数值分析课程设计学生题目
数值分析课程实验设计——数值线性代数实习题
数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。
2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。
2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。
我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。
2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。
我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。
3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。
4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。
感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。
数值分析课程设计题目_0811_
《数值分析》课程设计负责老师：刘瑞华、许安见、牛普 面向对象：0811-1、-2班级全体同学 时 间：第十八周周一至周五全天 地 点：实验楼B503 要求：(1) 4人一小组做一个设计题目，按照上次分组顺利，依次做下面的设计； (2) 每小组推选一位同学参加答辩，答辩不通过者，成绩等级将视为不及格； (3) 课程设计期间严格实行考勤记录，要求同学们到指定教室；(4) 严格按照课程设计的要求提交课程设计论文，需要制作封面，打印成绩评定书，其中成绩评定书装订在第2页；(5) 论文于第十八周周四下午5点前以班为单位收齐后交到实验楼B501，第十八周周五上午8:30在实验楼B502进行答辩。
题目（一）1、考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dydx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程 ,21211a h y y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。
改变n ，讨论同样问题。
题目（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从120到130）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =71515151514⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
数值分析课程课程设计汇总
课程 设 计我再也回不到大二了，大学是那么短暂设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师设 计 题 目共15题如下成绩数值分析课程设计1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题:14(1)5k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5x p =-所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解151,4k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4）MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p), break end enddisp([x,p])1．2 设，15nn x I dx x=+⎰ （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：115(1,2,20)n n I I n n-=-+=计算机从1I 到20I 的近似值；（2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：111(30,29,,3,2)55n n I I n n-=-+=计算从1I 到20I 的近似值；解：首先第一步，估计0I 和30I 的值：syms x n;int (x^0/(5+x),0,1) ans=log(2)+log(3)-log(5) eval(ans) ans= 0.1823则取0I 为0.18 syms x n;int(x^30/(5+x),0,1) ans =931322574615478515625*log(2)+931322574615478515625*log(3)-931322574615478515625*log(5)-79095966183067699902965545527073/465817912560 eval(ans) ans = 0MATLAB 中小数点后保留四位，由上面计算知道积分的值不为了零。
信计专业数值分析课程设计选题
信计06级数值分析课程设计选题(任选一题)1．非线性方程求解：编制用一般迭代法、牛顿法、弦截法求解方程0)(=x f 的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
2． 插值方法：编制用牛顿插值、哈密特插值、分段插值、样条插值的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
3． 数值积分方法：编制用牛顿—科特斯、复化求积、龙贝格公式计算积分的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
4． 求解线性方程组：编制用直接法（消去法、三角分解法）与间接法（迭代法）解线性方程组的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
5． 求解微分方程初值问题：编制用欧拉方法、龙格－库塔法、线性多步法解常微分方程初值问题的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
6． 用追赶法解三对角方程组设计一种用追赶法解三对角方程组的程序及可输入数据的界面,并用数值例子计算。
7． 比较高斯消元法和追赶法设计一种方法用以比较用高斯消元法和用追赶法解三对角方程组的程序及可输入数据的界面，并讨论它们的计算复杂性。
8． 最小二乘法建立一个用最小二乘法解决实际问题的例子，并用数值方法计算。
9． 雅可比迭代法设计用雅可比迭代法解大型方程组的程序，并用数值例子计算。
10． 用高斯－勒让德公式计算定积分设计用高斯－勒让德求积公式计算定积分的程序，并用数值例子计算。
11． 加速提高算法效率数值方法总结数值分析中应用加速提高算法效率数值方法，并分析它们的异同。
12． 代数精度讨论引入代数精度概念的目的和意义。
13． 求大区间积分的数值方法设计一种方法求解积分dx eI x⎰-=20002的数值方法，并分析它的可行性14． 椭圆数值积分已知椭圆的周长可以表示成)(cos 1012022<<+=⎰ρθθρπd a s ，取a=1，（1） 针对ρ从0.1到0.9（步长h=0.1）分别求出周长s ；（用Romberg 积分方法） （2） 对于以上数据，求出s 关于ρ的插值多项式；（3） 对于（1）中数据，试用最小二乘的思想求作拟合多项式（要求是偶次），并对这些多项式的优劣进行比较。
数值分析课程课程设计
课程 设 计设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师设 计 题 目共15题如下成绩数值分析课程设计1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题:14(1)5k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5x p =-所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解151,4k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4）MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p), break end enddisp([x,p])1．2 设，15nn x I dx x=+⎰ （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：115(1,2,20)n n I I n n-=-+=计算机从1I 到20I 的近似值；（2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：111(30,29,,3,2)55n n I I n n-=-+=计算从1I 到20I 的近似值；解：首先第一步，估计0I 和30I 的值：syms x n;int (x^0/(5+x),0,1) ans=log(2)+log(3)-log(5) eval(ans) ans= 0.1823则取0I 为0.18 syms x n;int(x^30/(5+x),0,1) ans =931322574615478515625*log(2)+931322574615478515625*log(3)-931322574615478515625*log(5)-79095966183067699902965545527073/465817912560 eval(ans) ans = 0MATLAB 中小数点后保留四位，由上面计算知道积分的值不为了零。
数值分析课程设计报告题目
课程设计1〔三个人，用不同方法〕土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数〔如宽度，深度，渠道内壁光滑度〕及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH 〔1.1〕其中Q 是水的流量〔s m /3〕，U 是流速〔s m /〕，H 是水的深度〔m 〕。
在水工学中应用的有关流速的公式是3/23/22/1)2()(1H B BH S n U += 〔1.2〕这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把〔1.2〕代入〔1.1〕就得到3/23/52/1)2()(1H B BH S n U += 〔1.3〕为了不同的工业目的〔比方说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量的水〕，需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。
这样，就需要求解0)2()(1)(3/23/52/1=-+=Q H B BH S n H f 〔1.4〕一个具体的案例是s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====求出渠道中水的深度H 。
所涉及的知识——非线性方程解法。
课程设计2〔三个人，用不同方法〕在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进展的两种可逆反响CD A CB A ⇔+⇔+2其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。
反响到达平衡是有如下的平衡关系：d a cba c C C C k C C C k ==221 , 其中2241107.3 ,104--⨯=⨯=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。
假定反响开场时各种物质的浓度为：10 ,5 ,20 ,500,0,0,0,====d c b a C C C C而且反响到达平衡时，由第一和第二种反响生成的C 物质浓度分别为21,x x ，于是平衡时21,x x 满足的方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=--++=))((,)()2(20,20,210,210,210,210,1x C x C x x C k x C x C x x C k d a c b a c 用不同的数值方法求解上述方程。
数值分析课程设计
数值分析课程设计一、题目描述在本次数值分析课程设计中，我们需要实现下列内容：给定一个函数f(x)，任取一个初值x0，使用牛顿法求出f(x)=0的一个根。
二、算法实现在数值计算中，牛顿法(Newton’s method) 是一种迭代算法，可以快速地求解方程的数值解，对于一般的实数函数，牛顿法可以用来求方程f(x)=0的根。
设x n是f(x)的根的一个近似值，y=f(x n)是对应的函数值，则用f(x)的一阶泰勒展开式$$ f(x) \\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n) $$且令上式等于零，得到牛顿迭代公式：$$ x_{n+1}=x_n-\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$若x0是f(x)的一个根的初始近似值，则$$ x_{n+1}=x_n-\\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \\ n=0,1,2,\\cdots $$是迭代序列，如果 $\\lim\\limits_{n\\rightarrow \\infty}x_n=\\alpha$，且 $f(\\alpha)=0$，则 $\\alpha$ 是方程的一个根。
三、实验步骤1.确定初始值x0，计算f(x0)和f′(x0)。
2.按照牛顿法迭代公式计算x n+1。
3.如果满足指定的条件，则停止迭代，并输出x n+1。
4.否则，返回第二步迭代计算x n+2，直至满足指定的条件。
四、实验代码def newton_method(f, df, x0, eps=1e-8, max_iter=1000):'''利用牛顿法求解非线性方程f(x)=0的根。
:param f: 函数:param df: 导函数:param x0: 初值:param eps: 容差:param max_iter: 最大迭代次数:return:近似解'''n =1while True:x1 = x0 - f(x0) / df(x0)if abs(x1 - x0) < eps or n > max_iter:return x1x0 = x1n +=1五、实验结果我们使用上述实现的牛顿法来解决如下问题：$$ f(x) = x^2-3, \\ x_0=2 $$则f′(x)=2x。
数值分析课程设计--三次样条插值
《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。
二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。
(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。
(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。
三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月三次样条插值摘 要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
(完整word版)数值分析课程设计含代码
成绩评定表学生姓名班级学号专业信息与计算课程设计题目数值分析算法案科学例评语组长签字：成绩日期20年月日课程设计任务书学院理学院专业信息与计算科学学生姓名班级学号课程设计题目数值分析算法案例实践教学要求与任务 :要求：格式以学校毕业论文格式要求为准，不准粘贴图片，尤其公式。
对每个试验，要求有：实验基本原理，实验目的，实验内容及数据来源和实验结论。
以班级为单位统一装订封皮。
6 月 25 日，十八周的周二交论文每人至少四个实验，最少15 页任务（实验项目）：线性方程组数值解法参考题目：（ 1) 列主元 Gauss 消去法（ 2） LU 分解法插值法和数据拟合参考题目：（ 1） Lagrange 插值（ 2） Newton 插值（ 3）最小二乘拟合数值积分参考题目：（1）复化Simpon积分（2）变步长的梯形积分公式（3）龙贝格求积公式常微分方程数值解Runge-Kutta 方法数值方法实际应用用数值方法解决实际问题（自选）工作计划与进度安排:线性方程组数值解法（4 学时）插值法和数据拟合（4 学时）数值积分（4 学时）常微分方程数值解（4 学时）数值方法实际应用（4 学时）答辩（4 学时）指导教师：专业负责人：学院教学副院长：201年月日201年月日201年月日实验方法与理论方法是推动科学技术发展的两大基本方法，但有局限性。
许多研究对象，由于空间或时间的限制，既不可能用理论精确描述，也不能用实验手段实现。
数值模拟或称为科学计算突破了实验和理论科学的局限，在科技发展中起到越来越重要的作用。
可以认为，科学计算已于实验、理论一起成为科学方法上不可或缺的三个主要手段。
计算数学的研究是科学计算的主要组成部分，而数值分析则是计算数学的核心。
数值计算是研究使用计算机来解决各种数学问题的近似计算方法与理论，其任务是提供在计算机上可解的、理论可靠的、计算复杂性低的各种常用算法。
数值分析的主要内容：1）、数值代数：求解线性和非线性方程组的解，分直接方法和间接方法两大类；2）、插值、曲线拟合和数值逼近；3）、数值微分和数值积分；4）、常微分和偏微分方程数值解法。
数值分析课程设计题目
课程设计1（三个人，用不同方法） 土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1）其中Q 是水的流量（s m /3），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。
在水工学中应用的有关流速的公式是3/23/22/1)2()(1H B BH S n U += （1.2）这里n 是M a nnin g 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把（1.2）代入（1.1）就得到3/23/52/1)2()(1H B BH S n U += （1.3）为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。
这样，就需要求解0)2()(1)(3/23/52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4）一个具体的案例是s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====求出渠道中水的深度H 。
所涉及的知识——非线性方程解法。
课程设计2 （三个人，用不同方法） 在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应CD A CB A ⇔+⇔+2其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。
反应达到平衡是有如下的平衡关系：d a cba c C C C k C C C k ==221 , 其中称为平2241107.3 ,104--⨯=⨯=k k 衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。
数据分析课程设计题目
数据分析课程设计题目一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数据分析的基本概念，理解数据收集、处理、分析和解释的一般过程。
2. 使学生能够运用基本的统计方法对数据集进行描述性统计分析，包括计算平均数、中位数、众数、方差等。
3. 培养学生运用图表（如条形图、折线图、饼图等）对数据进行可视化展示的能力，并能够从图表中提取信息。
技能目标：1. 培养学生运用电子表格软件进行数据处理和分析的能力。
2. 让学生通过实际案例，掌握数据分析解决问题的步骤，包括提出问题、设计分析方案、执行分析和得出结论。
3. 培养学生将数据分析结果转化为实际建议或决策的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对于数据的敏感性，认识到数据分析在日常生活和学习中的重要性。
2. 激发学生主动探索数据背后故事的兴趣，发展学生的逻辑思维和创新思维。
3. 引导学生正确理解和使用数据分析结果，培养负责任的数字公民意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求：本课程针对的是高年级学生，他们在数学和逻辑思维方面具备一定的基础。
课程性质偏重于实践和应用，通过实际案例的分析，使学生在掌握数据分析基本技能的同时，增强解决问题的能力。
教学要求注重学生的参与和互动，鼓励学生通过小组讨论和项目实践来提升数据分析技能，同时强调在学习过程中培养积极的学习态度和正确的价值观。
通过具体的学习成果分解，确保学生能够在课程结束后，达到预设的知识、技能和情感态度价值观目标。
二、教学内容1. 数据收集与整理- 教材章节：第三章 数据的收集与整理- 内容：介绍数据收集的途径、方法和注意事项；数据的分类和排序；数据清洗的基本概念。
2. 描述性统计分析- 教材章节：第四章 描述性统计分析- 内容：讲解平均数、中位数、众数的计算方法及应用；介绍方差、标准差的意义和计算。
3. 数据可视化- 教材章节：第五章 数据可视化- 内容：学习条形图、折线图、饼图等常见图表的制作方法；图表在数据分析中的应用。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
2016级数值分析课程设计选题
一、必选题 水塔流量问题 二、自选题目1、某厂房容积为45156m m m ⨯⨯，经测定，空气中含有0.2%的二氧化碳。
开动通风设备，以3360/m s 的速度输入含有0.05%的二氧化碳的新鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气。
求30min 后室内二氧化碳的百分比。
（1）给出该问题的方程，并求出精确解。
（2）用Euler 法、改进Euler 法及四阶经典Runge-kutta 求出近似解，取步长110h =（步长取30min 的110h =） （3）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。
注：2-6 用到将要学的偏微分方程数值解，可到图书馆借书。
） 2、已知椭圆方程第一初值问题：222sin ,01(0)(1)0d uu x x dxu u ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）求出精确解。
（2）建立方程的中心差分格式，取步长120h =。
（3）用Jacobi 迭代，Gauss-Seidel 迭代，SOR 迭代求解差分方程。
（4）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。
3、求抛物方程的初边值问题的解：22,01,0(,0)sin ,01(0,)(1,)0,u u x t t x u x x x u t u t t π∂∂=<<>∂∂=<<==> 其精确解为2sin t u e x ππ-=。
（1）建立向前差分格式，计算方案为：1) 11,10100h τ==; 2) 11,1050h τ== 计算到时间层100t 。
比较两种结果的差异，并说明原因。
（2）建立向后差分格式，用列主元消元法求解，计算方案为： 11,20200h τ==; 计算到时间层100t 。
4、求下列波动方程的初边值问题的解：2222,01,0(,0)sin ,cos ,01(0,)(1,)0,0u ux t t x uu x x x x tu t u t t ππ∂∂=<<>∂∂∂==<<∂==> （精确解为sin ()sin ()u x t x t ππ=-++）建立波动方程的显格式，并计算出近似解。
12级数值分析课程设计
数值分析课程设计题目与要求（12级应数及创新班）[设计题一]编写顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函数，再分别调用这两个函数求解下面的84阶方程组：= ，然后考虑将方程组的阶数取为10至100之间多个值进行求解。
将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。
从“快”、“准”、“省”三个方面分析以上两个算法，试提出改进的算法并加以实现和验证。
[设计题二]编写平方根法和改进的平方根法（参见教材《计算方法》P54的例题2.5）的函数，然后分别调用这两个函数求解对称正定方程组Ax=b，其中A和b分别为：（1）系数矩阵A为矩阵（阶数取为10至100之间多个值）:，向量b随机地选取；（2）系数矩阵A为Hilbert矩阵（阶数取为5至40之间多个值），即A的第i行第j列元素，向量b的第i个分量取为。
将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。
若出现问题，分析其原因，提出改进的设想并尝试实现之。
对于迭代法 ,......)2,1,0(99.021=-=+k x x x k k k ， 它显然有不动点0*=x 。
试设计2个数值实验得到收敛阶数的大概数值（不利用判定收敛阶的判据定理）：（1） 直接用收敛阶的定义； （2） 用最小二乘拟合的方法。
[设计题四]湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。
这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
如果把水温T 看成深度x 的函数T(x),有某个湖的观测数据如下：环境工程师希望：1） 用三次样条插值求出T(x)。
2） 求在什么深度处dx dT 的绝对值达到最大（ 即022=dxTd ）。
[设计题五]某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出:．．．值y 及一阶、二阶导数值y ’，y ”。
绘出模拟曲线的图形。
给定初值问题其精确解为 ，分别按下列方案求它在节点处的数值解及误差。
比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。
《数值分析》课程设计
问题的提出3.3 用SOR 方法解下列方程组（去松弛因子w=1.2），要求14||||10k k X X +-∞-<。
12142145x x x x +=⎧⎨-=⎩ 3.4 设 411011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算()cond A ∞。
3.5 用选列主元Gauss 消元法求解方程组12312312334721320x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩3.6 用追赶法解三对角方程组12345210001121000012100001210000120x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3.7 用三角分解法解方程组123248541816862207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.8 用选主元消元法计算下列行列式126324951。
一、问题分析1. 超松弛法是迭代方法的一种加速方法，其计算公式简单，但需要选择合适的松弛因子，以保证迭代过程有较快的收敛速度。
2. A 的条件数计算首先要获得A 的逆，而求A 的逆可以转化为求n 个方程组。
3. 完全主元消元法在计算过程中花费了大量的时间用于寻找主元。
同时，各变量的位置在消元过程中也可能会发生变化。
而列选主元法则可消除这个弊病。
4. 追赶法主要是解三对角方程组。
所谓追指消元过程，赶指回代过程。
5. Gauss 消元法是通过逐步消元过程，将方程组的系数矩阵A 转变为一个上三角矩阵。
三角分解法，就是把系数矩阵分解为两个三角阵。
6.将某一向量坐标同乘以某非零实数，加到另一向量上，行列式的值不变。
用选主元法将行列式矩阵变为三角阵，对角线上的数值相乘即为行列式的值。
二、编程解决3.3Sor法c语言编程：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define omega 1.2 //取值不合适结果可能发散void main(){double a[5][5];double b[5],x[5],f,t,y[5]={0,0,0,0,0};int i,j,n,cnt=0;printf("阶数:");scanf("%d",&n);printf("请输入%d阶的A矩阵\n",n);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);printf("请输入B矩阵\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);printf("count\t");for(i=0;i<n;i++)printf("x[%d]\t\t",i);printf("收敛程度\n");do{for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];for(i=0;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<n;j++)t=t+a[i][j]*(j<i?y[j]:x[j]);y[i]=x[i]+omega*(b[i]-t)/a[i][i];printf("%d",cnt++);for(i=0;i<n;i++)printf("\t%lf",x[i]);f=0;for(i=0;i<n;i++)f+=fabs(y[i]-x[i]);printf("\t%g\n",f);}while(f>1e-4 && cnt<100);}所得结果：3.4 求逆、算条件数编程：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define N 5 //可修改，以改变可解决的最大维数。
数值分析课程设计--最速下降法
课程设计报告课程名称数值分析课题名称最速下降法专业信息与计算科学班级学号姓名指导教师2013年1月日一、设计内容与设计要求 1．）设计内容： 用最速下降法求最优解：给定初始点t x )0.6,5.7,5.1(0=2．设计要求：● 课程设计报告正文内容a. 问题的描述及算法设计；b. 算法的流程图（要求画出模块图）；c. 算法的理论依据及其推导；d. 相关的数值结果（通过程序调试)，；e. 数值计算结果的分析；f. 附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。
● 书写格式a ．要求用A4纸打印成册b ．正文格式：一级标题用3号黑体,二级标题用四号宋体加粗,正文用小四号宋体;行距为22。
c ．正文的内容:正文总字数要求在3000字左右（不含程序原代码）。
d ．封面格式如下页。
● 考核方式指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神和设计报告等进行综合考评，并按优秀、良好、中等、及格和不及格五个等级给出每位同学的课程设计成绩。
具体考核标准包含以下几个部分：a ．平时出勤 （占10%）b ．系统需求分析、功能设计、数据结构设计及程序总体结构合理与否（占10%）c ．程序能否完整、准确地运行，个人能否独立、熟练地调试程序（占40%）d ．设计报告（占30%）注意：不得抄袭他人的报告（或给他人抄袭），一旦发现，成绩为零分。
e．独立完成情况（占10%）。
课程验收要求a．判定算法设计的合理性，运行相关程序，获得正确的数值结果。
b．回答有关问题。
c．提交课程设计报告。
d．提交软盘（源程序、设计报告文档）。
e．依内容的创新程度，完善程序情况及对程序讲解情况打分。
三、进度安排1、班级：信息与计算科学：1101、1102、11032、主讲教师：3、辅导教师：上机时间安排：第17教学周（课程设计算法设计）星期一：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404星期二：10:10---11:50 15:20---17:30 1--A--404星期三：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404星期四：8:10---10:50 14:10---17:30 1--A--404星期五：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404第18教学周（课程设计算法设计与实现、报告撰写）星期一：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404星期二：10:10---11:50 15:20---17:30 1--A--404星期三：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404星期四：8:10---10:50 14:10---17:30 1--A--404星期五：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404课程设计算法设计答辩与报告提交、成绩评定星期六：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404星期日：8:10---11:50 14:10---17:30 1--A--404注：由于系部机房已排满，故采用在教学楼教室，学生自带手提电脑进行本课程设计。
长沙理工大学数值分析习题集及答案
数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a xa x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ 及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析试题
数值分析试题一、选择题1.数值分析的目的是：– A. 提供数值计算的方法和技巧– B. 解决数值计算中的实际问题– C. 研究数值计算的理论基础– D. 分析和验证已有的数值计算方法2.数值分析中的舍入误差是由以下哪个原因引起的？– A. 人为输入错误– B. 计算机运算精度限制– C. 近似计算方法的局限性– D. 数值计算方法的选择问题3.在数值分析中，下面哪个方法适用于求解非线性方程的根？– A. 二分法– B. 直接法– C. 迭代法– D. 插值法4.数值逼近的基本思想是：– A. 将数值计算转化为代数运算– B. 通过逼近函数来计算数值– C. 求解数值问题的方法– D. 对数值计算进行近似处理5.下列哪个方法不属于数值微分的计算方法？– A. 差商法– B. 导数法– C. 插值法– D. 积分法二、判断题1.数值方法与符号计算方法是相互独立的。
–正确 / 错误2.数值计算方法可以得到精确的数值解。
–正确 / 错误3.数值分析只研究数值计算的精确性，不关注计算效率。
–正确 / 错误4.数值积分是求解定积分近似值的方法。
–正确 / 错误5.数值微分是求解函数导数的近似值的方法。
–正确 / 错误三、简答题1.解释数值分析的基本原理及其应用。
2.什么是舍入误差？其产生的原因有哪些？3.简述求解非线性方程根的迭代法的基本思想。
4.数值逼近的方法有哪些？各自的优缺点是什么？5.分析数值微分方法的优缺点，并举例说明其应用场景。
四、计算题1.使用二分法求方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 的一个实根，给出计算过程和结果。
2.使用差分法求函数 f(x) = x^2 在点 x = 1 处的一阶导数近似值，给出计算过程和结果。
3.使用拉格朗日插值法在已知数据点 (0, 0), (1, 1), (2, 4) 的基础上，求出 f(x) = x^2 的一个三次插值多项式，并计算插值多项式在 x = 1.5 处的近似值。
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《数值分析》课程设计
本课程设计的内容为：每个小组的同学均应完成以下五个案例； 目标：能将数值分析课程中所学的算法知识熟练应用于实际问题中。
案例1
土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1）
其中Q 是水的流量（s m /3
），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。
在水工学中应用的有关流速的公式是
3
/23
/22/1)2()(1H B BH S
n U += （1.2）
这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠
的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把（1.2）代入（1.1）就得到
3
/23
/52/1)2()(1H B BH S
n U += （1.3）
为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量
的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。
这样，就需要求解
0)
2()(1)(3
/23
/52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4）
一个具体的案例是
s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====
求出渠道中水的深度H 。
所涉及的知识——非线性方程解法。
案例2
在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应
C
D A C
B A ⇔+⇔+2
其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。
反应达到平衡是有如下的平衡关系：
d a c
b
a c C C C k C C C k ==
22
1 , 其中2
24
1107.3 ,104--⨯=⨯=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。
假定反应开始时各种物质的浓度为：
10 ,5 ,20 ,500,0,0,0,====d c b a C C C C
而且反应达到平衡时，由第一和第二种反应生成的C 物质浓度分别为21,x x ，于是平衡时
21,x x 满足的方程为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
--++=
--++=))((,)()2(20,20,2
10,210,2
10,210,1x C x C x x C k x C x C x x C k d a c b a c 用不同的数值方法求解上述方程。
所涉及的知识——非线性方程组解法。
案例3
湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。
这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
如果把水温看成
环境工程师希望：
1） 用样条插值求出 T(x).
2） 求在什么深度处dx dT 达到最大（即02
2=dx
T
d ） 所涉及的知识——插值、数值微分。
案例4
在排污管道设计中，工程师关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。
对于圆截面管道这些量之间有如下经验公式：
21αααS D Q =
其中Q 代表流量（s m
/3
），S 代表管道坡度（m/m ），D 代表圆管直径（m ），21,,ααα是三个通过实验测定的经验参数。
用适当的数值方法求出21,,ααα
所涉及的知识——最小二乘拟合。
案例5
在研究建筑物通过地板散失热量时，我们需要计算建筑物下方地基中的温度变化。
假设建筑物是圆形的，其半径r=2m （如图所示）
假定： i) 室内温度恒定保持在25°C 。
ii) 室外离开建筑物2m 以外（即R≥4m ）地基温度不受室内温度影响。
iii) 地层4m 一下温度保持为10°C 。
iv) 室外地表温度随昼夜温度变化而变化，其变化规律为
)24/2cos(1010t T outer π+=
（12.1）
时间单位为小时。
我们再假设，地基是由均匀的黄土组成，其物性参数是 密度
3/880m kg =ρ 导热系数 C s m J k o ⋅⋅=/94.0
比热 C kg kJ c o ⋅=/17.1
我们要研究的是半径R=4m ，高度H=4m 的一块柱形地基中的温度变化问题。
由于几何上的对称性，我们可以沿对称轴做一个垂直剖面，并建立坐标系（如图所示） 在地基内P 温度应当满足柱坐标下的热传导方程
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222
21z T r T r r
T a t T （12.2）
其中 ρ
c k a =
2
边界条件为
z
⎩⎨
⎧≤≤+≤=4
2 ),24/ 2cos(10102
,25),0,(r t r t r T π （12.3）
C t r T o 10),4,(= （12.4）
根据地层传热学中的傅立叶定律可以得知
24240,2cos 12exp 10),,4(22πωωωω=≤≤⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其中•z t x a z a t z T 因为随着时间的流逝，在开始一瞬间)0,,(z r T 对后来温度变化的影响逐渐消失，所以
)0,,(z r T 可以任意假设，不妨设其为10°C 。
值得指出的是我们需要知道的是足够长的时间之后（t≥T ），24小时地基温度的变化和由建
筑物内P 流失到地层中的热量。
所涉及的知识——数值微分，线性方程组求解，数值积分。
案例6
数值分析课程中一类算法的可视化设计
包括插值或数值微分，积分或解线性方程组或非线性方程的求根或常微分方程的数值解法。