鲁棒控制

x Ax B1w B2u z C1 x D11w D12u yx

(5.1d)
即
A G C1 I
B1 D11 0
B2 D12 0
应用状态反馈控制律 u=Fx （5.2） 其中F为相应的维数的状态反馈增益矩阵。 根据（5.1d）和（5.2），可以求出闭环控制 系统由w到z的闭环传递函数矩阵为：
Tzw (s) (C1 D12 F )(sI A B2 F ) B1 D11（5.3） H 状态 由3.3.1节标准 H 控制问题的定义， 反馈可以描述为：对于如图5.1所示的闭环系 统和广义控制对象（5.1d），寻找状态反馈 增益矩阵F，使 A B2 F 是稳定的，而且由式（ 5.3）描述的闭环传递函数矩阵满足 T (s) 其中 0 是一个给定的常数，最优 H 状态 反馈控制问题则是寻找状态反馈增益矩阵F, 使得A B2 F 是稳定的，而且要最小化 T (s)
（5.9a） （5.9b） x C D y 基于状态估计值的 x的反馈控制律为 u F x （5.10） 由式（5.8）或式（5.9）或式（5.10）构成的 控制器K，最终均可以化成式（5.5c）的形式 。对于式（5.8）和式（5.10）构成的情况， 有
A B1 y B 2 u
V


i 1 i
i
i
的形式，这样，只要 0, i 1, , l ，就能保 证 V 0,从而判定系统的稳定性。 事实上，由系统方程（4.191）引入自由矩阵 ，对任意合适维数的矩阵T1 , T2 ，有

[ x T1 x T2 ][ x(t ) A( ) x(t )] 0 （4.203）
A( ) i Ati A( ), i 1 i 0, i 1,
i 1 i 1
l
l
,l （4.198）
首先，讨论这类系统的二次稳定性，有下述定 理。 定理4.22 具有系统矩阵式（4.197）的系统（ 4.191）二次稳定的充分必要条件是，存在一 个对称矩阵P，使得对所有的 ，矩阵不等 式（4.193）成立。 对于式（4.198）表示的多项式型参数不确定 性，研究表明：参数依赖的李雅普诺夫函数， 即用一个参数依赖的李雅普诺夫矩阵来替代二 次稳定性中的单一的李雅普诺夫矩阵，可以克
C C1 D12 FL Dk C2
D D11 D12 FL Dk C21
FL ( I Dk D22 )1 EL ( I D22 Dk )
1
D12 FLCk
5.1.3基于状态观测器的H 控制问题

如图所示基于状态观测器的 H 控制问题。假 设广义的控制对象由（5.4）描述，控制器K 由状态观测器及基于这个状态观测器的状态 反馈控制律构成。 对于与广义控制对象同维数的状态观测器， 有 x A x B1 y B 2 u（5.8） 对于降维观测器有：


Ak A B 2 , Bk B1 , Ck F , Dk 0




zw zw
1
5.1.2 H 输出反馈控制问题
如3.3.1节所述，考虑如图所示的H 输出反馈 控制问题。假设广义控制对象G的状态空间实 现为：
x Ax B1w B2u z C1 x D11w D12u y C2 x D21w D22u
即
A G C1 C2
dV ( x(t )) V 0 dt


成立，如果矩阵 A( ) 是定常的，二次稳定与 渐进稳定是等价的。
• 对于鲁棒的稳定性而言，二次稳定是一个 相对保守的概念，其处理参数不确定性的 系统，特别是具有时变结构不确定性参数 的系统的鲁棒稳定性是非常有效的。 • 对于系统（4.1.9）而言，如果存在一个对 称正定矩阵P>0，使得对所有的不确定性参 数 ，矩阵不等式 T • A ( ) P PA( ) 0 （4.193） 成立，则系统（4.1.9）是二次稳定的。一般 情况下 是一个无穷集合，所以需要验证无 穷多个矩阵不等式的可行性。当然这是很难
对于i=1，…,l成立，则具有系统矩阵（4.197 ）并可表示成（4.198）的系统（4.191）是鲁 棒稳定的。
状态空间H 控制理论
• 5.1状态空间 H 控制问题 在3.3.1节给出了标准 H 控制问题描述，本 节考虑状态空间 H 控制问题的具体形式， H 输出反馈问 主要有 H 状态反馈控制问题， 题和基于状态观测的H 控制问题。 5.1.1 H 状态反馈控制问题 如图，是 H 状态反馈控制问题的基本框图。 假设广义控制对象G的状态空间实现为
T
T

将式（4.203）的左边加入 V 之中，有 l （4.204） V T (t )[ i ] (t ) i 1 这里
i

T x(t ) T1 Ati Ati (t ) , i T P T i 1 T2 Ati x(t )
Tzw (s) C(sI A)1 B D
Ak K Ck Bk Dk
其中
A B2 FL Dk C2 A Bk ELC2
Ak Bk EL D22Ck B2 FLCk
B1 B2 FL Dk D21 B Bk ELC21
V ( x) 2 x P( ) x(t ) x [ A ( ) P( ) P( ) A( )]x(t ) 0
T T T

计算李雅普诺夫函数式（4.200）沿系统方程 的导数，有

Байду номын сангаас
（4.201） 显然要判断 V 0 是比较困难的，一种有效的 方式是将 V 表示成 l

LMI成立
PA AT P E T E PD 0 T D P I
下面考虑不确定性参数模型的仿射依赖模型，即矩 阵 A( ) 具有以下的形式： A( (t )) A0 1 (t ) A1 m (t ) Am （4.197） 定义顶点集
0 { [1, , m ]: i iori i , i 1, , m}
m 2 其中共有l= 个顶点。容易看到，不确定性参数
的 的允许范围是 是顶点 0 的一个凸包，即由 0 中l个顶点的凸组合的全体所构成的集合。 记l个顶点为 Ati ，i=1,…,l,
T T Pi T1 Ati T2 T2 T2T
, l 以及任意 定理4.24 如果存在 P i 0, i 1, 合适维数的矩阵 T1 , T2 使得下述LMI T T T （4.205） T1 Ati Ati Pi T1 Ati T2 i 0 T T T2 T2 Pi T1 T2 Ati
鲁棒稳定性分析的LMI方法
李雅普诺夫直接法是整个稳定性理论 的核心方法，李雅普诺夫在1892年提 出的稳定性的基础，被称为基本理论。 系统的二次稳定一般只是鲁棒稳定的 一个充分条件，而不是必要的。事实 上，考虑具有不确定参数的系统。
（4.1.9） x(t ) A( ) x(t ) 其中 x(t ) 是系统的状态变量，A( ) 是实值参数 向量 [1, 2 , p ] ，假定不确定参数 在 一个给定的集合 中的取值，对于系统（ 4.191）来说，因为二次稳定性要求对所有的 不确定性参数 ，存在一个公共的李雅 普诺夫矩阵P>0是得
B1 D11 D21
B2 D12 D22
与 H 状态反馈控制问题相比，测量输出y的 描述和输出反馈控制律是不相同的，控制器K 是动态输出反馈补偿器，其状态空间描述为 （5.5a） Ak Bk y （5.5b） u Ck Dk y 即 根据2.2.1节的讨论，如图所示的闭环系统由 w到z的闭环传递函数矩阵为
处理的。对于具体的不确定性模型，一下给 出基于LMI的系统二次稳定的有效校验方法。 考虑如下具有时变结构不确定性参数系统
x(t ) [ A A(t )]x(t )
其中 A(t ) DF (t )E, F T (t )F (t ) I 则关于系统（4.194）二次稳定的定理如下： 定理4.21 系统（4.194）二次稳定的充分与必要条件是 存在对称正定矩阵P>0和标量 >0，使得下述
服二次稳定的保守性。但是，要利用参数依赖 的李雅普诺夫函数或泛函来克服二次稳定的保 守性，存在困难，那就是在李雅普诺夫函数的 导数中，系统矩阵与李雅普诺夫矩阵的分离比 较困难。 本节介绍一种简单的处理参数依赖的李雅普诺 夫函数的方法，它可以方便的分离李雅普诺夫 函数的导数中的系统矩阵和李雅普诺夫矩阵。 为此将李雅普诺夫函数修改为： T （ 4.200 ） V ( x) x P ( ) x l P( ) i Pi , Pi 0, i 1, l 是待定正定矩 这里， i 1 阵。