复递增年金和每年支付m次的变额年金

复递增年金和每年支付m 次的变额年金
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复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固 定比例增长的年金。
• 用来分析通货膨胀下的现金流。
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期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付 年金各期付款额成等比数列，即各期付款
额为：1 ,(1 r),(1 r)2,L ,(1 r)n 1。则该年金 现值为：
•若
，即
时，（1）式发散。
1 k 1 1 i
ki
• 若 i k 时，永续年金的现值不存在的。
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• 【练习】某期末付永续年金首期付款额 为5000元，以后每期付款额是前一期付 款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
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每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支 付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年 实际利率为5%，计算该年金的现值。
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• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首 次付款为1000元，以后每次付款较前一 次付款增加1000元，共付款5年，年实 际利率为8%。计算第5年年末的年金积 累值。
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付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示( Ia )(m ) ，且有
n
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(Ia)(m) 1(vm 1vm 2Lv)2(v1m 1v1m 2Lv2)L
nm
m
n(vn1m 1vn1m 2Lvn) m
v(Ia)(m)1(v1m 1v1m 2Lv2)2(v2m 1v2m 2Lv3)L
nm
m
n(vnm 1vnm 2Lvn1) m
-
iv(Ia)(m)1(vm 1vm 2Lvv1m 1v1m 2Lvn)n(vnm 1vnm 2Lvn1)
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期初付递增年金
• 假设一项期初付年金各期付款额成 等比数列，即各期付款额依次 为：1 ,(1 r),(1 r)2,L ,(1 r)n 1。则该 年金现值为：
PV1v(1r)v2(1r)2 L vn1(1r)n1
•
1[v(1r)]n
1(1r)n 1i
1v(1r)
ir
(i r)（1）
1i
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• 若 i k ，则
PV n
-
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
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• 当 n 时，上述年金变为永续年金。
• 若 以计11 算 ki 出 1该，年即金k的 现i 值时；，V(0)存在，可
PV vv2(1r)v3(1r)2 L vn(1r)n1
v[11r (1r)2 L (1r)n1]
1i 1i
1i
•
111ri
n
(i r)
i r
（1）
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• 若 i k ，则
PV nv n 1 i
-
• 【例3-7】投资者拥有一项10年期期末 付的递增年金，第一年末付1000元，此 后的给付金额按复利5%递增，假设年实 际利率为11.3%，请计算这项年金时刻0 的现值
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每年支付m次的递减年金
(Da)(m) n
na n i(m)
(Ds)(m) n
n(1i)n
i(m)
s n
-
(Da&&)(m)
na n
n
d(m)
(D& s& )(m)
n(1i)n
s n
n
d(m)
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nm
m
1
1
m 1[vm 1( 1 vm 1vn)]nm vnv1 m (1vm 1v)1vni (mn )ivn1
(Ia)(m) n
1
vn nivn1 ivi(m)
1vn nvn iv i(m)
a (1i) nvn a&&nvn
n i(m)
n
i(m)
(Is)(nm) (Ia)(nm)(1i)n-& s& n i(m )n