最值问题(定弦定角定线段)

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定弦定角问题及求最值的应用研究

课程篇在定弦定角问题中，一般的题目设置多以某个动点到一个定点的线段的长度的最大值或最小值问题为主，解决这类题型首先要熟知定弦定角的含义及性质，掌握原理解题才会更加清晰简洁。

首先我们需要掌握圆的各种性质，并能够进行熟练的转化和应用，其次是观察动点的运动轨迹，一般轨迹是一段弧，然后寻找不变的张角，并找出它的补角，以此为解决问题的突破口。

之后根据张角找出他所对应的定弦，三点确定一个圆，确定好圆心，以此为基础再进一步求最值。

下面我们将根据例题，对问题进行具体的分析，总结相关的应用方法。

一、认真分析题目给出的条件在解决定弦定角及求最值问题时，首先要认真分析题目给出的条件，需要掌握圆的相关概念和性质，这是解决问题的前提。

将题目给出的条件与圆的性质对应起来，与定弦定角的内涵对应起来，然后再解决下一步的问题。

【例1】如图，△ABC 中，AC =3，BC =42√，∠ACB =45°，D 为△ABC 内一动点，圆O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交圆O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE=CP ，则AD 的最小值为（）A.1B.2C.2√ D.41√-42√A P CO EBD解：因为∠CDP=∠ACB=45°所以∠BDC °=135°（定弦定角的最值）如图，当AD 过O 时，AD 有最小值因为∠BDC =135°所以∠BOC =90°所以△BOC 为等腰直角三角形所以∠ACO =45°+45°=90°所以AO =5又因为OB =OC =4所以AD =5-4=1二、有效运用数形结合思想解决这类问题必须要学会数形结合，利用图形解决问题会起到事半功倍的效果。

将题目中的条件在图形上表现出来，这样解题时会更加直观明了。

此外很多题目之间可以互相转化，大家在练习中要注意总结相同点与不同点。

【例2】如图，A （1，0）、B （3，0），以AB 为直径作圆M ，射线OF 交圆O 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点，当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为（）OAE F C D BMxy解：连接DM因为D 是弦EF 的中点所以DM ⊥EF所以点D 在以A 为圆心、OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM因为C 为弧AB 的中点所以CM ⊥AB所以CD 的最小值为2√-1三、做出圆外一点与圆心的连线在圆的定弦定角及求最值问题中，有一类题型是求圆外的一点到圆上的点的最值问题，这类问题其实是画出圆外一点与圆心的连线，延长与圆相交于两点，这两点与圆外一点的距离实际上就是最大值和最小值。

最值问题(定弦定角定线段)

最值问题专题训练一、定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-4【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5 D．13-B．29【练习1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM 上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．34-2【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．3612+B．346+12+D．336+C．33【练习2】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练习3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________4．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________OABCDP5．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为»BC中点，P为»AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________二、定角、定线段与定圆问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）【例11 （2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中，AC = 3 , BC = 4j2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O为^ ACD的外接圆，直线 BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（D. 741 4^2解：•••/ CDP = / ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过0时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BOC = 90 °•- △ BOC为等腰直角三角形:丄 ACO = 45。

+ 45 °= 90 °••• AO = 5又 O B = O 'C= 4• AD = 5 — 4= 1【例21如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E 点，连CE,贝y CE的最小值为（2 C. 5•/ AD为O 0的直径•••/ AEB = / AED = 90 °••• E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心 0时，CE有最小值为J131）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4运，/ ACB = 45° AM II BC，【练1 （2015 •江汉中考模拟BP交△APC的外接圆于点P在射线AM上运动，连A . 1B. C. ©解：连接CDFAC = Z PDC = Z ACB = 45 °BDC =135 °•••/如图，当AD过圆心0时，AD有最小值•••/ BDC = 135°•••/ BO 'C =90°又/ ACO = 90°••• AO = 5• AD的最小值为 5 — 4= 14P MD【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O的半径为2,弦AB的长为2/，点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则△ ABC的面积的最大值是（C. 12 3^3A. 12 6^3B. 6 3 品+ 口016®学早佩®删一11帕如開，（50汩丰径etr：；■带』5凹艮尢？Jb点P糊:亚甘用上一可皿:丄处交直线戸母干怎G刚&1F匚的面积的眾"A灌是＜A. 12+6 C L2+J 75*构诂H色BE崔歿扭摘汞眇三上P, 発罠二/肚的衆如杞.刖点C負的匪离最俎丁堪£=2再・厶CA町…'点芒在O席上.斗仙=60%当点f为阀;曲旳中百时.点£至］.松們距fflS丸1 此梅二勺豚CV=2祷+3』^^c=|x2^X(27143)=6+3^/5*【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O0的半径为1,AC丄AP交直线PB于点C,C. 2则△ ABC的最大面积是（2也4A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB为直径作O M,射线OF交OM于E、F两点，C为弧为EF的中点.当射线绕 O点旋转时，CD的最小值为___•••点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动当CD过圆心 A时，CD有最小值连接CM••• C为弧AB的中点••• CM 丄 AB••• CD的最小值为近1【练】如图，AB是O O的直径，AB = 2，Z ABC = 60°•/ D为弦AP的中点••• OD 丄 AP•••点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心 O'时，CD有最小值过点C作CM丄AB于M •/ OB = OC，/ ABC = 60° •••△ OBC为等边三角形1J3••• OM = -，CM =二322【例5】如图，•/ D是弦EF的中点•••DM 丄 EFP是上一动点， D是AP的中点，连接BO'C =4••• CD的最小值为旦4练习：如图，在动点 C与定长线段AB组成的△ ABC连接DE .当点C在运动过程中，始终有AB 中，AB= 6，AD丄BC于点D , BE丄AC于点E ,DE 屯，则点C到AB的距离的最大值是________________ 2。

定隐圆之弦定角最值问题

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

1.(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC 于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-42.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213-B．213+C．5 D．93.(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．34-24.如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．436.如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________7.如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________。

中考数学专题复习-定弦定角最值问题.doc

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】九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ABCDP2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________定角、定线段与定圆问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

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定弦定角最值问题（答案版）△45°＝【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC3，BC为＝＝，∠，ACBD24，CP于E点，弧AE＝△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BCABC内一动点，⊙O为的最小值为（）则AD．B．2CD．A．12241?4＝45°：∵∠CDP＝∠ACB解135°（定弦定角最值）∴∠BDC＝AD有最小值过O′时，如图，当AD 135°∵∠BDC＝＝BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）162?21313?．D．B．5A．C 9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时，当42，∠ACB＝45°，3，BC＝AM∥BC，AC如图，在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中，＝点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2242?3 ．D ．CCD解：连接＝∠ACB＝45°∴∠PAC＝∠PDC135°BDC＝∴∠AD有最小值如图，当AD过圆心O′时，135°∵∠BDC＝90°∴∠BO′C＝4 B′＝O′C＝∴O又∠＝90°ACO′5′＝∴AO1＝5－4∴AD的最小值为32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，的长为P，点的半径为2，弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是（）C上一动点，AC⊥AP交直线PB于点，则△3633?12312?66?334?．．AC．B ． D·洪山区中考模拟1)如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧【练】(2014AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）12．A． B 2233．．C D 24为弧于E、F两点，CAB(3，0)，以为直径作⊙M，射线OF交⊙M，【例5】如图，A(10)、B__________的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为AB的中点，D为EF解：连接DM的中点D是弦EF∵EF∴DM⊥为直径的圆上运动为圆心的，OM∴点D在以A有最小值时，CD当CD过圆心A连接CM AB 的中点∵C为弧⊥AB∴CM CD的最小值为∴12?的中点，连接AP是60°，P是上一动点，D，∠AB【练】如图，是⊙O的直径，AB＝2ABC＝__________ 的最小值为CD，则CDOD解：连接D为弦AP的中点∵OD⊥AP∴在以AO为直径的圆上运动∴点D CD有最小值′当CD过圆心O时，过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形13，CM＝∴OM＝22．7＝C∴O′417的最小值为CD∴?24练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DE2 _________AB 的距离的最大值是到CDE连接．当点在运动过程中，始终有，则点C?AB2。

轨迹问题之定角对定边定弦定角最值问题(含答案) (PDF版)

定弦定角最值问题----20190828【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2019·模拟)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E 点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．241-4解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为16（）A．213-B．213+C．5 D．9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+2019【练】(·洪山区中考模拟 1)如图，⊙O 的半径为 1，弦 AB ＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60° ∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147-定弦定角1.（安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）A ．23B ．2C ．13138D ．131312故选B.3.（宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为．4.等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为．答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上）5.直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．A.1B.2C.332 D.3答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上）8.（外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________.答案：22π（点P 在以BC 为弦的圆上）9.（江阴期中）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为________．答案：π33（点F 在以AC 为直径的圆上）10.（南长区二模）如图，矩形OABC 的边OA 、OC分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(7，3)，点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F(0，254)运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为________．答案：π425（点H 在以OE 为直径的圆上）。

2022年中考专题讲义：定弦定角最值问题(学生版+解析版)

中考专题讲义：定弦定角最值问题（学生版）【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________C PED CB A【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连C D ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________BA BO B中考专题讲义：定弦定角最值问题（教师版）【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【解析】：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O 1时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO 1C ＝90°∴△BO 1C 为等腰直角三角形∴∠ACO 1＝45°＋45°＝90°∴AO 1＝5又O 1B ＝O 1C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解析：连接AE ，B∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O 1时，CE2-.【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解析：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O 1时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO 1C ＝90°∴O 1B ＝O 1C ＝4又∠ACO 1＝90°∴AO 1＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+答案：B.解析：构造直径BE ，连接AE ，易求∠E ＝60°＝∠P ，∴∠C ＝30°，要使△ABC 的面积最大，则点C 到AB 的距离最大，∵AB ＝ACB ＝30°，∴点C 在⊙M 上，且∠AMB ＝60°，当点C 为优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等腰三角形，CN ＝3，S △ABC ＝12×3)＝6＋【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43答案：D.解析：连OA 、OB ，依题意易知△ABO 为正三角，∴∠O ＝60°，即∠P ＝30°，又AP ⊥AC ，即∠C ＝60°，构过A 、B 、C 三点的圆，即C 点在优弧AB 上，∴当C 点为优弧AB 的中点时，△ABC.C【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________解析：如图，AB ＝3，∠APB ＝120°，CP【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【解析】：连接DM .∵D 是弦EF 的中点，∴DM ⊥EF ，∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动；当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM ，∵C 为弧AB 的中点.∴CM ⊥AB ，∴CD1 .【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________PED CB A解析：连接OD ，∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动，当CD 过圆心O 1时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M ，∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°，∴△OBC 为等边三角形，∴OM ＝12，CM，∴O 1C. ∴CD12.针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22=AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________解析：连OE 、O D .∵DE AB ，∴∠DOE ＝90°，即∠CBE ＝45°，又BE ⊥AC ，∴∠C ＝45°，又AB ＝6，构过点A 、B 、C 三点的⊙O 1，BAA BB则点C一定在优弧AB上，故当C为优弧AB的中点时，C到AB的距离最大，其值为3＋.2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连C D．若BC＝8，则CD的最小值为___________【解析】：连OE、OD，∵BC为直径的⊙O，且A为BC中点，∴∠P＝45°，又AP⊥AD，∴∠ADP＝45°，即∠ADB＝135°，又AB＝A、B、D的圆弧，即优弧AB，设其对应圆的圆心为O1，连C O1，则CD的最小值为：－3.O。

九年级讲义：定弦定角最值问题(3)(2)

九年级讲义：定弦定角最值问题
【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）
A．1
B．2
C．
D．
【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）
A．
B．
C．5
D．
【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）
A．1
B．2
C．
D．
【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）
【练】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________
针对练习：
1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________
A．
B．
C．
D．
【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________
【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________

专题3、中考辅助圆问题之定弦定角最值问题

隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。

备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。

原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

请在上方后面的图形中找到圆心。

【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1、如图，∠O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y 83 x2 3x 6 3 的顶点为A，并与x 轴正半轴交于点B，在y 轴上存在点C，使∠ACB＝30°. 则点C 的坐标是______例题3、如图，∠ABC，∠EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当∠EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．训练3、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为∠G 上一动点，CF ∠AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为．【及时训练】1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB ＝4，BC ＝3．（1）当∠OAB ＝45°时，OA 的长为；（2）连接AC ，当AC ∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E ，分别求出OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在运动过程中的长度变化范围．A C3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为．2，以DE为边4,如图，点D和点E是等腰直角三角形ABC的边AC和AB上的点，且DE=2向外作正方形DEFG，则AF的最大值是。

九年级讲义：定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________O ABC DP2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍之欧阳家百创编

九年级讲义：定弦定角最值问题欧阳家百（2021.03.07）【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D 为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）A．B．C．5D．【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2C．D．【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．B．C．D．【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．C．D．【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF 交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________【练】如图8，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有，则点C到AB的距离的最大值是_________ 2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC 上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题【例1】在△ABC中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC面积的最大值．【例2】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在CB、AB上，且AE⊥CF于G，连BG．则GB的最小值是_______．1.如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．2．如图正方形ABCD，AB=10，E、F分别为CD、AD上动点，且始终有CE=DF，连接CF、BE交于O点，连接AO，求△AOB面积的最小值【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）例1 例2 练习【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC 的面积的最大值是（）【练】如图⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________例题3 练习例题4 例题5 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________FGA BCEFO EDCBA【练】如图8，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________作业1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB的距离的最大值是_________ O AB CDP练习作业1 作业2作业2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________作业3、如图，直角△ABC 内接于⊙O ，∠C=90°，点P 在弧AB 上移动，P ，C 分别位于AB 的异侧（P 不与A ，B 重合），△PCD 也为直角三角形，∠PCD=90°，且直角△PCD 的斜边PD 也经过点B ，BA ，PC 相交于点E.(1）当BA 平分∠PBC 时，求CDBE 的值； (2）已知：AC=1，BC=2，求△PCD 面积的最大值。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级课本：定弦定角最值问题【定弦定角题型的辨认】有一个定弦,一个自动点,一个从动点,定弦所对的张角固定不变.【标题类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题,一般涉及定弦定角最值问题【解题道理】同弧所对的圆周角相等,定弦的同侧两个圆周角相等,则四点共圆,是以动点的轨迹是圆.（线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆.）【一般解题步调】①让自动点动一下,不雅察从动点的活动轨迹,发明从动点的活动轨迹是一段弧.②查找不变的张角（这个时刻一般是找出张角的补角,这个补角一般为45°.60°或者一个肯定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦,依据三点肯定隐形圆.④肯定圆心地位,盘算隐形圆半径.⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离.⑥盘算最值：在此基本上,依据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）.【例1】如图,△ABC中,AC＝3,BC＝24,∠ACB＝45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E 点,弧AE＝CP,则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-4【例2】如图,AC＝3,BC＝5,且∠BAC＝90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,衔接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为（）13-A．213+B．2C．516D．9【练】如图,在△ABC中,AC＝3,BC＝24,∠ACB＝45°,AM∥BC,点P在射线AM上活动,连BP交△APC的外接圆于D,则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．34-22,点P为优弧AB上【例3】如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为3一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的面积的最大值是（）A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+【练】如图,⊙O 的半径为1,弦AB ＝1,点P 为优弧AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C,则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22 C ．23 D ．43【例4】如图,边长为3的等边△ABC,D.E 分离为边BC.AC 上的点,且BD ＝CE,AD.BE 交于P 点,则CP 的最小值为_________例题 4 例题 5 图8【例5】如图,A(1,0).B(3,0),以AB 为直径作⊙M,射线OF 交⊙M 于E.F 两点,C 为弧AB 的中点,D 为EF 的中点．当射线绕O 点扭转时,CD 的最小值为__________【练】如图8,AB 是⊙O 的直径,AB ＝2,∠ABC ＝60°,P 是上一动点,D 是AP 的中点,衔接CD,则CD 的最小值为__________针对演习：1．如图,在动点C 与定长线段AB 构成的△ABC 中,AB ＝6,AD ⊥BC 于点D,BE ⊥AC 于点E,衔接DE ．当点C 在活动进程中,始终有22 AB DE ,则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图,已知以BC 为直径的⊙O,A 为弧BC 中点,P 为弧AC 上随意率性一点,AD ⊥AP 交BP 于D,连CD ．若BC ＝8,则CD 的最小值为___________。

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