2019年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题56参数方程(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ，就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ，(θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ，(θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ，(θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2，(t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α，(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝2t1＋t2；(2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：y ＝t －a x ＝t ，(t 为参数)过椭圆C ：y ＝2sin φx ＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为9x2＋4y2＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：4x2＋9y2＝1，直线l ：y ＝2－2t x ＝2＋t ，(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如y ＝y0＋bt x ＝x0＋at ，(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为6π.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为y ＝sin θx ＝1＋cos θ，(θ为参数). 直线l 的参数方程为t 1(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(m －)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋或m ＝1－.高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝sin α3cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 4π＝2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.的距离d (α)的最小值.d (α)＝23cos α＋sin α－4|＝－2π，当且仅当α＝2k π＋6π(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为21.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程y ＝sin φx ＝1＋cos φ，(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM ：θ＝3π与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
高考数学一轮复习 12.2极坐标与参数方程课件
x y
(θa为c o参s θ数, ),
b sin θ
双曲线 x
a
2 2
-y 2
b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为
x y
(φa为s e参c φ数, ),
b tan φ
抛物线y2=2px的参数方程为
x
(t为2 p参t 2 ,数).
y 2 pt
完整版ppt
7
1.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,- 3).若以原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是 ( )
ρ2 cos
θ=1.
4
(2)由ρsin
θ
=61,得
ρsin θ·cos -ρcos θ·sin =1,
6
6
∴直线的直角坐标方程为 1 x- 3 y+1=0,
22
又点
2
,
的6 直角坐标为(
,1),3
| 3 3 1|
∴点到直线的距离d= 2 =12.
完整版ppt
3
x
ρ
c
o
s
θ
,
ρ
2
x2
y2,
y
ρ
s
in
θ
,
t
an
θ
y x
(x
0).
(3)直线的极坐标方程:若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,
则它的方程为ρsin(θ-α)=⑥ ρ0sin(θ0-α) .
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(i)直线过极点:θ=θ0和θ=⑦ π-θ0 ;
完整版ppt
2
ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序 数对④ (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取⑤ 相同 的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极 坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
极坐标和参数方程-一轮复习
教学内容【知识结构】知识点一：极坐标1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。
3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。
（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
2019届高考数学一轮复习 选考4-4 坐标系与参数方程课件 文
的倾斜角的余弦值为( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
[解析] 由yx＝＝21－＋43tt， (t 为参数)得直线方程为 4x＋3y－10 ＝0，且斜率为 k＝－43，令直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα＝－43， 所以 cosα＝－35.
[答案] D
3 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 (1,0) 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 方 程 是
＝4cosαsinα－π3 ＝2|cosαsinα－ 3cos2α|
＝212sin2α－
3c2os2α－
3 2
＝2sin2α－π3－ 23≤2＋ 3.
当 α＝－1π2时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
极坐标方程与直角坐标方程互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ 或同时平方技巧，将极坐标 方程构造成含有 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，然后利用公式代入化 简得到直角坐标方程． (2)巧借两角和差公式，转化 ρsin(θ±α)或 ρ＝cos(θ±α)的结构 形式，进而利用互化公式得到直角坐标方程． (3)将直角坐标方程中的 x 转化为 ρcosθ，将 y 换成 ρsinθ，即 可得到其极坐标方程．
选
修
坐标系与参数方程
4-4
高考概览 1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标 系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表 示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当 的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
一轮复习课 11.1极坐标与参数方程2
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a cos b sin
(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化
考点二：了解参数方程和参数的意义．
考点三：能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程及极坐标方程
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其 中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。
考点四：能给出简单图形（如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程
1．直接求解
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
2．由极坐标求最值
例3．（2009大丰市）已知A是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线 ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
分析：可以把极坐标方程转化为普通方程， 再结合图形解答问题。
本课的重点：（1）参数方程与 普通方程的互化；一般要求是把参数 方程化为普通方程；较高要求是利用 设参求曲线的轨迹方程或研究某些最 值问题；（2）极坐标与直角坐标的 互化。
2019年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)
2019年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）1、（2019年高考XX 卷理）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+=（B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-=（D ）θρin s 56-= 【答案】D考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.2、（2019年高考卷理）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 【答案】2考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝以与，，同时要掌握必要的技巧.cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =θρθρsin ,cos ==y x θρθρsin ,cos ==y x 22y x +=ρ)0(tan ≠=x xyθ3、（2019年高考XX 卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】167考点：直线与椭圆参数方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 与y 的取值范围的影响．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1⑵24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式与应用.5、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1试题解析：⑴cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程 ⑵24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式与应用.6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）153±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.7、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==，所以l 的斜率为3或3-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值与此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉与椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值与此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉与椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．。
极坐标与参数方程课件——高三数学一轮复习
t为参数
，代
入(y－2)2－x2＝1，得 7t2＋12t－5＝0.
12
5
∴t1＋t2＝－ 7 ，t1t2＝－ 7 .
2
∴|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 7 71. (2)P 点直角坐标为(－2，2)，线段 AB 中点对应的参数值为t1＋2 t2，
二、破解难点：参数方程与普通方程的互化 ． 三、廓清疑点：参数方程的应用．
<2>（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐 标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．
（2）参数思想、转化思想 ． （3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循
环上升．
当堂检测：
1.极坐标方程 ρ＝sinθ＋cosθ 表示的曲线是( A )
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
13
· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）
x y
x0 y0
t cos t sin
(t是 参 数 ）
O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t 2
（2）若M是AB的中点，M对应的参数
3
.
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，
①求点 P 到 A、B 两点的距离之积；② A、B 之间的距离。
1 P的直角坐标 1,1
l的参数方程
x
1
1 2
y=1+
3
2
t t
t为参数
2 C的直角坐标方程
(福建专用)2019高考数学一轮复习-坐标系与参数方程课件 理 新人教A版
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3
求平面图形面积的最值
关闭
(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
4
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ
.
1=
例3(2017全国Ⅱ,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x
cos
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.
2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴
重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可
以互化.
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练 2(2017 安徽淮南一模)在平面直角坐标中,以坐标原点
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方
√2
关闭
= -2 + 2 ,
θ(a>0)可得 ρl 的参数方程为θ.所以曲线 C 的普通方
程为 ρsin θ=2acos θ(a>0),直线
(t 为参
√2
= -4 + 2
程为 y2=2ax;
(1)由 ρsin22θ=2acos
2sin2θ=2aρcos
√2
数),直线 l 与曲线 C 相交于
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.(
)
(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程
.(
)
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2019版高考数学(理科A版)一轮复习第十五章 坐标系与参数方程
程分别为cos θ+2sin θ=0,ρ2= cos2θ 4sin2θ . (1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程; (2)若点Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.
解题导引
解析 (1)cos θ+2sin θ=0⇒ρcos θ+2ρsin θ=0⇒x+2y=0.
ρ2= ⇒ρ42cos2θ+4ρ2sin2θ=4⇒x2+4y2=4⇒ +y2=1. x2
sin θ)- 2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解题导引
解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方
程l2:y=
1 k
(x+2).
设P(x,y),由题设得
y y
k(x 2), 1 (x 2). k
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
例2 (2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程
为
x y
2 kt
t
,
(t为参数),直线l2的参数方程为
x y
2 m k
m,
(m为参数).设l1与l2
的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+
(1)圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为ρ=R.
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2acos θ.
(3)圆心在点
a,
2
处且过极点O的圆的极坐标方程为⑤
ρ=2asin θ
全国版2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系课件
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
2 2 4 －
2 2 ＝4 3. 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
高三数学极坐标与参数方程一轮复习讲义
4
2
4
这就是点Q的轨迹方程．
化为直角坐标方程为(x 2 )2 ( y 2 )2 1 .
8
8 16
因此点Q的轨迹是以(1 ，3 )为圆心，1 为半径的圆．
44
4
7
直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提 若要判断曲线的形状;可先将极坐标方程化为 直角坐标方程;再判断 在直角坐标系中;求曲线 的轨迹方程的方法有直译法;定义法;动点转移 法 在极坐标系中;求曲线的极坐标方程;这几种 方法仍然是适用的
专题八 自选模块
1． 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化
1 互 化 的 前 提 ：
①极点与直角坐标系的原点重合；
② 极 轴 与 x轴 的 正 方 向 重 合 ； ③两种坐标系中取相同的长度单位．
2互
化
公
式
x
y
cos sin
2 ， t a n
x2 y2 y ,x
x
. 0
2 ．1 圆 心 在 ( x 0， y 0 )， 半 径 为 r的 圆 的 参 数 方 程 为 ：
5
1以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 ， 建 立 直 角
坐 标 系 ， 则 点 A的 直 角 坐 标 为 ( 2，0 )， 直 线 l的 直 角 坐 标 方
程 为 x y 2 m 0 .因 为 A到 直 线 l的 距 离 d |
1 m 3， 所 以 m 2.
8
【变式训练】(2011 5月名校创新试卷)如图，在极坐标系中，
已知曲线C1：
2cos (0
2
)，O1
1, 0，
C2：
4cos (0
2
)，O2
(福建专版)2019高考数学一轮复习课时规范练54坐标系与参数方程文
(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
{ (2)直线
l
的参数方程是
x y
= =
ttcsoisnαα,(t
为参数),l
与
C
交于
A,B
两点,|AB|=
10,求 l 的斜率.
高清试卷 下载可打印
高清试卷 下载可打印
{ 5.在直角坐标系
xOy
中,曲线
C1:
x y
= =
{ 25
x=1直线 l 的参数方程为
ttcsoisnαα,(t
为参数,t≠0),其中
0≤α<π.在以
O
为极点,x
轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.
〚导学号 24190956〛
为参数).直线
l
的普通方程为
2x+y-6=0.
5
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ+3sin θ-6|,
d
25
4
则|PA|=sin30° = 5 |5sin(θ+α)-6|,其中 α 为锐角,且 tan α=3.
高清试卷 下载可打印
高清试卷 下载可打印
高清试卷 下载可打印
{ 8.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
x
= y
=
3scionsαα,(α 为参数).以坐标原点为极点,以 x
( )π
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin θ + 4 =2 2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程第一部分：极坐标知识点讲解一、极坐标系与极坐标：1、极坐标系：如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。
其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。
2、极坐标的表示：如下图所示：点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角用θ表示。
点P的极坐标为),(θρ。
二、极坐标与直角坐标的转换：1、极坐标与直角坐标的对应关系：如下图所示：2、极坐标转换为直角坐标：θρcos=x；θρsin=y；例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。
（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)23,3(π（5）、),4(π【解析】：（1）、12123cos2=⨯=⋅=πx ；32323sin 2=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)3,2(π转换为直角坐标)3,1(。
（2）、23)21(332cos3-=-⨯=⋅=πx ；23323332sin 3=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)32,3(π转换为直角坐标)233,23(-。
（3）、因为：极角2πθ=；所以：点)2,4(π在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-；（5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ；22sin y x y +=θ；22cos yx x +=θ；xy=θtan 例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。
（1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2(【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，33tan =θ，点)3,3(为第一象限角，6πθ=。
所以：直角坐标)3,3(对应的极坐标为)6,32(π。
（2）、2)3()1(22=+-=ρ，tan =θ)3,1(-为第二象限角，32πθ=。
所以：直角坐标)3,1(-（3）、222)2(22=+-=ρ，122tan -=-=θ，点)2,2(-为第二象限角，43πθ=。
所以：直角坐标)2,2(-对应的极坐标为)43,22(π。
（4）、22)2()6(22=-+=ρ，3362tan -=-=θ，点)2,6(-为第四象限角，6πθ-=。
所以：直角坐标)2,6(-对应的极坐标为)6,22(π-。
（5）、20)2(22=+-=ρ，点)0,2(-在x 轴的负半轴上，πθ=。
所以：直角坐标)0,2(-对应的极坐标为),2(π。
（6）、66022=+=ρ，点)6,0(在y 轴的正半轴上，2πθ=。
所以：直角坐标)6,0(对应的极坐标为)2,6(π。
（7）、3)3(022=-+=ρ，点)3,0(-在y 轴的负半轴上，2πθ-=。
所以：直角坐标)3,0(-对应的极坐标为)2,3(π- 。
（8）、20222=+=ρ，点)0,2(在x 轴的正半轴上，0=θ。
所以：直角坐标)0,2(对应的极坐标为)0,2(。
三、常见的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程。
第一类：直线的极坐标方程。
αρ=（α为一个具体的角度）。
例一：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。
（1）、3πθ=（2）、65πθ=（3）、4πθ-= （4）、67πθ= 【解析】：（1）、如下图所示：33tantan ===πθk ；所以：直线的方程为x y 3=（0≥x ）（2）、如下图所示：3365tan-==πk ；所以：直线的方程为)0(33≤-=x x y （3）、如下图所示：1)4tan(-=-=πk ；所以：直线的方程为x y -=（0≥x ） （4）、如下图所示：3367tan==πk ；所以：直线的方程为x y 33=（0≤x ） 第二类：直线的极坐标方程。
b a =+)cos(ϕθρ或者b a =+)sin(ϕθρ（其中b a ,是常数，ϕ是一个具体的角度）例二：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。
（1）、5)3cos(2=-πθρ （2）、2)6sin(3=--πθρ（3）、2)4cos(-=+πθρ （4）、2)4sin(=+-πθρ 【解析】：（1）、5)sin 23cos 21(25)3sin sin 3cos (cos 25)3cos(2=+⇒=+⇒=-θθρπθπθρπθρ 535sin 3cos =+⇒=+⇒y x θρθρ。
（2）、2)cos 21sin 23(32)cos 6sin 6cos (sin 32)6sin(3=--⇒=--⇒=--θθρθππθρπθρ2232332cos 23sin 233=+-⇒=+-⇒x y θρθρ。
（3）、2)sin 22cos 22(2)4sin sin 4cos (cos 2)4cos(-=-⇒-=-⇒-=+θθρπθπθρπθρ 222222sin 22cos 22-=-⇒-=-⇒y x θρθρ。
（4）、2)cos 22sin 22(2)cos 4sin 4cos (sin 2)4sin(=+-⇒=+-⇒=+-θθρθππθρπθρ 222222cos 22sin 22=--⇒=--⇒x y θρθρ2、圆的极坐标方程。
第一类：圆的极坐标方程。
a =ρ（其中a 为常数）例三：把下列极坐标方程转换为直角方程。
（1）、2=ρ （2）、3=ρ （3）、1=ρ【解析】：（1）、442222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径2=r 。
（2）、993222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径3=r 。
（3）、111222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径1=r 。
第二类：圆的极坐标方程。
θρθρsin ,cos a a ==（其中a 为常数）例四：把下列极坐标方程转换为直角方程。
（1）、θρcos 2= （2）、θρsin 4-= （3）、θρsin 3= （4）、θρcos -=【解析】：（1）、1)1(022cos 2cos 22222222=+-⇒=-+⇒=+⇒=⇒=y x x y x x y x θρρθρ 圆心：)0,1(；半径1=r 。
（2）、4)2(044sin 4sin 42222222=++⇒=++⇒-=+⇒-=⇒-=y x y y x y y x θρρθρ 圆心：)2,0(-；半径2=r 。
（3）、49)23(033sin 3sin 32222222=-+⇒=-+⇒=+⇒=⇒=y x y y x y y x θρρθρ圆心：)23,0(；半径23=r 。
（4）、41)21(0cos cos 2222222=++⇒=++⇒-=+⇒-=⇒-=y x x y x x y x θρρθρ圆心：)0,21(-；半径21=r 。
第三类：圆的极坐标方程。
)cos(),sin(ϕθρϕθρ+=+=a a （其中ϕ,a 都是常数）例五：把下列极坐标方程转换为直角方程。
（1）、)3sin(2πθρ+= （2）、)6cos(4πθρ-=（3）、)4cos(2πθρ+-= （4）、)3sin(πθρ+-= 【解析】：（1）、)cos 3sin 3cos (sin 2)3sin(2)3sin(222θππθρρπθρρπθρ+=⇒+=⇒+=x y y x 3cos 3sin )cos 23sin 21(22222+=+⇒+=⇒+=⇒θρθρρθθρρ1)21()23(4143)21()23(03222222=-+-⇒+=-+-⇒=--+⇒y x y x x y y x 圆心：)21,23(；半径1=r ； （2）、)6sin sin 6cos (cos 4)6cos(4)6cos(422πθπθρρπθρρπθρ+=⇒-=⇒-= y x y x 232sin 2cos 32)sin 21cos 23(42222+=+⇒+=⇒+=⇒θρθρρθθρρ 4)1()3(13)1()3(023*******=-+-⇒+=-+-⇒=--+⇒y x y x y x y x圆心：)1,3(；半径：2=r ；（3）、)4sin sin 4cos (cos 2)4cos(2)4cos(222πθπθρρπθρρπθρ--=⇒+-=⇒+-=y x y x 22sin 2cos 2)sin 22cos 22(22222+-=+⇒+-=⇒--=⇒θρθρρθθρρ 1)22()22(2121)22()22(022222222=-++⇒+=-++⇒=-++⇒y x y x y x y x 圆心：)22,22(-；半径：1=r ； （4）、)cos 3sin 3cos (sin )3sin()3sin(22θππθρρπθρρπθρ+-=⇒+-=⇒+-=x y y x 2321cos 23sin 21)cos 23sin 21(2222--=+⇒--=⇒+-=⇒θρθρρθθρρ41)41()43(161163)41()43(023********=+++⇒+=+++⇒=+++⇒y x y x x y y x 圆心：)41,43(--；半径：21=r ； 第二部分：五年高考极坐标真题讲解例一：【2014年高考数学上海卷】已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθρ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【解析】：解法一：把极坐标方程转换为直角方程进行计算。
1431sin 4cos 31)sin 4cos 3(=-⇒=-⇒=-y x θρθρθθρ；因为：极坐标系中的极轴为x 轴的非负半轴；所以：直线143=-y x 与极轴的交点为)0,31(；利用两点之间距离公式得到：点)0,31(到极点)0,0(的距离为31)00()031(22=-+-=d 。
解法二：利用极坐标系之间计算。
因为：极坐标系中的点到极点的距离为极径ρ； 该点为极坐标方程与极轴的交点，该点的极角为0=θ； 所以：131)0sin 40cos 3(⇒=⇒=-ρρρ例二：【2014年高考数学广东卷】1C 和2C 的方程分别为θθρcos sin 2=和1sin =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 。
【解析】：解法一：把极坐标方程转换成直角坐标方程进行计算。
曲线1tan sin 1cos sin sin cos sin sin cos sin :21=⇒=⇒=⇒=θθρθθθρθθθρθθρC x y xy x y y =⇒=⇒=⋅⇒2211；曲线11sin :2=⇒=y C θρ； 联立曲线1C 和2C 的方程： x y =21=y解得：交点的坐标为)1,1(。