2015届高考数学总复习第七章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系精讲课件 文

弦长相等．
自主解答：
(1)证明：配方得：
(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25， 设圆心为(x，y)，则 l：x－3y－3＝0， 则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上． 消去m得
(2)解析：设与 l 平行的直线是：x－3y＋b＝0， 当－5 10－3<b<5 10－3 时，直线与圆相交； b＝± 5 10－3 时，直线与圆相切； b<－5 10－3 或 b>5 10－3 时，直线与圆相离．
(3)证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：
x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离
|3＋b| d＝ (与 m 无关)， 10 弦长＝2 r2－d2且 r 和 d 均为常量．
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 点评： 判断直线与圆的位置关系的一般方法是：几何法
和代数法．几何法是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大
半径为 r＝2 a，设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d，m＝4 时，直线 l：x－y＋4＝0，圆心 C 到 |－a－a＋4| 直线 l 的距离 d＝ ＝ 2|a－2|， 2 t2＝(2 a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10， 又0 ＜a≤4， 所以当 a＝3 时， 直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大， 其最大 值为 2 10.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
|r2 2－12| ＝ 4 2
2 2 2 4－ 2 ＝
2，
2 2 2 解得 r2 ＝ 4 或 r ＝ 20. 故圆 O 的方程为 ( x － 2) ＋ ( y － 1) ＝4 2 2 2
或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
(2) 圆 x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y － 4 ＝ 0 与直线 2tx － y － 2 － 2t ＝
0(t∈R)的位置关系为( A．相离 C．相交 ) B．相切 D．都有可能
2a 1 解析：(1)f′(x)＝－ b · ，则函数图象在 x＝1 的切线斜率 x＋1 a a 1 为 k＝－b，切线 l 方程为 y＝－bx－b，即 ax＋by＋1＝0.∵l 与圆 1 2 2 C 相离，∴ 2 ＞ 1 ，即 a ＋ b ＜1，∴点(a，b)在圆内．故选 2 a ＋b A. 答案：(1)A (2)C
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．Biblioteka Baidu
解析：(1)设圆 O2 的半径为 r2，由于两圆外切， ∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2( 2－1)， 故圆 O2 的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4( 2－1)2.
∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线 的方程：4x＋4y＋r－8＝0.
第七章
第四节 直线与圆、圆与圆的位 置关系
直线与圆的位置关系的判定
【例 1】
＝0(m∈R)．
已知圆 x2 ＋ y2 － 6mx － 2(m － 1)y ＋ 10m2 － 2m － 24
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； (2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； (3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的
点评：处理弦长和切线方程问题应充分利用数形结合 的思想，弦长问题应关注圆中的直角三角形；而切线问题
应注意弦心距与半径相等的关系．
变式探究
2．(1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y-3)2=8相切” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2013· 湖北模拟)过点(－1,2)的直线l被圆x2+y2－2x－2y＋
|－a－a＋m| 2 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2 |2a－m|， 2 |m－2a| 因为直线 l 是圆 C 的切线，∴d＝r.即 ＝ 2 a， 2 所以 m＝2a± 2 2a， 因为直线 l 在圆心 C 的下方， 所以 m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1， 因为 a∈(0,4]，所以 m∈[－1,8－4 2]．
1＝0截得的弦长为
，则直线l的斜率为________________．
解析：(1)若直线与圆相切，则 解得a＝3或a＝－5，所以“a＝3”是“直线y＝x＋4与 圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件，故选A. (2)设直线l的斜率为k，则直线方程为： y－2＝k(x＋1)；圆的圆心坐标为(1,1)，半径为1，
小；代数法是把直线方程和圆的方程联立，消元得到一个一 元二次方程，根据 Δ 判断方程根的情况，从而确定有几个交 点．但当直线经过圆内一个定点时，直线与圆一定相交．
变式探究
2a 1．(1)(2012· 聊城五校期末联考)如果函数 f(x)＝－ b ln(x＋1) 1 的图象在 x＝1 处的切线 l 过点0，－b，并且 l 与圆 C：x2＋y2＝ 1 相离，则点(a，b)与圆 C 的位置关系是( ) A．在圆内 C．在圆上 B．在圆外 D．不能确定
所以圆心到直线的距离
|2k＋1| |2k＋1| 2 2 2 d＝ ＝1， 2 ＋ 2，所以 2 1＋ k 1＋ k
1 解得 k＝－1 或 k＝－7.
1 答案：(1)A (2)k＝－1 或 k＝－7
两圆的位置关系
【例 3】 O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； 圆 O1 的方程为： x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 ，圆 O2 的圆心为
圆的切线与弦长问题 【例2】 已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的
圆心为C，直线l：y＝x＋m. (1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m
的取值范围．
自主解答：
解析：(1)因为x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， 所以(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，所以圆心为C(－a，a)，