高三数学一轮复习课时作业 (49)双曲线 理 新人教B版
高考数学一轮复习课时规范练49双曲线理新人教B版
【2019最新】精选高考数学一轮复习课时规范练49双曲线理新人教B版基础巩固组1.已知双曲线=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.C.D.12.(2017山西实验中学3月模拟,理4)过双曲线x2-=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E,O为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则b= ( )A. B. C.2 D.3.(2017河南濮阳一模,理11)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,)B.(1,)C.(1,2)D.(,3)4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是( )A. B.C. D.6.(2017石家庄二中模拟,理7)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为( )A. B. C.+1 D.+17.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=18.(2017安徽淮南一模)已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.(1,+∞)B.C. D. 〚导学号21500574〛9.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为.10.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.11.(2017江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线=1的右焦点,则双曲线的离心率为.综合提升组12.(2017河南郑州一中质检一,理11)已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则的值为( )A.3B.4C.5D.与P的位置有关13.(2017河南南阳一模,理10)已知F2,F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B.C.2D. 〚导学号21500575〛14.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 15.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.创新应用组16.(2017河北石家庄二中模拟,理11)已知直线l1与双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 〚导学号21500576〛参考答案课时规范练49 双曲线1.D 由已知得=2,且a>0,解得a=1,故选D.2.D 由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,∴双曲线的一条渐近线的斜率为,∴b=,故选D.3.A 由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2,∴|AB|=.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,∴tan∠AF2F1=,e=>1.∴e-.解得e∈(1,),故选A.4.D 由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-=1.5.A 由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0. ①又=1,∴=2+2.代入①得,∴-<y0<.6.C 由题意kAB=-,∴直线l的方程为y=(x+c),AB的中点坐标为.∴,化简整理得b2=a2+2ac,即c2-2ac-2a2=0,e2-2e-2=0,解得e=1+,e=1-(舍去),故选C.7.D ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.8.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤a,由e=>1可得1<e≤,故选C.9. 由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行,∴=1,即=1.解得e2=2,故答案为.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.11.2 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线=1的右焦点为(2,0),即有c==2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e==2.故答案为2.12.A 取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),∴=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴=4-1=3.故选A.13.C 由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=x,则点F2到渐近线的距离为=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.14.2 该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.B 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,yM),由得-=0,又代入上式得a2=bc,即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=.解法二:设M(b,d),则kOM=,则由双曲线中点弦的斜率公式kAB·kOM=,得kAB=,∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,∴=kMF=,kAB·=-1,即=-1,化简得bc=a2.∴·c=a2,e4-e2-1=0,e=.。
高三理科数学第一轮复习§8.6：双曲线
第八章：平面解析几何 §8.6：双曲线
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第八章：平面解析几何 §8.6：双曲线第八来自：平面解析几何 §8.6：双曲线
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高三人教B文科数学一轮复习课时作业双曲线B
课时作业(五十)B [第50讲 双曲线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝1 2．[2011·厦门质检] 双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．[2011·上海春招卷] 若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．能力提升5．[2011·古田县适应测试] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 6．[2010·辽宁卷] 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127．[2011·山西四校四联] 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 8．[2011·福州质检] 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．49．[2011·上海黄浦区二模] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．[2010·上海卷] 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．11．双曲线的渐近线为y ＝±43x ，则双曲线的离心率为________． 12．(13分)[2011·青岛质检] 直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P (－2,0)和线段AB 的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．课时作业(五十)B【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －1－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 【能力提升】5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－b c，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x . 10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )，∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ，代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1. 11.53或54 [解析] 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53. 12．[解答] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0⇒1<k < 2. 设M (x ，y )为AB 的中点，则 ⎩⎨⎧ x ＝k 1－k 2，y ＝kx ＋1＝k 21－k 2＋1＝11－k 2，∴M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2. ∵P (－2,0)，M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2，Q (0，b )三点共线，故b ＝2－2k 2＋k ＋2. 设φ(k )＝－2k 2＋k ＋2，则φ(k )在(1，2)上是减函数，于是φ(2)<φ(k )<φ(1)，且φ(k )≠φ(0)． ∴b >2或b <－2－ 2.【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3， 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)． 综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。
2020届高三数学一轮复习课时作业 (50)双曲线B 文 新人教B版
课时作业(五十)B [第50讲 双曲线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝1 2．[2020·厦门质检] 双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．[2020·上海春招卷] 若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．能力提升 5．[2020·古田县适应测试] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 6．[2020·辽宁卷] 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127．[2020·山西四校四联] 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 8．[2020·福州质检] 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．49．[2020·上海黄浦区二模] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．[2020·上海卷] 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．11．双曲线的渐近线为y ＝±43x ，则双曲线的离心率为________． 12．(13分)[2020·青岛质检] 直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P (－2,0)和线段AB 的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．课时作业(五十)B【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －1－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 【能力提升】5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－b c，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x . 10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )，∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ，代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1. 11.53或54 [解析] 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53. 12．[解答] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0⇒1<k < 2. 设M (x ，y )为AB 的中点，则 ⎩⎨⎧ x ＝k 1－k 2，y ＝kx ＋1＝k 21－k 2＋1＝11－k 2，∴M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2. ∵P (－2,0)，M ⎝⎛⎭⎫k 1－k 2，11－k 2，Q (0，b )三点共线，故b ＝2－2k 2＋k ＋2. 设φ(k )＝－2k 2＋k ＋2，则φ(k )在(1，2)上是减函数，于是φ(2)<φ(k )<φ(1)，且φ(k )≠φ(0)． ∴b >2或b <－2－ 2.【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3， 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)． 综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。
2022版新教材高考数学一轮复习 课时规范练46 双曲线(含解析)新人教B版-2022版新教材高
课时规范练46 双曲线基础巩固组1.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24−y24=1 B.x28−y28=1C.x24−y28=1 D.x28−y24=12.(2020河北衡水三模)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(√5,0)且斜率为k(k<-1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直,且垂足为A,交另一条渐近线于点B,若S△BOF=53(O为坐标原点),则k的值为()A.-√2B.-2C.-√3D.-√53.(2020河北唐山模拟)过双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点(-√5,0)作圆(x-√5)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则双曲线E的离心率为()A.2√5B.√5C.√53D.√524.(多选)已知双曲线C过点(3,√2)且渐近线为y=±√33x,则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为x23-y2=1B.双曲线C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过双曲线C的一个焦点D.直线x-√2y-1=0与双曲线C有两个公共点5.(多选)已知点P为双曲线E:x216−y29=1的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是() A.点P的横坐标为203B.△PF1F2的周长为803C.∠F1PF2<π3D.△PF1F2的内切圆半径为326.(2020广东湛江模拟)设F 为双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a ,b>0)的右焦点,过双曲线E 的右顶点作x 轴的垂线与双曲线E 的渐近线相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,四边形OAFB 为菱形,圆x 2+y 2=c 2(c 2=a 2+b 2)与双曲线E 在第一象限的交点为P ,且|PF|=√7-1,则双曲线E 的方程为( ) A.x 26−y 22=1 B.x 22−y 26=1C.x 23-y 2=1D.x 2-y 23=17.(2020天津,7)设双曲线C 的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0),过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b )的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24−y 24=1 B.x 2-y 24=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 2=18.(2019江苏,7)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-y 2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .9.(2020全国1,理15)已知F 为双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 .综合提升组10.(2020湖北武汉模拟)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线C 右支上异于顶点的任意一点,PQ 为∠F 1PF 2的平分线,过点F 1作PQ 的垂线,垂足为Q ,O 为坐标原点,则|OQ|( ) A.为定值a B.为定值b C.为定值cD.不确定,随点P 位置变化而变化 11.(2019全国1,理16)已知双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 .创新应用组12.已知直线l 1,l 2是双曲线C :x 24-y 2=1的两条渐近线,P 是双曲线C 上一点,若点P 到渐近线l 1的距离的取值范围是[12,1],则点P 到渐近线l 2的距离的取值范围是( )A.[45,85]B.[43,83]C.[43,85]D.[45,83]13.已知双曲线C :x 24-y 2=1,直线l :y=kx+m 与双曲线C 相交于A ,B 两点(A ,B 均异于左、右顶点),且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,则直线l 所过定点为 .参考答案课时规范练46 双曲线1.B 经过F (-c ,0)和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,即4c =ba .离心率为e=ca=√2,解得a=b=2√2,则双曲线的方程为x 28−y 28=1.故选B .2.B 由题意得双曲线过第一象限的渐近线的方程为y=-1kx ,过第二象限的渐近线的方程为y=1kx ,直线FB 的方程为y=k (x-√5),由{y =k (x -√5),y =1k x ,得x B =√5k 2k 2-1,所以y B =√5kk 2-1.又k<-1,所以S △BOF =12|OF||y B |=12×√5×|√5kk 2-1|=52-kk 2-1=53,解得k=-2或k=12(舍去).3.B 设圆的圆心为G ,双曲线的左焦点为F ,切点为P.由圆的方程(x-√5)2+y 2=4,知圆心G (√5,0),半径r=2,则|FG|=2√5,|PG|=2.由题意可知点P 在双曲线E 的右支上,则|PF|=|PG|+2a=2+2a.又PG ⊥PF ,所以|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a )2+4=20,解得a=1.又c=√5,所以双曲线E 的离心率e=ca =√5.故选B .4.AC 由题意可设双曲线C 的方程为x 23-y 2=λ(λ≠0),因为双曲线C 过点(3,√2),所以λ=323-(√2)2=1.所以双曲线C 的方程为x 23-y 2=1,故A 正确;因为a=√3,b=1,所以c=2,所以离心率e=ca=2√33,故B 错误;双曲线C 的焦点坐标为(2,0),(-2,0),当x=2时,y=e 0-1=0,所以双曲线y=e x-2-1经过双曲线C 的一个焦点,故C 正确;由{x 23-y 2=1,x -√2y -1=0,得y 2-2√2y+2=0,Δ=8-8=0,故直线x-√2y-1=0与双曲线C 只有一个公共点,故D 错误.5.ABCD 由已知得a=4,b=3,c=5,不妨设点P (m ,n ),m>0,n>0,由△PF 1F 2的面积为20,可得12|F 1F 2|n=cn=5n=20,即n=4.由m 216−169=1,解得m=203,故A 正确.因为点P203,4,F 1(-5,0),F 2(5,0),所以|PF 1|=373,|PF 2|=133,|F 1F 2|=10,所以|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=803,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=319481>12,所以∠F 1PF 2<π3,故B,C 正确.设△PF 1F 2的内切圆的半径为r ,则12r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=20,即403r=20,解得r=32,故D 正确.6.D 因为四边形OAFB 为菱形,所以AB 平分OF ,所以c=2a ,所以b=√c 2-a 2=√3a.由{x 2a 2-y 23a 2=1,x 2+y 2=c 2=4a 2,解得{x =√72a ,y =32a . 则点P√72a ,32a .因为|PF|=√7-1,所以√72a-2a 2+32a 2=(√7-1)2,解得a=1.所以b=√3.所以双曲线E 的方程为x 2-y 23=1.故选D .7.D 解析∵双曲线x 2a2−y 2b 2=1的渐近线方程为y=±bax ,y 2=4x 的焦点坐标为(1,0),直线l 方程为y b+x1=1,即y=-bx+b ,∴-b=-b a 且-b ·ba =-1, ∴a=1,b=1.故选D . 8.y=±√2x ∵双曲线x 2-y2b 2=1(b>0)过点(3,4),∴32-42b 2=1,解得b 2=2,即b=√2或b=-√2(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x 轴上, ∴双曲线的渐近线方程为y=±√2x. 9.2 由题意可得A (a ,0),F (c ,0),其中c=√a 2+b 2.由BF 垂直于x 轴可得点B 的横坐标为c ,代入双曲线方程可得点B 的坐标为B (c ,±b 2a).∵AB 的斜率为3,∴B (c ,b 2a ). ∵k AB =b 2ac -a=b 2a (c -a )=c 2-a 2a (c -a )=c+a a=e+1=3,∴e=2.10.A 如图,延长F 1Q ,PF 2交于点M ,因为PQ 为∠F 1PF 2的平分线,F 1Q ⊥PQ ,所以三角形PF 1M 为等腰三角形,所以Q 为F 1M 的中点,|PF 1|=|PM|.由双曲线的定义,可得|PF 1|-|PF 2|=|PM|-|PF 2|=|F 2M|=2a ,因为Q 为F 1M 的中点,O 为F 1F 2的中点,所以|OQ|=12|F 2M|=a.故选A .11.2 如图,由F 1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|F 1A|=|AB|.又|OF 1|=|OF 2|,得BF 2∥OA ,且|BF 2|=2|OA|. 由F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得F 1B ⊥F 2B. 则OA ⊥F 1A ,|OB|=|OF 1|=|OF 2|.故∠BOF 2=∠AOF 1=2∠OF 1B ,得∠BOF 2=60°. 则ba =tan60°=√3.所以e=ca =√1+(b a)2=√1+3=2. 12.A 设点P (x 0,y 0),由题意,不妨设渐近线l 1:x-2y=0,l 2:x+2y=0,则点P 到直线l 1的距离d 1=|x 0-2y 0|√5,点P到直线l 2的距离d 2=|x 0+2y 0|√5,所以d 1d 2=|x 0-2y 0|√5·|x 0+2y 0|√5=|x 02-4y 02|5.又x 024−y 02=1,即x 02-4y 02=4,所以d 1d 2=45,所以d 2=45d 1.又d 1∈[12,1],所以d 2∈[45,85].故选A .13.-103,0 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +m ,x 24-y 2=1,得(1-4k 2)x 2-8kmx-4(m 2+1)=0, 所以Δ=64k 2m 2+16(1-4k 2)(m 2+1)>0,x 1+x 2=8km 1-4k2,x 1x 2=-4(m 2+1)1-4k2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2-4k 21-4k 2.因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (-2,0),所以k AD ·k BD =-1,即y1x1+2·y2x2+2=-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,即m 2-4k21-4k2+-4(m2+1)1-4k2+16km1-4k2+4=0,所以3m2-16km+20k2=0,解得m=2k或m=10k3.当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),此时直线l过定点(-2,0),与已知矛盾;当m=10k3时,直线l的方程为y=k x+103,此时直线l过定点-103,0,经检验符合题意.故直线l过定点-103,0.。
高三数学一轮基础巩固 第8章 第5节《双曲线》(含解析)新人教B版
2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第5节 双曲线 新人教B 版一、选择题1．(文)(2014·广东文)若实数k 满足0<k<5，则曲线x216－y25－k ＝1与曲线x216－k －y25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 [答案] D[解析] ∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D. (理)(2014·广东理)若实数k 满足0<k<9，则曲线x225－y29－k ＝1与曲线x225－k －y29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等 [答案] A[解析] 由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选A.2．(文)设P 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切C ．内切或外切D ．不相切 [答案] A[解析] 取PF2的中点M ，则2|OM|＝|F1P|，且O 、M 为两圆圆心，OM 为圆心距．由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a ，即2|MF2|－2|OM|＝2a ，∴|OM|＝|MF2|－a ， 即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．(理)已知F 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则以线段PF 为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 [答案] B[解析] 设双曲线左焦点为F1，PF 的中点为C ，则由双曲线的定义知，|PF1|－|PF|＝2a ，∵C 、O 分别为PF 、F1F 的中点，∴|PF1|＝2|CO|，|PF|＝2|PC|， ∴|CO|－|PC|＝a ，即|PC|＋a ＝|CO|，∴两圆外切．3．(文)(2014·河北石家庄第二次质检)已知F 是双曲线x23a2－y2a2＝1(a>0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( ) A ．15° B ．25° C ．60° D ．165° [答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为x 3a ±y a ＝0，两渐近线的斜率k ＝±a 3a＝±33，渐近线的倾斜角分别为30°，150°，所以∠POF 的大小不可能是60°. (理)(2014·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x216－y29＝1 B ．x23－y24＝1 C.x29－y216＝1 D ．x24－y23＝1 [答案] C[解析] 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c2＝a2＋b2，所以a ＝3，b ＝4，所以以此双曲线的方程为x29－y216＝1.4．(2014·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x 的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为43，则双曲线C1的实轴长为( ) A ．6 B ．2 6 C. 3 D ．2 3 [答案] D[解析] 设双曲线C1的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a2＋b2＝9，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为43，所以b2a ＝23，与a2＋b2＝9联立，得a2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C1的实轴长为23，故选D.5．(2015·焦作市期中)已知双曲线x2a －y2＝1(a>0)的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( )A.22 B ． 2 C. 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知2a ＝2，∴a ＝1，又b ＝1，∴c ＝2，∴e ＝ca ＝ 2.6．(文)已知双曲线x2m －y27＝1，直线l 过其左焦点F1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．16 D ．20 [答案] B[解析] 由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20， 又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16. 据双曲线定义，2a ＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a ＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a2＝9，故选B.(理)(2014·江西赣州四校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 [答案] B[解析] 设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P 在双曲线左支上，如图所示，则|O2O|＝12|PF2|＝12(|PF1|＋2a)＝12|PF1|＋a ＝r1＋r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切．若P 在双曲线右支上，同理求得|OO1|＝r1－r2，故此时两圆内切．综上，两圆相切，故选B.二、填空题7．(文)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有________条． [答案] 3[解析] 过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条． (理)(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．[答案] 52[解析] 联立渐近线与直线方程可解得A(am 3b －a ，bm 3b －a )，B(－ma 3b ＋a ，bm 3b ＋a )，则kAB ＝13，设AB的中点为E ，由|PA|＝|PB|，可知AB 的中点E 与点P 两点连线的斜率为－3，∴b －3a 3b ＋a ＋b ＋3a3b －a ＝6，化简得4b2＝a2，所以e ＝52.8．(2014·温州十校联考)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 作圆x2＋y2＝a2的两条切线，记切点分别为A 、B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率e ＝________. [答案] 2[解析] 连接OA ，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO|＝c ，|OA|＝a ，而∠ACB ＝120°，∴∠AOC ＝60°，又FA 是圆O 的切线，故OA ⊥FA ，在Rt △FAO 中，容易得到|OF|＝2a ，∴e ＝ca ＝2.9．(文)(2015·河南八校联考)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________． [答案] 32[解析] 由条件知a2＋5＝9，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32.(理)(2014·深圳调研)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． [答案] x2－y24＝1[解析] 易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝5b a ＝2，∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C 的方程为x2－y24＝1. 三、解答题10．(文)设双曲线C ：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x2a2－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x －2a2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a2≠0，4a4＋8a21－a2>0，解得0<a<2且a≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a ＝1a2＋1，∵0<a<2且a≠1，∴e>62且e ≠ 2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)．∴x1＝512x2， ∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0， ∴1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2，消去x2得，－2a21－a2＝28960，∵a>0，∴a ＝1713.(理)设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＝2，经过双曲线的右焦点F 且斜率为153的直线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|＝12，求此双曲线方程． [解析] ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，又c2＝a2＋b2， ∴b2＝3a2，∴双曲线C 的方程为x2a2－y23a2＝1， 直线AB ：y ＝153(x －2a)．代入双曲线方程化简得，4x2＋20ax －29a2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－5a ，x1x2＝－294a2， 由|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x 2得，12＝1＋53·25a2＋29a2，∴a2＝1，∴b2＝3，∴所求双曲线方程为x2－y23＝1.一、选择题11．(文)(2015·绍兴一中期中)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e ∈[2，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是( ) A ．[π6，π4] B ．[π6，π3] C ．[π4，π3] D ．[π3，π2][答案] C[解析] 设渐近线与实轴所成的角为α，则tanα＝ba >0， ∴tan2α＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1∈[1,3]， ∴tanα∈[1，3]，∴α∈[π4，π3]．(理)(2015·大连二十中期中)已知点P ，A ，B 在双曲线x2a2－y2b2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( ) A.233 B ．153 C ．2D ．102[答案] A[解析] 设A(x1，y1)，则由题意知B(－x1，－y1)，又设P(x0，y0)，PA 的中点为M ，则 kPA ＝y0－y1x0－x1，kBP ＝kOM ＝y0＋y12－0x0＋x12－0＝y0＋y1x0＋x1，∵A 、P 在双曲线上，∴x21a2－y21b2＝1，x20a2－y20b2＝1，两式相减得x1＋x0x1－x0a2＝y1＋y0y1－y0b2，∴b2a2＝y1＋y0y1－y0x1＋x0x1－x0＝kBP·kPA ＝13，∴e2－1＝b2a2＝13，∴e ＝233.12．(文)(2013·合肥市第一次质检)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的一条渐近线平分圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于( ) A. 5 B ．2 C. 3 D ． 2 [答案] A[解析] 由条件知，圆心C(1,2)在直线y ＝ba x 上， ∴ba ＝2，∴c2－a2a2＝4，∴e ＝5，故选A.(理)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C1恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．a2＝132 B ．a2＝13 C ．b2＝12D ．b2＝2[答案] C[解析] 由已知双曲线渐近线为y ＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ|＝13|AB|＝2a3， ∴|OP|＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)， 又∵点P 在椭圆上，∴5a2225a2＋20a2225b2＝1.① 又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a2＝112，b2＝12.故选C.13．(2014·重庆理)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b ，|PF1|·|PF2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B ．53 C.94 D ．3[答案] B[解析] 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a ，又|PF1|＋|PF2|＝3b ，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab ，因此9b2－4a2＝9ab ，即9(b a )2－9b a －4＝0，则(3b a ＋1)(3b a －4)＝0，解得b a ＝43(b a ＝－13舍去)，则双曲线的离心率e ＝53.14．(2014·湖北文)设a ，b 是关于t 的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a ，a2)，B(b ，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] 关于t 的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，∴A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过A ，B 两点的直线方程为y ＝－xtanθ，双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的渐近线方程为y ＝±xtanθ，所以直线y ＝－xtanθ与双曲线没有公共点，故选A. 二、填空题 15．(文)如图，椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为________．[答案] e1<e2<e4<e3 [解析] 在椭圆中，e ＝1－b a 2，故越扁ba 越小，e 越大，∴e1<e2<1，在双曲线中，e ＝1＋b a 2，开口越宽阔，ba 越大，∴e 越大，∴e3>e4>1，∴e1<e2<e4<e3.(理)如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的双曲线，若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别记为eM 、eN 、eP ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．[答案] eM<eP<eN[解析] 由图知|AB|＝10，经过M ，N ，P 的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M 的双曲线实半轴长为72，同理可知过N ，P 的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知eN>eP>eM.16．(2014·山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q.且△F1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________． [答案] y ＝±2x[解析] 设F2(c,0)(c>0)，P(c ，y0)， 代入双曲线方程得y0＝±b2a ， ∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ|＝2b2a . 在Rt △F1F2P 中，∠PF1F2＝30°，∴|F1F2|＝3|PF2|，即2c ＝3·b2a .又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)， ∵a>0，b>0，∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 三、解答题17．(2014·广东肇庆一模)设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(3，0)，离心率e ＝3，A ，B 是双曲线上的两点，AB 的中点为M(1,2)． (1)求双曲线C 的方程． (2)求直线AB 的方程．(3)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C ，D 两点，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，e ＝ca＝3，解得a ＝1. 所以b2＝c2－a2＝3－1＝2， 故双曲线C 的方程为x2－y22＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ⎩⎨⎧x21－y212＝1，x22－y222＝1.，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝12(y1－y2)·(y1＋y2)，由题意得x1≠x2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以y1－y2x1－x2＝2x1＋x2y1＋y2＝1，即kAB ＝1.故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(3)假设A ，B ，C ，D 四点共圆，且圆心为P .因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 的垂直平分线CD 上．又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M.下面只需证CD 的中点M 满足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|即可． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x2－y22＝1，得A(－1,0)，B(3,4)． 由此可得直线CD 方程：y ＝－x ＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x2－y22＝1，得C(－3＋25，6－25)，D(－3－25，6＋25)， 所以CD 的中点M(－3,6)．因为|MA|＝4＋36＝210，|MB|＝36＋4＝210， |MC|＝20＋20＝210，|MD|＝20＋20＝210， 所以|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|，即A ，B ，C ，D 四点在以点M(－3,6)为圆心，210为半径的圆上．18．(文)已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1， 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2， 得b2＝1，故C2的方程为x23－y2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x23－y2＝1中得， (1－3k2)x2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k2≠0，Δ＝－62k 2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k2≠13且k2<1①设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)， 则xA ＋xB ＝62k1－3k2，xAxB ＝－91－3k2由OA →·OB →>2得，xAxB ＋yAyB>2， xAxB ＋yAyB ＝xAxB ＋(kxA ＋2)(kxB ＋2) ＝(k2＋1)xAxB ＋2k(xA ＋xB)＋2＝(k2＋1)·－91－3k2＋2k·62k1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1于是3k2＋73k2－1>2，即－3k2＋93k2－1>0，解此不等式得13<k2<3②由①②得13<k2<1，∴33<k<1或－1<k<－33. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.(理)(2015·深圳五校联考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，A(－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率e ＝2.设过右焦点F2的直线l 与双曲线C 的右支交于P 、Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP 、AQ 分别与直线x ＝12交于M 、N 两点，求证：MF2⊥NF2；(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A ＝λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可知，a ＝1，∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2.∵a2＋b2＝c2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x2－y23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x2－y23＝1，x ＝ty ＋2，消去x 得，(3t2－1)y2＋12ty ＋9＝0， ∴y1＋y2＝－12t 3t2－1，y1y2＝93t2－1. 又直线BP 的方程为y ＝y1x1＋1(x ＋1)，代入x ＝12得，M(12，3y12x1＋1)， 同理，直线AQ 的方程为y ＝y2x2＋1(x ＋1)，代入x ＝12得，N(12，3y22x2＋1)， ∴MF2→＝(32，－3y12x1＋1)，NF2→＝(32，－3y22x2＋1)， ∴MF2→·NF2→＝94＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋9y1y24ty1＋3ty2＋3＝94＋9y1y24[t2y1y2＋3t y1＋y2＋9]＝94＋9×93t2－14t2×93t2－1＋3t×－12t 3t2－1＋9＝94－94＝0，∴MF2⊥NF2.(3)当直线l 的方程为x ＝2时，解得P(2,3)．易知此时△AF2P 为等腰直角三角形，其中∠AF2P ＝π2，∠PAF2＝π4，即∠AF2P ＝2∠PAF2，也即λ＝2.下证：∠AF2P ＝2∠PAF2对直线l 存在斜率的情形也成立．tan2∠PAF2＝2tan ∠PAF21－tan2∠PAF2＝2kPA 1－k2P A＝2×y1x1＋11－y1x1＋12＝2y1x1＋1x1＋12－y21， ∵x21－y213＝1，∴y21＝3(x21－1)，∴tan2∠PAF2＝2y1x1＋1x1＋12－3x21－1 ＝2y1x1＋1－2x1＋1x1－2＝－y1x1－2， ∴tan ∠AF2P ＝－kPF2＝－y1x1－2＝tan2∠PAF2， ∴结合正切函数在(0，π2)∪(π2，π)上的图象可知，∠AF2P ＝2∠PAF2.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业49
课时作业54 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1， 其中a 2＝3m ，b 2＝3， 故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1m x ，化成一般式即为x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点， ∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1， 故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②.联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)， 不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上， 由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16， 即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2， 圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点， 得|ab |a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)， 即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 (0,2) .解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8， 则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±22x .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为4|OF |＝|AF |＋|BF |， 所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2， 即y 1＋y 2＝p .① 由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2.② 由①②可得b a ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于 4 .解析：由题意知a ＝1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2， |BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4， |BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576 .解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ， 作Q 关于原点对称的点S ，如图， 连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ， 则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义， 有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ， 所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1B ．62 C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1B ．12 C.13D ．23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 53 .解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2| ＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a＝178－98e 2， 即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53.16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. 因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0. 所以m ＜－2 2.所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。
新高考新教材一轮复习人教B版 第八章 第六节 双曲线 学案
第六节双曲线课程标准解读1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.[知识排查·微点淘金]知识点一双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.[微提醒](1)当|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支．(2)若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线．知识点二双曲线的标准方程1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．知识点三双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)；e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[微思考]已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？提示：可设方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．常用结论1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a ，也叫通径．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .3．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(链接人B 选择性必修第一册P 141AT 1)已知点M 为双曲线C ：x 2－y 28＝1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝( )A ．1B ．4C ．6D ．8解析：选B 由a 2＝1，b 2＝8， 得a ＝1，c ＝3，则|MF 1|＋|F 1F 2|－|MF 2|＝|MF 1|－|MF 2|＋|F 1F 2|＝－2a ＋2c ＝4. 故选B ．3．(链接人B 选择性必修第一册P 146例2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ． 2D ．2解析：选A 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 4．(忽视双曲线上的点到焦点的最小距离)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于__________.解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：65．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为__________.解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233一、基础探究点——双曲线的标准方程(题组练透)1．(多选题)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 22＝1B ．y 24－x 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．y 24－x 22＝1解析：选AB 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4， 当m ＞0时，2m ＝4，m ＝2； 当m ＜0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________.解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2， 3 )在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________.解析：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c .∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋(2c －a )2－(2c ＋a )24c (2c －a )＝c －2a2c －a，又点P (2，3)在双曲线上，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3(2c －a )2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，即c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据 已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值；(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，需注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m ·n ＜0)求解．二、应用探究点——双曲线的定义及其应用(思维拓展)[典例剖析][例1] (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 选B 设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．(2)(2021·福建四校联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________.[解析] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.[答案] 2 3 [拓展变式][变条件]本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：21．利用双曲线定义解决的2类问题(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线；(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． 2．利用双曲线的定义解决问题时的3个注意点 (1)距离之差的绝对值； (2)2a ＜|F 1F 2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．[学会用活]1．(2021·河南安阳模拟)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：选C 由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.三、综合探究点——双曲线的几何性质(多向思维)[典例剖析]思维点1 双曲线的渐近线问题[例2] (1)(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．45[解析] 选A 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程是x 4±y3＝0，即3x ±4y ＝0.由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x ±4y ＝0的距离为|3×3|32＋42＝95.故选A ． (2)(2021·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C的焦距为________.[解析] 易得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1mx ，又知C 的一条渐近线方程为y ＝－3m x ，则3m ＝1m，解得m ＝3.故C 的方程为x 23－y 2＝1.所以C 的焦距为4.[答案] 4思维点2 双曲线的离心率问题[例3] (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A ．72B ．132C ．7D ．13[解析] 选A 由题意，得|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得a 2＋9a 2－4c 22a ×3a＝12，所以c 2a 2＝74，所以双曲线C 的离心率为72.故选A ．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，在双曲线上存在点P满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________.[解析] 当P 不是双曲线与x 轴的交点时，连接OP ，因为OP 为△PF 1F 2的边F 1F 2上的中线，所以PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)；当P 是双曲线与x 轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，所以4|PO →|≤2c ，由|PO →|≥a ，可知4a ≤2c ，则e ≥2. [答案] [2，＋∞)思维点3 双曲线的几何性质的综合应用[例4] 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是________.[解析] 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33. [答案] ⎝⎛⎭⎫－33，33(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法①求出a ，b ，c 直接求离心率，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．[学会用活]2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ．2D ． 5解析：选D 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±ba ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为ba .由|AB |＝4|OF |可得2ba＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2， 故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 四、应用探究点——直线与双曲线的位置关系(师生共研)[典例剖析][例5] (2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．[解] (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支．由题意，得c ＝17，|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝2，所以a ＝1. 又c 2＝a 2＋b 2，所以17＝1＋b 2，则b 2＝16. 所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)． (2)设T ⎝⎛⎭⎫12，t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1(x ≥1)，得(k 2－16)x 2＋(2kt －k 2)x ＋14k 2－kt ＋t 2＋16＝0，又直线AB 与曲线C 必有两个不同交点，则k 2－16≠0. 所以x 1＋x 2＝k 2－2kt k 2－16，x 1x 2＝14k 2－kt ＋t 2＋16k 2－16.①|TA |·|TB |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 1－12·1＋k 2⎪⎪⎪⎪x 2－12 ＝(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线PQ 的方程为y ＝k ′⎝⎛⎭⎫x －12＋t (k ′≠0)， 将此方程代入x 2－y 216＝1，得(k ′2－16)x 2＋(2k ′t －k ′2)x ＋14k ′2－k ′t ＋t 2＋16＝0，所以x 3＋x 4＝k ′2－2k ′tk ′2－16，x 3x 4＝14k ′2－k ′t ＋t 2＋16k ′2－16.② |TP |·|TQ |＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 由|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |， 得(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k ′2)⎝⎛⎭⎫x 3－12⎝⎛⎭⎫x 4－12， 即(1＋k 2)⎣⎡⎦⎤x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14 ＝(1＋k ′2)⎣⎡⎦⎤x 3x 4－12(x 3＋x 4)＋14.③ 将①②代入③并整理，得k 2＝k ′2. 因为k ≠k ′且k ，k ′≠0，所以k ＋k ′＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“步骤” 第一步―联立直线方程与双曲线方程↓第二步―消元转化成关于x 或y 的一元二次方程(或一元一次方程)↓ 第三步―利用根与系数的关系(或方程的解)判断它们的位置关系(2)解题“关键”联立直线方程与双曲线方程，消元后一定要注意判断二次项系数是否为零．当二次项系数为0时，直线与双曲线最多只有一个交点；当二次项系数不为0时，利用判别式Δ求解：Δ＞0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；Δ＜0⇔无交点⇔相离．[学会用活] 3．(2021·吉安一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，若圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4]C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∵P (x 0，y 0)是直线bx －ay ＋4a ＝0上任意一点，则直线bx －ay ＋4a ＝0与直线bx －ay ＝0的距离d ＝4aa 2＋b 2＝4a c，∵圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝1与双曲线C 的右支没有公共点，则d ≥1，∴4a c ≥1，即e ＝c a≤4，故e 的取值范围为(1,4]，故选B ．。
高考数学一轮复习全程复习构想·数学(文)课时作业49 双曲线练习
课时作业49 双曲线[基础落实练]一、选择题1．若双曲线E ：x 29 －y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．32．已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5 ，则双曲线的标准方程为( )A ．x 24 －y 216 ＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22 －y 23 ＝1 D ．x 2－y 26＝1 3．[2023·天津和平高三模拟]已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝4x 交于点A ，点B 是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点F 为双曲线的一个焦点，且△ABF 为等边三角形，则双曲线的方程为( )A ．7x 23 －7y 24 ＝1B ．7x 24 －7y 23＝1 C ．3x 27 －4y 27 ＝1 D ．7x 212 －7y 216＝1 4．已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 216＝1(a >0)上一点P 到左焦点F 1的距离为6，点O 为坐标原点，点M 为PF 1的中点，若|OM |＝5，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±xC ．y ＝±43x D ．y ＝±4x 5．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右支分别相交于M 、N 两点，若|MF 1|＝|NF 1|，|MN |＝2b ，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．5C ．2D ．62 二、填空题6．[2023·昆明市质量检测]已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OF |＝2|OA |，则C 的渐近线方程为________．7．已知双曲线C ：x 26 －y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．8．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．三、解答题9．已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3 ，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62 ，求直线l 的方程．10.已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3 ，点(3 ，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB 的长．[素养提升练]11．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所SteynStudio 完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的离心率为62，过点(1，－2)，则此双曲线的方程为( )A ．y 2－2x 2＝2B ．2y 2－3x 2＝5C ．2y 2－x 2＝4D ．y 2－x 2＝312．[2022·湖南长沙模拟]已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且 AF → ＝3BF → ，则双曲线离心率的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．2213．已知双曲线x 2－y 23 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1·PF 2的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．014．[2022·绵阳市第二次诊断性考试]已知点F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2 －y 26＝1(a ＞0)的左、右焦点，点P 为E 左支上一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴相切于点M ，且F 1M ＝13MF 2，则a ＝________．15．已知曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3 ，求双曲线的离心率．[培优创新练]16．[2022·河北省九校联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，52 )B ．(52，＋∞) C ．(1，5 ) D ．(5 ，＋∞)17．[2022·湖北八校联考]在△ABC 中，A ，B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若BA → ·BC → ＝0，(BA → ＋BC → )·AC → ＝0，则双曲线E 的离心率为( ) A ．5 －1 B ．2 ＋12－12D．2＋1 2C．。
2022届高考数学一轮复习课时作业双曲线
双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．22．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝03．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．25．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝() A．1 B．13C．17 D．1或136．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 38．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为49．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．2C[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝2a，则该双曲线的离心率为e＝ca＝2，故选C.]2．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝0D[由题意知，双曲线y24－x29＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝ca＝132，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是() A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t＜5BD [对于A ，当t ＝3时，方程x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t ＜1时，5－t ＞0，t －1＜0，此时曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确；对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；对于D ，当方程x 25－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足⎩⎨⎧5－t ＞0，t －1＞0，5－t ＜t －1，解得3＜t ＜5，所以D 正确．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B.]5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B [由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B.]6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝1，bca 2＋b2＝2，即a c ＝22.则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba ＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1. 所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 3ABC [设双曲线E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，所以⎩⎨⎧9m ＋2n ＝1，36m ＋11n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－1，故双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；联立直线与双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x 23－y 2＝1，消去x得y 2－22y ＋2＝0，Δ＝0，故选项B 正确；E 的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y ＝ln(x －1)上，故C 正确；因为a ＝3，c ＝2，所以双曲线E 的离心率e ＝233，选项D 错误．故选ABC.]8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4ABC [由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5.A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m ＞0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C 正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．]12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3， 则4e 21－e 22＝4×4－m4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.]能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.]2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．y 216－x 248＝1 28 [∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3.∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10.而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]。
【数学】2019届一轮复习人教B版 双曲线学案
第51讲 双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形．(2)如下图：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，即||FP 1＝||FP 2＝b2a.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线．(3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)正确．因为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即x 2a 2－y 2b 2＝0，所以当λ＞0时，x 2λm 2－y 2λn 2＝1(m ＞0，n ＞0)的渐近线方程为x 2λm 2－y 2λn 2＝0，即x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．2．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若||PQ ＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．82解析 由双曲线定义知，||PF 2－||PF 1＝42，||QF 2－||QF 1＝42，∴||PF 2＋||QF 2－(||PF 1＋||QF 1)＝8 2. 又||PF 1＋||QF 1＝||PQ ＝7， ∴||PF 2＋||QF 2＝7＋8 2. ∴△PF 2Q 的周长为14＋8 2.3．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42解析 双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，所以实轴长2a ＝4，故选C ．4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为x a ±y3＝0.整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2，故选C ． 5．(2017·北京卷)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__2__. 解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以1＋m1＝3，解得m ＝2.一 双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． 【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( B )A ．x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1(2)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．42B ．83C ．24D ．48(3)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( C )A ．37＋4B ．37－4C ．37－25D ．37＋25解析 (1)由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3，由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)双曲线的实轴长为2，焦距为||F 1F 2＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝||PF 1－||PF 2＝43||PF 2－||PF 2＝13||PF 2，∴||PF 2＝6，||PF 1＝8，∴||PF 12＋||PF 22＝||F 1F 22，∴PF 1⊥PF 2. ∴S △PF 1F 2＝12||PF 1·||PF 2＝12×6×8＝24.(3)|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.二 双曲线的几何性质及其应用双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解． 【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A )A ．2B ．3C ．2D ．233(3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右顶点为A ，过其左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，且MA →·NA →>0，则该双曲线的离心率的取值范围为( B )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析 (1)∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54， ∴a 2＝4b 2，b a ＝12，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±12x .(2)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2.故选A ． (3)由题意，可得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，A (a,0)， ∴MA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，－b 2a ，NA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，b 2a .∵MA →·NA →＞0，∴(a ＋c )2－b 4a 2＞0，∴a ＋c －b 2a＞0，∴2a 2＋ac －c 2＞0，即e 2－e －2＜0，又∵e ＞1，解得1＜e ＜2，故选B ．三 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系的解决方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【例3】 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2k 1－k 2>0且－21－k 2>0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，∴x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8，设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得 (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.1．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，点P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( C )A ．233B ．2C ．2D ．263解析 F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2||x 0＝2，故选C ．2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A ，B ，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A ．52 B ．53 C ．132D ．133解析 由题意可求得||AB ＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e＝133，故选D ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若||PF 1＋||PF 2＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意不妨设||PF 1－||PF 2＝2a ，∵||PF 1＋||PF 2＝6a ，∴||PF 1＝4a ，||PF 2＝2a ，∵||F 1F 2＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选B ．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为233. 解析 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·cos30°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233.易错点 求曲线方程时，忽略定义的应用错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手．【例1】 已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程为________．解析 如图，||AD ＝||AE ＝8，||BF ＝||BE ＝2，||CD ＝||CF .所以||CA －||CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案 x 29－y 216＝1(x >3)【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A ．2B ．32C ．3D ．2解析 由MF 1⊥x 轴上，得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a ， 由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a ＝13，化简得a ＝b ， ∴e ＝ 2.故选A ．课时达标 第51讲[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )A ．5x 2－45y 2＝1 B ．x 25－y 24＝1C ．y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选D ．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或3 解析 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；当m ＝－3 时，e ＝2，故选C ．3．双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a ＝( C )A ．174 B ．17 C ．52D ．5解析 ∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得|2a |5＝1，解得a ＝52.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( D )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选D ．5．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )A ．x 24－y 24＝1B ．x 28－y 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．x 28－y 24＝1解析 由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故选B ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由已知得1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得b a ＝12，故选A ． 二、填空题7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为__x 2－y 23＝1__. 解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直， ∴双曲线的渐近线的斜率为3，即b a＝ 3.① 由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1， ∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 8．若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝c 2a2＝1＋b 2≤4，所以1<e ≤2.9．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p . 由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2·x 1＋x 2p， 则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．解析 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23， 0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝ (－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离bc b 2＋a 2＝3，即b ＝3， ∴双曲线方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解析 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 故双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。
高三数学一轮复习课时作业 49双曲线 理 B 试题
卜人入州八九几市潮王学校课时作业(四十九)[第49讲双曲线][时间是：45分钟分值：100分]1．[2021·一中月考]与椭圆＋y2＝1一共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝12．[2021·实验二模]如图K49－1，点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，假设S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，那么λ的值是()图K49－1A.B.C.D.3．[2021·卷]设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，假设直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.4．[2021·一检]双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公一共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，假设|PF|＝5，那么双曲线的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝05．[2021·卷]假设点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，那么·的取值范围为()A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C.D.6．[2021·卷]双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，那么双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17．[2021·课标全国卷]双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B 两点，且AB的中点为N(－12，－15)，那么E的方程式为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F，那么该双曲线的离心率为()A.B．1＋C.D．1＋9．点P在双曲线上－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，那么此双曲线的离心率是()A．2B．3 C．4D．510．双曲线－＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，那么双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝m，那么△ABF2的周长为__________．12．[2021·全国卷]F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM 为∠F1AF2的平分线，那么|AF2|＝________.13．[2021·卷]点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，那么它的离心率为________．14．(10分)[2021·八校一联]如图K49－2，双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围，并求x2－x1的最小值；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．图K49－215．(13分)两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A，B两点．假设|AB|＝6，且曲线E上存在点C，使＋＝m，求m的值和△ABC的面积S.16．(12分)[2021·调研]双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，直线x＝(c＝)与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又＝2，·＝2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B、P、N三点一共线；(3)求△BMN面积的最小值．课时作业(四十九)【根底热身】1．B[解析]椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点P(2,1)在双曲线上，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求的双曲线方程是－y2＝1.2．B[解析]根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝λ2c，即λ＝＝.3．D[解析]设F为左焦点，结合图形可知k FB＝，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k＝－，那么有＝－1，即b2＝ac＝c2－a2，整理得c2－ac－a2＝0，两边都除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝，由于e>1，故e＝.4．B[解析]F(2,0)，即c＝2，设P(x0，y0)，根据抛物线的定义x0＋2＝5，得x0＝3，代入抛物线方程得y＝24，代入双曲线方程得－＝1，结合4＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，故双曲线的渐近线方程是x±y＝0.【才能提升】5．B[解析]因为F(－2,0)是双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2P(x0，y0)，那么有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)．因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·获得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．6．B[解析]∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，那么在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线－＝1的渐近线为y＝x，∴＝②，联立①②解得所以双曲线的方程为－＝1.7．B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线方程为－＝1.∵AB过F，N，∴斜率k AB＝1.∵－＝1，－＝1，∴两式相减，得－＝0，∴4b2＝5a2，又∵a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.8．B[解析]设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，那么＝c，即p＝2c，抛物线方程为y2＝4cx，根据题意－＝1，y2＝4c·c，消掉y得－＝1，即c2(b2－4a2)＝a2b2，即c2(c2－5a2)＝a2(c2－a2)，即c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝＝3＋2，故e＝1＋.9．D[解析]不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，那么4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，由2|PF2|＝2c＋|PF1|，且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，代入4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝(2c－2a)2＋(2c－4a)2，化简整理得c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或者者c＝5a，故e＝＝5.10．y＝±x[解析]根据|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝.11．4a＋2m[解析]由⇒|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.那么△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.12．6[解析]根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.13．2[解析]方法一：点(2,3)在双曲线C：－＝1上，那么－2c＝4，所以a2＋b2得a＝1或者aa<c，故ae＝＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，点(2,3)到两焦点的间隔之差的绝对值为2，即2a＝2，∴a＝1，离心率e＝＝2.14．[解答](1)∵l与圆相切，∴1＝，∴m2＝1＋k2，①由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，∴∴k2<1，∴－1<k<1，故k的取值范围为(－1,1)．由于x1＋x2＝，∴x2－x1＝＝＝，∵0≤k2<1∴当k2＝0时，x2－x1取最小值为2.(2)由可得A1，A2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，∴k1＝，k2＝，∴k1k2＝＝＝＝＝＝，由①，得m2－k2＝1，∴k1k2＝＝－(3＋2)为定值．15．[解答]由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，故曲线E的方程为x2－y2＝1(x<0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，又直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得－<k<－1.又∵|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝2，依题意得2＝6，整理后得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或者k2＝，又－<k<－1，∴k＝－，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0.设C(x c，y c)，由＋＝m，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝(mx c，my c)，∴(x c，y c)＝(m≠0)．又x1＋x2＝＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝－2＝＝8，∴点C，将点C的坐标代入曲线E的方程，得－＝1，得m＝±4，但当m＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m＝4，C点的坐标为(－，2)，C到AB的间隔为＝，∴△ABC的面积S＝×6×＝.【难点打破】16．[解答](1)由题意得解得∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：由(1)可知得点B(1,0)，设直线l的方程为：x＝ty＋4，由可得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么P(x1，－y1)，所以所以＝(x1－1，－y1)，＝(x2－1，y2)，因为(x1－1)y2＋y1(x2－1)＝x1y2＋y1x2－y1－y2＝2ty1y2＋3(y1＋y2)＝2t＋3＝0，所以向量，一共线．所以B，P，N三点一共线．(3)因为直线l与双曲线右支相交于M，N，所以x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)>0，所以t2<，S△BMN＝|BF||y1－y2|＝＝，令u＝1－3t2，u∈(0,1]，S△BMN＝6＝6＝6，由u∈(0,1]，所以∈[1，＋∞)，当＝1，即t＝0时，△BMN面积的最小值为18.。
高考数学总复习课时作业48双曲线理新人教B版
A级1．若k∈ R，则方程x2＋y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是() k＋3k＋2A．－ 3＜k＜－ 2B．k＜－ 3C．k＜－ 3 或k＞－ 2D．k＞－ 2x2y22．(2012 ·云南昆明高三模拟) 双曲线a2－b2＝ 1 的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该双曲线的离心率为()A.2B． 3C． 2D． 53．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为 (0,2) ，则双曲线的方程是 ()x222y2A. －y＝ 1B．x－＝ 144x2y2x2y2C. 2－3＝1D．3－2＝14．(2012 ·纲领全国卷 ) 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝ 2 的左、右焦点，点P在C上，| PF1| ＝ 2| PF2| ，则 cos∠F1PF2＝ ()13A. 4B．534C.D．455．(2012 ·东北四校高三模拟) 过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于 A，B 两点，设双曲线的左极点为M，若△ MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率 e 的值为 ()3A. 2B． 2C.2D． 36．(2012 ·江苏启东一模 ) 若双曲线的焦点坐标为( － 5,0)和 (5,0) ，渐近线方程为4±3＝ 0，则双曲线的标准方程为________．x y7．(2012 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系x2y25，xOy中，若双曲线－2＝ 1 的离心率为m m＋4则 m的值为________．222：x228．(2012 ·天津卷 ) 已知双曲线1：x2－y2＝ 1(＞ 0，＞ 0) 与双曲线－y＝ 1 有Ca b ab C416同样的渐近线，且 1 的右焦点为(5， 0) ，则＝ ________，＝ ________.C F a bx 2 y 29．(2012 ·德州模拟 ) 设双曲线9 － 16＝ 1 的右极点为 A ，右焦点为 F . 过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△ AFB 的面积为 __________．x 2 y 22210．已知椭圆 D ：＋＝ 1 与圆 M ： x＋ ( y －5) ＝ 9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样焦点，50 25它的两条渐近线恰巧与圆M 相切，求双曲线 G 的方程．2 211．设 A ，B 分别为双曲线 x 2－ y2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0) 的左，右极点， 双曲线的实轴长为4 3，ab焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；3(2) 已知直线 y ＝ 3 x － 2 与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，→ →→ 使 OM ＋ ON ＝tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．B 级22＝1(＞ 0，＞ 0) 的两个焦点为1， 2，若为其上一点， 且|1|＝2|2|，1．双曲线 x2－y 2 a PabbF FPFPF则双曲线离心率的取值范围为()A ． (1,3)B ． (1,3]C ． (3 ，＋∞ )D ． [3 ，＋∞)bx 2 y 22．(2012 ·重庆卷 ) 设 P 为直线 y ＝ 3a x 与双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a ＞ 0，b ＞ 0) 左支的交点， F 1 是左焦点， PF 1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e ＝________.x 2 y 23. 如图，直线 l ：y ＝3( x － 2) 和双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1( a >0，b >0) 交于 A ，B 两点，且 |AB |b＝ 3，又 l 对于直线 l 1： y ＝a x 对称的直线 l 2 与 x 轴平行．(1) 求双曲线 C 的离心率；(2) 求双曲线 C 的方程．详解答案课时作业 ( 四十八 )A 级21． Ak ＋ 3＞ 0，解得－ 3＜ k ＜－ 2.由题意可知，k ＋ 2＜ 0，b2． D 该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ，即 bx ± ay ＝ 0，| bc |焦点 F ( ± c, 0) ，由点到直线的距离公式可得，d ＝a 2＋b2＝b .由题意可得， b ＝ 2a ，∴ e ＝b 21＋ a 2＝ 5.223． B 设双曲线的标准方程为x2－ y2＝ 1(＞ 0， ＞0) ，由1中点为 (0,2)知，2⊥xa babPFPFb 2222y 2轴， P ( 5， 4) ，即 a ＝ 4， b ＝ 4a ，∴ 5－a ＝ 4a ， a ＝ 1， b ＝2，∴双曲线方程为 x － 4 ＝ 1.22222224． C 由 x － y ＝2 知， a ＝ 2， b ＝ 2， c ＝a ＋ b ＝ 4，∴ a ＝2， c ＝ 2.∴| PF 1| ＝4 2，| PF 2| ＝2 2.1 2又∵ | F F | ＝ 2c ＝ 4，∴由余弦定理得 cos ∠ F 1PF 2＝ 4 22＋222 －42 32× 4 2×2 2＝4.5.B如下图，△AMF 为等腰直角三角形，b 2| AF | 为| AB | 的一半， | AF | ＝ a .而 | MF | ＝ a ＋ c ，b 2由题意可得， a ＋ c ＝ a ，即 a 2＋ac ＝ b 2＝ c 2－ a 2，即 c 2－ ac － 2a 2＝ 0.两边同时除以 a 2 可得， e 2－e － 2＝ 0，∵ e >1，解得， e ＝ 2.b 46．分析： 由题意可得，该双曲线焦点在 x 轴上， c ＝ 5， a ＝ 3.又∵ a 2＋ b 2＝ c 2＝ 25， 解得， a 2＝ 9， b 2＝16，x 2 y 2∴双曲线的标准方程为－＝ 1.9 16x 2 y 2答案：9 － 16＝1c 227．分析：∵22＋4，∴2m ＋ m ＋ 42c＝ ＋e ＝ 2 ＝＝ 5，∴－4 ＋4＝0，m mamm m∴ ＝2.m答案：2x 2 y 2x 2 y 2 x 28．分析：与双曲线 4 －16＝ 1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为4 －16＝ λ，即4λy 21 22－ 16λ＝ 1. 由题意知 c ＝ 5，则 4λ＋ 16λ＝5?λ＝ 4，则 a ＝ 1， b ＝ 4. 又 a ＞ 0， b ＞ 0，故 a ＝ 1，b ＝ 2.答案：1 29．分析： 双曲线的右极点坐标A (3,0) ，右焦点坐标 F (5,0) ，4设一条渐近线方程为y ＝3x ，4y ＝ 3 x － 5 ，得交点纵坐标y ＝－32 成立方程组y，x22159 －16＝ 113232 进而 S＝ ×2×＝ .△ AFB15152答案：321510．分析：12，因此双曲线中心在原点，焦点椭圆 D 的两个焦点为 F ( － 5,0) ，F (5,0) 在 x 轴上，且 c ＝ 5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－ b 2＝1( a >0，b >0)22∴渐近线方程为 bx ± ay ＝ 0 且 a ＋b ＝ 25，|5 a |∴b 2 ＋a 2＝3，得 a ＝ 3，b ＝4，x 2 y 2∴双曲线 G 的方程为 9 － 16＝ 1.b11．分析：(1) 由题意知 a ＝ 2 3，一条渐近线为 y ＝ a x ，即 bx － ay ＝0，| bc | 3，∴ 2 2＝b ＋a∴ b 2＝3，∴双曲线的方程为 x 2 － y 2＝1.12 3(2) 设 M ( x 1， y 1) ，N ( x 2， y 2) ， D ( x 0，y 0) ，则 x 1＋x 2＝ tx 0， y 1＋ y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－ 16 3 ＋ 84＝ 0，则x 1＋ 2＝ 16 3，x xy 1＋ y 2＝ 12，x 04 3y 0＝3，x 0＝ 4 3，∴ 2 2∴∴ t ＝ 4，点 D 的坐标为 (4 3，3) ．x 0y 0y 0＝ 3，12－ 3＝1，B 级1． B 如下图，由题意知点 P 在右支上．∵ | PF 1| － | PF 2| ＝ 2a ，且 | PF 1| ＝ 2| PF 2| ，∴ | PF 1| ＝ 4a ， | PF 2| ＝ 2a ，∴ | PF 1| ＋ | PF 2| ≥ 2c ( 当点 P 在右极点时取等号 )且 | PF 1| － | PF 2| ＜ 2c ，c解得 1＜ a ≤3，即 1＜ e ≤3，应选 B.bx 2 y 22．分析：∵直线 y ＝ 3a x 与双曲线 a 2－ b 2＝ 1 订交，by ＝ 3a x ，32由x 2消去 y 得 x ＝ y 24 ，a 2－b 2＝13 2ac 32又 PF 1 垂直于 x 轴，∴ 4 ＝ c ，即 e ＝ a ＝ 4 .答案： 324x 2 y 2x y3．分析：(1) 设双曲线 C ：a 2－ b 2＝1 过一、三象限的渐近线 l 1：a － b ＝ 0 的倾斜角为α .由于 l 和 l 2 对于 l 1 对称，记它们的交点为P . 而 l 2 与 x 轴平行，记 l 2 与 y 轴交点为 Q 点．依题意有∠ QPO ＝∠ POM ＝∠ OPM ＝α.又 l ：y＝3( x－ 2) 的倾斜角为60°，则 2α＝60°，b 3因此 tan 30 °＝a＝3 .于是e 2c2b214 2 3＝2＝1＋ 2＝1＋＝，因此＝.a a33e3b3x2y2 (2)由a＝3，于是设双曲线方程为3k2－k2＝1，即 x2－3y2＝3k2.将y ＝3(x－2)代入x2－ 3y2＝ 32 中得x2－3·3(x－ 2)2＝3k2. 化简获得 82－ 36x＋36＋k x3k2＝ 0.设 A( x1， y1)， B( x2，y2)，则 | AB| ＝ 1＋ 3| x1－x2| ＝ 2x1＋x22－ 4x1x2＝2 362－4·8·36＋3k2＝ 9－6k2＝3，求得 k2＝1.8x22故所求双曲线方程为3－ y ＝1.。
届高考数学一轮复习方案 双曲线课时作业 新人教B版
课时作业(四十七) [第47讲 双曲线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知双曲线x 22－y 2a＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( )B ．2 D ．42．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2012·石家庄质检] 已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±52x C ．y ＝±12x D ．y ＝±6x4．若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________．能力提升5．渐近线是2x －3y ＝0和2x ＋3y ＝0，且过点(6，6)的双曲线的标准方程是( ) －y 24＝1 －x 23＝1 －y 212＝1 －x 212＝1 6．[2012·郑州预测] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )7．[2012·襄阳调研] 平面内动点P (x ，y )与A (－2，0)，B (2，0)两点连线的斜率之积为14，动点P 的轨迹方程为( ) ＋y 2＝1 －y 2＝1＋y 2＝1(x ≠±2) －y 2＝1(x ≠±2)8．[2012·唐山二模] 直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )A ．2 C ．39．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．010．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点为F (6，0)，则双曲线的方程为________________．11．[2012·朝阳二模] 已知双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的离心率为________________．12．[2012·太原五中月考] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是________．13．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|PA |的最小值是________．14．(10分)点M (x ，y )到定点F (5，0)的距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53.(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标原点)．15．(13分)双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．难点突破16．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2，0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．课时作业(四十七)【基础热身】1．D [解析] 由题意，得2＝a2，所以a ＝4.2．A [解析] 方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线?(k －5)(k ＋2)>0?k >5或k <－2，故选A.3．C [解析] 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为－x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程为y ＝±a b x .由c a ＝5可得a 2＋b 2a 2＝5，所以b a ＝2，所以a b ＝12，所以渐近线方程为y ＝±12x .故选C.4．48 [解析] 根据题意知a 2＝16，即a ＝4， 又e ＝c a＝2，∴c ＝2a ＝8，∴m ＝c 2－a 2＝48.【能力提升】5．C [解析] 设双曲线方程为4x 2－3y 2＝k (k ≠0)，将点(6，6)代入，得k ＝36，所以双曲线方程为x 29－y 212＝1.故选C. 6．B [解析] 以题意得c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，所以a ＝c 2－b 2＝35c ，c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53，选B.7．D [解析] 依题意有k PA ·k PB ＝14，即y x ＋2·y x －2＝14(x ≠±2)，整理得x 24－y 2＝1(x ≠±2)，故选D.8．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 21a 2－y 21b 2＝1①，x 22a 2－y 22b2＝1②，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以b 2a 2＝（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）， 所以b 2a 2＝2y 0（y 1－y 2）2x 0（x 1－x 2）＝k 0·k l ＝1，所以a 2＝b 2，即a ＝b ，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝ 2.故选B.9．A [解析] 由已知可得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，设点P 的坐标为 (x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.－y 227＝1 [解析] ba＝3，即b ＝3a ，而c ＝6，所以b 2＝3a 2＝3(36－b 2)，得b 2＝27，a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.[解析] 抛物线y 2＝12x 的焦点为F (3，0)，在x 2m －y 25＝1中，a ＝m ，b ＝5，c ＝3，因为c 2＝a 2＋b 2，所以m ＝4，a ＝2，所以e ＝c a ＝32.12．(1，2) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，因为它与圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以圆心(2，0)到该直线的距离小于圆的半径，即|2b |a 2＋b2<2，整理得b 2<a 2，所以c 2－a 2<a 2，得c 2a2<2，所以1<e < 2. 13．9 [解析] 因为A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4.而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5.两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时，等号成立．14．解：(1)|MF |＝（x －5）2＋y 2， 点M 到直线l 的距离d ＝x －95，依题意，有（x －5）2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53，去分母，得3（x －5）2＋y 2＝|5x －9|， 平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程． (2)设点P 坐标为P (x ，y )， 由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4.∴点P 坐标为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)． 15．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1.(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4， 平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.② 由①②得mn ＝203，所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin120°＝533.【难点突破】16．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3， 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2，0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0，2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ， 所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →. 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)． 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l的方程为y＝±352(x＋2)．综上，所求的直线l的方程为y＝±212(x＋2)或y＝±352(x＋2)．。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.6 双曲线
教材改编题
1.已知曲线 C 的方程为k＋x21＋5－y2 k＝1(k∈R)，若曲线 C 是焦点在 y 轴上
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等
边三角形，则双曲线的标准方程为
A.x42－1y22 ＝1 C.x32－y2＝1
B.1x22 －y42＝1
√D.x2－y32＝1
性质
对称性 顶点
轴
对称轴：_坐__标__轴__；对称中心：_原__点___
_A__1(_－__a_,0_)_，__A_2_(_a_,0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A_2_(_0_，__a_)_
实轴：线段__A_1_A_2__，长：__2_a_；虚轴：线段B1B2，
长：__2_b__，实半轴长：_a__，虚半轴长：_b__
4.若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线
的左、右焦点，则 S△
＝
PF1F2
b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan 2
常用结论
5.与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22 ＝t(t≠0).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
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[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·银川一中月考] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 2．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )图K49－1A.58B.45C.43D.343．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124．[2011·佛山一检] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0能力提升5．[2010·福建卷] 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 6．[2010·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 7．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12．[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)[2011·湖北八校一联] 如图K49－2，已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(1)求k 的取值范围，并求x 2－x 1的最小值；(2)记直线P 1A 1的斜率为k 1，直线P 2A 2的斜率为k 2，那么k 1k 2是定值吗？证明你的结论．15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a 2c(c ＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a，则有b c ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴ba ＝3②，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 2a 2－y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p 2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c 2b2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝c a＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b2a2＝2，ba＝ 2. 11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b2＝1，a 2＋b 2＝4 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝c a＝2.14．[解答] (1)∵l 与圆相切，∴1＝|m |1＋k2，∴m 2＝1＋k 2，① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋41－k 2m 2＋1＝4m 2＋1－k 2＝8>0，x 1x 2＝m 2＋1k 2－1<0，∴k 2<1，∴－1<k <1，故k 的取值范围为(－1,1)．由于x 1＋x 2＝2mk1－k 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k2，∵0≤k 2<1∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值为2 2.(2)由已知可得A 1，A 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)， ∴k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1，∴k 1k 2＝y 1y 2x 1＋1x 2－1＝kx 1＋mkx 2＋mx 1＋1x 2－1＝k 2x 1x 2＋mk x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＋x 2－x 1－1＝k 2·m 2＋1k 2－1－mk ·2mk k 2－1＋m 2m 2＋1k 2－1－22k 2－1－1＝m 2k 2＋k 2－2m 2k 2＋m 2k 2－m 2m 2＋1－22－k 2＋1＝k 2－m 2m 2－k 2＋2－22，由①，得m 2－k 2＝1，∴k 1k 2＝－13－22＝－(3＋22)为定值．15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝2k 2＋81－k 2>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2＝21＋k 22－k21－k22，依题意得21＋k 22－k21－k22＝63，整理后得 28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0. 设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →， 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝⎛⎭⎪⎫－45m，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m2＝1，得m ＝±4，但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×－5＋2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3.【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t2， 令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝ ⎛⎭⎪⎫1u －182－116， 由u ∈(0,1]，所以1u∈[1，＋∞)，当1u＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。