4_1_2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
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简谐振动 旋转矢量法
2 1 2 2
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
A
A2
A1
o
o
T
t
A A 1 A 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x M
A
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
( 1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动2落后.
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
用旋转矢量表示相位关系 同相位 反相位
对应关系
t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M x
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
A
A2
A1
o
o
T
t
A A 1 A 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x M
A
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
( 1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动2落后.
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
用旋转矢量表示相位关系 同相位 反相位
对应关系
t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M x
机械振动——简谐运动的基本概念
旋转矢量引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。
本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系。
引入旋转矢量的优点：1）形象地了解简谐运动的各个物理量；2）为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。
一、 旋转矢量图示法：一长度为A 的矢量A在XOY 平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度为ω，在t=0时，矢量与X 轴的夹角为φ；这样的矢量称为旋转矢量。
在任意时刻，矢量A与X 轴的夹角为ϕω+ t ，A的矢端M 在轴上的投影为) cos(ϕω+=t A x 。
即：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量的矢端在X 轴上的投影点在作简谐运动。
在旋转矢量的转动过程中，矢端作匀速圆周运动，此圆称为参考圆。
二、旋转矢量与简谐运动的关系：简谐振动的方程x=Acos(ωt+φ)， 根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A 在x 轴上的投影。
振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期。
当一矢量A 绕其一端点o 以角速度ω 旋转时，另一端点在x 轴或y 轴上的投影点上将作简谐振动。
设t =0时，A 与x 轴夹角为ϕ ，t 时刻，A 转过ω t 角，则矢量端点在x 轴上投影点坐标为x =Asin （ωt+φ）。
显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A 矢量大小、旋转角速度、初始A 与x 轴夹角一一对应。
当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。
A ←→ 振幅 ω←→ 圆频率 φ←→ 初相位ωt+φ←→ 相位三、旋转矢量的应用： 1．作振动图(演示)：用旋转矢量A 来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。
旋转矢量图及简诣运动的x-t 图2．求初相位：如图，质点在x=A/2处向右运动，3/πϕ-＝ 质点在x=A/2处向左运动，3/πϕ＝ 质点在x=-A/2处向右运动，3/2πϕ-＝质点在x=-A/2处向左运动，3/2πϕ＝ 3．可以用来求速度和加速度：矢端M 的速度与加速度大小为A v M ω=、A a M 2ω=，在X 轴上的投影为)t cos() t cos()t sin() t sin(2ϕωωϕωϕωωϕω+-=+-=+-=+=A a a A v v M M －4．振动的合成(第6节内容)例：一个质点沿x 轴作简谐运动，振幅A=0.06m ，周期T=2s ，初始时刻质点位于x 0=0.03m 处且向x 轴正方向运动。
第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.讲解
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1
（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
2019/6/11
重庆邮电大学理学院
17
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有 向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
A
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
总之20，19/6旋/11 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
22
重庆邮电大学理学院
418
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲
x/m
线如图所示。试写出该振动的表达式。
解：振动方程为 x Acos(t )
0.01
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m
t = 0 时，
x0
A 2
0.01m
O
1
t/s
且其初始速度 v0 0
0.02
y
作旋转矢量图，如右图。
)
2
0 a v
(t )
2
v Asin(t )
x an r 2 A2
a
an
i
(t ) an i cos
简谐振动的动力学特征及运动学-PPT
• 动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
9
§4-1 简谐振动的动力学特征
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
两振动位相之差
＝2－ 1
•当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
•当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
•0<<
2 超前于1 或 1滞后于2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
•谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
A cos( t
A sin(
§4-2 简谐振动的运动学
例题 质点沿x轴作谐振动, 周期T=s, t=0时， xo 2m ,o 2 2m / s,求振动方程。
解： x =Acos( t+ )
2 2
T
A
xo2
o2 2
2
cos 2
2
sin 2
2
3
4
得x 2cos( 2t 3 )m
4 32
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)
令
'
0
2
x Asin(t ' )
简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.
简谐运动的旋转矢量描述法
π
4
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转 矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题 两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，
当第一个振子从平衡位置向正向运振动的相位差。
解：
2 1
A 2
t
o
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
一、简谐振动的概念
简谐振动是物理学中一个重要的概念，它指的是一个物体在一个恒定的频率和强度中振动的运动状态。
它是一个具有时间恒定性的物理运动，是一种定常运动，它的形式被称为简谐振动。
它是物理学中的重要概念，它的表现主要是一种周期性的运动形式，它的能量以及动量都会在振动中不断地循环。
它是一种简单的物理运动，在实际生活中可以体现在多种形式中。
二、旋转矢量法在简谐振动教学中的应用
旋转矢量法是一种特殊的矢量运算方法，它可以用来表示简谐振动的特性。
旋转矢量法可以将振动的特性简化为一个旋转的矢量，它可以将振动的特性抽象为一个简单的矢量运动。
因此，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用。
旋转矢量法可以用来描述简谐振动的特性，它可以将振动的特性分解为不同的矢量，比如振动频率、振动振幅、振动相位等，这些矢量可以用来描述一个简谐振动的特性。
而且，旋转矢量法还可以用来表示振动运动的运动轨迹。
旋转矢量法可以将振动运动的运动轨迹表示为一个旋转的矢量，这个旋转的矢量可以用来描述振动运动的运动轨迹。
旋转矢量法在简谐振动教学中的应用，可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。
此外，旋转矢量法还可以用来描述复杂的振动运动，例如三维振动、多振子振动等，这些都可以用旋转矢量法来分析和描述。
总之，旋转矢量法在简谐振动教学中有着重要的作用，它可以使学生更加清晰地了解简谐振动的特性，并且，可以更加直观地掌握振动运动的运动轨迹，从而更好地掌握简谐振动的基本原理。
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量的长度表示振动的振幅，矢 量的角度表示相位，通过旋转矢量的 旋转速度和方向可以描述简谐运动的 特性。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解
t 超前、落后以<
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
-A1
的相位角来判断。
1
2
, 2
0
1
3
2
,
2
0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2 1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位 移 ：x(t) Acos(t )
速 度 ：(t) Asin(t )
加 速 度 ：a(t) 2 x(t)
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
dt
2
a(t)
d 2 x(t) dt 2
2 Acos(t
)
2 x(t)
m
加速度与位移成正比而反向
x、 、a
2A
A
A
x
o
-A
- A
- 2A
a < 0 a<0 加速
<0 >0 减速
o
x
x
>0 >0 加速
T t
>0 <0 减速
三. 描述简谐运动的特征量 x(t)=Acos( t+)
1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关
波动与光学
第1章 振 动 (Vibration)
生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船， 人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜， 人类自身中的：声带、耳膜、心脏， 不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、
传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动…… 周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。
2.周期T (period) 振动往复一次所需时间 频率v (frequency) 单位时间内的振动次数
第四章振动下
结论： 结论：
振子在振动过程中， （1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 （2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频 率的两倍。 频率一定时， （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方 成正比。（适合于任何谐振系统） 。（适合于任何谐振系统 成正比。（适合于任何谐振系统） 弹性势能
小结：
描述简谐振动的三种方法： 描述简谐振动的三种方法： 运动方程，振动曲线，旋转矢量。 运动方程，振动曲线，旋转矢量。
的简谐振动， 例1：一物体沿 轴作振 幅为 A 的简谐振动，若初始时该球的 ：一物体沿x轴作振 状态为（ ） ；（2）在平衡位置且向X轴正方向运动 轴正方向运动； 状态为（1）X0＝ -A；（ ）在平衡位置且向 轴正方向运动； ；（ 处向X轴负方向运动；（4） 轴负方向运动；（ （3）在 X0＝1／2 A 处向 轴负方向运动；（ ）在 ） ／ 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 处向正 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 3π r ϕ = ϕ =π
k = m
得
X
g b
mg
b, v 0 = 0
g t+π) b
A =b, φ = π
[ 例2] 一谐振动的振动曲线如图所示。 一谐振动的振动曲线如图所示。
ω 以及振动方程。 求： ϕ 0 以及振动方程。
−
π
x
x
A 2
3r
A
1.0
0
解：
t
r A
A
π
2
x
π
3
t=
A x0 = = A cos ϕ 0 2 0时 v 0 = − ω A sin ϕ 0 > 0
简谐振动旋转矢量法
v d x 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
x Acos(t )
简谐运动方程中的三
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
间的变化规律满足简谐运 t=0时的相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始条件有关.
振子沿 x 轴负方向运动
动方程, 或遵从余(正)弦规 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率.
单位: 弧度/秒(rad/s)
律, 一般来说, 这一物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距离.
旋转矢量 旋转一周, P点完成一次全振动.
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
x Acos(t )
简谐运动方程中的三
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
间的变化规律满足简谐运 t=0时的相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始条件有关.
振子沿 x 轴负方向运动
动方程, 或遵从余(正)弦规 旋转矢量 的角速度 即为振动的角频率.
单位: 弧度/秒(rad/s)
律, 一般来说, 这一物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距离.
旋转矢量 旋转一周, P点完成一次全振动.
简谐振动的旋转矢量图示.ppt
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差为 (t 2 ) (t 1) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
A1
1
O
x
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且振
幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另一质点
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
在t =T/4=0.5s时，可得
可得x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
物理-简谐振动的基本特征与旋转矢量图示法
研究简谐振动的重要性
机械振动的分类（从振动形式分） 连续振动、非连续振动； 周期振动、非周期振动…；
最简单、最基本的振动 —— 简谐运动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
机械振动第一讲
简谐振动的基本特征 旋转矢量图示法
一、简谐振动的定义
简谐振动
物体运动过程中，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数） 的规律随时间变化的运动，称为简谐振动。
三、简谐振动的三个特征量
4、振幅(A)与初相()的确定
设
注意 应根据
的符号确定 的象限范围。
三、简谐振动的三个特征量
讨论：两个同频谐振动的振动步调关系
谐振动1 x1 A1 cos(t 1 )
谐振动2 x2 A2 cos(t 2 )
相位差 (t 2 ) (t 1) 2 1
x
1）若 2 1 0
2
x轴负方向运动，而质点2在-A处。
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差，及 两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
四、简谐振动的旋转矢量图示法
小结：用旋转矢量法求相位或相位差的
O
x
第一步：由质点的位移x的值确定旋转矢量动端投影点 在x轴上的位置；
第二步：过该点作x轴的垂线，与矢量参考圆交于两点； 第三步：由质点振动速度的方向确定旋转矢量的位置。
运动学方程： 2、圆频率（ω）
最小正周期
完成一次全振动所需的时间
振动周期
振动频率 （系统固有）
三、简谐振动的三个特征量
运动学方程：
3、初相（ ）
振动速度 振动加速度
若A与确定：物体在t时刻的（x,v,a） 仅由( t + ) 决定。 称( t + ) 为物体在 t 时刻振动的相位(或)。 t =0 时的相位 ——初相位（或初相）
旋转矢量法
2.旋转矢量图法及其应用同学们好！旋转矢量法可以形象地表示简谐振动位移和时间关系，便于确定初相位，研究振动的合成。
下面我们一起学习旋转矢量法。
简谐振动的平衡位置为坐标原点O 点，水平向右为轴正方向，自原点O 点做一个矢量，矢量长度等于振幅A ，叫振幅矢量。
初始时刻，矢量A 与x 轴夹角等于振动的初相位ψ。
矢量A 从这位置以ω的角速度沿逆时针方向匀速转动，在任一时刻t ， 矢量A 与轴所成角度为ωt+ψ。
矢量A 在轴上的投影点与简谐振子的小球同步运动，位移相等，它在x 轴上的投影与时间用关系可用简谐振动方程表示。
矢量A 旋转一周，同时矢量的矢端在轴上的投影点完成一次简谐振动，投影点的运动可以形象地表示简谐振动，这种方法叫做旋转矢量法。
使用旋转矢量法还可以形象地了解简谐振动的振幅、角频率、初相位的物理意义。
显然，矢量A 做圆周运动的周期对应简谐振动的周期T ；矢量A 的圆周运动角速度对应简谐振动的角频率ω；初始时刻，旋转矢量的角度对应简谐振动的初相位ψ。
另外，使用旋转矢量法可以方便的确定物体的振动状态或初相位。
1. 由相位确定振动状态(1)简谐振动的相位是π/3，求振动状态I .旋转矢量图中，矢量A 的相位等于π/3，矢量A 的投影是物体的位移，等于A /2, 下一时刻矢量A 逆时针转动，所以简谐振动的小球向x 轴负方向运动。
(2)如果简谐振动的相位等于3π/2，求振动状态。
在旋转矢量图中，矢量A 的相位等于3π/2，矢量的投影点在x 轴的投影恰好在原点O , 所以物体的位移等于0， 矢量A 做逆时针转动，所以简谐振动的小球向x 轴正方向运动。
x x x2.由振动状态求初相位初始时刻，简谐振动的物体位移是A/2, 物体向x轴正方向运动，也就是速度大于0，初相位是多少？图中，矢量A在x轴的投影是A/2，表明矢量在第一或第四象限，且投影点向x轴正方向运动，从图示来看矢量A只能在第四象限。
因此初相位等于5π/3或-π/3。
41 简谐运动 旋转矢量 简谐运动的能量PPT课件
x
2
2
x
0
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
简谐振动的微分方程和运动方程
km
物体受力： Fkx
X
简谐振动的微分方程：
d2x dt2
2
x
o
0
x
简谐振动的运动方程：x (t)A cots()
简谐振动的速度：vdxAsint 简谐振动的加速度：a ddd t22 xt2Acost
vA si n t 3
A
o A Ax
2
0.2m 6s1（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
第四章 机械振动
4 – 1 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（3）如果物体在 x0.05 m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1 求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
xAcots()
x xt图
A
T 2π 取 0
v A si n t ()
o
A
A v
T
vt图
o
T
t
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
简谐运动的特点 1、从受力角度来看——动力学特征
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
简谐振动旋转矢量法
0
3
A = 5 (m);
(rad/s)
x 5cos(t 3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
4
3 或 2
3
x-t 图上ω或T 信息不明确， 再看v-t 图 vmax 10m/s 由速度幅 vmax A ， vmax / A 5s-1
解： 判定两振动之间的相位差，是一个在实 际工作中经常遇到的问题。
用旋转矢量法
由图可见
2 1
例题3 ：
谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置， 最短历时是多少?
首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差
从旋转矢量图上可以得出
2
1
0
(
3
)
3
由匀速运动的等时性 t T
2
所以，渡越时间为
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
简谐运动ppt课件
解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿 运动方向受的力）等于0，则此位置称为平 衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平 衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向 平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去
大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
第4章 机械振动
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
大学物理(工科) 4—1 简谐运动、旋转矢量简谐运动的合成
2
tan1( v0 ) 注意: 确定 的象限 x0
二、简谐运动的描述
x Acos(t )
1.解析法(由振动表达式)
A, T, , x, v, a
2.曲线法(由振动曲线)
x
x Acos(t )
A
►确定振幅A；
o
►确定周期T，ω；
►确定φ
-A
T
t
•根据图像判断速度的正负用斜率 •利用初始条件确定几个φ，再利用速度正负判断保留φ
3、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
4、理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐 运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函 数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密 度概念.
匀速直线运动
直线运动
匀变速直线运动
学
变速直线运动
过 的
变加速直线运动
运
动 形
平抛运动
式
抛体运动
例4.2: 已知一简谐振动的曲线如图所示，写出振动方程。
x （cm）5
6
2
3
p
O 1
t（s）
解: 已知振动方程表达式为：x Acos(t )，v Asin(t )
► 定振幅: A=0.06m
►定初相
x0 0.06cos 0.03
cos 0.5
利用斜率判断0时刻速度方向 0 0
晶格点阵
§4—1 简谐运动、旋转矢量、简谐运动的能量
一、简谐运动动力学 1.模型
2.定义 ►受力：F=-kx
►动力学微分方程：
d2 dt
x
2
2
x
0
令 2 k
m
►运动方程： x(t)=Acos( t + )
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位移： x( t ) A cos( t ) 速度： ( t ) A sin( t ) 加速度： a( t ) x( t )
2
简谐运动的两个定义 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。
引子：伽利略对木星卫星的观测
1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星 的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在 做相对于木星圆盘中点往复运动。 纵坐标是 木卫四与 木星的夹 角， 横坐标是 相应的观 测时间。
加速度与位移成正比而反向
2A A
A
-A - A - 2A
o
x
x
x、 、a x T t <0 >0 减速 >0 >0 加速
o
a < 0 a<0 加速
>0 <0 减速
x(t)=Acos( t+) 三. 描述简谐运动的特征量 1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关 2.周期T (period) 频率v (frequency) x(t)=x(t+T ) 振动往复一次所需时间 单位时间内的振动次数
3.固有角频率 ω 2 和F kx，比较可得 由F ma m x，
k m
k为劲度系数
固有角频率决定于振动系统的内在性质。
3.固有角频率 ω
弹簧振子：
k m
x(t)=Acos( t+) k为劲度系数
固有角频率决定于振动系统的内在性质。 振动系统都有，某种“弹性”要素----(k) 和“惯性”要素---(m) 4. 由初始条件求振幅 A 和 初相 初始条件：t =0 时的 位移 x0 =Acos 速度 v0 = -ω Asin
反映t时刻系统的运动状态(x、) 。 若相位为0，则反映x=A, = 0； 若相位为π/3，则x=A/2 , =-√3/2A; 若相位为π/2，则x=0, = -A; ……相位为2 π ，物体回到x=A位置。 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。 振动的时间周期性可以用相位来表示。 时间上变化一个周期， ω =2π/T (rad/s) 相当于相位变化2π。
2 2 0 A x0 2 0 1 tg ( ) x0
作业：
习题：1.1、1.3、1.5、1.7
t 1s
A
t0
O
x
二.相位差 (phase difference) x(t)=Acos( t+) 1.相位差------ 两个相位不同的简谐运动，称之有相位差。 两同频率的简谐振动， x1 =A1cos( t+1) 和 x2=A2cos( t+2) = (t +2) - (t +1) = 2 - 1 相位差等于初相差； 也可以说一个对另一个有相移。 2.同相和反相 • 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。 • 当 = (2k+1)，( k= 0，1， 2，…)， 两振动步调相反，称反相。
2.同相和反相 • 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。 • 当 = (2k+1)，( k= 0，1， 2，…)， 两振动步调相反，称反相。
x
A1
x
x1 x2
同相 T t
A1 A2
x1
反相
A2
o - A2
-A1
o - A2
-A1
T t
x2
3.超前和落后 若 = 2-1>0，则x2比x1较早达到正极大， 称x2比x1超前(或x1比x2落后)。
= 1/T (Hz)
Acos( t+) = Acos[(t+T ) +] = Acos(t + +2π)
=2π/ T (rad/s)
----- 角频率ω
单位时间内变化的弧度数
表征简谐运动的周期性。
3.相位(phase) (1) ( t +)是 t 时刻的相位
周期内一一对应
位移：x(t ) A cos(t ) 速度： (t ) A sin(t ) 加速度：a (t ) 2 x(t )
周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。 以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。 如，地球自转、公转。 以固定的空间段重复称它具有空间周期性。 如，整齐排列的路灯，晶体中的晶格等。 广义振动：指系统状态的时间(准)周期性。 振动的主要形式： 机械振动：物体在一定位置附近的往复运动。 树枝、小船、琴弦、鼓膜、声带、耳膜、 空气分子、固体原子等的振动。 电磁振动：电磁量在定值附近周期性往复变化。 电流、电压、电量、电能、磁能等周期性变化。 如何研究振动呢？
x
A1 A2
x(t)=Acos( t+)
x1
T
思考：在图中，x1与 x2两振动谁超前？
t
o - A2
-A1
x2
超前、落后以< 的相位角来判断。
1
2
,2 0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2
3 1 , 2 0 2
1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位移： x( t ) A cos( t ) 速度： ( t ) A sin( t ) 加速度： a( t ) x( t )
3.相位(phase) (1) ( t +)是 t 时刻的相位
周期内一一对应
位移：x(t ) A cos(t ) 速度： (t ) A sin(t ) 加速度：a (t ) 2 x(t )
反映t时刻系统的运动状态(x、) 。 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。 振动的时间周期性可以用相位来表示。
两同频率简谐运动的相差： = 初相差； = 2k，同相； = (2k+1)，反相。
描述简谐运动的三种方法： 解析表示法；图线表示法；旋转矢量法。
引子：简谐运动的运动学与动力学
前两节讨论了简谐运动的运动学， 即，如何描述简谐运动； 下面，我们将探讨简谐运动的起因， 牛顿第二定律告诉我们， 力是运动状态改变的原因， 因此，我们将讨论简谐运动的动力学。
§1.3 简谐运动的动力学方程
1.受力特点
a(t ) x(t )
2
x( t ) A cos( t ) a( t ) 2 x( t ) F kx
运动
2
简谐运动 力和位移成正比而反向，称恢复力。另一定义 2.动力学方程
F o
F ma m x kx
x = A cos( t + )
简谐运动 是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。 相的几何意义： 振动的相( t +)，是旋转矢量的角位置。
[例题]已知简谐运动，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时x = -2cm且向x正向运动， 写出振动表达式。
解：简谐运动的基本表达式： x(t)=Acos( t+) 由题意，T = 1/v=2 s ω=2π/ T = π 由图， = /3， x = 4cos(t + /3 ) cm
特点： (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
轻质弹簧 物块刚性 无阻力
x
m
A o
x
o
x
T
t
以水平弹簧振子为例 振子：可以发生振动的系统。
-A
图线表示法
二. 速度和加速度
x(t)=Acos( t+)
dx( t ) (t ) A si n ( t ) A cos( t ) dt 2 2 d x( t ) 2 2 a( t ) A cos( t ) x( t ) 2 m dt
时间上变化一个周期， 相当于相位变化2π。 (2) 是t =0时刻的相位 — 初相(initial phase) 即，选定的初始时刻所处的阶段， 反映初始时刻的运动状态(x0、0) 。
ω =2π/T (rad/s)
小结： 描述简谐运动的三个特征量：
A，ω ，
= 1/T (Hz)
ω =2πv =2π/T (rad/s)
引子：伽利略对木星卫星的观测
1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星 的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在 做相对于木星圆盘中点往复运动。 根据他精确的记录，发现最佳拟合曲线是余弦 曲线，这强烈地暗示了简谐运动。 难道木卫四是在做简谐运动？ 木卫四以基本恒定的速度在做近似的圆周运动。 结论：所观察到的简谐运动是 匀速圆周运动在运动平面内一条直线上的投影。
x
引 子 ： 振 动 的 合 成 和 分 解
0
t
x0
0 t
方 波 的 分 解
x1 0 x3 0 x5 t t
0 x1+x3+x5+x0
0
t
t
任 何 复 杂 振 动 都 是 简 单 运 动 的 合 成 ︒
§1.1 简谐运动的描述
一.简谐运动（Simple Harmonic Motion ） 物体在运动中，对于平衡位置的位移 x 按余弦规律随时间 t 变化。 解析表示法 x(t)=Acos( t+)
§1.2 旋转矢量与振动的相
一. 旋转矢量法 • 矢量长度 = A • 以 为角速度绕O点逆时针旋转 • t = 0 时矢量与 x 轴的夹角为
vm
A
t=t
t=0
t+
O
an
x
旋转矢量： A x轴投影： x A cos(t )
A
x
线速度：vm A x轴投影： v vm sin( t ) 法向加速度： an 2 A x轴投影： a an cos(t )