2015届高考数学总复习第七章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系精讲课件 文
高考数学一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件
对任意实数 m 方程成立，
∴
2 x
x y 7 0,,解得
y40
x y
3,
.
1
∴对任意实数 m，直线 l 恒过定点 P（3，1）.
又|PC|= 5 ＜5，∴P 点在圆 C 内.∴直线 l 与圆 C 必相交.
6/30/2020
（2）当 l⊥PC 时，所截得的弦长最短. 此时，|PC|= （3 1）2 （1 2）2 = 5 .
即 kx－y－k＋
3＝0，∴|2k－kk2＋＋1
3|＝2，解得
k＝
3 3.
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)，
即 x－ 3y＋2＝0. 【答案】 D
6/30/2020
3.若圆 C: x2 y2 2x 4y 3 0 关于直线 2ax by 6 0
对称，则由点（a,b）向圆所作的切线长的最小值是（ ）
6/30/2020
4.过点 A（11,2）作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦，其中弦长为
整数的共有 ( )
A.16 条
B.17 条
C.32 条
D.34 条
【解析】 由题意可知过点 A（11,2）的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,且分别只有一条.还有长度为 11,12，……，25 的各 2 条，所以弦长为整数的共有 2+2×15=32 条. 【答案】 C
A.2
B.3
C.4
D.6
【 解 析 】 直 线 2ax by 6 0 过 圆 心 C （ -1,2 ）， a b 3 0，当点 M（a,b）到圆心距离最小时，切线长 最短. MC （a 1）2 （b 2）2 2a2 8a 26 ,a=2 时最 小，b=-1，此时切线长等于 4. 【答案】 C
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
2015年高考数学(文)一轮课件：10-4直线与圆、圆与圆的位置关系
解析：如图，取 AB 中点 C，连接 OC、OA，则 OC⊥AB，|OA| |0－2×0＋5| ＝2 2，|OC|＝ 2 2 ＝ 5， 1 ＋－2 ∴|AC|＝ 8－5＝ 3，
∴|AB|＝2|AC|＝2 3.
答案：2 3
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
直线与圆的位置关系
【例 1】 已知直线 l：y＝kx＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长． 思维启迪：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而 成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．
m∈ －
3 3 ， ，又当 m＝0 时，直线 l 与 x 轴重合，此时只 3 3
有两个交点，应舍去．故选 B.
答案：B
考点二
圆与圆的位置关系
【例 2】 a 为何值时，圆 C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0 和 圆 C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切． 思维启迪：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心 距与两圆半径的关系求解．
4．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1＞0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2＞0)，则有 8 ____； |C1C2|＞r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2□ 9 ____； |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2□
10 ____； |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2□ 11 ____； |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1 与⊙C2□ 12 ____. |C1C2|＜|r1－r2|⇔⊙C1 与⊙C2□
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第7章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
所以当 a＝3 时，直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大，其最大 值为 2 10.
第九页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科） (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝|－a－2a＋m|＝ 22|2a－m|， 因为直线 l 是圆 C 的切线，∴d＝r.即|m－22a|＝2 a， 所以 m＝2a±2 2a， 因为直线 l 在圆心 C 的下方， 所以 m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1， 因为 a∈(0,4]，所以 m∈[－1,8－4 2]．
高考总复习•数学（理科） 变式探究
3．(1)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为 ()
A. 5
B. 6
C．2 5
D．2 6
(2)已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝ 1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交 点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是______．
第十五页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科）
∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0. ∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
|r22－12|＝ 42
4－2 2 22＝ 2，
解得 r22＝4 或 r22＝20.故圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4
第四页，编辑于星期五：十点 八分。
高考总复习•数学（理科）
d＝|3＋10b|(与 m 无关)， 弦长＝2 r2－d2且 r 和 d 均为常量．
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 理
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理一、点与圆的位置关系若圆(x －a )2＋(y －b ) 2＝r 2，那么点(x 0，y 0)在 圆上⇔____________________________________； 圆外⇔____________________________________； 圆内⇔____________________________________.答案：（x 0-a ）2+(y 0-b)2=r 2 （x 0-a ）2+(y 0-b)2＞r 2（x 0-a ）2+(y 0-b)2＜r 2二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法： 1．代数法(判别式法)．Δ>0⇔________；Δ＝0⇔________；Δ<0⇔________.2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪⎧d <r ⇔ ；d ＝r ⇔ ；d >r ⇔ .一般宜用几何法．答案：1.相交 相切 相离 2.相交 相切 相离三、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切．3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交．4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切．5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2. 基础自测1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解代数方法处理几何问题的思想.1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2) B ．k ∈(－3，3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由圆心到直线的距离公式可得d ＝|2|1＋k2>1，解得－3<k <3，故选B. 答案：B2．过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3) D ．(－3,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：已知圆的圆心为C (a,0)，半径为r ＝3－2a .依题意有|AC |＞r ，即|a |＞3－2a ，∴a 2＞3－2a 且3－2a ＞0，解得a ＜－3或1＜a ＜32.故选A.答案：A3．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________．解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.答案：2x －y ＝04．如图，已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：由题图可知：过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1，半径为2，点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴|AD |＝|CD |－|AC |＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.答案： 21．(2012·天津卷)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析：∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ＝m ＋＋n ＋－2|m ＋2＋n ＋12＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22.设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．故选D. 答案：D2．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝ 2x －4.设圆的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由y ＝2x －4，y ＝x －1联立方程组，解得圆心坐标C (3,2)，所以圆方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 因为切线斜率不存在时，不合题意， 所以设切线方程为y ＝kx ＋3，所以|3k －2＋3|1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 所以切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3.(2)设C (a,2a －4)，则圆方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1，设M (x 0，y 0)，由题意(x 0－a )2＋(y 0－2a ＋4)2＝1，因为MA ＝2MO ，所以x 20＋(y 0－3)2＝4x 20＋4y 20，即x 20＋(y 0＋1)2＝4， 因为点M 存在，所以圆(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1与圆x 2＋(y ＋1)2＝4有公共点，即两圆相交或相切，所以(2－1)2≤d 2≤(2＋1)2，即1≤(a －0)2＋[2a －4－(－1) ]2≤9，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.1．已知圆C ： x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径．圆的圆心为(1，－2)，半径为3，因为点(1，－2)在直线l ：2x ＋y ＝0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.答案：C2．(2013·江门一模)已知x 、y 满足x 2＋y 2＝4，则z ＝3x －4y ＋5的取值范围是( ) A ．[－5,15] B ．[－10,10] C ．[－2,2] D ．[0,3]解析：z ＝3x －4y ＋5 即直线 3x －4y ＋5－z ＝0，由题意可得直线和圆 x 2＋y 2＝4有交点，故有|0－0＋5－z |9＋16≤2，化简可得－10≤z －5≤10，解得－5≤z ≤15，故选A.答案：A。
2015届高考数学总复习 第七章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时精练试题 文(含解析)
1．(2012·广州一模)已知直线l ：x ＋y ＝m 经过原点，则直线l 被圆x 2＋y 2－2y ＝0截得的弦长是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由已知得m ＝0，圆心坐标为P (0,1)，点P 到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝21－12＝ 2.故选B. 答案：B2．(2013·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：圆心到直线的距离是：d ＝|2|1＋－32＝1，可见d ＝r2，所以劣弧所对的圆心角的一半是π3，圆心角是2π3.答案：D3．(2013·广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离r ＝1，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，故选A.另法：设所求的直线方程为：y ＝－x ＋k (k ＞0)，由圆心到直线的距离r ＝1，求得k ＝ 2.故选A.答案：A4．(2012·烟台期末)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x －1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则其长度之比为( )A.73或37B.74或47C.75或57D.76或67解析：点P 的坐标为(0，－3)，设圆心为C ，点P 与圆心C (1,0)之间的距离为|PC |＝12＋－32＝2，由圆的半径为5，所以直径被分成两段的长度分别为5＋2＝7和5－2＝3.故选A.答案：A5．(2013·烟台四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是( )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2,1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.答案：C6．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d <52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交． 答案：D7．(2013·浙江省重点中学协作体高三摸底测试)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22 D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，所以直线被圆所截的半弦长为1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2.故选D. 答案：D8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：19．(2012·三明质检)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是_______________．解析：因为圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3,3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.答案：x －y ＝010．(2012·江门调研测试)已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是______________．解析：点A 关于x 轴的对称点为A ′(－1，－1)，又圆心坐标为C (5,7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C |－r ＝－1－2＋－1－2－2＝8.答案：811．(2013·深圳一模)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y－at ＋2)2＝1}，如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是________________．解析：由题意知，A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，表示平面坐标系中以M (4,0)为圆心，半径为1的圆，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，表示以N (t ，at －2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N 在直线ax －y －2＝0上．如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M 到直线ax －y －2＝0的距离不大于2，即|4a －2|a 2＋1≤2，解得0≤a ≤43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4312．如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．解析：以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|O 1P |2－|O 1M |2＝(x ＋2)2＋y 2－1，同理|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即x 2－12x ＋y 2＋3＝0，即(x －6)2＋y 2＝33.这就是动点P 的轨迹方程．13．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)． (1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解析：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)(法一)因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得，半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(法二)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.14．(2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |＝1|OM |＋1|ON |.请将n 表示为m 的函数．解析：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4得，(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0，(*)Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12＞0得k 2＞3 .所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2,由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2得，2＋k 2m 2＝1＋k 2x 21＋1＋k 2x 22， 所以2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 32－2x 1x 2x 21x 22由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3并化简可得5n 2－3m 2＝36,由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3).依题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805， 所以，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．。
高考数学(理科)一轮复习课件：第七章 第4讲 直线与圆的位置关系
线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2
＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
解析：由 x2＋y2－2ay＝0(a>0)，得 x2＋(y－a)2＝a2(a>0).所
以圆 M 的圆心为(0，a)，半径为 r1＝a.因为圆 M 截直线 x＋y＝
2.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦
的长度为 4，则实数 a 的值为( B )
A.－2
B.－4
C.－6
D.－8
解析：圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 配方，得(x＋1)2＋(y－1)2
＝2－a.所以圆心为(－1,1)，半径 r＝ 2－a.圆心到直线 x＋y＋2
＝0 的距离为 d＝－1＋21＋2＝ 2.所以( 2)2＋22＝r2＝2－a.解
1.(2015年重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2 ＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切 线，切点为 B，则|AB|＝( C )
A.2
B.4 2
C.6
D.2 10
解析：圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为 C(2,1)， 半径为 r＝2，因此 2＋a×1－1＝0，a＝－1，即 A(－4，－1)， |AB|＝ |AC|2－r2＝ －4－22＋－1－12－4＝6.故选 C.
A.－53或－35 C.－54或－45
B.－32 或－23 D.－43或－34
解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 (2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直 线的方程为：y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0.又因为反射 光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，所以|－3k－k22－＋21k－3|＝1. 整理，得 12k2＋25k＋12＝0.解得 k＝－43或 k＝－34.故选 D.
2015届高考数学(文)二轮专题课件：5.1直线与圆
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主干考 点梳理
2. (2014· 北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1
和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在
点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( B ) A．7 B．6 C．5 D．4
（x－a1）2＋（y－b1）2＝r21， 则 （x－a2）2＋（y－b2）2＝r22，
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外离或内含 ⇔方程组无解； 两圆______________
主干考 点梳理
两圆___________⇔方程组有一组实数解； 外切或内切 两圆________⇔方程组有两组不同的实数解． 相交 3．设空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 A ， B 两 点 间 距 离 为 d ＝
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主干考 点梳理 d＞r1＋r2 两圆外离⇔_______________ ； d＝r1＋r2 两圆外切⇔_______________ ； |r1－r2|＜d＜r1＋ 两圆相交⇔_______________ ；r2
两圆内切⇔_______________(r1 ≠r2)； d＝|r1－r2| 两圆内含⇔___________________(r1 ≠r2)． 0≤d＜|r1－r2| (2)代数法．
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解析：由题意知，点P在以原点(0，0)为圆心，以m为 半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有 交点即可，所以m－1＝5.故选B.
主干考 点梳理 3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位 置关系为( B )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
高考数学一轮复习第七章第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
解析：当 k＝ 33时，直线 l 为 y＝ 33(x＋2)，即 3x－3y＋2 3＝ 0，所以圆心(0，0)到直线 l 的距离为 d＝|0－( 03＋)22＋323|＝1＝r， 所以直线与圆相切.当直线与圆相切时，圆心(0，0)到直线 kx－y＋
解析：如图 D71，曲线 C：y＝ 1－x2 的图象为单位圆的上半
圆(包含端点)，直线 l：x＋y＝m 的斜率为－1，在 y
轴上的截距为 m.当直线 l 经过A(1，0)，B(0，1)两点 时，m＝1，此时直线 l 与曲线 C 有两个公共点.当直 线 l 与曲线 C 相切时，m＝ 2.因此当 1≤m< 2时， 直线 l 与曲线 C 有且只有两个公共点.
2k＝0 的距离为 d＝ k|22＋k| 1＝r＝1，解得 k＝±33.故“k＝ 33”是 “直线 l：y＝k(x＋2)与圆 O：x2＋y2＝1 相切”的充分不必要条件. 故选 A.
答案：A
2.若直线 l：x＋y＝m 与曲线 C：y＝ 1－x2 有两个公共点， 则实数 m 的取值范围是________________.
∵点(1，1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的内部， ∴直线 l 与圆相交.
(方法三，代数法)由mx2x＋－(yy－＋11)－2＝m5＝，0，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交. 答案：A
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则 实数 m 的取值范围为( )
第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系.
高三总复习数学课件 直线与圆、圆与圆的位置关系
C．当 k＝－1 时，直线 l 与圆 M 的相交弦最长
D．圆心 M 到直线 l 的距离的最大值为 2
解析：M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，
以 1 为半径的圆，A 项，因为直线 l：kx＋y＝0，直线 l 过原点，02＋02－2×0
－2×0＋1＞0，原点在圆外，所以直线 l 与圆 M 不一定相交，故错误；B 项，
(3)过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交 点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆 系不含圆 C2，解题时，注意检验圆 C2 是否满足题意，以防漏解)．
[提速度]
相切，则常数 a＝________．
解析：两圆的圆心距 d＝ －42＋a2，由两圆相切，得 －42＋a2＝5＋1 或 －42＋a2＝5－1，解得 a＝±2 5或 a＝0．
答案：±2 5或 0
4．(选择性必修第一册 96 页例 5 改编)圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦长为________．
02
考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
直线与圆的位置关系的判断
1．已知直线 ax＋by＋c＝0 过点 M(cos α，sin α)，则
()
A．a2＋b2≤1
B．a2＋b2≥1
C．a2＋b2≤c2
D．a2＋b2≥c2
解析：由 cos2α＋sin2α＝1 可得点 M 在单位圆 x2＋y2＝1 上，所以直线 ax＋by
相离
相切
相交
图形
量化
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以两圆相交.
7.(人教A版选择性必修第一册第93页2.5.1节练习第3题改编)直线2x-y+2=0
8 5
被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为__________.
5
解析 圆的圆心坐标为(1,2),半径 r=2.
圆心到直线的距离 d=
)
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位
置关系为( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
解析 圆心(0,0)到直线 y=x+1,即 x-y+1=0 的距离 d=
而
2
0< <1,但是圆心不在直线
2
1
2
=
2
,
2
y=x+1 上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.
3
=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0
相切,则m=__________.
3
解析 圆的方程可化为 x2+(y-2)2=1,双曲线的一条渐近线方程为 x=my(m>0),
由题意得
|2|
1+
=1,解得
2
3
m= 或
3
3
m=- .又
3
m>0,所以
3
m= .
3
研考点
精准突破
考点一
直线与圆的位置关系
于m,则m的值为__________.
2
解析 由题知,圆心(1,1)到直线
直线与圆、圆与圆的位置关系-高中数学总复习课件
y 0 y ＝ r 2；
（2）过圆（ x － a ） 2 ＋（ y － b ） 2 ＝ r 2 上一点 P （ x 0 ， y 0 ）
的圆的切线方程为（ x 0 － a ）·（ x － a ）＋（ y 0 －
b ）·（ y － b ）＝ r 2 ；
（3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线 l 的距离 d ＝
|−｜
2 +1
＜1＜ 5 ，故直线 l 与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0过定
点（1，1），因为点（1，1）在圆 x 2＋（ y －1）2＝5的内部，
所以直线 l 与圆相交.
目录
高中总复习·数学
2
−
2
1+2
，｜ AB ｜＝2
4｜｜
4｜｜
1
8
2
＝
，所以 S △ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝
＝ ，解
2
2
2
1+
5
1+
1
1
得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可.
2
2
目录
高中总复习·数学
解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
目录
高中总复习·数学
点 P 作圆 O ： x 2＋ y 2＝2的两条切线，切点分别为 A ， B ，若直线 PA
与 PB 的夹角为α，当四边形 PAOB 的面积最小时， sin α＝
3
2
.
目录
高中总复习·数学
圆与圆的位置关系ppt课件
1个 2个 1个 0个 0个
0
16
圆与圆的 五 种 位置关系 圆心距为d
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
rr1 1
r2
O1 O2
相交
外离 d>r1 +r2
无公共点 4条公切线
外切 d=r1 +r2 | r1 -r2|<d<r1 +r2
唯一公共点
两个公共点
3条公切线
2条公切线
r1 r2
O1 O2
r1 r2
x 12 y 42 25.
圆把C圆1的C2圆的x 心方2是程2 点化 y（为 2-标12准，1方-04.程），,半得径长r1=5.求标两及圆半心径坐 圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10（. 配方法）
圆C1与圆C2的连心线长为
圆C1与圆C2的半径之和是 1 22 4 22 3 5,
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系。
26
小结：
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:
y
（-1,1） A
. （2，2）C2
O
. （-1，-4）
x
B（3,-1）
x+2y-1=0
C1
20
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
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点评：处理弦长和切线方程问题应充分利用数形结合 的思想，弦长问题应关注圆中的直角三角形；而切线问题
应注意弦心距与半径相等的关系．
变式探究
2．(1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y-3)2=8相切” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2013· 湖北模拟)过点(－1,2)的直线l被圆x2+y2－2x－2y＋
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
|r2 2－12| ＝ 4 2
2 2 2 4－ 2 ＝
2，
2 2 2 解得 r2 ＝ 4 或 r ＝ 20. 故圆 O 的方程为 ( x － 2) ＋ ( y － 1) ＝4 2 2 2
或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
半径为 r＝2 a，设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d，m＝4 时，直线 l：x－y＋4＝0，圆心 C 到 |－a－a＋4| 直线 l 的距离 d＝ ＝ 2|a－2|， 2 t2＝(2 a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10， 又0 ＜a≤4， 所以当 a＝3 时， 直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大， 其最大 值为 2 10.
|－a－a＋m| 2 (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2 |2a－m|， 2 |m－2a| 因为直线 l 是圆 C 的切线，∴d＝r.即 ＝ 2 a， 2 所以 m＝2a± 2 2a， 因为直线 l 在圆心 C 的下方， 所以 m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1， 因为 a∈(0,4]，所以 m∈[－1,8－4 2]．
(2) 圆 x2 ＋ y2 － 2x ＋ 4y － 4 ＝ 0 与直线 2tx － y － 2 － 2t ＝
0(t∈R)的位置关系为( A．相离 C．相交 ) B．相切 D．都有可能
2a 1 解析：(1)f′(x)＝－ b · ，则函数图象在 x＝1 的切线斜率 x＋1 a a 1 为 k＝－b，切线 l 方程为 y＝－bx－b，即 ax＋by＋1＝0.∵l 与圆 1 2 2 C 相离，∴ 2 ＞ 1 ，即 a ＋ b ＜1，∴点(a，b)在圆内．故选 2 a ＋b A. 答案：(1)A (2)C
(3)证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：
x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离
|3＋b| d＝ (与 m 无关)， 10 弦长＝2 r2－d2且 r 和 d 均为常量．
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 点评： 判断直线与圆的位置关系的一般方法是：几何法
和代数法．几何法是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大
小；代数法是把直线方程和圆的方程联立，消元得到一个一 元二次方程，根据 Δ 判断方程根的情况，从而确定有几个交 点．但当直线经过圆内一个定点时，直线与圆一定相交．
变式探究
2a 1．(1)(2012· 聊城五校期末联考)如果函数 f(x)＝－ b ln(x＋1) 1 的图象在 x＝1 处的切线 l 过点0，－b，并且 l 与圆 C：x2＋y2＝ 1 相离，则点(a，b)与圆 C 的位置关系是( ) A．在圆内 C．在圆上 B．在圆外 D．不能确定
所以圆心到直线的距离
|2k＋1| |2k＋1| 2 2 2 d＝ ＝1， 2 ＋ 2，所以 2 1＋ k 1＋ k
1 解得 k＝－1 或 k＝－7.
1 答案：(1)A (2)k＝－1 或 k＝－7
两圆的位置关系
【例 3】 O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； 圆 O1 的方程为： x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 ，圆 O2 的圆心为
圆的切线与弦长问题 【例2】 已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的
圆心为C，直线l：y＝x＋m. (1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m
的取值范围．
自主解答：
解析：(1)因为x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， 所以(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，所以圆心为C(－a，a)，
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆 O2 的半径为 r2，由于两圆外切， ∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2( 2－1)， 故圆 O2 的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4( 2－1)2.
∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线 的方程：4x＋4y＋r－8＝0.
弦长相等．ຫໍສະໝຸດ 主解答：(1)证明：配方得：
(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25， 设圆心为(x，y)，则 l：x－3y－3＝0， 则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上． 消去m得
(2)解析：设与 l 平行的直线是：x－3y＋b＝0， 当－5 10－3<b<5 10－3 时，直线与圆相交； b＝± 5 10－3 时，直线与圆相切； b<－5 10－3 或 b>5 10－3 时，直线与圆相离．
第七章
第四节 直线与圆、圆与圆的位 置关系
直线与圆的位置关系的判定
【例 1】
＝0(m∈R)．
已知圆 x2 ＋ y2 － 6mx － 2(m － 1)y ＋ 10m2 － 2m － 24
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； (2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； (3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的
1＝0截得的弦长为
，则直线l的斜率为________________．
解析：(1)若直线与圆相切，则 解得a＝3或a＝－5，所以“a＝3”是“直线y＝x＋4与 圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件，故选A. (2)设直线l的斜率为k，则直线方程为： y－2＝k(x＋1)；圆的圆心坐标为(1,1)，半径为1，