数学规划及软件
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•可行解（只满足约束）与最优解(取到最优值)
2020/5/22 020年5月2日5时23分
数学规划类型
• 连续规划: 全部决策变量取值均 为连续数值 (实数)
• 离散规划: 部分或全部决策变量 只取离散数值
2020/5/22 020年5月2日5时23分
数学规划 ( Mathematical
连Pro• 线gr性am规划m(iLnPg) ) 目标和约束均为线性函数
7. 行中注有“!”符号的后面部分为注释。如:
8.
! It’s Comment.
8. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名 （最多72个字符），如：
202T0/5I/22T0L2E0年Th5月is 2M日o5d时el2i3s 分only an Example
使用LINDO的一些注意事项
美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于 1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司 （LINDO Systems Inc.）， 网址：lindo
LINDO: Linear Interaction and Discrete Optimizer LINGO: Linear Interaction General Optimizer
150 个约束的规划问题
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINGO软件的主要功能和特点
1.求解线性规划和非线性规划问题 2.模型输入简练直观 3.运行速度快 计算能力强 4.内置建模语言 提供内部函数 较少语句直
观描述大规模优化模型 5.引入集合 容易建模 6.数据交换方便(与EXCEL和数据库)
2020/5/22 020年5月2日5时23分
输出结果表示的意思是：
“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2” 表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。 “OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7.454545 ” 表示最优目标值为7.454545.（注意：在LINDO中目标函数 所在的行总是被认为是第1行，这就是这里“1）”的含 义）。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
模型求解：
用鼠标点击工具栏中的图标 ， 或从菜单中选择Solve|Solve（Ctrl+S）命令
LINDO首先开始编译这个 模型，编译没有错误则开 始求解； 求解时会首先显示如右图 所示的LINDO “求解器运行状态窗口 ”。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型 的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
使用LINDO的一些注意事项
14. “END”后对0-1变量说明：INT n 或 INT name 15. “END”后对整数变量说明：GIN n 或 GIN name
16. 简单错误的检查和避免：
输入模型时可能会有某些输入错误. 当问题规模 较大时, 要查找错误是比较困难的。在LINDO 中有一 些可帮助寻找错误的功能，其中之一就是菜单命令 “Report | Picture（Alt+5）” , 它的功能是可以将 目标函数和约束表达式中的非零系数通过列表（或图 形）显示出来。
使用LINDO的一些注意事项
1. “>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 2. 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符
3. 变量名以字母开头，不能超过8个字符
4. 变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字）
5. 目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件
6. 行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结 束
2020/5/22 020年5月2日5时23分
例1 简单的线性规划（LP）问题： Max z 2 x 3 y s.t . 4 x 3 y 10 3 x 5 y 12 x, y 0
在空白的模型窗口中输入这个LP模型：
max 2x+3y st 4x+3y<=10
3x+5y<12 end
2020/5/22 020年5月2日5时23分
2020/5/22 020年5月2日5时23分
“VALUE” 给出最优解中各变量(VARIABLE)的值: X =1.272727, Y =1.636364.
“REDUCED COST” 给出最优的单纯形表中目标函数行 （第1行）中变量对应的系数. “SLACK OR SURPLUS（松驰或剩余）” 给出约束对应 的松驰变量的值: 第2、3行松驰变量均为0, 说明对于最优解 来讲，两个约束（第2、3行）均取等号，即都是紧约束。
数学规划模型、案例与 软件求解
王文祥 2019.7
2020/5/22 020年5月2日5时23分
Outline 一. 数学规划模型与优化软件简介 二. LINDO/LINGO软件 三. 建模实例 四. LINGO建模语言
2020/5/22 020年5月2日5时23分
一. 数学规划模型与优化软件简介
2020/5/22 020年5月2日5时23分
紧接着弹出一对话框，询问你是否需要做灵敏性分析 （DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? ）先选 择“否（N）”按钮，这个窗口就会关闭。然后，再 把状态窗口也关闭。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
报告窗口
用鼠标选择“Window | Reports Window”（报告窗口）， 就可以查看该窗口的内容
求解器运行状态窗口显示的相应信息及含义：
名称
含义
Status 当前状态
显示当前求解状态：“Optimal”表示已 达到最优解；其他可能的显示还有三个：
Feasible(可行解), Infeasible(不可行), Unbounded(最优值无界)。
Iterations 迭代次数
显示迭代次数：“2”表示经过了2次迭 代。
续 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
规 划
✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
离 • 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数
散 ✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)
规 ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP)
划
✓ 一般整数规划，0-1（整数）规划
2020/5/22 020年5月2日5时23分
常用优化软件
1.LINDO/LINGO软件 2.MATLAB优化工具箱
/mathematica优化程序包 3.EXCEL软件的优化功能 4.SAS(统计分析)软件的优化功能
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO 公司软件产品简要介绍
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO和LINGO能求解的数学规划模型
数学规划模型
连续规划
整数规划(IP)
线性规划 二次规划
(LP)
(QP)
LINDO
2020/5/22 020年5月2日5时23分
非线性规划 (NLP)
LINGO
二. LINDO/LINGO软件简介
• LINDO 是专门用于求解数学规划的软件包。 LINDO 执行速度很快、易于方便输入，因此在数 学、科研和工业界得到广泛应用。
9. 变量不能出现在一个约束条件的右端 10. 表达式中不接受括号“( )”和逗号“,”等任何符号, 例:
400(X1+X2)需写为400X1+400X2 11. 表达式应化简，如2X1+3X2- 4X1应写成 -2X1+3X2 12. 缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句后
用“FREE name”将变量name的非负假定取消 13. 可在 “END”后用“SUB” 或“SLB” 设定变量上下界 14. 例如： “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10”
2020/5/22 020年5月2日5时23分
“DUAL PRICES” 给出对偶价格（或影子价格）的值:表示 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量。 第2、3行对偶价格分别为 .090909，.545455。 “NO. ITERATIONS= 2” 表示用单纯形法进行了两次迭代。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
如图： 2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO程序有以下特点：
★ 程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或 最小化）问题，后面直接写目标函数表达式和约束表达式； ★ 目标函数和约束之间用“ST”分开；（或用“s.t.”） ★ 程序以“END”结束（ “END” 也可以省略）。 ★ 系数与变量之间的乘号必须省略。 ★ 系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认 的行名分别是“2)” “3)”…，用户也可以自己输入行名；行名 放在对应的约束之前。 ★ 书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写。 ★ 默认所有的变量都是非负的, 所以不必输入非负约束。 ★ 约束条件中的“<=” 及“>=”可分别用“<” 及“>”代替。 ★ 一行中感叹号“！”后面的文字为是注释语句，可增强程 序的可读性，不参与模型的建立。
Close关闭
显示计算所用时间（秒）：“0.00”说明 计算太快了，用时还不到0.005秒。
显示和控制刷新本界面的时间间隔： “1”表示1秒；用户可以直接在界面上 修改这个时间间隔。
当模型规模比较大时，求解时间会很长， 可以在程序运行过程中用鼠标点击该按 钮终止计算。
该按钮是关闭状态窗口，并不终止计算
2020/5/22 020年5月2日5时23分
名称
IP Bound 整数规划的界
含义
显示整数规划的界（对最大化问题显示 上界；对最小化问题，显示下界）
Branches分枝数 显示分枝定界算法已经计算的分枝数：
Elapsed Time 所用时间
UpdateInterval 刷新本界面时间 间隔
Interrupt Solver 中断求解程序
• LINDO 主要用于解线性规划、二次规划。也可以 用于线性方程组的求解以及代数方程求根等。
• LINDO 中包含了建模语言和许多常用的数学函数 （包括大量概论函数），可供使用者建立规划问 题时调用。
• 一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划
2020/5/22 020年5月2日5时23分
• 最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个 • 最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数
和约束条件个数可以达到32000个 • 最大整数变量个数可以达到100,000个 • LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300 个变量和
•数学规划是优化问题的一个分支，起始 于20世纪30年代末，50年代与60年代发展成 为一个完整的分支并受到数学界和社会各界 的重视。七八十年代是数学规划飞速发展时 期，无论是从理论上还是算法方面都得到了 进一步完善。时至今日数学规划仍然是运筹 学领域中热点研究问题。从国内外的数学建 模竞赛的试题中看，有一半以上的问题可用 数学规划进行求解。
Infeasibility 约束不满足的量(即各个约束条件不满足 不可行性 的“数量”的和)：“0”表示解是可行的。
Objective 当前目标值
显示目标函数当前的值：7.45455。
Best IP 整数规划当前最
佳目标值
显示整数规划当前的最佳目标值： “N/A” （No Answer）表示无答案或无 意义，因为这个模型中没有整数变量， 不是整数规划（IP）。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
Байду номын сангаас学规划模型的一般形式
min(ormax) z f (x) s.t. hi(x) 0, i 1,...,m
gj(x) 0, j 1,...,l xDRn
(1) 约 (2) 束 (3) 条
件
可行域 s. t. (subjetoc)t“受约束于”之意．
三要素：决策变量；目标函数；约束条件
2020/5/22 020年5月2日5时23分
三个变量范围限定命令(FREE、SUB、SLB)的作用
求解如下的LP问题：
MAX 2x – 3y + 4z S.T. 4x + 3y + 2z ≤ 10
-3x + 5y - z ≤ 12 x + y + 5z ≥ 8
-5x - y - z ≥ 2 0≤y≤20, z≥30
2020/5/22 020年5月2日5时23分
数学规划类型
• 连续规划: 全部决策变量取值均 为连续数值 (实数)
• 离散规划: 部分或全部决策变量 只取离散数值
2020/5/22 020年5月2日5时23分
数学规划 ( Mathematical
连Pro• 线gr性am规划m(iLnPg) ) 目标和约束均为线性函数
7. 行中注有“!”符号的后面部分为注释。如:
8.
! It’s Comment.
8. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名 （最多72个字符），如：
202T0/5I/22T0L2E0年Th5月is 2M日o5d时el2i3s 分only an Example
使用LINDO的一些注意事项
美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于 1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司 （LINDO Systems Inc.）， 网址：lindo
LINDO: Linear Interaction and Discrete Optimizer LINGO: Linear Interaction General Optimizer
150 个约束的规划问题
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINGO软件的主要功能和特点
1.求解线性规划和非线性规划问题 2.模型输入简练直观 3.运行速度快 计算能力强 4.内置建模语言 提供内部函数 较少语句直
观描述大规模优化模型 5.引入集合 容易建模 6.数据交换方便(与EXCEL和数据库)
2020/5/22 020年5月2日5时23分
输出结果表示的意思是：
“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2” 表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。 “OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7.454545 ” 表示最优目标值为7.454545.（注意：在LINDO中目标函数 所在的行总是被认为是第1行，这就是这里“1）”的含 义）。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
模型求解：
用鼠标点击工具栏中的图标 ， 或从菜单中选择Solve|Solve（Ctrl+S）命令
LINDO首先开始编译这个 模型，编译没有错误则开 始求解； 求解时会首先显示如右图 所示的LINDO “求解器运行状态窗口 ”。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模型 的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
使用LINDO的一些注意事项
14. “END”后对0-1变量说明：INT n 或 INT name 15. “END”后对整数变量说明：GIN n 或 GIN name
16. 简单错误的检查和避免：
输入模型时可能会有某些输入错误. 当问题规模 较大时, 要查找错误是比较困难的。在LINDO 中有一 些可帮助寻找错误的功能，其中之一就是菜单命令 “Report | Picture（Alt+5）” , 它的功能是可以将 目标函数和约束表达式中的非零系数通过列表（或图 形）显示出来。
使用LINDO的一些注意事项
1. “>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 2. 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符
3. 变量名以字母开头，不能超过8个字符
4. 变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字）
5. 目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件
6. 行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结 束
2020/5/22 020年5月2日5时23分
例1 简单的线性规划（LP）问题： Max z 2 x 3 y s.t . 4 x 3 y 10 3 x 5 y 12 x, y 0
在空白的模型窗口中输入这个LP模型：
max 2x+3y st 4x+3y<=10
3x+5y<12 end
2020/5/22 020年5月2日5时23分
2020/5/22 020年5月2日5时23分
“VALUE” 给出最优解中各变量(VARIABLE)的值: X =1.272727, Y =1.636364.
“REDUCED COST” 给出最优的单纯形表中目标函数行 （第1行）中变量对应的系数. “SLACK OR SURPLUS（松驰或剩余）” 给出约束对应 的松驰变量的值: 第2、3行松驰变量均为0, 说明对于最优解 来讲，两个约束（第2、3行）均取等号，即都是紧约束。
数学规划模型、案例与 软件求解
王文祥 2019.7
2020/5/22 020年5月2日5时23分
Outline 一. 数学规划模型与优化软件简介 二. LINDO/LINGO软件 三. 建模实例 四. LINGO建模语言
2020/5/22 020年5月2日5时23分
一. 数学规划模型与优化软件简介
2020/5/22 020年5月2日5时23分
紧接着弹出一对话框，询问你是否需要做灵敏性分析 （DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? ）先选 择“否（N）”按钮，这个窗口就会关闭。然后，再 把状态窗口也关闭。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
报告窗口
用鼠标选择“Window | Reports Window”（报告窗口）， 就可以查看该窗口的内容
求解器运行状态窗口显示的相应信息及含义：
名称
含义
Status 当前状态
显示当前求解状态：“Optimal”表示已 达到最优解；其他可能的显示还有三个：
Feasible(可行解), Infeasible(不可行), Unbounded(最优值无界)。
Iterations 迭代次数
显示迭代次数：“2”表示经过了2次迭 代。
续 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数
规 划
✓ 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
离 • 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数
散 ✓ 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)
规 ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP)
划
✓ 一般整数规划，0-1（整数）规划
2020/5/22 020年5月2日5时23分
常用优化软件
1.LINDO/LINGO软件 2.MATLAB优化工具箱
/mathematica优化程序包 3.EXCEL软件的优化功能 4.SAS(统计分析)软件的优化功能
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO 公司软件产品简要介绍
2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO和LINGO能求解的数学规划模型
数学规划模型
连续规划
整数规划(IP)
线性规划 二次规划
(LP)
(QP)
LINDO
2020/5/22 020年5月2日5时23分
非线性规划 (NLP)
LINGO
二. LINDO/LINGO软件简介
• LINDO 是专门用于求解数学规划的软件包。 LINDO 执行速度很快、易于方便输入，因此在数 学、科研和工业界得到广泛应用。
9. 变量不能出现在一个约束条件的右端 10. 表达式中不接受括号“( )”和逗号“,”等任何符号, 例:
400(X1+X2)需写为400X1+400X2 11. 表达式应化简，如2X1+3X2- 4X1应写成 -2X1+3X2 12. 缺省假定所有变量非负；可在模型的“END”语句后
用“FREE name”将变量name的非负假定取消 13. 可在 “END”后用“SUB” 或“SLB” 设定变量上下界 14. 例如： “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10”
2020/5/22 020年5月2日5时23分
“DUAL PRICES” 给出对偶价格（或影子价格）的值:表示 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量。 第2、3行对偶价格分别为 .090909，.545455。 “NO. ITERATIONS= 2” 表示用单纯形法进行了两次迭代。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
如图： 2020/5/22 020年5月2日5时23分
LINDO程序有以下特点：
★ 程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或 最小化）问题，后面直接写目标函数表达式和约束表达式； ★ 目标函数和约束之间用“ST”分开；（或用“s.t.”） ★ 程序以“END”结束（ “END” 也可以省略）。 ★ 系数与变量之间的乘号必须省略。 ★ 系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认 的行名分别是“2)” “3)”…，用户也可以自己输入行名；行名 放在对应的约束之前。 ★ 书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写。 ★ 默认所有的变量都是非负的, 所以不必输入非负约束。 ★ 约束条件中的“<=” 及“>=”可分别用“<” 及“>”代替。 ★ 一行中感叹号“！”后面的文字为是注释语句，可增强程 序的可读性，不参与模型的建立。
Close关闭
显示计算所用时间（秒）：“0.00”说明 计算太快了，用时还不到0.005秒。
显示和控制刷新本界面的时间间隔： “1”表示1秒；用户可以直接在界面上 修改这个时间间隔。
当模型规模比较大时，求解时间会很长， 可以在程序运行过程中用鼠标点击该按 钮终止计算。
该按钮是关闭状态窗口，并不终止计算
2020/5/22 020年5月2日5时23分
名称
IP Bound 整数规划的界
含义
显示整数规划的界（对最大化问题显示 上界；对最小化问题，显示下界）
Branches分枝数 显示分枝定界算法已经计算的分枝数：
Elapsed Time 所用时间
UpdateInterval 刷新本界面时间 间隔
Interrupt Solver 中断求解程序
• LINDO 主要用于解线性规划、二次规划。也可以 用于线性方程组的求解以及代数方程求根等。
• LINDO 中包含了建模语言和许多常用的数学函数 （包括大量概论函数），可供使用者建立规划问 题时调用。
• 一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划
2020/5/22 020年5月2日5时23分
• 最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个 • 最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数
和约束条件个数可以达到32000个 • 最大整数变量个数可以达到100,000个 • LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300 个变量和
•数学规划是优化问题的一个分支，起始 于20世纪30年代末，50年代与60年代发展成 为一个完整的分支并受到数学界和社会各界 的重视。七八十年代是数学规划飞速发展时 期，无论是从理论上还是算法方面都得到了 进一步完善。时至今日数学规划仍然是运筹 学领域中热点研究问题。从国内外的数学建 模竞赛的试题中看，有一半以上的问题可用 数学规划进行求解。
Infeasibility 约束不满足的量(即各个约束条件不满足 不可行性 的“数量”的和)：“0”表示解是可行的。
Objective 当前目标值
显示目标函数当前的值：7.45455。
Best IP 整数规划当前最
佳目标值
显示整数规划当前的最佳目标值： “N/A” （No Answer）表示无答案或无 意义，因为这个模型中没有整数变量， 不是整数规划（IP）。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
Байду номын сангаас学规划模型的一般形式
min(ormax) z f (x) s.t. hi(x) 0, i 1,...,m
gj(x) 0, j 1,...,l xDRn
(1) 约 (2) 束 (3) 条
件
可行域 s. t. (subjetoc)t“受约束于”之意．
三要素：决策变量；目标函数；约束条件
2020/5/22 020年5月2日5时23分
三个变量范围限定命令(FREE、SUB、SLB)的作用
求解如下的LP问题：
MAX 2x – 3y + 4z S.T. 4x + 3y + 2z ≤ 10
-3x + 5y - z ≤ 12 x + y + 5z ≥ 8
-5x - y - z ≥ 2 0≤y≤20, z≥30