浙教版八年级三角形中几种模型
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浙教版八年级三角形
中几种模型
Revised on November 25, 2020
一、手拉手模型: 1手的判别:
判断左右,将等腰三角形顶角顶点朝上,左边为左手顶点,右边为右手顶点。 2手拉手的定义
两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。(左手拉左手,右手拉右手) 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明:
(1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC
(3) AE 与DC 的夹角为60。
(4) △AGB ≌△DFB (5) △EGB ≌△CFB (6) BH 平分∠AHC (7)
GF ∥AC
变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明:
(1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC
(3) AE 与DC 的夹角为60。
(4)
AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2:如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证
明:
(1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC
(3) AE 与DC 的夹角为60。
(4)AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式训练3:两个等腰三角形ABD 与BCE ,其中AB=BD,CB=EB,∠
ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问(1)△ABE≌△DBC是否成立
(2)AE是否与CD相等
(3)AE与CD之间的夹角为多少度
(4)HB是否平分∠AHC
例2:如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H
问:(1)△ADG≌△CDE是否成立
(2)AG是否与CE相等
(3)AG与CE之间的夹角为多少度
(4)HD是否平分∠AHE
例3:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.
问(1)△ADG≌△CDE是否成立
(2)AG是否与CE相等
(3)AG与CE之间的夹角为多少度
(4)HD是否平分∠AHE
二、半角模型
1、条件:
.
180
2
1
=
+
=γ
θ
β
α且
2、思路:①截长补短
②旋转
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM +DN,求证:①.∠MAN=
45
②.
AB C
CMN
2
=
∆
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
例2拓展:在正方形ABCD 中,已知∠MAN=
45,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动, ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证:AB=AH.
例3.在四边形ABCD 中,∠B+∠D=
180,AB=AD ,若E 、F 分别在边BC 、CD 上,且满足EF=BE +DF.
求证:.
21
BAD EAF ∠=∠
练习巩固1:(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°,试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:;
(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别
是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=2
1
∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明,
若不成立,请说明理由;
(3)在(2)问中,若将△AE F 绕点A 逆时针旋转,当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时, 如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化若变化,请给出结论并予以证明.. 练习巩固2:已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=,绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N .
(1)如图1,当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时,有BM DN MN +=.当MAN ∠ 绕点A 旋转到
BM DN ≠时,如图2,请问图1中的结论还是否成立如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM DN ,和MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想,并证明.
练习巩固3:在等边ABC ∆的两边AB ,AC 所在直线上分别有两点M N D ,,为ABC ∆外一点,且
60MDN ∠=︒,120BDC ∠=︒,BD CD =,探究:当点M N ,
分别爱直线AB AC ,上移动时,BM BN MN ,,之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系. (1)如图①,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN =时,BM NC MN ,,之间的数量关系式
_________;此时
Q
L
=__________ (2)如图②,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN ≠时,猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的
猜想并加以证明;
(3)如图③,当点M N ,分别在边AB CA ,的延长线上时,若AN x =,则Q =_________(用x L ,表示)