复变函数参考答案(1-8章)

复变函数与积分变换

同步练习参考答案

中北大学复变函数教研室编印

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复变函数同步练习第一章参考答案

三、作业题

1、(1)设2

3412i z i +⎛⎞

=⎜⎟

−⎝⎠

，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。 (2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为32

25

−。

提示：本题注意到2

(1)2i i −=−，2

(1)2i i +=。则

52225222

(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132

(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525

i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。 (3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转

2

3

π时对应的复数为1i +，则原复数

为1122

−+−+。

提示：本题相当于解2

3

111(1)()(1)2222

i z e

i i i i π−−+−=+=−−+=+。

(4)

设1z =

2z i =−，则12z z 的指数式i

122e π，12z

z 的三角式为 155[cos sin 21212

i ππ

+。 (5)2

1

22lim

1

z zz z z z →+−−=−3

2。 提示：21

1122(2)(1)23lim

lim lim 1

(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。 (6)设复数z 满足arg(2)3

z π

+=

，5arg(2)6z π

−=

，那么z

=1−+。 提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632

πππ

−=，在复平面上，

代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变

2

化）。连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。因此推出向量2z =，2arg 3

z π

=

，即1z =−+。本题也可以利用代数法来做。

2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。(可参照例题4) 解：

（解法一）2sin

2

r α

=

==；因为当0απ<<时，

sin 0α>，1cos 0α−>，则sin arg arctan

arctan(cot )1cos 2

z αα

α==−

arctan(tan )22παπα−−==

，所以1cos sin 2sin (cos 22

i απα

αα−−+= sin

2

i πα

−+i 2

2sin

2

e

πα

α

−=　。即1cos sin i αα−+i 2

2sin

2

e

παα

−=　。上式对于0α=及

απ=时也成立。

（解法二）利用三角公式，有2

1cos sin 2sin

2sin

cos

222

i i α

α

α

αα−+=+

2sin (sin 2cos )2sin (cos sin )222222

i i ααααπαπα−−=+=+……三角表示式

i 2

2sin 2

e

πα

α

−=　…………………………..指数表示式。

3、解下列方程5

5

(1)(1)z z +=−。

分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。

解：由直接验证可知原方程的根1z ≠。所以原方程可改写为5

111z z +⎛⎞

=⎜⎟−⎝⎠

。

令

11z z

ω+=

−， ……………(1) 则5

1ω=， ……………………(2) 方程(2)的根为24685

5

5

5

1,,,,i i i i e e

e

e

ππππω=。即i e α

ω=，2468

0,

,,,5555

αππππ=。但

3

由(1)i i 2sin

(sin

cos )11cos sin 122211cos sin 12cos (cos sin )

222

i e i z e i i α

αα

α

α

ωαααααωαα−+−−+−=

===

+++++

tan 2i α=。故原方程的根为tan 2

z i α=，其中2468

0,,,,5555αππππ=。

4、函数1

z

ω=把z 平面上的下列曲线映射成ω平面上怎样的曲线?

(1) 3x =; (2)2

2

(1)1x y −+=且0y >。 解：(1)令z x iy =+，u iv ω=+，11z z ωω

=

⇒=。即221u iv

x iy u iv u v −+=

=++。因此22u x u v =+，22v y u v −=+。而已知曲线方程为3x =。故z 平面上直线3x =在1z

ω=下

的像曲线为22

103

u v u +−=，这是ω平面上过原点的圆周。

(2)方程2

2

(1)1x y −+=化为

2212x x y =+，而2222

1,x y

u v z x y x y

ω−=⇔==++。。因此所求的像恰为1

2

u =

且0v <（0y >∵）。 5、证明：2

2

22

1212

122()z z z z z z ++−=+，并说明其几何意义。

证明：（利用公式2

z zz =）左式=2

2

1212

1212()()z z z z z z z z ++−=++

2

2

1212112212()()222()z z z z z z z z z z +−−=+=+，得证。

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。 6、如果i t z e =，证明1

2sin n

n

z i nt z −=成立。 证明：i i i i 1()()2isin n

t n t n nt nt

n

z e e e e nt z

−−−

=−=−=。得证。 7、设1()()2z z

f z i z z

=−(0z ≠)，试证：当0z →时，()f z 的极限不存在。

证明1：令i z re θ

=，i z re

θ

−=，则1()()sin 22i i i i re re f z i re re

θθ

θθθ−−−=−=。因为