华东师大版八年级上册数学：反证法(公开课课件)
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华师版数学八年上
长春市九台区卢家中心学校 教师：苗丽杰
课前一分钟：
1.两点确定_一__ 条直线,过直线外一点有且 只有_一__ 条直线与已知直线垂直。
2、在直角三角形ABC中，如果AB=c, BC=a, AC=b且∠C=90°， a、b、c三边有怎样的关系？
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾 假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
发生在身边的例子:
试一试 例2
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
c a b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立。（即命题结论反面成立）
假设
所证命题 成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
百度文库
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理 等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误 的,即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做反证法。
试一试
1、“a＜b”的反面应是（ D ） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
延伸拓展
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话 你会释放谁？
请与大家分享你的判断！
假设
归谬
结论
假
设
引
命 题
从假设出发
出 矛
不
盾
成
立
求
假 设 不 成
得出结论
证 的 命 题
立
正
确
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
课堂小结:
1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的?
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游.
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角. 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.
这与____________________________矛盾； 当∠B是_____时，则______________ 这与____________________________矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
即A 90, B 90, C 90, D 90 于是A+B+C+D 360
这与四边形内角和等于360度相矛盾
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
试一试
例1 用反证法证明（填空）:在三角形的内 角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A _<__ 60° ，∠B _<__ 60° ，∠C _<__60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与_三___角__形__三___个__内__角___的__和__等___于__1_8_0__°_相矛盾.
所以_假__设___不成立，所求证的结论成立.
2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
求证：四边形中至少有一个角是 钝角或直角.
已知：如图，四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有
一个角是钝角或直角. 证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角.
长春市九台区卢家中心学校 教师：苗丽杰
课前一分钟：
1.两点确定_一__ 条直线,过直线外一点有且 只有_一__ 条直线与已知直线垂直。
2、在直角三角形ABC中，如果AB=c, BC=a, AC=b且∠C=90°， a、b、c三边有怎样的关系？
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾 假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
发生在身边的例子:
试一试 例2
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
c a b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立。（即命题结论反面成立）
假设
所证命题 成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
百度文库
在证明一个命题时,有时先假设命题 不成立,从这样的假设出发,经过推理得出 和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理 等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误 的,即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做反证法。
试一试
1、“a＜b”的反面应是（ D ） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
延伸拓展
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话 你会释放谁？
请与大家分享你的判断！
假设
归谬
结论
假
设
引
命 题
从假设出发
出 矛
不
盾
成
立
求
假 设 不 成
得出结论
证 的 命 题
立
正
确
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
课堂小结:
1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的?
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游.
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角. 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.
这与____________________________矛盾； 当∠B是_____时，则______________ 这与____________________________矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
即A 90, B 90, C 90, D 90 于是A+B+C+D 360
这与四边形内角和等于360度相矛盾
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
试一试
例1 用反证法证明（填空）:在三角形的内 角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大 于
或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即
∠A _<__ 60° ，∠B _<__ 60° ，∠C _<__60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与_三___角__形__三___个__内__角___的__和__等___于__1_8_0__°_相矛盾.
所以_假__设___不成立，所求证的结论成立.
2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
求证：四边形中至少有一个角是 钝角或直角.
已知：如图，四边形ABCD 求证：四边形ABCD中至少有
一个角是钝角或直角. 证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角.