第10章2层板强度理论

图10-13双向等轴拉伸示意图
§10.3单层合板的强度理论
2 (F11 F22 2F12 ) cr (F1 F2 ) cr 1
（10.3.23）
代入式（10.3.21）的F11，F22，F1和F2，可得
1 1 1 1 1 1 2 F12 [ 1 ( ) ( ) cr cr ] （10.3.24） 2 2 cr X t X c Yt Yc X t X c YtYc 1
5．蔡-吴（Tsai-Wu）张量失效判据 单层的蔡-吴失效准则可表示如下：
2 2 2 F11 L F22 T 2F12 L T F66 LT F1 L F2T 1 （10.3.17）
1 1 1 1 1 1 1 式中 F11 F22 F66 2 F1 F2 6 12 Xt Xc YtYc S Xt Xc Yt Yc
§10.3单层合板的强度理论 单层板的强度理论
复合材料单层的基本强度是计算层合板强度的基础， 单层应力状态分析
单层的强度分析包括：
单层基本强度
单层的强度失效判据
第10章 层合板的宏观力学性能
§10.3.1 单层的基本强度 单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个基 本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的9个 工程常数。 §10.3.2 单层的强度失效准则 复合材料的强度失效判据的研究历史很长，其强度失效 的判据有多种不同的形式，这里主要介绍几种常用的失效判 据。 单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面 应力状态下是否失效的准则。
§10.3单层合板的强度理论
对式（10.3.18）和式（10.3.19）的两式分别联立求解，便可得 到蔡-吴张量失效判据的强度参数为
1 F22 YtYc 1 1 F1 Xt Xc 1 1 F2 Yt Yc F11 1 Xt Xc
§10.3单层合板的强度理论
§10.3.3强度失效判据的比较 验证强度失效列据准确性的最简单实验是偏离材料主方向的单 层拉伸实验，这种实验通常是采用单向合板条试件进行的，如 图10-14所示 由式（9-13）将Oxy坐标下的应力 转换成材料主方向OLT坐标下的应力， OX轴与OL轴的夹角为θ，则有
2 L cos 2 sin T x sin cos 14 偏离材料主方向的单层拉伸试验
§10.3单层合板的强度理论
假设破坏时单层偏离材料主方向的拉伸强度为Fx，表示为σx 的极限强度。对于最大应力失效判据，单层失效时的拉伸强度 Fx为θ的函数，由（10.3.33）可知可用三个式子表示，即
三个不等式相互独立。其中任何一个不等式不满足，就意味着 单层破坏。
§10.3单层合板的强度理论
2. 最大应变失效判据
单层最大应变失效判据认为，在复杂应力状态下，单层 材料方向的三个应变分量中，任何一个达到每方向基本强度对 应的极限应变时，单层失效。该失效判据的基本表达式为
Lc L Lt T c T T t LT LTs
(10.3.35)
也是由三条曲线组成，与式(10.3.34)不同的是第1式和第3 式计入了泊松比的影响，当单层泊松比较小时．这三条曲线 与式(10.3. 34)表示的三条曲线非常接近。
§10.3单层合板的强度理论
对于蔡-希尔失效判据，单层失效时的拉伸强度为
Fx 1 cos4 1 1 sin 4 2 2 ( 2 2 ) sin cos 2 X S X Y2
(10.3.10)
§10.3单层合板的强度理论
代入式（10.3.9），可得
2 L
X
2

L T
X
2

2 T
Y
2

2 LT
S
2
1
（10.3.11）
式（10.3.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据 综合了单层材料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破 坏的影响，尤其是记入了σLσT的相互作用，因此在工程中应用 较多。从式(10.3.11)的推导过程可知．蔡—希尔失效判据原则 上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是通常复合 材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式(10.3.11)中 的基本强度X和y与所受的正应力σL和σT一致。如果正应力σL 为拉伸应力时，则X取Xt，，若σL是压应力时，则X取Xc。
σcr称为单层板在材料主方向的双向等轴拉伸强度，所以强度参 数F12是基本强度和双向等轴拉伸强度的函数。
§10.3单层合板的强度理论
以上介绍了常用的五种复合材料单层的强度失效判据。需 要强调，这些失效判据必须在单层的材料主方向坐标系下的应 力状态下使用，也就是失效判据表达式中必须代入单层材料主 方向的应力。 当单层参考坐标轴与材料主方向不一致对，必须将参考坐 标系下的非材料主方向应力转换成材料主方向应力后，才能代 入失效判据。各向同性材料的强度失效判据使用的是主应力， 由于复合材料单层基本强度具有明显的方向性，主应力已经无 法用于判断破坏，所以复合材料层合板中单层强度判断中不使 用主应力，而采用材料主方向应力，这一点也是复合材料的特 点之一。
Lt
Xt EL
(10.3.3)
于是单层最大应变失效判据也可以用应力来表示，即
X c L LT T X t Yc T TL T Yt LT S
(10.3.4)
§10.3单层合板的强度理论
3、蔡－希尔（ Tsai-Hill)失效判据
（10.3.6）
再经过三个正交平面内的纯剪切破坏实验，有τ23=S23，τ31=S31， τ12=S12，由式（10.3.5）可得
1 2 2 S 23 1 M 2 2 S 31 1 N 2 2 S12 L
(10.3.7)
§10.3单层合板的强度理论
联立求解式（10.3.6）可得
§10.3单层合板的强度理论
1.最大应力失效判据 单层最大应力失效判据认为，在复杂应力状态下，单层材料 主方向的三个应力分量中，任何一个达到该方向的基本强度时， 单层失效。该失效判据的表达式为
Xc L Xt Yc L Yt LT S
（10.3.1）
蔡-希尔失效判据是各向同性材料的冯•米塞斯(Von.Mises) 屈服失效判据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交 各向异性材料的失效判据具有类似于各向同性材料的米塞斯 （Mises)准则，并表示为
2 2 2 F ( 2 3 ) 2 G( 3 1 ) 2 H (1 2 ) 2 2L 23 2M 33 2N 12 1
1 1 1 Y2 Z2 X2 1 1 1 2G 2 2 2 X Z Y 1 1 1 2H 2 2 2 X Y Z 2F
(10.3.8)
由于单层出于平面应力状态，即有σ1=σL，σ2=σT和τ12=τLT， 并取σ3=τ23=τ31=0，式（10.3.5）可以简化为
这就是蔡-吴张量失效判据的表达式。式中的F11，F22，F12，F66， F1和F2是与单层基本强度有关的6个强度参数，除F12之外，其他 都可以通过单层的简单试验来确定。
§10.3单层合板的强度理论
对单层进行纵向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）可得
当拉伸破坏时，F11 X t2 F1 X t 1 2 当压缩破坏时， F11 X c F1 X c 1
(10.3.18)
对单层进行横向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）
当压缩破坏时， F22Yt 2 F2 X t 1 2 当压缩破坏时， F22Yc F2 X c 1
(10.3.19)
对单层进行面内纯剪切破坏试验，由式（10.3.17）可得
F66 S 1
2
(10.3.20)
2 2 2 (G H ) L ( F H ) T 2H L T 2N LH 1
(10.3.9)
§10.3单层合板的强度理论
考虑到单层在2O3平面内是各向同性的，即有Z=Y,并取 S12=S。由式（10.3.6）~（10.3.8），可得
1 GH 2 X 1 FH 2 Y 1 2H 2 X 1 2N 2 S
（10.3.21）
由式（10.3.20）可直接得
F66 1 S2
(10.3.22)
§10.3单层合板的强度理论
由式（10.3.21）可以看出，对拉压强度相等的材料，F1=F2=0， 式（10.3.17）中没有σL和σT的一次项，形式上和-希尔失效判据 式相同。 式（10.3. 17）中的强度参数F12，一般只能通过σL和σT成某一比 例的双向拉伸或压缩破坏试验获得。这里采取σL=σT=σ的双向等轴 拉伸试验，假设单层破坏时的应力σ=σcr（见图10-13），由式 （10.3.17）可得
(10.3.36)
这是一条光滑的曲线。
以某种玻璃纤维增强环氧复合树科为例，比较以上三种强度失 效判据的适用性。图10-15给出了最大应力判据(见图10-15 （a）)和蔡—希尔判据(见图10-15(b))预测拉伸强度Fx-θ的曲线 与实验值对比，图中实心圆点为实验值。
§10.3单层合板的强度理论
图10-15 采用最大应力判据和蔡-希尔判据预测Fx-θ的曲线与 实验值的对比图 （a）最大应力判据（b）蔡-希尔判据
(10.3.5)
式中，σ1，σ2，σ3，τ23，τ31，τ12是材料主方向上的应力分量 （见图10-12）
§10.3单层合板的强度理论
通过三个材料主方向的简单拉伸破坏实验，分别有σ1=X，σ2=Y 和σ3=Z，由式（10.3.5）可得