0212波尔振动的物理研究实验报告

2
d dt
02
h cost
（5）
其中 h M0 I ，在稳态情况下，式（5）的解是
其中 A 为角振幅，
Acos(t )
A
h
(02 2 )2 4 2 2
（6） （7）
而角位移 与简谐外力矩之间的位相差 则可表示为
2
arctan(
2
02
)
（8）
式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是 A ，它的频
表 2-1 不同阻尼电压下的振动 5 个周期后末振幅格数及所用时间
周期 nT
5T
阻尼电压 U/V
2
4
末振幅 A/格 70
70
69.5 30
31
30
nT
9.91
9.78
9.91 10.00 9.91 9.80
β
0.0254
0.0257
0.0261 0.1099 0.1076 0.1121
周期 nT
5T
共 振 摆 固 有 频 率 ω 0=3.156rad/s ， 8V 下 阻 尼 因 数 β =0.6141s-1 ，
2
arctan(
2
02
)
，得出表
3-2。
阻尼电压 U/V
15
表 3-2 各受迫电压下振动 10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压 8V
振幅范围 A1/A2 / 稳定振幅ΔA/2 总时间
（3）用上述的方法对扭摆Байду номын сангаас三种振动状态进行分析。要求： ①利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。 ②讨论各振动状态相图中的物理意义。 ③自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。
【实验数据记录与整理】
一、 手工操作
1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率
测量玻尔摆的固有频率，通过改变初始振幅来取得多个数据。同时验证初始振 幅与玻尔摆的固有频率无关。
步骤：①连接好电路，分别接入 2V、4V、6V、8V 的电压到阻尼线圈。 ②以初始振幅为表盘上的 90 格（已修正）。 ③自然放开波尔摆，用电子秒表测量 5 个周期 T 一共用去的总时间 10t(s)
及末振幅格数，记录数据到表 2。其中当我们做至 6V 电压时，五个周期后 的振幅已变得很小。因此我们调整 8V 阻尼下的测算时间为两个周期。每 个电压阻尼测量三或四次。 ④计算不同阻尼电压下的阻尼因数β
波尔振动的物理研究
【实验目的】
1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅
频特性曲线）。 3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。 4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。
【实验仪器】
减小；当 很大时，振幅趋于零。
由式（8）可见，当
0
0
时，有
0
2
，即受迫振动的位相落后于外加简谐
力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于
2
，而在
0
时（有阻尼时不是共振状态），
位相才正好落后 2
；当
0 时，有 tg
0
，此时
2
，即位相落后得更多；当
0
时， 趋近 ，即接近于反位相。在已知0 及 的情况下，则可由式（8）计算出各 值
此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一 端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个 2g 的砝码，使得波尔摆 转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周 期等一系列参数。
（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件 的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角 速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\2010 材料物理 10330025 陈嘉平 光 信息 10329051 陈海域”。
15
表 3-1 各受迫电压下振动 10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压 6V
振幅范围 A1/A2 稳定振幅ΔA/2 总时间
/格
/格
10T
角频率 ω
ω/ω0 相位差φ/°
1/3.5
1.25
11.59 5.421213 1.717748 -168.55462
14
1/4
1.5
12.68 4.955193 1.570087 -166.15944
d dt
(r
为阻矩系数）。
若扭摆的转动惯量为 I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：
I
d 2 dt 2
c
r
d dt
即
（1）
d 2 r d r 0 dt2 I dt I
（2）
令
r I
2
（
称为阻尼因数），
r I
02
（称0 为固有圆频率），则式(2)的解为
A0
exp(t) cos
2 T
t
A0
以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅 A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和 相频特性曲线。
A/格
ω/ω0 图 2 6V 阻尼电压下受迫振动的幅频特性曲线
由图 2 可以看出，当 ω/ω =1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的 0
振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时， 玻尔摆的振幅都在不断地减小。
步骤：①将玻尔摆转至一定角度 A0。 ②放手，用电子表测定一定周期数后的时间 nT。这里定为 10 个周期。 ③记录 A0、10T。 ④改变初始振幅 A0，重复①②③步。 ⑤计算玻尔摆平均共振频率。
表 1 自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系 初始振幅/格 40 50 60 70 80 90 100 平均
标准误差：
7
1
6
7
i1(i
)2
0.2018(rad / s)。
角频率 的相对误差： E
0
0.02018 3.156
0.00639 0.639% 。
所以波尔摆自由状态下的固有圆频率为0 =3.156×(1+0.639%) rad/s，且从表 1
可以验证0 与初始振幅无关。
2. 观察现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数。
A A0 exp( nT )
则
2．扭摆的受迫振动
1 ln A0 nT A
（4）
当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通
过弹簧加到摆轮上，其频率是 ，幅度为 M 0 （ M0 c0 ， 0 为外力矩角幅），且有
M外＝M0 cost ，则扭摆的运动方程变为
d 2 dt 2
nT An 各阻尼电压下的阻尼因数。
表 2-2 各阻尼电压下的阻尼因数β
阻尼电压 U/V 2
4
6
8
阻尼因数β 0.0257 0.1098 0.3628 0.6141
阻尼振动的实验现象：摆开始振动后，振幅急剧减小，最后趋于零；而且所加 阻尼电压越大，振幅减小越快。
可以看到，随着阻尼电压增大，阻尼系数也会显著增大。 实验中 A0 、n 均改变，这样可能会增大误差，且无法计算标准误差。从数据 中可以看出，当 n 取比较大且初始摆幅较小时，结果出现比较大的偏差。这是因为 当 n 较大时，末状态摆幅将变小。导致相对误差较大。改进的办法是固定 A0 为 90、 n 随着阻尼电压增大而适当减小，使得误差程度保持相对稳定，在相同的条件下测 量几组数据再加以计算。
3. 观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
步骤：①在实验 2 的基础上，分别接入 6V 和 8V 电压到阻尼线圈； ②从 15V 到 6V 变化，将电压接入受迫振动电机; ③测量不同电压下，振动 10 个周期后所用时间 10T 及波尔摆的末振幅格数， 将其记录表 3； ④根据表格数据，计算各振动角频率ω。
⑤画出幅频特性曲线：以 / 0 为横坐标，振幅 A 为纵坐标。画出相频特性
曲线：以 / 0 为横坐标，相位 为纵坐标。
其 中 共 振 摆 固 有 频 率 ω 0=3.156rad/s ， 6V 下 阻 尼 因 数 β =0.3628s-1 ，
arctan(22 02 ) ，得出表 3-1。
阻尼电压 U/V
2T
阻尼电压 U/V
6
8
末振幅 A/格 3
3
2
2.5
7
8
9
nT
9.75 10.06 9.43 9.94 3.94 3.97 3.94
β
0.3488 0.3381 0.4037 0.3605 0.6482 0.6097 0.5844
根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式 1 ln A0 。取平均后可得
9
-3.5/8.5
6
22.31 2.816309 0.892367 -45.2079
8
-1/6
3.5
26.97 2.329694 0.738179 -20.4518
7
1/5
2
33.22 1.891386 0.599299 -12.1343
6
0.5/3
1.25
43.50 1.44441 0.457671 -7.58174
10T/s
19.84 19.84 20.12 19.81 19.81 20.06 19.88 19.91
0 /rad·s-1 3.167 3.167 3.123 3.172 3.172 3.132 3.161 3.156
其中固有圆频率由 0
2 T
计算得出。
1
平均值0 7 7 0i =3.156rad/s。
格
/格
10T
角频率 ω
ω/ω0
0.5/4.0
1.75
11.28 5.5702 1.764956
（2）数据的导出：在 measure 菜单中选择 export data，里面的两个单选按钮都选第 二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击 calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和 角速度的相图。运行 Origin 软件，点击工具栏的 Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数 据文件，将第二列数据改成 X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动 角度和角速度的相图了。
率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是 。
由式（7）可见，当 →0 时，振幅 A
接近外力矩角幅0 （∵ h
M0 I
c I
020 ），
随着 的逐渐增大，振幅 A 将随之增加，当 02 2 2 时，振幅 A 有最大值，此时称
为共振，此频率称为共振频率，即 共 02 2 2 。当 共 或 共 时，振幅都将
φ/°
图 3 6V 阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线
ω/ω0
由图 3 可以看到：当 远小于 0 时， 的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋
于同相；随着 的增大， 的值不断减小，当 接近0 时， 的值趋于 / 2 ，
即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于 / 2 ;当 远大于0 时， 的
值接近 ，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于 。
扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。
【实验原理】
1．扭摆的阻尼振动
在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作
用：一是弹性恢复力矩 M弹 ，它与摆的扭转角 成正比，即 M弹＝c （c 为扭转系数）；二
是阻力矩阻 M阻 ，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即 M阻＝ r
exp(t) cost
（3）
其中 A0 为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且 2 T 02 2 。
由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅 A0 及第 n 个
周期时的振幅 An ，并测得摆动 n 个周期所用的时间 nT ，则有
A0
A0
exp( nT )
所对应的 值。
【实验内容及步骤】
1．波尔共振实验注意事项
(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不 能超过 1A。
(2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。 (3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。
13
0.5/4.5
2
13.69 4.589617 1.454251 -163.30572
12
-1/5.5
3.25
15.32 4.101296 1.299523 -156.54946
11
-3.5/8
5.5
17.41 3.608952 1.143521 -139.48289
10
-6/11
8.5
19.53 3.217197 1.019391 -99.48507
2. 手工操作实验内容
（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。 （2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是 6V 和 8V 时候的阻尼因数β 。 （3）观察共振现象，测量在 6V 和 8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
幅频特性曲线：以ω/ω0 为横坐标，振幅 A 为纵坐标。
相频特性曲线：以ω/ω0 为横坐标，相位 为纵坐标。 3. 计算机测控实验内容