第10章2层板强度理论

(10.3.18)
对单层进行横向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）
当压缩破坏时， F22Yt 2 F2 X t 1 2 当压缩破坏时， F22Yc F2 X c 1
(10.3.19)
对单层进行面内纯剪切破坏试验，由式（10.3.17）可得
F66 S 1
2
(10.3.20)
5．蔡-吴（Tsai-Wu）张量失效判据 单层的蔡-吴失效准则可表示如下：
2 2 2 F11 L F22 T 2F12 L T F66 LT F1 L F2T 1 （10.3.17）
1 1 1 1 1 1 1 式中 F11 F22 F66 2 F1 F2 6 12 Xt Xc YtYc S Xt Xc Yt Yc
(10.3.2)
由于单层的应力-应变关系一直到破坏都是线性的，所以式 (10.3.2)中的极限应变可以用相应的基本强度来表示，即
§10.3单层合板的强度理论
Xc Lc EL Yt Tt ET Yc Tc ET S LTs GLT
蔡-希尔失效判据是各向同性材料的冯•米塞斯(Von.Mises) 屈服失效判据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交 各向异性材料的失效判据具有类似于各向同性材料的米塞斯 （Mises)准则，并表示为
2 2 2 F ( 2 3 ) 2 G( 3 1 ) 2 H (1 2 ) 2 2L 23 2M 33 2N 12 1
§10.3单层合板的强度理论
§10.3.3强度失效判据的比较 验证强度失效列据准确性的最简单实验是偏离材料主方向的单 层拉伸实验，这种实验通常是采用单向合板条试件进行的，如 图10-14所示 由式（9-13）将Oxy坐标下的应力 转换成材料主方向OLT坐标下的应力， OX轴与OL轴的夹角为θ，则有
§10.3单层合板的强度理论
1.最大应力失效判据 单层最大应力失效判据认为，在复杂应力状态下，单层材料 主方向的三个应力分量中，任何一个达到该方向的基本强度时， 单层失效。该失效判据的表达式为
Xc L Xt Yc L Yt LT S
（10.3.1）
§10.3单层合板的强度理论
对式（10.3.18）和式（10.3.19）的两式分别联立求解，便可得 到蔡-吴张量失效判据的强度参数为
1 F22 YtYc 1 1 F1 Xt Xc 1 1 F2 Yt Yc F11 1 Xt Xc
2 2 2 (G H ) L ( F H ) T 2H L T 2N LH 1
(10.3.9)
§10.3单层合板的强度理论
考虑到单层在2O3平面内是各向同性的，即有Z=Y,并取 S12=S。由式（10.3.6）~（10.3.8），可得
1 GH 2 X 1 FH 2 Y 1 2H 2 X 1 2N 2 S
2 L cos 2 sin T x sin cos LT
）(10.3.33）
图10-14 偏离材料主方向的单层拉伸试验
§10.3单层合板的强度理论
假设破坏时单层偏离材料主方向的拉伸强度为Fx，表示为σx 的极限强度。对于最大应力失效判据，单层失效时的拉伸强度 Fx为θ的函数，由（10.3.33）可知可用三个式子表示，即
（10.3.6）
再经过三个正交平面内的纯剪切破坏实验，有τ23=S23，τ31=S31， τ12=S12，由式（10.3.5）可得
1 2 2 S 23 1 M 2 2 S 31 1 N 2 2 S12 L
(10.3.7)
§10.3单层合板的强度理论
联立求解式（10.Hale Waihona Puke Baidu.6）可得
σcr称为单层板在材料主方向的双向等轴拉伸强度，所以强度参 数F12是基本强度和双向等轴拉伸强度的函数。
§10.3单层合板的强度理论
以上介绍了常用的五种复合材料单层的强度失效判据。需 要强调，这些失效判据必须在单层的材料主方向坐标系下的应 力状态下使用，也就是失效判据表达式中必须代入单层材料主 方向的应力。 当单层参考坐标轴与材料主方向不一致对，必须将参考坐 标系下的非材料主方向应力转换成材料主方向应力后，才能代 入失效判据。各向同性材料的强度失效判据使用的是主应力， 由于复合材料单层基本强度具有明显的方向性，主应力已经无 法用于判断破坏，所以复合材料层合板中单层强度判断中不使 用主应力，而采用材料主方向应力，这一点也是复合材料的特 点之一。
(10.3.5)
式中，σ1，σ2，σ3，τ23，τ31，τ12是材料主方向上的应力分量 （见图10-12）
§10.3单层合板的强度理论
通过三个材料主方向的简单拉伸破坏实验，分别有σ1=X，σ2=Y 和σ3=Z，由式（10.3.5）可得
GH 1 X2 1 FH 2 Y 1 F G 2 Z
§10.3单层合板的强度理论
由图10-15可以看出。 (1)最大应力失效判据预测的Fx值随θ变化的曲线分为三段，如 图10-15(a)所示。θ很小时Fx由单层纵向强度控制，θ较大时Fx由单 层横向强度控制。中间段．Fx由单层的剪切强度控制，表明了单 层偏离材料主方向角度不周时可能的破坏模式。 (2)蔡—希尔失效判据预测的Fx随θ变化的曲线是光滑的递减曲 线，如图10-15（b）所示．表明随θ增大单层的破坏强度降低的情 况。 (3)蔡-希尔失效判据预测的Fx与实验值十分接近。最大应力失 效判据预测的Fx，在25°＜θ＜55°之间与实验值偏差较大。θ处 于这一区间时，单层材料主方向的三个应力几乎处于同一量级． 不考虑应力之间与强度之间的相互影响，用最大应力（或最大应 变）失效判据预测的Fx结果较差是理所当然的。
图10-13双向等轴拉伸示意图
§10.3单层合板的强度理论
2 (F11 F22 2F12 ) cr (F1 F2 ) cr 1
（10.3.23）
代入式（10.3.21）的F11，F22，F1和F2，可得
1 1 1 1 1 1 2 F12 [ 1 ( ) ( ) cr cr ] （10.3.24） 2 2 cr X t X c Yt Yc X t X c YtYc 1
§10.3单层合板的强度理论
4、霍夫曼（Hoffman） 失效判据
蔡-希尔失效判据中没有考虑单层拉压强度不同对材料破坏的影响。 霍夫曼在希尔的正交各向异性材料失效判据表达式（10.3.5）中增 加了应力的一次项。通过类似于蔡-希尔失效判据式的推导，得到 霍夫曼失效判据表达式为
2 L L T
Lt
Xt EL
(10.3.3)
于是单层最大应变失效判据也可以用应力来表示，即
X c L LT T X t Yc T TL T Yt LT S
(10.3.4)
§10.3单层合板的强度理论
3、蔡－希尔（ Tsai-Hill)失效判据
§10.3单层合板的强度理论 单层板的强度理论
复合材料单层的基本强度是计算层合板强度的基础， 单层应力状态分析
单层的强度分析包括：
单层基本强度
单层的强度失效判据
第10章 层合板的宏观力学性能
§10.3.1 单层的基本强度 单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个基 本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的9个 工程常数。 §10.3.2 单层的强度失效准则 复合材料的强度失效判据的研究历史很长，其强度失效 的判据有多种不同的形式，这里主要介绍几种常用的失效判 据。 单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面 应力状态下是否失效的准则。
三个不等式相互独立。其中任何一个不等式不满足，就意味着 单层破坏。
§10.3单层合板的强度理论
2. 最大应变失效判据
单层最大应变失效判据认为，在复杂应力状态下，单层 材料方向的三个应变分量中，任何一个达到每方向基本强度对 应的极限应变时，单层失效。该失效判据的基本表达式为
Lc L Lt T c T T t LT LTs
(10.3.35)
也是由三条曲线组成，与式(10.3.34)不同的是第1式和第3 式计入了泊松比的影响，当单层泊松比较小时．这三条曲线 与式(10.3. 34)表示的三条曲线非常接近。
§10.3单层合板的强度理论
对于蔡-希尔失效判据，单层失效时的拉伸强度为
Fx 1 cos4 1 1 sin 4 2 2 ( 2 2 ) sin cos 2 X S X Y2
（10.3.21）
由式（10.3.20）可直接得
F66 1 S2
(10.3.22)
§10.3单层合板的强度理论
由式（10.3.21）可以看出，对拉压强度相等的材料，F1=F2=0， 式（10.3.17）中没有σL和σT的一次项，形式上和-希尔失效判据 式相同。 式（10.3. 17）中的强度参数F12，一般只能通过σL和σT成某一比 例的双向拉伸或压缩破坏试验获得。这里采取σL=σT=σ的双向等轴 拉伸试验，假设单层破坏时的应力σ=σcr（见图10-13），由式 （10.3.17）可得
Xt Xc
2 Xc Xt Yc Yt LT L 2 1 Yt Yc Yt Yc Yt Yc S
2 T
（10.3.12）
式中，σL和σT的一次项体现了单层拉压强度不相等对材料破 坏的影响。显然，当拉亚强度相等时，该式就化为蔡-希尔失 效判据式。
§10.3单层合板的强度理论
这就是蔡-吴张量失效判据的表达式。式中的F11，F22，F12，F66， F1和F2是与单层基本强度有关的6个强度参数，除F12之外，其他 都可以通过单层的简单试验来确定。
§10.3单层合板的强度理论
对单层进行纵向拉伸和压缩破坏试验，由式（10.3.17）可得
当拉伸破坏时，F11 X t2 F1 X t 1 2 当压缩破坏时， F11 X c F1 X c 1
Xt cos2 Y Fx sin 2 S Fx sin cos Fx
(10.3.34)
由三条曲线组成。
§10.3单层合板的强度理论
对于最大应变失效判据，单层失效时的拉伸强度的三个公 式为
Xt cos2 LT sin 2 Y Fx sin 2 LT cos2 S Fx sin cos Fx
(10.3.36)
这是一条光滑的曲线。
以某种玻璃纤维增强环氧复合树科为例，比较以上三种强度失 效判据的适用性。图10-15给出了最大应力判据(见图10-15 （a）)和蔡—希尔判据(见图10-15(b))预测拉伸强度Fx-θ的曲线 与实验值对比，图中实心圆点为实验值。
§10.3单层合板的强度理论
图10-15 采用最大应力判据和蔡-希尔判据预测Fx-θ的曲线与 实验值的对比图 （a）最大应力判据（b）蔡-希尔判据
1 1 1 Y2 Z2 X2 1 1 1 2G 2 2 2 X Z Y 1 1 1 2H 2 2 2 X Y Z 2F
(10.3.8)
由于单层出于平面应力状态，即有σ1=σL，σ2=σT和τ12=τLT， 并取σ3=τ23=τ31=0，式（10.3.5）可以简化为
(10.3.10)
§10.3单层合板的强度理论
代入式（10.3.9），可得
2 L
X
2

L T
X
2

2 T
Y
2

2 LT
S
2
1
（10.3.11）
式（10.3.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据 综合了单层材料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破 坏的影响，尤其是记入了σLσT的相互作用，因此在工程中应用 较多。从式(10.3.11)的推导过程可知．蔡—希尔失效判据原则 上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是通常复合 材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式(10.3.11)中 的基本强度X和y与所受的正应力σL和σT一致。如果正应力σL 为拉伸应力时，则X取Xt，，若σL是压应力时，则X取Xc。