本图形训练：1、如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若要使△AED∽△ABC，那么只需满足（）A、∠B=∠DAEB、AD：AB=DE：BCC、AD：BC=AE：ABD、AE：AB=AD：ACBC2、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为。

3、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上的点（DE不平行于BC），当或或时，△AED∽△ABC。

4、如图，锐角三角形ABC的边AB、AC上高线CE、BF交于点D，图中相似的三角形有对B CBC5、如图，若∠BEF=∠CDF，则△∽△，△∽△6、已知AB∥DE，∠AFC=∠E，则图中共有相似三角形（）A．1对B。

2 C、3对D、4对9题10题11题7、如图，BE 、CD 相交于点O ，且∠EDO=∠CBO ，则图中相似三角形有。

8、如图，若∠B=∠C ，则图中的相似三角形有。

12、如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，图中相似三角形的对数是（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6列错误的是（）A 、CO ·CE=CD ·CAB 、OE ·OC=OD ·OBC 、AD ·AC=AE ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO11、如图，在三角形ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是。

相似模型(四)：蝶型、燕尾型

感受相似的基本模型之四（反8型、四点共圆）熟悉已知与结论，熟练套路与思路编制人：平生曜曜五、蝶型图（反8型，特征：无平行线。

实质：翻折型相似。

）1、区分蝶型（反8型）与8型（正8型）的“已知条件”与“等积结论” （1）、如图，已知: AC 、BD 交于点O ，B A ∠=∠，求证：OB DO OC AO •=•.证明：∵=∠A ，=∠AOD ， ∴⊿AOD ∽ ⊿ (理由： )， ∴()()CO==AO，∴=•OC AO .（2）、如图，已知: AC 、BD 交于点O ，C A ∠=∠，求证：OC DO OB AO •=•.证明：∵=∠A ，=∠AOD ， ∴⊿AOD ∽ ⊿ (理由： )， ∴()()DO==AO，∴=•OB AO .（3）、对容易混淆结论，作逻辑推导，作右脑辨识，作情感疏导。

①、若此为“8型图”，则必有AD ∥BC ，即刻可得()()OBAO=，转化为等积式为：，可曰：8型，爬行，倒拐相乘。

②、若此乃“蝶形图”，则不一定有相似，只有当∠A ＝∠B （或∠C ＝∠D ）时，才能得到 ⊿AOD ∽⊿ ，从而得()()DOAO=，转化为等积式为：，又曰：蝶型，飞行，笔直相乘。

③、以上所涉内容，不仅图形，还有已知和结论皆容易混淆，可编个记忆口诀：8型绝对有相似，倒拐前行等积式；蝶型若能得相似，笔直前行等积式；④、由于运用频率不高的缘故，我们没必要对“蝶型图” 和“8型图”进行区分，尽管二者的“已知条件”确实不一样，“等积结论”确实易混淆。

实际上，只要掌握了相似形的“解题套路”就不会生出任何“混淆”之说。

由它图形千变万化，只握一条至简大道：依法推证两相似，组建六边比例式，已知线段换进去，未知可求能驱使。

2、基本事实的认定与干扰因素的辨识①、当∠D ＝∠ 时，或当∠A ＝∠ 时，可得⊿ABE ∽⊿CDE ，此时的图形是图（选填：8型，蝶形），因为由已知条件（选填：能够，不能）导出AB ∥CD ；②、当∠D ＝∠ 时，或当∠ ＝∠ 时，可得⊿ABE ∽⊿DCE ，此时的图形是图（选填：8型，蝶形），因为由已知条件（选填：能够，不能）导出AB ∥CD ；③、因为已有∠AEB ＝∠CED ，所以当()()BEAE=时，可证⊿ABE ∽⊿DCE ；④、因为已有∠AEB ＝∠DEC ，所以当()()=CEAE时，可证⊿ABE ∽⊿ ；六、燕尾型（又叫蝠翼型，实质：翻转型相似。

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