运筹学6(图与网络分析)
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图与网络的运筹学实验报告
图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。
一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。
1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。
根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。
二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。
通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。
通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。
2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。
三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。
3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。
3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。
四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。
4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。
4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。
运筹学复习考点
状态值，各条弧代表了可行的方案选择。 • 正确。
整理课件
59
• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
整理课件
57
• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
整理课件
60
•
整理课件
61
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
整理课件
62
5 3 6 -6 0
0
801001
5
14 1 2 0 0 0
-6
4 0 1 -1 1 0
整理课件
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
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57
• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
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(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
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(1,2)
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35
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1
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(1,3)
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(3,7)
(1,2)
2
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0
2
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1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
运筹学_树
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
找生成树的两种方法-广探法 广探法
(2) 广探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 令所有标号为i的点集为 检查[V, V\Vi]中的边端 的点集为V, ②令所有标号为 的点集为 检查 中的边端 点是否均已标号 对所有未标号之点均标以i+1 , 记 标号。 点是否均已标号。对所有未标号之点均标以 下这些边。 下这些边。 对标号i+1的点重复步骤②, 直到全部点得到标号为至 ② 直到全部点得到标号为至. 0 1 1 2 1 1 2 0 2 1 2 4 3 2 1 2
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
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v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
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v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学图与网络分析
23
1
4
v7
v6
9
v3
3
v5
17
v4
总造价=1+4+9+3+17+23=57
避圈法：开始选一条权最小的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选 边不构成圈的边。
v2
1
3
5
2
v4
v1
2
4
v3 1
v5
3
某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已知长 度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度 最短。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城 市，Pregei河把该城分成两部分，河中有两个小 岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥， 当时人们提出这样的问题：有没有办法从某处 （如A）出发，经过各桥一次且仅一次最后回到 原地呢？
7 6
1 2
3
5
4
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4
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1 2
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5
4
得出第二次就座方案是（1，3，5，7， 2，4，6，1），那么第三次就座方案就不 允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中 删去这些边。
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▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e2 e 4
v2 e5
e1 v1 e3 v3
同，这样的链称初等链（或路）。 ▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不
e6
v4
e7
e8
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复 则称为初等回路。 图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
运筹学
Operations Research
Chapter 8 图与网络分析
Graph and Network
1. 2. 3. 4. 图与网络的基本知识 树 最短路问题 最大流问题
E.Euler提出(1736年）：
引例：哥尼斯堡七桥问题
您能从A、B、C或D任意一点出发 走遍7座桥并且每座桥只走一次最 后回到原出发点吗？
5
e2 v2 e6 e3 v3 v4
e1 v1 e3 e4 e5 e7
v3 e8 v5
e6 v4
e8 v5
e6 v4
e7 图２－2(b) v5
图８－2(a)
定义8
网络（赋权图）：
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应的有一条数w
(vi,vj) (或记为wij)，wij称为边(vi,vj)的权,赋有权的图G称为网络
一、图与网络的基本概念 如图8-1
V v1 , v2 ,, v5 , E e1 , e2 ,, e8
e2可记作： e2 [v1 , v2 ]
e2 e 4
e5
e1 v1 e3 v3
v2 定义1 端点，关联边，相邻 若有边 e 可表示为 e=[vi,vj], 称 vi 和 vj e6 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi 、vj 与同一边关联，称点vi 和vj 相邻；若边ei和ej具有公共的端点，称边ei v4 和ej相邻。例如图8－1， v2和v4是边e6的端点，反之边e6是点v2、v4的 关联边。点v2、v4相邻；边e6与e5、 e4相邻。
e7
e8
v5
图8－1
定义2 环，多重边，简单图 如果边 e 的两个端点相重，称该边为 环。如图8－１中边e1为环。如果两个点之 间的边多于一条，称为多重边，如图 8 － １中的 e4 和 e5 ，对无环、无多重边的图称 作简单图。 定义3 次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点 vi 相关联的边的数目称为 点vi 的次（也叫做度），记作d(vi) 。图６ －１中d(v1) ＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇 数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶 点，次为0的点称作孤立点。
图Ｇ可 定义为点和边的集合，记作
A
G V , E
C
D
其中V
B
式中Ｖ是点的集合，Ｅ是边的集合。注意上面定义的图Ｇ区别 于几何学中的图。在几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等 都十分重要，而这里只关心图中有多少点以及哪些点之间有线相连， 如果给图中的点和边赋以具体的含义和权数，如距离、费用、容量 等，把这样的图称为网络图，记作Ｎ。图和网络分析的方法已广泛 应用于物理、化学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等各 个领域。
⑤
① ③ ④
⑥
定义7：子图、生成子图（支撑子图） 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。 图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 e1 也是子图,子图不一定是支撑子图。 v1 e2 e4 v2 v3 v2 e
v1 v3 v2 配送 中心 v8 v4 v9 v6 v7
基本的网络最优化问题有4个，即最小树问题，
最短路问题、最大流问题、最小费用最大流问 题。这些问题的数学模型实际上大都是线性规 划问题，但使用线性规划的单纯形法去求解， 过程非常繁琐，本章介绍的网络分析方法能有 效的解决这些问题。
8.1图与网络的基本知识
定义5 混合图：
如何图G中部分边有方向则称为混合图
② ⑤
① ③
④
⑥
有向图
定义6 有向图中，以Vi为起始点的边数称为点Vi的出次， 用 d (vi ) 表示；有向图中，以Vi为终点的边数称为点Vi的 入次，用 d (vi ) 表示。
结论1： Vi点的出次与入次之和就是该点的次。 结论2：有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的 出次之和。 ②
A
C
D
A D C B
B
中国邮路问题：管梅谷（1962年）提出
一个邮递员，负责某一地区的信件投递。他每天 要从邮局出发，走遍该地区所有街道再返回邮局， 问应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最 短？
2 5 6 5 9 4 4 3 3 4 4
4
我们在实际生活、生产和科研活动中经常看到
许多的网络，如互联网、通信网、公路网、管 道网、销售网等。对网络进行研究是希望解决 其中的一些优化问题，网络最优化能为人们管 理和控制这些网络系统提供一套有效的方法。
D
A
C
B
例 某家电配送中心需要为多个销售点送货，配送中心与销售 点以及销售点之间的相对位置和运输情况可以用图来表示。 其中，点v1，v2，…，v7代表销售点，边表示运输路线。若已 知每条路线行走所需的时间，请帮助配送中心管理人员设计 一条送货路线，使送货车辆用最短的时间送完货物，并回到 配送中心。 v5
e2 e 4 v2 e6 v4 e5 e7
e1 v1 e3 v3 e8 v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3 v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e2 e 4 e1 v1 e3
v2
e6 v4
e5 e7
Байду номын сангаас
v3
e8 v5
定义4 有向图：
如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
（赋权图）。 这里的权数可以是时间、费用、距离等，视不同背景代表不同 的含义。 15 ② 7 ⑤ 9 14 10 ④ ① 6 19 20 ⑥ ③ 25 赋权图
二、连通图 定义9 链、路、回路（圈） ▲无向图中有些点和边的交替序列
v0 , e1 , v1 ,, ek , vk
对任意vi,t－1 和vit(2≤t≤k)均相邻，称μ从v0到vk 的链。
e2 e 4
v2 e5
e1 v1 e3 v3
同，这样的链称初等链（或路）。 ▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不
e6
v4
e7
e8
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复 则称为初等回路。 图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
运筹学
Operations Research
Chapter 8 图与网络分析
Graph and Network
1. 2. 3. 4. 图与网络的基本知识 树 最短路问题 最大流问题
E.Euler提出(1736年）：
引例：哥尼斯堡七桥问题
您能从A、B、C或D任意一点出发 走遍7座桥并且每座桥只走一次最 后回到原出发点吗？
5
e2 v2 e6 e3 v3 v4
e1 v1 e3 e4 e5 e7
v3 e8 v5
e6 v4
e8 v5
e6 v4
e7 图２－2(b) v5
图８－2(a)
定义8
网络（赋权图）：
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应的有一条数w
(vi,vj) (或记为wij)，wij称为边(vi,vj)的权,赋有权的图G称为网络
一、图与网络的基本概念 如图8-1
V v1 , v2 ,, v5 , E e1 , e2 ,, e8
e2可记作： e2 [v1 , v2 ]
e2 e 4
e5
e1 v1 e3 v3
v2 定义1 端点，关联边，相邻 若有边 e 可表示为 e=[vi,vj], 称 vi 和 vj e6 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi 、vj 与同一边关联，称点vi 和vj 相邻；若边ei和ej具有公共的端点，称边ei v4 和ej相邻。例如图8－1， v2和v4是边e6的端点，反之边e6是点v2、v4的 关联边。点v2、v4相邻；边e6与e5、 e4相邻。
e7
e8
v5
图8－1
定义2 环，多重边，简单图 如果边 e 的两个端点相重，称该边为 环。如图8－１中边e1为环。如果两个点之 间的边多于一条，称为多重边，如图 8 － １中的 e4 和 e5 ，对无环、无多重边的图称 作简单图。 定义3 次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点 vi 相关联的边的数目称为 点vi 的次（也叫做度），记作d(vi) 。图６ －１中d(v1) ＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇 数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶 点，次为0的点称作孤立点。
图Ｇ可 定义为点和边的集合，记作
A
G V , E
C
D
其中V
B
式中Ｖ是点的集合，Ｅ是边的集合。注意上面定义的图Ｇ区别 于几何学中的图。在几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等 都十分重要，而这里只关心图中有多少点以及哪些点之间有线相连， 如果给图中的点和边赋以具体的含义和权数，如距离、费用、容量 等，把这样的图称为网络图，记作Ｎ。图和网络分析的方法已广泛 应用于物理、化学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等各 个领域。
⑤
① ③ ④
⑥
定义7：子图、生成子图（支撑子图） 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。 图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 e1 也是子图,子图不一定是支撑子图。 v1 e2 e4 v2 v3 v2 e
v1 v3 v2 配送 中心 v8 v4 v9 v6 v7
基本的网络最优化问题有4个，即最小树问题，
最短路问题、最大流问题、最小费用最大流问 题。这些问题的数学模型实际上大都是线性规 划问题，但使用线性规划的单纯形法去求解， 过程非常繁琐，本章介绍的网络分析方法能有 效的解决这些问题。
8.1图与网络的基本知识
定义5 混合图：
如何图G中部分边有方向则称为混合图
② ⑤
① ③
④
⑥
有向图
定义6 有向图中，以Vi为起始点的边数称为点Vi的出次， 用 d (vi ) 表示；有向图中，以Vi为终点的边数称为点Vi的 入次，用 d (vi ) 表示。
结论1： Vi点的出次与入次之和就是该点的次。 结论2：有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的 出次之和。 ②
A
C
D
A D C B
B
中国邮路问题：管梅谷（1962年）提出
一个邮递员，负责某一地区的信件投递。他每天 要从邮局出发，走遍该地区所有街道再返回邮局， 问应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最 短？
2 5 6 5 9 4 4 3 3 4 4
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我们在实际生活、生产和科研活动中经常看到
许多的网络，如互联网、通信网、公路网、管 道网、销售网等。对网络进行研究是希望解决 其中的一些优化问题，网络最优化能为人们管 理和控制这些网络系统提供一套有效的方法。
D
A
C
B
例 某家电配送中心需要为多个销售点送货，配送中心与销售 点以及销售点之间的相对位置和运输情况可以用图来表示。 其中，点v1，v2，…，v7代表销售点，边表示运输路线。若已 知每条路线行走所需的时间，请帮助配送中心管理人员设计 一条送货路线，使送货车辆用最短的时间送完货物，并回到 配送中心。 v5
e2 e 4 v2 e6 v4 e5 e7
e1 v1 e3 v3 e8 v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3 v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e2 e 4 e1 v1 e3
v2
e6 v4
e5 e7
Байду номын сангаас
v3
e8 v5
定义4 有向图：
如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
（赋权图）。 这里的权数可以是时间、费用、距离等，视不同背景代表不同 的含义。 15 ② 7 ⑤ 9 14 10 ④ ① 6 19 20 ⑥ ③ 25 赋权图
二、连通图 定义9 链、路、回路（圈） ▲无向图中有些点和边的交替序列
v0 , e1 , v1 ,, ek , vk
对任意vi,t－1 和vit(2≤t≤k)均相邻，称μ从v0到vk 的链。