2019届高三理科数学二轮复习：参数方程
通用版2019高考数学二轮复习第一部分第二层级重点增分专题十四坐标系与参数方程课件理(普通生,选修4_4)
(2)已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，且|PA|＝2|PB|， 求实数 a 的值．
[解] 设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t2， y2＝4x， x＝a＋ 2t， 2 由 2t y＝1＋ ， 2
得 t2－2 2t＋2－8a＝0.
Δ＝(－2 2)2－4(2－8a)>0，即 a>0，
x＝2cos θ， 曲线C的参数方程为 y＝4sin θ x＝1＋tcos α， 程为 y＝2＋tsin α
(θ为参数)，直线l的参数方
(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2 y2 解：(1)曲线C的直角坐标方程为 ＋ ＝1.当cos α≠0时， 4 16 l的直角坐标方程为y＝tan α· x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
2
π θ＝0，M 1，2 .以极点O为原点，极轴为x轴
的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与 曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．
解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ， ∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.
2 x＝t ， 故曲线C的参数方程为 y＝t
3，射线 OM：θ＝
π 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长． 3
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 4 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ . cos θ 由|OM|· |OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
2019届高考数学(理)二轮复习高考大题专项练七极坐标与参数方程A含答案
设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,
11
则|������������|+|������������|=
=
=
因为 cos α∈[-1,1],
11
4
23
所以|������������|+|������������|的最大值为3,最小值为 3 .
2 ������������������2������ + 3
3
2 A 的极坐标为( 2 , ),设直线 l 与圆 C 交于点 P,Q 两点. (1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)求|AP|·|AQ|的值.
3.(2018·上饶三模)已知直线 l 过点 P(1,0),且倾斜角为 α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐 标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程;
1
1.解:(1)因为 C:ρ=2 5sin θ,所以 C:ρ2=2 5ρsin θ, 所以 C:x2+y2-2 5y=0, 即圆 C 的标准方程为 x2+(y- 5)2=5. 直线 l 的普通方程为 x+y- 5-3=0.
所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d=
{������2 + (������ ‒ 5)2 = 5,
1 (2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求 +|������������|的最大值和最小值.
4.(2018·洛阳一模)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( 2, ),半径 r= 3. (1)求圆 C 的极坐标方程;
(2)若 α∈[0, ),直线 l 的参数方程为 取值范围.
(t 为参数),直线 l 交圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB|的
新课标天津市2019年高考数学二轮复习专题能力训练22坐标系与参数方程理201812182325
专题能力训练22坐标系与参数方程能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是{푦푥==s c i o n s훼훼,+1(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.푥=2cos푡,2.已知曲线C的参数方程为{(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点푦=2sin푡为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.53.已知两曲线参数方程分别为C1:{푥=5cos휃(0≤θ<π)和C2: 2,(t∈R),它们的交푦=sin휃{푥=4푡,푦=푡点坐标为.4.若直线{푥푦==푡푡csoins훼훼,(t为参数)与圆{푥=4+2cos휑,(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角푦=2sin휑α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.π4{푥=1+2cos훼,已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A푦=2+2sin훼和B,则|AB|=.푥=푡,6.若直线l:{(t为参数)与圆C:ρ=2cos θ相切,则k=.푦=3+푘푡7.已知圆C1的参数方程为{푥푦==csoins휑휑,(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极π轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos(휃+3).(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;1(2)圆C1,C2的公共弦长为.ππ8.在极坐标系中,点(2,6)到直线ρsin(휃- 6)=1的距离是.思维提升训练푥=푡,9.已知曲线C1的参数方程是{(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建3푡푦=3立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.2푥=2-2푡,10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{(t为参数).在极坐标系(与直角2푦=3+2푡坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2 3sin θ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2, 3),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐푡푥=1+2,标系,直线l的参数方程为{(t为参数). 3푦=2+2푡(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换{푥'=3푥,得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2 y푦'=푦3的最小值为.13푥=2+2푡,12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为{(t为参数),点A11푦=2푡2+2π的极坐标为(4),设直线l与圆C交于点P,Q.2,(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)2能力突破训练1.ρ=2sin θ 解析 依题意知,曲线 C :x 2+(y-1)2=1,即 x 2+y 2-2y=0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0. 化简得 ρ=2sin θ.푥 =2cos 푡, π2.ρsin (휃 + 4)= 2解析 ∵曲线 C 的参数方程为{(t 为参数),푦 = 2sin 푡∴其普通方程为 x 2+y 2=2.又∵点(1,1)在曲线 C 上,∴切线 l 的斜率 k=-1.故 l 的方程为 x+y-2=0,化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=2,即 ρsin (휃 +π4)=2.2 5 푥23.(1, 5 )解析 消去参数 θ 得曲线方程 C 1为 +y 2=1(0≤y ≤1),表示椭圆的一部分.消去参 5푥25 + 푦2= 1,5{4数 t 得曲线方程 C 2为 y 2= x ,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解4푦2 =5푥,푥 = 1,得{故交点坐标为2 55,(5).2 51,푦 =π 5π21π 5π4.解析 由题意得直线 y=x tan α,圆:(x-4)2+y 2=4.如图,sin α=4 = ,∴α=6 .6或6或62π5. 14 解析 ∵极坐标方程 θ= (ρ∈R )对应的平面直角坐标方程为 y=x ,4曲线{푥푦 == 12 ++22c s o in s훼훼,(α 为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,|1 -2|2 2= 2푟2- 푑24 -∴圆心到直线 y=x 的距离 d=,|AB|=2=212 = 14.6.- 3 3221 37.(1)x 2+y 2=1(푥 - 2) + (푦 + 2 )=1(2)3解析 (1)由{푥= cos 휑,得 x 2+y 2=1.푦 = sin 휑,3π又∵ρ=2cos (휃 + 3)=cos θ-3sin θ,∴ρ2=ρcos θ- 3ρsin θ. ∴x 2+y 2-x+ 3y=0,221 3 即(푥 - 2) + (푦 + 2 )=1.221 3 (2)由圆心距 d= (0 - 2) + (0 +2 )=1<2,得两圆相交.푥2 + 푦2 = 1,由{푥2 + 푦2 -푥 + 3푦 = 0,得 A (1,0),B( -12, -32).∴|AB|=(1 + 21 2)+ (0 + 2 3 2 )= 3.π π π 8.1解析 ρsin (휃 - 6)=ρ(sin 휃cos6cos 휃)=1,6 -sin因为在极坐标系中 ρcos θ=x ,ρsin θ=y , 所以直线可化为 x- 3y+2=0.π同理点(2,6)可化为( 3,1),| 3 - 3 + 2|所以点到直线距离为 d= =1.3 + 1思维提升训练 푥 = 푡,9.( 3,1) 解析 由曲线 C 1的参数方程{3푡푦 =3 ,3得 y= x (x ≥0),①3曲线 C 2的极坐标方程为 ρ=2, 可得方程 x 2+y 2=4,②由①②联立解得{푥 =3 故 C 1与 C 2交点的直角坐标为( ,1).,푦=1, 310.(1)x2+(y-3)2=3(2)2 2解析(1)由ρ=2 3sin θ,得x2+(y-3)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=3.42 222(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(2- 2푡)+(2푡)=3,即t2-2 2t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=2 2.|+|t2|=t1+t2=2 2.故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t11.(1)y=3x-3+2,x2+y2=1(2)-21解析(1)由题意得直线l的普通方程为y-2=3(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.푥2푥=3cos휃,9{푦=sin휃,(2)易得曲线C': +y2=1.令3则x+2 3y=3cos θ+2 3sin θ=21sin(θ+φ)(其中tan휑=2),故x+2 3y的最小值为-21.112.(1)(x-1)2+y2=1(2) 解析(1)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ.2∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.2π1 1(2)由点A的极坐标(4),得点A的直角坐标为(2).2, 2,13푥=2+2푡,将{代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2-t-=0.3-1 11122푦=2+2푡3-1111设t1,t2为方程t2-t-=0的两个根,则t1t2=-,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=2.2225。
2019届二轮复习矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案(全国通用)
矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B 级要求.真 题 感 悟1.(2018·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2. (1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标. 解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此， 点P 的坐标为(3，－1). 2.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤021 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， 所以⎩⎨⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，y 1＝12x .因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 212＝1，从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6. 连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3. 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P到直线l 的距离的最小值.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t .得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s＝2时，d有最小值45＝455.5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值. 解由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当x1＝y2＝z2时，不等式取等号，此时x＝23，y＝43，z＝43，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8. 证明由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.考点整合1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换2.二阶矩阵的特征值和特征向量(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy 可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)，它即为M 的属于λ的一个特征向量.3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)， 则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 4.(1)直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. (2)圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).5.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义、零点分段或图象法求解. 6.柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点一 矩阵与变换【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2))，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. (2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程.解 设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 22＝1，得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序. (3)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x ，y ∈R ，若点M (1，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3 y 对应的变换作用下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).①求矩阵M ；②求矩阵M 的另一个特征值. 解 (1)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3 y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎨⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎩⎨⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2. (2)①设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，则⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. ②令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M 的另一个特征值为2. 热点二 曲线的极坐标方程[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2－1】 在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程.解 将圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程.探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. [考法2] 曲线的极坐标方程的应用【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点. 综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练2】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1. 热点三 参数方程[考法1] 参数方程与普通方程的互化【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3t ，y ＝1－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值.解 直线l 的普通方程为4x ＋3y －15＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2. 因为圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|－15|5＝3， 又直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以r ＝32＋22＝13.探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.[考法2] 直线的参数方程【例3－2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB . 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5. 由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5). 故P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.探究提高 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB的长.解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.热点四 绝对值不等式【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； ②若f (x )≤1，求a 的取值范围.(2)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围.解(1)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. ②f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立(最小值能取到). 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)因为对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，所以f (x )min ＞a 2－3. 又|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |＞a 2－3，① 法一 (将|a |作为整体)即|a |2－2|a |－3＜0，解得－1＜|a |＜3. 所以－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a ＞a 2－3，② 或2a ＜－a 2＋3，③ 由②得－1＜a ＜3， 由③得－3＜a ＜1，所以，－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值. 【训练4】 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m .由(1)知g (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54； ③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.热点五 不等式的证明、柯西不等式【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .(2)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. ①求实数a ，b 的值； ②求at ＋12＋bt 的最大值.(1)证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(2)解 ①由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.②－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4，即最大值为4.探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式. 【训练5】 已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2. 证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0且a 3＋b 3＝2.由柯西不等式，得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4. 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时等号成立.因此(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4. (2)∵a 3＋b 3＝2，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，即(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]＝2. 所以(a ＋b )3－2＝3ab (a ＋b )，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）24，∴(a ＋b )3－2≤34(a ＋b )3，则14(a ＋b )3≤2.从而a ＋b ≤2当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数； (2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.1.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2.(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎨⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，又|y －2|＜a 3， ∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a . 则|2x ＋y －4|＜a 成立.6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.。
2019届高三数学(理)二轮专题复习课件：专题七 第1讲 坐标系与参数方程 .pdf
第1讲 坐标系与参数方程高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率.真 题 感 悟当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；1.直角坐标与极坐标的互化考 点 整 合2.直线的极坐标方程3.圆的极坐标方程解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.所以A为直线l与圆C的一个交点.解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.。
新课标天津市2019年高考数学二轮复习专题能力训练22坐标系与参数方程理
专题能力训练22 坐标系与参数方程能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.2.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.3.已知两曲线参数方程分别为C1:(0≤θ<π)和C2:(t∈R),它们的交点坐标为.4.若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|=.6.若直线l:(t为参数)与圆C:ρ=2cos θ相切,则k=.7.已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;(2)圆C1,C2的公共弦长为.8.在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2y的最小值为.12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sin θ解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0.化简得ρ=2sin θ.2.ρsin解析∵曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin3解析消去参数θ得曲线方程C1为+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程C2为y2=x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得故交点坐标为4或解析由题意得直线y=x tan α,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sin α=,∴α=或5解析∵极坐标方程θ=(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,∴圆心到直线y=x的距离d=-,|AB|=2-=2-6.-7.(1)x2+y2=1-=1(2)解析 (1)由得x2+y2=1.又∵ρ=2cos=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-sin θ.∴x2+y2-x+y=0,即-=1.(2)由圆心距d=-=1<2,得两圆相交.由-得A(1,0),B--∴|AB|=8.1解析ρsin-=-=1,因为在极坐标系中ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d=-=1.思维提升训练9.(,1)解析由曲线C1的参数方程得y=x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4, ②由①②联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(,1).10.(1)x2+(y-)2=3(2)2解析 (1)由ρ=2sin θ,得x2+(y-)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得-=3,即t2-2t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=2故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=211.(1)y=x-+2,x2+y2=1(2)-解析 (1)由题意得直线l的普通方程为y-2=(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.(2)易得曲线C':+y2=1.令则x+2y=3cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)其中,故x+2y的最小值为-12.(1)(x-1)2+y2=1(2)解析 (1)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ.∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标,得点A的直角坐标为将代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2--t-=0.设t1,t2为方程t2--t-=0的两个根,则t1t2=-,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=。
2019年全国2卷省份高考模拟理科数学分类--参数方程极坐标
2019年全国2卷省份高考模拟理科数学分类----参数方程极坐标1.（2019重庆市理科模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过点P（1，1）且与曲线C交于AB两点，求|P A|+|PB|【分析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的普通方程．（2）根据直线参数方程中参数条的几何意义可得．【解答】解（1）由消去参数t可得直线l的普通方程为：x+y﹣a＝0，由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ可得曲线C的直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将P（1，1）代入x+y﹣a＝0可得a＝2，所以直线l的参数方程为（t为参数）将其代入曲线C的普通方程得：t2+4﹣2＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2＝﹣4，t1t2＝﹣2＜0，∴|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝2．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化普通方程，参数t的几何意义，属中档题．2.（2019青海西宁四中理科模拟）已知直线：为参数，曲线：为参数求直线l与曲线的普通方程；已知点，，若直线l与曲线相交于A，B两点点A在点B的上方，求的值．【答案】解：由直线已知直线l：为参数，消去参数t得：，曲线：为参数，消去参数得：．设，，将直线l的参数方程代入，得：，由韦达定理可得：，．结合图象可知，．由椭圆的定义知：所以．【解析】考查参数方程与普通方程的互化，消去参数t是关键．考查椭圆参数方程与普通方程的转化，及其直线参数方程的参数t的意义及其应用本题考查参数方程与普通方程的互化，公式要牢记，计算要细心，属于中档题型．3.（2019重点校协作体理科模拟）在平面真角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立楼坐标系，曲线C1和C2的概坐标方程分别为C1：ρ＝2cosθ，C2：ρ＝2cos（θ﹣）．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C1，C2，分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．【分析】（1）由ρ＝2cos（θ﹣）得ρ2＝2ρcosθcos+2ρsinθsin，得C2得直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣＝0．（2）利用参数t的几何意义和三角函数的性质可得．【解答】解：（1）由ρ＝2cos（θ﹣）得ρ2＝2ρcosθcos+2ρsinθsin，得C2得直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣＝0．（2）由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ得x2+y2﹣2x＝0，将直线l代入C1并整理得t2﹣2t cosα＝0，设M对应的参数为t1，∴t1＝2cosα将直线l代入C2并整理得t2﹣t（cosα+sinα）＝0，设N对应的参数为t2，∴t2＝cosα+sinα，∴|MN|＝|t1﹣t2|＝|2cosα﹣cosα﹣sinα|＝|cosα﹣sinα|＝|2cos（α+）|，∵0≤α＜π，∴≤α+＜，∴cos（α+）∈[﹣1，]，∴cos（α+）＝，即α＝0时，|MN|取得最大值．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．4.（2019吉林省四平一中理科模拟）在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【分析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.5.（2019吉林长春市理科模拟）已知曲线极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若曲线与无公共点，求正实数的取值范围；（Ⅱ）若曲线的参数方程中，，且曲线与交于，两点，求.【答案】(1) .(2)8.【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化，可直接得出曲线的直角坐标方程；再由曲线的参数方程，消去参数，得到曲线的普通方程；联立两曲线方程，根据题意列出不等式组，即可得出结果；（Ⅱ）先由题意得到曲线的普通方程，联立直线与曲线的方程，求出交点坐标，再由两点间距离，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为②，将①②联立，可求得，由题意:，求得. 的（II ）当时，曲线为直线， 解方程组，得，，所以易得【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化，以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.6.（2019兰州市理科模拟）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）【分析】（1）利用可得曲线的普通方程 ，将左右两边同时乘以，再化为直角坐标方程。
2019届高考数学复习第十三章系列4选讲13.1坐标系与参数方程第2课时参数方程学案文北师大版
第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( √ )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × )题组二 教材改编2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.题组三 易错自纠 4．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5．设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx的取值范围． 解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以yx的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 6．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解 由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得y ＝3x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，得－x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2＝4，y ＝3x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝92，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，∴|AB |＝2 5.题型一 参数方程与普通方程的互化1．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝9.由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程．解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0)． 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12， 化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆． 由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围． 题型二 参数方程的应用典例 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．跟踪训练 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用典例 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．跟踪训练 (2018·福州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sinθ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.1．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，求k 的值．解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2×(－2)＝－1，解得k ＝－1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，不妨取A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.4．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， ∴原点到直线l 的距离r ＝22＝1.∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1. 5．(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m . (1)当m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0， 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322， 解得－1≤m ≤5.所以实数m 的取值范围为[－1,5]．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.7．(2017·南宁一模)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，可得直线l 过点(－1,1)．当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋3＝0.由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t(t 为参数)，消去参数t ，得(x －2)2＋(y －4)2＝4，则曲线C 1表示以(2,4)为圆心，以2为半径的圆．此时圆心到直线的距离d ＝|4－4＋3|5＝355<2，故直线l 与曲线C 1相交．(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋(y －4)2＝4，x 2＋y 2－4x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故C 1与C 2交点的坐标为(2,2)， 故C 1与C 2的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，点M是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足OP →＝2OM →，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝π3.(1)求曲线C 2的普通方程，射线l 的参数方程； (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝2y ′.∵点M 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x ′＝1＋3cos θ，y ′＝3sin θ.∴(x ′－1)2＋(y ′)2＝3，故曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝12. 由射线l ：θ＝π3，可得l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数且t ≥0)．(2)方法一 将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)代入C 1的方程得t 2－t －2＝0，∵t ≥0，∴t ＝2.同理代入C 2的方程得t 2－2t －8＝0，∵t ≥0，∴t ＝4. ∴|AB |＝4－2＝2.方法二 曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0， 将θ＝π3代入，得ρ＝2，∴A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0， 将θ＝π3代入，得ρ＝4，∴B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3， ∴|AB |＝4－2＝2.9．(2016·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入到C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 10．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为(2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且|PA |·|PB |＝283，求tan α的值．解 (1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ， 得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x . 经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式． 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入到y 2＝4x 中，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0， 因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7sin 2α＝283，所以sin 2α＝34，又0<α<π，所以α＝π3或α＝2π3，即tan α＝3或tan α＝－ 3.11．(2016·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，得y ＝33(x －5)， 即直线l 的普通方程是为x －3y －5＝0.(2)由(1)可知曲线C 是圆心坐标为(2,0)，半径为2的圆，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形的面积S ＝2d ·|PQ |＝37.13．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，两式平方相加，得x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0.①由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x .② ①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)． 其极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.(2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为 2.∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋2 2.14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的普通方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，求1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2的值．解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3，ρ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3， C ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4π3在曲线C 上， 故1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2θ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋4π3＋ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2θ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4π3＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋8π32 ＋13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－cos 2θ2＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋8π32 ＝14×32＋13×32＝78.。
2019高考数学考点突破——选考系列：参数方程
参数方程【考点梳理】1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程考点一、参数方程与普通方程的互化【例1】已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值. [解析] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5(sin θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，所以d 的最小值为855.【类题通法】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .[解析] (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.考点二、参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1. 【类题通法】过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题. 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.l 与C交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值.[解析] (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数)消去α，得普通方程x 25＋y 2＝1.因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t (t 为参数)，代入x 25＋y 2＝1整理得3t 2－102t ＋15＝0，由题意可得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝1023.考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.[解析] (1)由l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2， 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.【类题通法】1．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简． 【对点训练】已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2 3.。
2019届高考数学二轮复习仿真冲刺卷二理201902263108
仿真冲刺卷(二)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·长沙一模)设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|-1)的定义域为A,集合B={x|sin πx=0},则(∁U A)∩B的子集个数为( )(A)7 (B)3 (C)8 (D)92.(2018·海南二模)已知复数z满足z(3+4i)=3-4i,为z的共轭复数,则||等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.(2018·滁州期末)已知cos(+α)=2cos (π-α),则tan(-α)等于( )(A)-4 (B)4 (C)- (D)4.已知直线2mx-y-8m-3=0和圆C:(x-3)2+(y+6)2=25相交于A,B两点,当弦AB最短时,m的值为( )(A)-(B)-6 (C)6 (D)5.(2018·江西宜春二模)若(x3+)n的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则dx等于( )(A)0 (B)(C)(D)49π6.一个四棱锥的三视图如图所示,其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是( )(A)(B)1 (C)(D)27.(2018·广东模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,2bsin B+2csinC=bc+a,则△ABC的面积的最大值为( )(A)(B)(C)(D)8.函数f(x)=|ln x|-x2的图象大致为( )9.执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )(A)10 (B)17 (C)19 (D)3610.(2018·太原模拟)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为( )(A)4 (B)8 (C)16 (D)3211.如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C 的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,交PQ于N.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )(A) (B)(C) (D)12.(2018·菏泽期末)已知f(x)=若方程f(x)=mx+2有一个零点,则实数m的取值范围是( )(A)(-∞,0]∪{-6+4}(B)(-∞,-e]∪{0,-6+4}(C)(-∞,0]∪{6-3}(D)(-∞,-e]∪{0,6-3}第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·重庆巴蜀中学高三模拟)重庆巴蜀中学高三的某位学生的10次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则该生数学成绩在(135,140)内的概率为.14.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1～20号,第二组21～40号,…,第五组81～100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.15.(2017·天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.16.(2018·唐山期末)在三棱锥P ABC中,底面ABC是等边三角形,侧面PAB是直角三角形,且PA=PB=2,PA⊥AC,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(2018·滁州期末)已知数列{a n}是递增的等差数列,a2=3,a1,a3-a1,a8+a1成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求满足S n>的最小的n的值.18.(本小题满分12分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,△ACD与△ACB都是边长为2的等边三角形,BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求二面角E BC A的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B(B位于第一象限)两点.(1)若直线AB的斜率为,过点A,B分别作直线y=6的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形ABQP的面积;(2)若|BF|=4|AF|,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-(a+1)x,g(x)=-ax+a,其中a∈R.(1)试讨论函数f(x)的单调性及最值;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)不存在零点,求实数a的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|.(1)若f(x)≤m的解集为[-1,5],求实数a,m的值;(2)当a=2且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).1.C 因为f(x)=lg(|x+1|-1),所以|x+1|>1.即x>0或x<-2.所以A={x|x<-2或x>0}.所以∁U A={x|-2≤x≤0}.又因为sin πx=0,所以πx=kπ(k∈Z),所以x=k.所以B={x|x=k,k∈Z}.所以(∁U A)∩B={x|-2≤x≤0}∩{x|x=k,k∈Z}={-2,-1,0}.所以(∁U A)∩B的元素个数为3.所以(∁U A)∩B的子集个数为23=8.故选C.2.A 由题意得z=,所以||=|z|===1.故选A.3.C 因为cos(+α)=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α⇒tan α=2,所以tan(-α)==-,故选C.4.A 因为2mx-y-8m-3=0,所以y+3=2m(x-4),即直线l恒过点M(4,-3);当AB⊥CM时,圆心到直线AB的距离最大,此时线段AB最短,则k CM==3,k AB=2m=-,故m=-.故选A.5.C 由题意知展开式的通项公式为T r+1=(x3)n-r()r=,因为展开式中含有常数项,所以3n-r=0有整数解,所以n的最小值为7.故定积分dx=π.6.A 由三视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个直角梯形,梯形上底是1,下底是2,梯形的高是=,四棱锥的高是1×= ,所以四棱锥的体积是××=.故选A.7.C 由A=,2bsin B+2csin C=bc+a,可知bsin B+csin C=bcsin A+ asin A,得b2+c2=abc+a2,所以2bccos A=abc,解得a=2cos A=,又b2+c2=bc+3≥2bc,所以bc≤3.从而S△ABC=bcsin A≤.8.C 由函数的定义域为x>0,可知排除选项A;当x>1时,f′(x)=-x=,当1<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,f′(x)<0,即f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减,排除选项B,D,故选C.9.C 开始s=0,k=2;第一次循环s=2,k=3;第二次循环s=5,k=5;第三次循环s=10,k=9;第四次循环s=19,k=17,不满足条件,退出循环,输出s=19.故选C.10.A {(x,y)||x|≤1,且|y|≤1}表示的平面区域是原点为中心,边长为2的正方形ABCD,不等式ax-2by≤2恒成立,即四点A(1,1), B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)都满足不等式.即画出可行域如图所示.P(a,b)形成的图形为菱形MNPQ,所求面积为S=×4×2=4.故选A.11.B 因为线段PQ的垂直平分线为MN,|OB|=b,|OF1|=c.所以k PQ=,k MN=-.直线PQ为y=(x+c),两条渐近线为y=±x.由得Q(,);由得P(,).则PQ中点N(,).所以直线MN为y-=-(x-),令y=0得x M=c(1+).又因为|MF2|=|F1F2|=2c,所以3c=x M=c(1+),所以3a2=2c2.解得e2=,即e=.故选B.12.B 由题意函数f(x)的图象与直线y=mx+2有一个交点.如图是f(x)的图象,x>1时,f(x)=,f′(x)=-,设切点为(x0,y0),则切线为y-=-(x-x0),把(0,2)代入,x0=2+, f′(x0)=4-6;x≤1时,f(x)=2-e x,f′(x)=-e x,设切点为(x′0,y′0),则切线为y-(2-)=-(x-x′0),把(0,2)代入,解得x′0=1,又f(1)=2-e,f′(1)=-e1=-e,所以由图象知当m∈(-∞,-e]∪{0,4-6}时,满足题意,故选B.13.解析:由题意,共有10个数学成绩,其中成绩在(135,140)内时的分数分别为136,136,138共三个.由古典概型得,该生数学成绩在(135,140)内的概率为=0.3.答案:0.314.解析:设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码满足首项为a1,公差为20的等差数列,即a n=a1+(n-1)×20,又第二组抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的号码为4+(4-1)×20=64.答案:6415.解析:由题意知||=3,||=2,·=3×2×cos 60°=3,=+=+=+(-)=+,所以·=(+)·(λ-)=·-+=×3-×32+×22=λ-5=-4,解得λ=.答案:16.解析:由于PA=PB,CA=CB,PA⊥AC,则PB⊥CB,因此取PC中点O,则有OP=OC=OA=OB,即O为三棱锥P ABC外接球球心,又由PA=PB=2,得AC=AB=2,所以PC==2,所以S=4π×()2=12π.答案:12π17.解:(1)设{a n}的公差为d(d>0),由条件得所以所以a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)b n===(-),所以S n=(1-+-+…+-)=.由>得n>12.所以满足S n>的最小的n的值为13.18.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,X 1 2 3P所以E(X)=1×+2×+3×=.19.(1)证明:因为△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,取AC的中点O,连接BO,DO,则BO⊥AC,DO⊥AC.又因为平面ACD⊥平面ABC,所以DO⊥平面ABC.作EF⊥平面ABC,那么EF∥DO.根据题意,点F落在BO上,所以∠EBF=60°,易求得EF=DO=,所以四边形DEFO是平行四边形,所以DE∥OF,又因为DE⊄平面ABC,OF⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC.(2)解:法一作FG⊥BC,垂足为G,连接EG.因为EF⊥平面ABC,所以EF⊥BC.又因为EF∩FG=F,所以BC⊥平面EFG,所以EG⊥BC,所以∠EGF就是二面角E BC A的平面角.Rt△EFG 中,FG=FB·sin 30°=,EF=,EG=.所以cos∠EGF== .即二面角E BC A的余弦值为.法二建立如图所示的空间直角坐标系O xyz,可知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1),B(0,,0),C(-1,0,0),E(0,-1,),=(-1,-,0),=(0,-1,),设平面BCE的一个法向量为n2=(x,y,z),则可取n2=(-3,,1).所以cos<n1,n2>==.又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角E BC A的余弦值为.20.解:(1)由题意可得F(0,1),又直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=x+1.与抛物线方程联立得x2-3x-4=0,解之得x1=-1,x2=4.所以点A,B的坐标分别为(-1,),(4,4).所以|PQ|=|4-(-1)|=5,|AP|=|6-|=,|BQ|=|6-4|=2,所以四边形ABQP的面积为S=(+2)×5=.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l:y=kx+1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由化简可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.因为|BF|=4|AF|,所以-=4,所以=++2,即=-4k2=-,所以4k2=,即k2=,解得k=±.因为点B位于第一象限,所以k>0,则k=.所以l的方程为y=x+1.21.解:(1)由f(x)=ln x-(a+1)x(x>0)得:f′(x)=-(a+1)=(x>0);①当a≤-1时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)没有最大值,也没有最小值;②若a>-1,当0<x<时,f′(x)>0,f(x)在(0,)上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在(,+∞)上单调递减,所以当x=时,f(x)取到最大值f()=ln -1=-ln(a+1)-1,f(x)没有最小值.(2)F(x)=f(x)-g(x)=ln x-(a+1)x-(-ax+a)=ln x-x--a(x>0),由F′(x)=-1+==(x>0),当0<x<2时,F′(x)>0,F(x)单调递增,当x>2时,F′(x)<0,F(x)单调递减,所以当x=2时,F(x)取到最大值F(2)=ln 2-3-a,又x→0时,有F(x)→-∞,所以要使F(x)=f(x)-g(x)没有零点,只需F(2)=ln 2-3-a<0,所以实数a的取值范围是(ln 2-3,+∞).22.解:(1)由曲线C1的参数方程,消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],所以曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).(2)设曲线C2上任意一点P为(cos α,sin α),α∈[0,π],则点P到曲线C1的距离为d==.因为α∈[0,π],所以cos(α+)∈[-1,],2cos(α+)∈[-2,],当m+<0时,m+=-4,即m=-4-;当m-2>0时,m-2=4,即m=6.所以m=-4-或m=6.23.解:(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m,所以解得a=2,m=3.(2)a=2时等价于|x-2|+t≥|x|,当x≥2时,x-2+t≥x,因为0≤t<2,所以舍去;当0≤x<2时,2-x+t≥x,所以0≤x≤,成立; 当x<0时,2-x+t≥-x,成立.所以原不等式的解集是(-∞,].。
13.2019北京高三二模(理)分类汇编--极坐标与参数方程
2.A
3.
4.C
5.B
6.A
4.过原点作圆 的两条切线，则这两条切线所成的锐角为
A． B． C． D．
5.在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是
A． B. C. D.
6.直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）的位置关系为
(A)相离
(B)相切
(C)相交且直线过圆心
(D)相交但直线不过圆心
2019高三二模分类汇编—极坐标与参数方程
答案部分
2019高三二模分类汇编—极坐标与参数方程
1.若直线 ： ( 为参数)，经过坐标原点，则直线 的斜率是
(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2
2.在极坐标系中，直线 (C) (D)
3．在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，圆心 到直线 的距离为____．
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分第二层级重点增分专题十四坐标系与参数方程讲义理(选修4-4)
4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0.
[解题方略] 极径的几何意义及其应用
(1)几何意义：极径 ρ 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离．
(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出
弦长，结合根与系数的关系解题．
[多练强化]
1．(2019 届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 Error!(α 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
( )π
π
(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin θ＋ ＝3 3，射线 OM：θ＝ 与圆 C 的交点为 O，P，
3
3
与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．
[解] (1)由圆 C 的参数方程为Error!(φ 为参数)，
(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时
应注意转化思想的应用．
考点一 极坐标 保分考点·练后讲评
1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方 程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方 程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
参数方程高三复习课
6 2 cos(a ) 2 2， 6 2
)
由此得，当 cos(a
6
) 1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
sin a )， 2因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos a， 从而点Q到直线l的距离为d 2 cos(a 3 cos a sin a 4 2
x 3 cos 它的参数方程是 y 2 sin
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
(为参数）
sin（θ+ 2
）
4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
例 已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动 点，求 （3）x2+y2 的最值， 解：将圆的方程化为：（x－3）2+（y－2）2=1 x 3 cos 它的参数方程是 (为参数） y 2 sin
解析： 1 把极坐标系下的点P(4， )化为直角坐标， 2 得P 0, 4 ．因为点P的直角坐标 0, 4 满足直线l的 方程x y 4 0，所以点P在直线l上．
sin a )， 2因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos a， 从而点Q到直线l的距离为d 2 cos(a 3 cos a sin a 4 2
1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起 点与Ox反向的射线．
答案
C
2
(2010· 广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
参数方程高三复习课
4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
例3 已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上 动点，求 （3）x2+y2 的最值， 解：将圆的方程化为：（x－3）2+（y－2）2=1
它 的 参 数 方 程 是 xy 32 cso ins (为参数）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
练习：
2021/5/23
38
练习：
2021/5/23
39
2021/5/23
40
2021/5/23
41
2021/5/23
42
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
y
(1,-1)
代入消元法
o
x
(2)x sin cos 2 sin( ),
4 所以x[ 2, 2],
把x sin cos平方后减去y 1 sin 2
得到x2 y, x[ 2, 2].
这是抛物线的一部分。
y
三角变换 消元法
2 o
2
参数方程化为普通方程的步骤 步骤： 1、写出定义域（x的范围） 2、消去参数(代入消元，三角变换消元)
y2 b2
1
b
y
A
B •M
o N x
这就是M的轨迹参数方程，它表示中心 在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
思考:
椭圆焦点在y轴上的参数方程是什么?
普通方程： y2 a2
bx22
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数方程
基础诊 断 考点突 破
@《创新设 计》
最新考纲
1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择
适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
知识梳
1.曲线的参数方程
理
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的（t）， y＝g（t）， 的函数___________ 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，
4 4 5 ∴当 s＝ 2时，d 有最小值 ＝ 5 . 5
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
考点一 参数方程与普通方程的互化 【例 1】 已知直线 l
x＝4cos y＝4sin x＝a－2t， 的参数方程为 (t y＝－4t
为参数)，圆 C 的参数方程为
θ， (θ 为参数). θ
考点突 破
@《创新设 计》
4. 直线
x＝2＋ 3cos y ＝ b(x － 4) 与圆 y＝ 3sin θ
θ，
(θ 为参数 ) 相切，则切线的倾斜角为
________.
解析 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，圆心 A(2，0)，半径 r＝ 3.
|2b－4b－0| 2 ∵直线 y＝b(x－4)与圆相切，∴ ＝ 3 ，则 b ＝3，b＝± 3. 2 b ＋1
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
解 (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
温馨提醒
直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，
t 才有几何意义且几何意义为： |t| 是直线上任一点 M(x ， y) 到
M0(x0，y0)的距离.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
诊断自
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×” 测 )
y＝f（t）， (1)参数方程 中的 x，y 都是参数 t 的函数.( y＝g（t）
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
2 x＝2＋ 2 t， 2.(选修 4－4P26 习题 T4 改编)在平面直角坐标系中，曲线 C： (t 为参 y＝1＋ 2t 2 数)的普通方程为________.
解析 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
基础诊 断
考点突 破
π 2 因此 tan θ＝± 3，切线的倾斜角为 或 π. 3 3 π 2π 答案 3 或 3
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
x＝－8＋t， 5.(2017· 江苏卷)在平面坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为 t (t 为参 y＝ 2 数)，曲线 C
2 x＝2s ， 的参数方程为 (s y ＝ 2 2 s
x＝f（t）， 那么 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使 y＝g（t）
用 x，y 的取值范围保持一致.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
3.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 直线 普通方程 y－y0＝tan α (x －x0) x ＋y ＝r
2 2 2
参数方程
@《创新设 计》
3.在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ ＋sin θ
2 x＝t ， )＝－2，曲线 C2 的参数方程为 y＝2 2t
(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________.
) (θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆.(
基础诊 断 考点突 破
)
@《创新设 计》
x＝2cos t， π (4)已知椭圆的参数方程 (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝ 3 ，点 y＝4sin t
O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.(
)
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
2.参数方程与普通方程的互化 通过消去_______ 参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系， 例如 x＝f(t)， 把它代入普通方程， 求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
解析 由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2.①
2 x ＝ t ， 又 (t 为参数)消去 t，得 y2＝8x.② y＝2 2t
x＝2， 联立①，②得 即交点坐标为(2，－4). y＝－4，
答案 (2，－4)
基础诊 断
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α x＝rcos θ y＝rsin θ
，
(t 为参数)
圆
，
(θ 为参数)
椭圆
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞ a2 b2 0)
x＝acos φ， (φ 为参数) y＝bsin φ
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
)
x＝x0＋tcos α， (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数).参 y＝y0＋tsin α
数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向 → 线段M0M的数量.(
x＝2cos θ ， (3)方程 y＝1＋2sin θ
为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P
到直线 l 的距离的最小值.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
x＝－8＋t， 解 由 t (t 为参数)消去 t.得 l 的普通方程为 x－2y＋8＝0， y＝ 2
因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2，2 2s).
|2s2－4 2s＋8| 2（s－ 2）2＋4 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 5 5