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反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回忆1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx〔k≠0〕．其解析式有三种表示方法：①xk y =〔0≠k 〕；②1-=kx y 〔0≠k 〕；③k xy = 2．反比例函数y=kx〔k≠0〕的性质〔1〕当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．〔2〕当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．〔3〕在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).〔4〕假设双曲线y=kx图像上一点〔a ，b 〕满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．〔5〕由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要表达出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，那么有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,〔1〕求m 的值 〔2〕求ABC ∆的面积变式题1、如下列图，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影局部的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，假设四边形ABCD 为矩形，那么它的面积为.模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，那么有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是．〔把你认为正确结论的序号都填上〕例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．〔1〕假设点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． 〔2〕假设点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，那么AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E模型三：如图，反比例函数ky x=〔k ≠0，x>0〕上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，那么OPC PADC S S ∆=梯形.图1图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，那么△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象交于A 〔1,4〕、B 〔3，m 〕两点，那么△AOB 的面积是______.例6：如图1，直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． 〔1〕求k 的值；〔2〕如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点〔点C 在第一象限且在点A 的左边〕，当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如下列图的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点〔不与B 、C 重合〕，过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，那么CE aCF b=.xBF C EAOy例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如下列图，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的选项是_________〔把你认为正确结论的序号都填上〕．课堂练习： 一、选择题1、m<0，那么函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是〔 〕A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,那么ABC ∆的周长为〔 〕 A.72 B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =〔k>0〕经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，假设梯形ODBC 的面积为3，那么双曲线的解析式为〔 〕 A.x y 1=B.x y 2=C.x y 3=D.xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，那么S 〔 〕A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，假设双曲线y=k x〔k≠0〕与△ABC 有交点，那么k 的取值范围是〔 〕A ．1<k<2B ．1≤k≤3C．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，假设四边形ABCD为矩形，那么它的面积为.DBAyxOC2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA上，那么四边形OABC 的面积是.3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B 〔2，0〕，∠AOB ＝60°，点A在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. 〔1〕当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.〔2〕设P 〔t ，0〕,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．假设点A 的坐标为〔6-，4〕，那么△AOC 的面积为.5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，假设1AOB S ∆=，那么2y 的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx 〔k>0〕与双曲线y=4x交于A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕两点，那么2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P 〔a ，b 〕，且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，那么k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，那么b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P 〔a ，b 〕，其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．假设△OBC 的面积为3，那么k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为〔 〕 A ．2 B ．22C ．2D ．22 ABCD E yxO. . jz* 7、P 为函数y=2x的图像上一点，且PP 点数为〔〕 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个。
反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用
反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用（原创：昆明郑帆)原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。
三条结论分别是：结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。
如图，即AB∥CD。
证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。
结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。
如图，即EA：AC=EB：BD证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。
结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。
如图，即AE=BF证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。
连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。
另外，这三个结论还有另外一个证明体系，先用面积思想证明结论二，再依次证明结论一和结论三。
现给出结论二的证明：S△CEO=S△DEO（矩形性质），S△CAO=S△BDO（反比例函数图象性质），则S△AEO=S△BEO（等量代换），则S△AEO：S△ACO=S△BEO：S△BDO，即EA：AC=EB：BD至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。
这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。
今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。
反比例函数的模型及应用 第一讲
反比例函数模型及应用 第一讲一、反比例函数的四个模型：（证明略）模型一：（1）=ABOC S k 矩形；（2）=2ACO ABO ACN OBM kS S S S ∆∆∆∆===模型二：=ABO AMNB S S ∆梯形;模型三：AM BN =模型四：AB N //M注：以上四个模型中点A 、B 都是反比例函数上的任一点.二、模型的应用例1：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象交于C ，D 两点，过C ，D 两点 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列 四个结论：①△DEF 与△CEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC=BD ． 其中正确的结论是____________（填写序号）．例2：已知反比例函数(0)ky k x=>的图象与一次函数y=-x+6 相交与第一象限的A 、B 两点，如图所示，过A 、B 两点分别做 x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P ，给出以下结论：① OA=OB ；②△OAM ∽△OBN ；③若△ABP 的面积是8，则k=5；④ P 点一定在直线y=x 上；其中正确的结论是____________（填 写序号）．例3：（2014遵义）如图，反比例函数(0)ky k x=>的图象与矩 形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，2BEF S ∆=，则k 得值为____________ .例4：（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶 点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(0)ky k x=>的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ， ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌ △OAM ；②四边形DAMN 与△MON 面积相等；③若∠MON=45°， MN=2，则点C的坐标为1)．其中正确的结论是____________（填写序号）．一、反比例函数与几何图形的综合（重庆中考12题） 1. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A ，B 两点 的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C ，D 两点在反比例函k y x =（0x <）的图象上，则k 的值为______________．第1题图 第2题图2. 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象 上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x =的图象上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为______________．3. 如图，在函数11k y x =（0x <）和22ky x =（0x >）的图象上，分别有A ，B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，12AOC S =△，92BOC S =△，则线段AB 的长度为__________．第3题图 第4题图4. 如图，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，C 在x 轴上，∠ACB= 90°，22AC BC ==3y x=（0x >）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连接DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为______________． 5. 如图，已知直线12y x =与双曲线ky x=（0k >）交于A ，B 两点，点B 的坐标为(-4，-2)，C 为第一象限内双曲线ky x=（0k >）上一点．若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为______________．第5题图 第6题图6. 如图，直线12y x =与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点 A ，将直线12y x =向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点B ．若OA=3BC ，则k 的值为____________．7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABOC 的对角线OA ，BC交于点E ，双曲线ky x =（0k <）经过C ，E 两点．若□ABOC 的面积为10，则k 的值为________________．第7题图第8题图8.如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC，BD的交点．若反比例函数2yx=（0x>）的图象经过A，E两点，则点E的坐标为________________．。
反比例函数19种模型
反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。
以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。
2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。
3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。
4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。
9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。
10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。
11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。
12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。
16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。
17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。
18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。
19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。
这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。
实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。
对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。
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【最新整理，下载后即可编辑】反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEFS S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE≌△CDF ；④A CB D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y xDC A BOFEDFABDF MN xy O例3：一次函数y ax b=+的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数kyx=的图象相交于点,A B．过点A分别作AC x⊥轴，AE y⊥轴，垂足分别为,C E；过点B分别作BF x⊥轴，BD y⊥轴，垂足分别为F D，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A B，在反比例函数kyx=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBKS S=四边形四边形；②AN BM=．（2）若点A B，分别在反比例函数kyx=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数kyx=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPC PADCS S∆=梯形.图1 图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CEaCFb=.例7：两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发xBFC EAOy生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.xy 1= B.xy 2=C.xy 3=D.x y 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的DBAyxOC中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx=，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!! 【最新整理，下载后即可编辑】 二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞ 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个AB CD E y x O。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：||=||,2k S k S ∆=矩形xyO已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点B ， 轴于点N ，连接PM ，PN ，则矩形MONP 的面积为|K|yxMO PNyxMO PNyxMO PNyxMOPN已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若点B 为y 轴（不同于O ）的任意一点，连接 ，则△PAB 的面积为|K|/2.y x AO PByxA O PByxA O P ByxA O P（B ）已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点M ，N 为 轴上任意一点，连接MN ，PN ，则△PMN 的面积为_________yx MO P（N ）yx MOPNyx MOPNyxMOPN例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN如图，直线 与反比例函数 相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作AE ⊥y 轴、BF ⊥x 轴，求证： ①AC=BD ，AE=BF ②AB ∥EF③△ACE ≌△BDFy x EC D FOBAy x EC D F O BAyxP EC D FOB ADFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图，A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点，AC ⊥x 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，求证：S △OAB=S 梯ACDB .yx DC OAByxS 2S 1DC OAB例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点， AC ⊥y 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，AC 与BD 相交于点E ，求证：A EB EA CB D=y xCE DO AByxS 1S 2CE DOABxB FC E A O y例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．【结论1】一次函数y= - x+b(b ＞0)与反比例函数xy=k(k ＞0)的图像交于点A ，B ，一次函数图像与y 轴和x 轴分别交于点C 、D 。
反比例函数八大解题模型(模型+例题+练习题)
3、特征
[象限]经过一三象限或二四象限 [坐标轴]双曲线与x轴或y轴无限接近, 但永不相交 [变化趋势]在一三象限,图象呈下降趋势, 在二四象限,图象呈上升趋势
模型一： 模型一：判断是否为反比例函数
（1）给出解析式判断是否为反比例函数（y 是 x 的函数） 例 1、下列函数中，是反比例函数的是（ ） A y = x +1 B y=
2、下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是（ ） （A 级） A y=
y=
2 x +1
D y=
1 −1 x
（2）给出文字先列解析式再判断是否为反比例函数 例 2：当路程 s 一定时。速度 v 与时间 t 之间的函数是（ A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 对象：路程 s 角度：速度 v、时间 t 分析与解：路程=速度 × 时间 即 s = vt → v = ） （A 级） D 二次函数
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是:________________;药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为:___________________. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经 过_______分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空 气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
反比例函数八大 反比例函数八大解题模型 八大解题模型（ 解题模型（模型+例题+练习题） 练习题）
基本知识点 1、定义：反比例函数的图像是经过 A（1，k）和 B（k，1）的双曲线 对应解析式 y = 2、举例说明： y =
k k ← 经过（x， （k 是常数，k≠0） ） x x
反比例函数6个模型证明
反比例函数6个模型证明
反比例函数是一种数学模型，可以用来描述两个变量之间的关系。
反比例函数的一般形式是 y = k/x，其中 k 是常数，表示两个变量之间的比例因子。
1. 水缸填水速度和填充时间：当水缸填水速度增加时，填充时间减少。
填充时间与填水速度成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
2. 人口密度和土地面积：人口密度是指单位面积内的人口数量。
当土地面积固定时，人口密度与土地面积成反比例关系。
可以用反比例函数模型来描述不同土地面积下的人口密度。
3. 电阻值和电流强度：根据欧姆定律，电阻值与电流强度成反比例关系。
当电流强度增加时，电阻值减小。
可以用反比例函数模型来描述电阻值与电流强度之间的关系。
4. 速度和旅行时间：当旅行时间固定时，速度与旅行距离成反比例关系。
旅行速度越快，旅行距离相应地减小，可以使用反比例函数模型来描述这种关系。
5. 工人数量和任务完成时间：假设一项任务需要完成固定的工作量，当工人数量增加时，任务完成时间减少。
工人数量与任务完成时间成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
6. 阻尼力和物体振幅：在振动系统中，阻尼力与振幅成反比例关系。
阻尼力越大，振幅相应减小。
可以使用反比例函数模型来描述阻尼力与物体振幅之间的关系。
总之，反比例函数可以用来描述许多现实生活中的关系，并且在数学建模和解决实际问题中起到了重要作用。
反比例函数常见几何模型.
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图 1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A OyA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图像与反比例函数y=2x的图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） ABCD EyxOA．0个B．2个C．4个D．无数个。
1.1建立反比例函数的模型.doc.doc
⑶图像的性质是：当k＞0时，图像经过第象限，y随x的逐渐增大而，这时图像是图像（上升或下降）；当k<0时，图像经过第象限，y随x的逐渐增大而；当k=0时，它变成函数，其图像是，y随x的逐渐增大或减小而.
二、自主学习
1.甲、乙、丙、丁四人在3000m赛马过程中的平均速度分别为15 ，14.5 ,14.2 和14 ，那么他们谁先到达终点？这是什么道理？
2.下列函数是反比例函数的是（）
A、y=1－2x B、y= C、y= D、 = 3
3.下列各选项中给出的两个变量成反比例的是（）
A、某人体重与年龄B、被除数不变时除数与商
C、x+3D、x：y=18中的x、y
4.已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h=，这时h是a的；
5.如果 与 成反比例，z与 成正比例，则z与 成；
6.完成某工作能得1000元报酬，若x人参加，试写出人均报酬y(元)与人数间函数关系式，它是什么函数？你能发现人均报酬与人数的变化规律吗？
7.如果函数 是反比例函数：①求y与x的函数关系式；②当x=2时，求y的值.
五、课堂小结
1.我今天学到什么知识?
2.我感受到了什么？
3.还存在什么疑惑？
六、达标检测
九年级数学导学案
备课教师：付静授课教师：课型：新授课授课日期：2013年月日第课时
课题
1.1建立反比例函数模型
学习目标
1.理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解.
2.在分析、揭示实际问题的特定数量关系并把实际问题转化为数学模型（反比例函数）的过程中，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识转化思想.
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xky =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b =.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：xB FC E A O y一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABCDAyC有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图AB CD E yx O6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．2C D ．7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个。
反比例函数6个模型证明
反比例函数的六个模型证明1. 函数定义反比例函数是一种特殊的函数，也称为倒数函数。
它的定义如下：如果两个变量x和y满足关系式y = k/x，其中k是一个非零常数，那么我们称y为x的反比例函数。
反比例函数可以表示为f(x) = k/x，其中f(x)表示y，k表示常数。
2. 模型1：物理学中的弹簧定律弹簧定律描述了弹簧受力和弹性形变之间的关系。
根据胡克定律，当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时，它会产生与形变成正比的力。
因此，我们可以使用反比例函数来描述这种关系。
具体地说，在没有外力作用时，弹簧处于平衡状态。
当外力施加在弹簧上时，它会发生形变，并且产生一个与形变成反比的恢复力。
这个关系可以用以下公式表示：F = -kx其中F是恢复力，k是一个常数（称为弹性系数），x是形变量。
根据这个公式可以看出，当形变量x增大时（例如拉伸），恢复力F减小；当形变量x减小时（例如压缩），恢复力F增大。
这正好符合反比例函数的定义。
3. 模型2：电阻和电流的关系在电学中，欧姆定律描述了电阻和电流之间的关系。
根据欧姆定律，当通过一个导体的电流增加时，导体中产生的电压也会随之增加，而且它们之间存在一个反比关系。
具体地说，欧姆定律可以用以下公式表示：V = IR其中V是电压，I是电流，R是电阻。
根据这个公式可以看出，当电流I增大时，电压V也会随之增大；当电流I减小时，电压V也会随之减小。
这也符合反比例函数的定义。
4. 模型3：速度和时间的关系在物理学中，平均速度可以用速度除以时间来计算。
根据平均速度的定义，当物体以恒定速度运动时，在相同时间内所运动的距离与时间成正比。
具体地说，在匀速直线运动中，平均速度可以用以下公式表示：v = s/t其中v是平均速度，s是物体所运动的距离，t是运动所花费的时间。
根据这个公式可以看出，当运动的距离s增加时，所花费的时间t也会随之增加；当运动的距离s减小时，所花费的时间t也会随之减小。
这符合反比例函数的定义。
反比例函数6个模型
反比例函数6个模型反比例函数是数学中常见的一种函数关系，表示两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
在实际生活中，有很多与反比例函数相关的问题，如速度与时间、密度与体积等。
下面将介绍6个反比例函数的模型及其应用。
一、速度与时间模型速度与时间成反比例函数的模型可以表示为v=k/t，其中v表示速度，t表示时间，k为比例常数。
在实际应用中，比如汽车行驶，行驶的速度与所用的时间成反比。
这个模型在物理学和工程学中非常常见。
二、密度与体积模型密度与体积成反比例函数的模型可以表示为d=k/V，其中d表示密度，V表示体积，k为比例常数。
例如，气体的密度与其体积成反比，当气体的体积增大时，密度相应减小。
三、电阻与电流模型电阻与电流成反比例函数的模型可以表示为R=k/I，其中R表示电阻，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路中非常重要，它描述了电阻对电流的阻碍作用。
四、人口增长与资源消耗模型人口增长与资源消耗成反比例函数的模型可以表示为P=k/R，其中P表示人口数量，R表示资源消耗，k为比例常数。
这个模型可以用来研究人口爆炸对资源的需求与消耗关系。
五、物体质量与重力加速度模型物体质量与重力加速度成反比例函数的模型可以表示为m=k/g，其中m表示物体质量，g表示重力加速度，k为比例常数。
这个模型可用于计算物体在不同重力场中的质量。
六、电压与电流模型电压与电流成反比例函数的模型可以表示为V=k/I，其中V表示电压，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路分析中广泛使用，它描述了电阻对电流和电压的影响。
总结起来，反比例函数具有多种模型，分别应用于速度与时间关系、密度与体积关系、电阻与电流关系、人口增长与资源消耗关系、物体质量与重力加速度关系以及电压与电流关系。
这些模型在不同领域有着广泛的应用，帮助我们理解和解决实际问题。
1.1建立反比例函数模型.doc
第一章 反比例函数1.1建立反比例函数模型知识识记知识点1 反比例函数的定义及自变量的取值范围1、下列关系式中，表示y 与x 是是反比例函数的是（ ）A y=22xB y= x 2C y=x 1 +2D y=2x 2、函数y=421-x 中自变量x 的取值范是－－－－－－－－－－－－。
3、已知y=(a -1)22-a x 是反比例函数，则a 的值是－－－－－－－－－－－－－－－。
知识点2 反比例函数解析式的确定4、已知变量y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=4( 1)y 与x 的函数关系式是－－－－－－－－－－；（ 2）当x=-3时，y=--------。
5、当三角形某一条边的长度为3时，这条边上的高为4，则另一条边的长度y 与该边上的高x 的函数关系式为－－－－－－－－－－－－。
知识点3 建立反比例函数模型6、小明和同学到相距10千米的风景区去春游，他的速度v 与时间t 之间的关系是v=7、近视眼的度数y 度与镜片的焦距x 米成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为－－－－－－－－－－。
8、学校食堂现有煤20吨，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧煤的吨数x 之间的函数关系是y=---------------------------。
知识应用9、已知函数y=y 1+y 2 ，y 1与x 成正比例，y 2 与x 成反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5.（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）当x=4时，求y 的值。
10、小强同学拿100元去大众超市买巧克力，预计巧克力每千克x 元，可购得y 1千克。
到了超市发现只有一种品牌的巧克力，且每千克比预计贵了5元，只能购得y 2千克。
（1）写出y 1关于x 的函数解析式，并判断是什么函数关系；写出y 2 关于x 的函数解析式，这时y 2与x 是反比例函数吗？为什么？。
(完整word版)反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kxk≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数(0)ky xx=>的图象与AC边交于点E，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数kyx=和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，当点P在kyx=的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形P AOB的面积不会发生变化；③P A与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：一、选择题1、已知m<0，则函数mxy=1与xmy-=2的图像如图，大致是（）xBFCEAOyA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2φx xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k(xky＞=经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．第5题图第6题图像与反比例函数y=2x的图6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2 B．22C．2D．227、已知P为函数y=2x的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（）ABCDEyxOA．0个B．2个C．4个D．无数个。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k ≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k ≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B OFE图 1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x =（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b =.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A OyA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图与反比例函数y=2x的图像6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ）ABCD EyxOA．0个 B．2个 C．4个 D．无数个。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k ≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k ≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B OF E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E，则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A O yA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图与反比例函数y=2x的图像6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） ABCD EyxOA．0个 B．2个 C．4个 D．无数个。
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反比例函数中的模型（讲义）一、知识点睛
与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用．
①y
y=
C B k
x
y
y=
D
k
x
C
O A x A x
O B
结论：S矩形2S | k | 结论：S OCD S ABCD
△梯形
ABCO ABO
△
y
y
②
A
A
B
k
O y=
C
x
D D x
B
C
x
O
结论：AB=CD
③y y= k
x
y
B
A
C
D
A
P
D B
O x
E
x
O C
结论：B D∥CE
二、精讲精练
1. 如图，已知点A，B在双曲线y k
x
（x>0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y 轴于点D，AC 与
BD相交于点P，且P是AC的中点．若△ABP的面积为3，则k=________．
2. 如图，A，B是双曲线y k
x
（k>0）上的点，且A，B两点的横坐标分别为a，2a，线段AB的延
长线交x 轴于点C．若S△AOC=6，则k=________．
y
y
A
A
B
B
O
C
x
O
C
x
第 2 题图
第 3 题图
3. 如图，直线
4 y x 与双曲线 3 y k x
（x>0）交于点 A ．将直线 4 y x 向右平移 3
9 2
个单位后，与双曲
线 y
k x AO （x> 0）交于点 B ，与 x 轴交于点 C ，若
2
BC
，则 k=________．
4. 如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 形 AOBC 的面积为 18，
y
k x （k>0）经过 A ，E 两点．若平行四边
则k=________．
y
y
y A E C
A O
B C
D
x B C
A D O
x
x
O
B 第 4 题图
第 5 题图
5. 如图，已知函数 y x 1的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C ，B 两点，与双曲线
点．若 AB+CD=B ，C 则 k 的值为________．
y
k x 交于 A ，D 两
6. 已知：如图，直线 3
y x 6与双曲线 4
y k x
（x<0）相交于 A ，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D ，
C 两点，若 AB=5，则 k=_________．
3
7. 如图，直线 y
x b
3
AB AC 4， 与 y 轴交于点 A ，与双曲线
k y
在第一象限交于 B ，C 两点，且 x
则k=_______
y
y
A B
A B
B'
C
C
x
O
x
O
8. 双曲线y11
x
， 2
y
3
x
在第一象限内的图象如图所示，过y2 上的任意一点 A 作x 轴的平行线，交
y 于点B，交y 轴于点C，过点 A 作x轴的垂线，交1 y 于点D，交x 轴于点E，连接BD，CE，则
1
BD
CE
=________．
y y
N
A
B
B A
C
D
y2
y1
x O E
O M x
第9 题图第10 题图
9. 如图，双曲线y 2
x
（x> 0）经过四边形OABC的顶点A，C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半
轴的夹角，AB∥x 轴．将△ABC沿AC翻折后得△A B′C，且点B′恰好落在OA上，则四边形OABC 的面积为__________．
10. 如图，双曲线y k
x
经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN 相交于点B，已知OA=2AN，△OAB
的面积为5，则k 的值是__________．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与反比例函数k
y
（ k
x 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y 轴于M，过点F 作FN⊥x 轴于N，直线EM 与FN 交于点C．若BE:BF=1:m（m 为大于1 的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF 的面积为S2，则S1:S2=__________．（用含m 的代数式表示）
y
y
B M E C
A
B
C F
x O N A x O
12. 如图，一次函数y k1x b 的图象过点A(0，3)，且与反比例函数y k
2
x
（x>0）的图象相交于B，
C两点．（1）若B(1，2)，求k1 k2 的值．
（2）若A B=B C，则k1 k2 的值是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）将A(0，3)，B(1，2)
代入y k x b ，
1
得b 3
，___________
解得k1 ____
b ____
．
k
将B( 1，2)代入 2
y
x
，
得k2=______，
∴k1 k2 =______．
（2）_____定值，k k =____．理由：
1 2
过点B作BG⊥y 轴于点G，
过点C作C H⊥y 轴于点H，
则BG∥CH．
又∵AB=BC，
∴AG=____，CH=___BG．
k 设B(m， 2
m )，则C(_____，_____ )，
∴AG=_______，GH=_______，
k
∴3 2
m
=______，
∴m=_____，
∴B( ，)．
把B( ，)代入y=k1x+3，得____________，
∴k1 k2 =________．。