2019年高考数学第一轮复习:极坐标与参数方程
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高考数学第一轮复习:极坐标与参数方程
第一部分:极坐标知识点讲解
一、极坐标系与极坐标:
1、极坐标系:
如下图所示:一条射线就是一个极坐标系。
其中射线的端点叫做极点,这条射线叫做极轴。
2、极坐标的表示:
如下图所示:
点到极点的距离叫做极径,其中极径用字母ρ表示;极径与极轴之间的夹角叫做极角,极角用θ表示。点P的极坐标为)
,
(θ
ρ。
二、极坐标与直角坐标的转换:
1、极坐标与直角坐标的对应关系:
如下图所示:
2、极坐标转换为直角坐标:
θ
ρcos
=
x;
θ
ρsin
=
y;
例一:把下列的极坐标转换为直角坐标。
(1)、)3,2(π (2)、)32,3(π (3)、)2,4(π (4)、)23,3(π
(5)、),4(π
【解析】:(1)、12
1
23
cos
2=⨯
=⋅=π
x ;32323sin 2=⨯
=⋅=πy ; 所以:极坐标)3,2(π
转换为直角坐标)3,1(。
(2)、2
3
)21(332cos
3-=-⨯=⋅=πx ;23323332sin 3=⨯=⋅=πy ; 所以:极坐标)3
2,
3(π
转换为直角坐标)233,23(-。 (3)、因为:极角2π
θ=
;所以:点)2,4(π
在y 轴正半轴上,对应的直角坐标为)4,0(; (4)、因为:极角23πθ=;所以:点)23,3(π
在y 轴负半轴上,对应的直角坐标为)3,0(-;
(5)、因为:极角),4(π;所以:点),4(π在x 轴的负半轴上,对应的直角坐标为)0,4(-; 3、直角坐标转换为极坐标坐标: 22y x +=ρ;
2
2
sin y x y +=
θ;
2
2
cos y
x x +=θ;
x
y
=
θtan 例二:把下列的直角坐标转换为极坐标。
(1)、)3,3( (2)、)3,1(- (3)、)2,2(- (4)、)2,6(- (5)、)0,2(- (6)、)6,0( (7)、)3,0(- (8)、)0,2(
【解析】:(1)、32)3(322=+=ρ,33tan =
θ,点)3,3(为第一象限角,6
π
θ=。 所以:直角坐标)3,3(对应的极坐标为)6,32(π
。 (2)、2)3()1(22=+-=ρ,tan =
θ)3,1(-为第二象限角,3
2πθ=。 所以:直角坐标)3,1(-
(3)、222)2(22=+-=ρ,12
2
tan -=-=
θ,点)2,2(-为第二象限角,43πθ=。 所以:直角坐标)2,2(-对应的极坐标为)4
3,22(π
。
(4)、22)2()6(22=-+=ρ,33
6
2tan -
=-=
θ,点)2,6(-为第四象限角,6πθ-=。 所以:直角坐标)2,6(-对应的极坐标为)6
,22(π
-。
(5)、20)2(22=+-=ρ,点)0,2(-在x 轴的负半轴上,πθ=。 所以:直角坐标)0,2(-对应的极坐标为),2(π。
(6)、66022=+=ρ,点)6,0(在y 轴的正半轴上,2
π
θ=
。
所以:直角坐标)6,0(对应的极坐标为)2
,6(π
。
(7)、3)3(022=-+=ρ,点)3,0(-在y 轴的负半轴上,2
π
θ-
=。
所以:直角坐标)3,0(-对应的极坐标为)2
,3(π
- 。 (8)、20222=+=ρ,点)0,2(在x 轴的正半轴上,0=θ。 所以:直角坐标)0,2(对应的极坐标为)0,2(。 三、常见的极坐标方程。 1、直线的极坐标方程。 第一类:直线的极坐标方程。 αρ=(α为一个具体的角度)
。 例一:把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。 (1)、3
π
θ=
(2)、65πθ=
(3)、4πθ-= (4)、6
7π
θ= 【解析】:(1)、如下图所示:
33
tan
tan ===π
θk ;所以:直线的方程为x y 3=(0≥x )
(2)、如下图所示:
3365tan
-==πk ;所以:直线的方程为)0(3
3≤-=x x y (3)、如下图所示:
1)4
tan(-=-=π
k ;所以:直线的方程为x y -=(0≥x ) (4)、如下图所示:
3367tan
==πk ;所以:直线的方程为x y 3
3=(0≤x ) 第二类:直线的极坐标方程。
b a =+)cos(ϕθρ或者b a =+)sin(ϕθρ(其中b a ,是常数,ϕ是一个具体的角度)
例二:把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。
(1)、5)3cos(2=-πθρ (2)、2)6
sin(3=--π
θρ