几何最值问题——动点在圆上
初中数学几何最值专题44：阿波罗尼斯圆问题(最全修正版)
阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．【问题引入】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________；则PA+23PB 的最小值为__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 【思考】分析解析提示2中原理EAB C DPMPDCBA【问题引入】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两，则2PM+PN的最小值为__________；则2PM+3PN的最小值为点，点P是圆C上一个动点，CM=1，CN=43__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化2PM，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CM=1，连接CP，构造包含线段PM的△CMP，连接AP，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即2PM=PA．问题转化为PN+PA最小值，直接连AN即可．【问题剖析】（1）这里为什么是2PM？（2）如果问题设计为PM+kPN最小值，k应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．【思考】分析解析提示2中原理【例题精讲】例1、如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4。
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
索引
∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
索引
思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
索引
借助几何性质解决圆中的最值问题
索引
高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
索引
类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
索引
即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
索引
(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
动点问题最值
GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，2，F 为BE 中点.（1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。
圆中巧用几何意义求最值
1 圆中巧用几何意义求最值在圆中，有几种利用几何意义求最值的类型，没有这种意识，将无从下手，并且这类题目充分体现了数形结合的思想，容易考到，因此值得我们归纳总结一下。
一、利用直线的斜率例1.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求y x 的最大值。
分析：y x 可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，即求斜率的最大值。
解：y x可视为圆上的点(),x y 与原点所确定直线的斜率，由图可知，当相切时斜率最大或最小。
设切线的方程为y kx =，即0kx y -=，()2223x y -+=表示圆心为()2,0，半径=k =y x。
变式：已知实数y x ,满足122=+y x ，求12++x y 的取值范围 解：令(2),(1)y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率，而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+ 二、利用两点间的距离公式 例2.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求22x y +的最大值。
分析：22x y +表示圆上的点(),x y 与原点间距离的平方，圆心和原点所确定直线与圆的两交点到原点的距离分别为距离的最小值和最大值。
解：22x y +表示点(),x y 与原点间距离的平方。
因为圆心到原点的距离为2，故圆上的点到原点的距离的最大值为2+，22x y+的最大值为(227=+变式：已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________．解析：答案为 2 2 （x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即d ＝|－2－3＋1|2＝2 2. 三、利用直线在y 轴上的截距例3.如果实数x 、y 满足等式()2223x y -+=，求y x -的最大值。
动点问题最值
GFDAB CE动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为ABC4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转. （1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.（1）求CF的长（2）将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；（3）△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.A BAACCAGDAGDA提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且12OF AE==7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。
圆上动点求最小值的常用方法__概述说明以及解释
圆上动点求最小值的常用方法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨圆上动点求最小值的常用方法。
在数学和工程领域中，圆上动点求最小值是一个常见的问题。
我们希望通过本文的概述、说明和解释来介绍几种常用的解决方法，以便读者能够更好地理解和应用这些方法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：引言部分将对文章整体内容进行简要介绍，并明确本文的目的。
在“圆上动点求最小值的常用方法”部分，我们将详细介绍三种常见的解决方法。
在结论部分，我们将对所介绍的方法进行总结，并提出未来研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者了解圆上动点求最小值这一问题，并为读者提供几种可行且实用的解决方案。
通过学习并应用这些方法，读者可以更好地处理类似问题，并提高问题求解能力。
通过本文的阅读，读者将获得以下收益：- 对圆上动点求最小值问题有一个清晰而全面的认识；- 理解并掌握几种常见、有效且实际可行的解决方法；- 提高问题求解能力，为类似问题的研究打下基础。
总之，本文将为读者提供了一个系统而全面的学习资源，使其能够更好地理解和应用圆上动点求最小值的常用方法。
在掌握这些方法的基础上，读者可以进一步拓展自己的知识，并在实际问题中灵活运用所学。
2. 圆上动点求最小值的常用方法在许多数学和物理问题中，我们经常需要求解圆上动点的最小值。
这些问题涉及到确定一个圆上的动点，在特定条件下，如何使得某个量达到最小值。
本节将介绍一些常用的方法来解决这类问题。
2.1 方法一第一种常用的方法是通过几何分析来解决。
假设我们有一个圆，其中心为O，半径为r。
我们要确定在这个圆上移动的一个动点P，使得OP与某个给定点A连线长度最短。
首先，我们可以通过画出切线来获得最优解。
具体步骤如下：- 第一步，连接OA并延长至与圆交于B。
- 第二步，在AB之间寻找切线，并连接切点C与O。
- 第三步，观察三角形OCA，可以看出OC为所求距离的最小值。
通过几何分析可知，当OP以垂直于OA方向运动时，OP与OA连线长度达到最小值。
定点到圆上动点距离的最值 -含解析
定点到圆上动点距离的最值解析
一、单选题因此max ()(PQ PO r PC -=+-则有11331102
2b a a b +⎧=-⎪⎪-⎨+-⎪--=⎪⎩，解得因此PC PO PC PO OC -=-≤'时取等号，
直线OC '方程为0x =，由x y =⎧⎨=⎩
所以当点P 与P '重合时，(PC 故选：C
2．已知O 为坐标原点，过点A
4．已知,A B 是圆22():2M x y -+||OA OB + 的取值范围是（
）A ．[22,42]
-+C ．[42,42]
-+【答案】C 【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的运算可得||2||OA OB ON += ，再结合点与圆的位置关系，即可求解【详解】22(2)1,x y -+=∴ 圆M 设圆心到直线l 的距离为d ，
由圆的弦长公式，可得||21AB =设AB 的中点为2,||2N MN =，∴点N 的轨迹表示以(2,0)M 为圆心，以N ∴的轨迹方程为22(2)12
x y +-=因为|||2|2||OA OB ON ON +== ，
又||2OM = ，22OM ON ∴-
≤ 即222222ON -≤≤+ ,即||OA OB + 的取值范围为[4-
二、多选题
三、填空题。
圆上有动点的几何最值问题及其解法
圆上有动点的几何最值问题及其解法
几何最值问题是数学中一类常见的问题，它涉及到求解几何图形中的最大值或最小值。
而圆上有动点的几何最值问题又是一类比较特殊的几何最值问题，它涉及到圆内某点的最大值或最小值的求解。
圆上有动点的几何最值问题可以用三种不同的方法来解决：
利用微积分的技术，利用极坐标系来求解。
利用简单几何的方法，求解圆上最大值或最小值的位置。
利用几何图形的性质，求解圆上最大值或最小值的位置。
首先，利用微积分的技术，利用极坐标系来求解圆上有动点的几何最值问题，即求解圆上点的最大值或最小值的位置。
极坐标系的定义是：以原点O为圆心，以极轴为半径的圆绕极轴旋转，经过极轴的曲线形成的极坐标系。
在极坐标系中，点P(x,y)在极轴上的投影为点P’，其坐标为(r,θ)，其中r表示点P到原点O的距离，θ表示点P与极轴的夹角。
接着，利用简单几何的方法，求解圆上最大值或最小值的位置。
首先，将圆分成若干个等份，即将圆分成N等份，每等份的弧度为2π/N。
然后，在每个等份的弧段上，取一点，并计算这些点的值，最后取最大值或最小值所在的点，即得到最大值或最小值的位置。
最后，利用几何图形的性质，求解圆上最大值或最小值的位置。
例如，若圆上的动点的值满足某种函数关系，则可以利用函数的导数来求解最大值或最小值的位置；若圆上的动点的值满足某种几何关系，则可以利用几何图形的性质来求解最大值或最小值的位置。
以上就是圆上有动点的几何最值问题及其解法的介绍。
总的来说，圆上有动点的几何最值问题可以利用微积分的技术，简单几何的方法和几何图形的性质来求解，从而得到最大值或最小值的位置。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
几何最值问题动点在圆上ppt课件
【2016考试说明（二） 12题】
如图，边长为3的等边△ABC的顶点A在x轴的正半
轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上随之
移动，则顶点C到原点O的最大距离是( C )
A. 6
B. 8 C. 3 3 3 D. 3 3 2
C′
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
E
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
小组合作
你能将上题中的矩形改换成其他 多边形，并设置数据，编制出一道 上述类型的题目吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在 的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的
最小值是 7 -1 .
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，
则B′A长度的最小值是__1____ ．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
圆上 动点 最大值
圆上动点最大值
在一个圆上选择一个动点，该点的最大值取决于你如何定义“最大值”。
1. 周长：如果你想找到使动点所在线段长度最大的点，那么这个点就是直径的端点。
因为直径是圆中最长的弦。
2. 面积：如果你想找到使动点覆盖的区域最大的点，那么这个点就是圆心。
因为圆心是圆的中心，也是最大的点。
3. 与其他点的距离：如果你想找到使动点到圆上其他某一点的距离最大的点，那么这个点可以通过让动点位于圆的另一侧来获得，这样两点之间的距离就是直径。
4. 角度：如果你想找到使动点与其他某点之间的角度最大的点，那么这个点就是通过该点和圆心的线与圆的交点。
这个角度就是180度或者π弧度。
你需要提供更多关于你所关心的问题的信息，这样我可以为你提供更精确和详细的答案。
(完整word版)圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题,有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活。
现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC 的最小值。
[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长。
解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为。
[分析］：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ。
在Rt△PQA中,PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值,根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中,PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A（－3，－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（)A．B．2 C．3 D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形,再利用两点之间线段最短来解决问题。
解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中,AD=,故选C。
中考热点：（一）圆中动点“PA+...
中考热点：圆中动点“PA+kPB”型最值问题一、问题导读在初中数学中，有一类几何动点“PA+kPB”型最值问题，学生普遍感到“害怕”。
普通方法求解可能就会失效！当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k不等于1的话，我们必须利用转换思路，截取线段灵活转化线段值，转化为常见求解模式。
二、典例精析类型1 探究圆中“PA+kPB”型的最值问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点M是AO中点，⊙A 的半径为2．（1）若△PAB是直角三角形，则点P的坐标为______．（直接写出结果）（2）若PM⊥AB，则BP与⊙A有怎样的位置关系？为什么？（3）若点E的坐标为（0，3），那么⊙A上是否存在一点P，使PE+1/2PB最小，如果存在，求出这个最小值，如果不存在，简要说明理由．【解析】（1）分两种情形：①∠PAB＝90°，②∠APB＝90°分别求解即可解决问题；答案为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．（2）求出PA，PB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可；（3）如图，连接EM．∵PA＝4，AMAB＝4，∴PA＝AMAB，∴PA/AM=AB/PA，∵∠PAM＝∠BAP，∴△PAM∽△BAP，∴PM/PB=PA/AB=1/2，∴PM＝1/2PB，∴PE+1/2PB＝PE+PM，∵PE+PM≥EM，∴PE+PM的最小值为线段EM的长，∵E（0，3），∴OE＝3，∴由勾股定理可求得EM＝√10，∴PE+1/2PB的最小值为√10．【点评】本题属于属于圆综合题，考查了勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．例2．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC 于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求BC/AE的值；②若点G为AE上一点，求OG+1/2EG最小值．【解析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得BC/AE 的值．②先利用BC/AE的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把1/2EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．解：①连接BE∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°∴∠BED＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°,∴∠BAE＝∠CBE∵∠DAE＝∠BAE,∴∠DAE＝∠CBE,∴△ADE∽△BEC, ∴AE/BC=DE/CE,∵DE＝3，CE＝2,∴BC/AE=2/3②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q,∴EP⊥PG，四边形OGPQ 是平行四边形,∴∠EPG＝90°，PQ＝OG∵BC/AE=2/3,∴设BC＝2x，AE＝3x,∴AC＝AE+CE＝3x+2∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C,∴△BEC∽△ABC,∴BC/AC=CE/BC,∴BC ＝ACCE 即（2x）＝2（3x+2）,解得：x ＝2，x ＝﹣1/2（舍去）∴BC＝4，AE＝6，AC＝8,∴sin∠BAC＝BC/AC=1/2，∴∠BAC＝30°∴∠EGP＝∠BAC＝30°,∴PE＝1/2EG,∴OG+1/2EG＝PQ+PE∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝1/2AE＝3,∴OG+1/2EG的最小值为3【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第（1）题为常规题型较简单；第（2）①题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造1/2EG，考查了转化思想．类型2 由已知含有PA+kPB型最值条件，探究圆的综合问题例3．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1/2CD+OD的最小值为4√3时，求⊙O的直径AB的长．【解析】（1）连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证∠OCE＝90°即可（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，在Rt△OHC中运用三角函数即可求AB=4√3h/3AB;（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，先证明四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF ＝DO，过点D作DH⊥OC于H，DH＝1/2DC，1/2DC+OD＝DH+FD，根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数求得AB的长．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF则∠AOF＝∠COF＝1/2∠AOC＝1/2（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DM⊥OC于M，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DM＝DCsin∠DCM＝DCsin30°＝1/2DC，∴1/2CD+OD＝DM+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、M三点共线时，DM+FD（即1/2 CD+OD）最小，此时FM＝OFsin∠FOM＝√3/2OF＝4√3，则OF＝8，AB＝2OF＝16．∴当 CD+OD的最小值为4√3时，⊙O的直径AB的长为16．三、总结提升“PA+kPB”型最值问题问题核心解题思想就是“折转直”，通过截取构造等值线段，利用相似三角形、解直角三角形等，将问题利用这类问题常用定理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③垂线段最短，从而求解问题。
圆的最值问题求解四法
２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀圆的最值问题求解四法◉云南省普洱市孟连县第一中学㊀孙宝恩㊀㊀摘要:与圆有关的最值问题是近年来高考数学的热点之一,它着重考查数形结合与转化思想．求圆的最值问题 四化法 的基本思路是,利用平面几何知识,或利用圆的参数方程,或设圆上点的坐标,将其转化为函数的最值问题．关键词:化为斜率法;化为截距法;化为距离法;化为三角函数法㊀㊀与圆有关的最值问题,因为其代数式具有明显的几何意义,所以应优先考虑数形结合法．运用数形结合法求最值,既可以借助图形直观获得简捷解法,又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误,还有利于沟通数学各个分支,深化思维,全面提高学生数学综合素质[１]．涉及与圆有关的最值问题,可借助圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想来求解．一般情况下,求形如t ＝y －bx －a的最值问题,可转化为动直线的斜率问题;求形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值问题,可转化为动直线的截距问题;求形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可转化为动点到定点的距离问题．另外,还可以通过建立目标函数求最值．与圆有关的最值问题,既是高中数学中的难点问题,又是近年来高考中的热点题型,因此有必要熟悉和掌握其常用的解题思路与方法．１化为斜率法例１㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求yx的最大值和最小值．解:原方程可化为(x －２)２＋y ２＝３,表示以(２,０)为圆心,３为半径的圆．yx 的几何意义是该圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k ,即y ＝k x ．图１当直线y ＝k x 与圆相切时,如图１,斜率k 取最大值或最小值,此时２k －０k ２＋１＝３,解得k ＝ʃ３所以yx的最大值为３,最小值为－３．思路与方法:本题中yx 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,两切线的斜率为其最值,可由２k －０k ２＋１＝３求切线的斜率,也可将y ＝k x 代入圆的方程,由Δȡ０,求解k 的范围．例２㊀求y ＝１＋s i n x２＋c o s x 的最值．图２解:将原函数式变形为y ＝s i n x －(－１)c o s x －(－２),其几何意义是在直角坐标系中,动点(c o s x ,s i n x )与定点P (－２,－１)连线的斜率．动点P 的轨迹为单位圆(如图２),由图可知,k P B 最小,k P C 最大．显然,k P B ＝０．由t a n θ＝O B P B ＝１２,得t a n øB P C ＝t a n２θ＝２t a n θ１－t a n ２θ＝４３,即k P C ＝４３．故y 的最小值为０,最大值为４３．思路与方法:从本题的解题思路可以归纳 形如f (x )－ag (x )－b 的函数式,可以将其看作点(g (x ),f (x ))与点(b ,a )连线的斜率,这也是最常见的解题方法．２化为截距法例３㊀在圆O :x ２＋y ２＝１上求一点P ,使得过点P 的切线与两条坐标轴所围成的三角形面积最小．解法１:设P (x １,y １),则切线l 为x １x ＋y １y ＝１,即x １x １＋y １y １＝１,截距a ＝１x １,b ＝１y １．所以,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀b ＝１２１x １ １y １＝１２x １y １ȡ１x ２１＋y ２１＝１１＝１,当且仅当x １＝y １＝２２时,取等号,S 的最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．解法２:因为点P 在圆x ２＋y ２＝１上,可设P (c o s φ,s i n φ),所以切线l :x c o s φ＋y s i n φ＝１,其截距a ＝１c o s φ,b ＝１s i n φ．因此,过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为S ＝１２a b ＝１２１c o s φ １s i n φ＝１s i n ２φȡ１．当s i n ２φ＝ʃ１,即φ＝ʃπ４,ʃ３４π时,S 取最小值,且最小值为１．故所求点P 的坐标为(２２,２２),(２２,－２２),(－２２,－２２),(－２２,２２)．思路与方法:本题的两种解法都是将与圆有关的求三角形的最值问题转化为直线与圆相切的截距型问题．通过设点P 的坐标,先求出截距,然后再根据三角形面积公式推出S әȡ１,最后确定点P 的位置．例４㊀设x ,y 满足y ＝－x ２－２x ,求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．图３解:y ＝－x ２－２x ＝１－(x ＋１)２,其图象为如图３所示的半圆O ᶄ,S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距的最大值与最小值．由A (－２,０),k A D ＝－１,得D (０,－２),即S m i n ＝－２．又O ᶄB ＝B C ＝１,所以O ᶄC ＝２,得O C ＝２－１＝O D ᶄ,则点D ᶄ的坐标为(０,２－１),即S m a x ＝２－１．故S 的最大值与最小值分别为２－１,－２．思路与方法:本题是将其转化㊁变形为截距型最值问题,并对半圆㊁直线截距的几何意义进行了由 隐 到 显 的挖掘,其中紧扣 S 的最大值与最小值分别是直线y ＝－x ＋S 和半圆O ᶄ有公共点时截距S的最大值与最小值 是关键．３化为距离法例５㊀在әA B C 中,øA ,øB ,øC 所对的边分别为a ,b ,c ,且c ＝１０,c o s A c o s B ＝b a ＝４３,P 为әA B C的内切圆上的动点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和的最大值与最小值．解法１:由c o s A c o s B ＝b a ,得c o s A c o s B ＝s i n Bs i n A ,即s i n ２A ＝s i n２B ．在әA B C 中,因为A ʂB ,所以２A ＋２B ＝π,则A ＋B ＝π２,故әA B C 为直角三角形．图４由c ＝１０,b a ＝４３,可得a ＝６,b ＝８．建立如图４所示的平面直角坐标系,设әA B C 的内切圆圆心为O ᶄ,切点分别为D ,E ,F ,则|A D |＋|D B |＋|E C |＝１２(１０＋８＋６)＝１２,内切圆的半径r ＝|E C |＝１２－１０＝２,则内切圆O ᶄ方程为(x －２)２＋(y －２)２＝４．设圆O ᶄ上动点P 的坐标为(x ,y ),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(x －８)２＋y ２＋x ２＋(y －６)２＋x ２＋y ２＝３[(x －２)２＋(y －２)２]－４x ＋７６＝８８－４x ．由点P 在圆上,可知,０ɤx ɤ４,于是S 的最大值为８８,最小值为８８－４ˑ４＝７２．解法２:同解法１,得әA B C 是直角三角形,其内切圆半径r ＝２．设圆上动点P 的坐标为(２＋２c o s α,２＋２s i n α)(０ɤαɤ２π),则点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和为S ＝P A ２＋P B ２＋P C ２＝(２c o s α－６)２＋(２＋２s i n α)２＋(２＋２c o s α)２＋(２s i n α－４)２＋(２＋２c o s α)２＋(２＋２s i n α)２＝８０－８c o s α．因为０ɤαɤ２π,所以S 的最大值为＝８０＋８＝８８,最小值为＝８０－８＝７２．思路与方法:本题可转化为点到直线的距离型最值问题．解法１是由三角形的边㊁角关系推证出әA B C 为直角三角形,然后建立平角直角坐标系,通过设三角形内切圆,求三角形三边的长度获解;解法２在已知әA B C 为直角三角形的基础上,通过设动点坐标,利用三角函数求出最值．０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例６㊀已知实数x ,y 满足方程x ２＋y ２－４x ＋１＝０,求x ２＋y ２的最大值和最小值．图５解:x ２＋y ２－４x ＋１＝０可化为(x －２)２＋y ２＝３,它表示以C (２,０)为圆心,３为半径的圆．如图５所示,x ２＋y ２表示圆上的一点与坐标原点距离的平方．由平面几何知识可知,在坐标原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心C 到原点的距离为２,所以x ２＋y ２的最大值是(２＋３)２＝７＋４３,x ２＋y ２的最小值是(２－３)２＝７－４３．思路与方法:本题中的x ２＋y ２可看作是圆上的点与原点距离的平方,所以可以借助平面几何知识,利用数形结合法快速求解．４化为三角函数法例７㊀已知圆C :(x －３)２＋(y －４)２＝１和两点A (－m ,０),B (m ,０)(m ＞０)．若圆C 上存在点P ,使得øA P B ＝９０ʎ,则m 的最大值为(㊀㊀)．A．７㊀㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀㊀C ．５㊀㊀㊀㊀D．４解:设点P (x ０,y ０),则x ０＝３＋c o s θ,y ０＝４＋s i n θ{(θ为参数)．由øA P B ＝９０ʎ,得A P ң B P ң＝０,即(x ０＋m )(x ０－m )＋y ２０＝０,则m ２＝x ２０＋y ２０＝２６＋６c o s θ＋８s i n θ＝２６＋１０s i n (θ＋φ)ɤ３６(其中t a n φ＝３４)．所以０＜m ɤ６,即m 的最大值为６．故选答案:B ．思路与方法:本题是通过建立目标函数来求最值．由于øA P B ＝９０ʎ,则点P 也在以A B 为直径的圆上,因此问题还可转化为两圆有公共点,求m 的最大值,即两圆内切时,m 有最大值６．例８㊀半圆O 的直径为２,A 为直径延长线上一点,O A ＝２,B 为半圆上任意一点,以A B 为一边作等边三角形A B C ．问点B 在什么位置时,四边形O A C B的面积最大,并求这个最大值．图６解:如图６,设øA O B ＝α(０＜α＜π),在әA O B 中,又O B ＝１,O A ＝２,由余弦定理,得A B ２＝O A ２＋O B ２－２O A O B c o s α＝５－４c o s α．设四边形O A C B 的面积为S ,则㊀㊀㊀S ＝１２O A O B s i n α＋３４A B ２＝s i n α＋３４(５－４c o s α)＝５３４＋(s i n α－３c o s α)＝５３４＋２s i n (α－π３),当且仅当s i n (α－π３)＝１,即α＝５π６时,四边形O A C B的面积最大,且最大值为５３４＋２．思路与方法:本题通过运用余弦定理,将与圆有关的四边形面积的最值问题,转化为三角函数问题来求解．从解题过程不难看出,对y ＝a s i n x ＋b c o s x (a ,b ʂ０)引入辅角θ,则y ＝a ２＋b ２s i n (x ＋θ)(其中t a n θ＝ba),其最值一目了然．根据以上典例及 四化法 的运用情况,可以把与圆有关的最值问题大致归纳总结为以下几种类型:①定点与圆上的点的距离的最值题型,可将其转化为定点到圆心的距离ʃ半径 ;②定直线与圆上点的距离的最值题型,可将其转化为 圆心到直线的距离ʃ半径 ;③形如t ＝y －bx －a 的最值题型,可将其转化为动直线的斜率问题(切线处取得最值);④形如t ＝a x ＋b y ＋c 的最值题型,可将其转化为动直线的截距问题(切线处取得最值);⑤形如(x －a )２＋(y －b )２的最值问题,可将其转化为定点到圆上动点的最值问题．圆是一种很规则的图形,解答与圆有关的最值问题很适合采用数形结合法．运用 四化法 解题的关键,是在准确理解题意的基础上进行合理联想和类比,将代数式通过转化㊁变形㊁给予几何解释[２]．上述典型例题的解析可以帮助学生学会从 形 中觅 数 的思路与方法,掌握如何根据图形去寻求数量关系的技巧,能够娴熟地将几何问题代数化,通过不断加强这类题型的解题训练,最终达到触类旁通㊁举一反三㊁开阔思路㊁运用自如㊁综合提高的目的．参考文献:[１]杜超．例谈与圆有关的最值问题[J ]．理科考试研究,２０２１(９):１６Ｇ１８．[２]程会海．与圆有关的最值问题的解题策略例说[J ]．中学数学,２０２２(５):６４Ｇ６５．Z １８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提高练习
如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点， 满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的 最小值是___5_-_1_．
提高练习
如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形， 点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．
移动，则顶点C到原点O的最大距离是( C )
A. 6
B. 8 C. 3 3 3 D. 3 3 2
C′
小结
Hale Waihona Puke 编题如图，已知正方形ABCD的边长为2，顶点A，D分别在x
轴、y轴上．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动
，则运动过程中，点B到原点O的最大距离为
.
编题
如图，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A、 B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离
腰Rt△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC 的取值范围为 5-1 PC 5 1 。
D
练习
如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的 形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的
最大距离为（ A ）
A． 2 1 B． 5 C． 5
D．2
小结：动点比较多时，可以采用 相对运动的思想。
E
小组合作
你能将上题中的矩形改换成其他 多边形，并设置数据，编制出一道 上述类型的题目吗？
拓展
【2016考试说明（二） 12题】
如图，边长为3的等边△ABC的顶点A在x轴的正半
轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上随之
则B′A长度的最小值是__1____ ．
练习
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在 的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的 最小值是 7-1 .
例2
【2016考试说明（一 ） 17题】 如图，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为等
当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（D ）
A．2 3 B. 3 1 C. 2
D. 3 1
小结：多次画图常能让我们发现 动态过程中不变的结论。
提高练习
【2016考试说明（四 ） 12题】
如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上， ∠B=90°，点C在⊙O内，且tanA=3/4，当点A在圆上 运动时，OC的最小值为 3/2 。
课前热身
如图，在△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是 高线CD的中点，以CE为半径作⊙C，点G是⊙C上的一
个动点，P是AG中点，DP的最大值为 3.5 。
几何最值问题（一）
—— 动点在圆上
O
A
P
B
江北实验中学：杨晓玲
例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，