山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案)
2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf
=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
第八届全国大学生数学竞赛决赛(数学类3、4)参考答案一面
其中: x0 ∈ E , x2 ∈ E , · · · , xn ∈ E ; x1 ∈ / E, x3 ∈ / E, · · · , xn−1 ∈ / E. 构造如下: ∀n ⩾ 1, 先取 x0 = 0, x2 , x4 , · · · , xn−2 ∈ E, xn = 1
数学家
|χE (xi ) − χE (xi−1 )| → ∞, 即
因此, 当且仅当 a > 27 或 a < −37 时方程有虚根 ∫∫ ax dy dz + (x + a)2 dx dy √ (a > 0 为常数)， 3. 计算曲面积分 I = x2 + y 2 + z 2 S √ 其中 S : z = − a2 − x2 − y 2 , 取上侧. I = π 答案：− a3 2 x2 + y 2 ⩽ a2 解: 令曲面 S1 : , 取下侧, 则 S1 ∩ S 为闭下半球的内侧. z = 0 令其内部区域为 Ω, 令 D 为 xOy 平面上的圆域 x2 + y 2 ⩽ a2 , 则利用高斯公式, 得 {∫ ∫ } ∫∫ [ ] 1 2 I= − axdy dz + (z + a) dxdy a S ∪S1 S1 [ ∫∫∫ ] ∫∫ 1 − (3a + 2z )dv + = a2 dxdy a Ω D [ ] ∫∫∫ 1 4 4 = −2πa − 2 z dv + πa a Ω ∫ ∫ a ∫ 0 2 2π = −πa3 − dθ rdr √ z dz a 0 0 − a2 −r 2 π = − a3 2
ˆ(x) ∈ S . 于是, 在 R 上有界, 从而 f ∫
A
数学家
−∞
ˆ(x)e2πixy dy 收敛, 而 f
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案(非数学类,
（3）
∫∫∫( ) ∫ ∫ ∫ I = 1
1− (x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 dv = 1
2π dθ
π sin ϕ
1
(1 −
ρ 2 )ρ 3dρ
=
π
.
2Ω
20
0
0
6
3
五、设 n 阶方阵 A, B 满足 AB = A+B ，证明：若存在正整数 k ，使 Ak = O ( O 为零矩阵)，则 行列式 B + 2017 A = B .
1 k
−
ln
n
.
（1）证明：极限
lim
n→∞
an
存在；
∞
∑ （2）记
lim
n→∞
an
=
C
，讨论级数
n =1
(an
−C)
的敛散性.
解 （1）利用不等式：当 x > 0 时， x < ln(1+ x) < x ，有 1+ x
1
an
−
an−1
=
1 n
−
ln
n n −1
=
1 n
−
ln
⎛⎜⎝1 +
1⎞ n −1⎟⎠
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案
(非数学类, 2017 年)
一、填空题
1.过单叶双曲面
x2 4
+
y2 2
− 2z2
= 1 与球面
x2
+
y2
+
z2
=
4
的交线且与直线
⎧x = 0 ⎨⎩3y + z
第九届中国大学生数学竞赛预赛试卷+答案
ą1“ 4
fxyp0, 0q‰2
`
1 2
fxxp0, 0q
fyyp0, 0q
`
1 4
“
fyyp0, 0q‰2
´
fxxp0, 0q
fyyp0, 0q
“
1 4
! “
fxy
p0,
0q‰2
´
2
fxx
p0,
0q
fyy
p0,
0q
`
“
fyyp0,
0q‰2
)
“1“ 4
fxxp0, 0q
´
fyyp0,
0q‰2
ě
0
这就说明 B2 ´ AC ą 0, f p0, 0q 为极值. 下面证明 f p0, 0q 为极小值,
0
0
0
V
“
2π
¨
1
sin2
φ
ˇπ {4 ˇ
¨
1
ρ
ˇ2 4ˇ
“
2π
2
ˇ
0
4
ˇ
0
♢
二、(本题满分 14 分) 设二元函数 f px, yq 在平面上有连续的二阶导数. 对任意角度 α, 定义一元函数
gα ptq “ f pt cos α,t sin αq.
若对任何 α
都有
dgα p0q dt
“0且
d2gα p0q dt 2
由常数变易法, 从而
∫
ˆ∫
∫
˙
f pxq “ e´ tanxdx sec xe tanxdx dx ` C
ˆ∫ “ elncosx
1
˙
∫
´
e´lncosx dx ` C “ cos x
大学生数学竞赛(数学类)考题及答案
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ .（1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；（2）求n n C ⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？ 五、（10分）设320sin sin n nta t dt t π=⎰， 证明11n na ∞=∑发散. 六、（15分） (,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f fx y x y∂∂+=∂∂，计算积分221x y I dxdy +≤⎛⎫=⎰⎰. 七、（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使()0f ξ''=。
2017总决赛山东省大学生数学竞赛(专科)
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷（非数学类，2017）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
） . 1111.1的反函数为函数x x y ---+= . )1sin 1(cot lim .20=-→x x x x 求. d d cos sin sin 3.422=⎩⎨⎧+===πt x y t t t t y t x 求为参数），（设 (). d m ax .4222=⎰-x x x ，求. 32 )1(.53211，其收敛半径为已知级数Λ-+-=-∑∞=-x x x n x n n n. 035126.的通解为分方程二阶常系数齐次线性微=+'-''y y y注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。
2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
线封密身份证号： 所在院校： 座号： 姓名：二、综合题（本题共70分，请写出相应演算步骤。
） .)()()sin sin (lim 111.sin sin 其类型的间断点，并指出，求函数，记此极限为分）求极限（x f x f xt x t x x t -→. 0 )(0 )0()( 0)0()0()(122.连续导数是连续的，且具有一阶，，，试证明函数存在，具有一阶连续函数，且分）设函数（⎪⎩⎪⎨⎧≠='==''x xx f x f x F f f x f.d e )()(113.2212的单调区间与极值分）求函数（t t x x f x t ⎰--=[]0.)()3,0(2)0()()2,0(1)3()2(d )()0(2 )30(3,0)(12.420=''∈=∈+==⎰ξξηηf f f f f x x f f x f ，使）证明存在（；，使证明存在）（，内存在二阶导数，且，上连续，在在分）设函数（.ln 10145.体积轴旋转一周所得旋转体绕的面积及围成，求区域与直线由区域点，轴交于与，又的切线，切点为：）点做曲线，分）过（（x D D AB L D B x L A x y L =.d d 833106.2⎰⎰=+==Dy x x y x x y y x D 围成，计算及，由直线分）设平面区域（。
2018决赛带答案山东省大学生数学竞赛(专科)试卷
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷（非数学类（A ），2018）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟满分： 100 分一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
）[].________)(0)(1)(e )( .12=≥-==x x x x f x f x ϕϕϕ，则，且，已知[][][][].0 )1ln(.01)1(0)1ln()1ln()(1e 1)(e )(e )( 222)()(）（故应填，即，所以而，解得，，所以而，，则因为≤-≤≥-≥--=-=-===x x x x x x x x x x f x f x f x x x ϕϕϕϕϕ解.________)100(lim .22=++-∞→x x x x 求注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。
2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
线封密.50.5011001100lim100100lim)100(lim 222--=-+-=-+=++-∞→-∞→-∞→故应填xxx x x x x x x x 解.________)()2(lim1)( .30000=----='→x x f x x f xx f x ，则已知[][]1..1)()2(1lim )()2(lim 1)()(2)()()()2(lim)()2(lim0000000000000000故应填得，由=---=---='+'-=-----=---→→→→xx x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x x f x x f x x x x 解.________ 0)πsin( .4102='=-==y x y y xy ，则已知方程.π21.π21π2)πcos(0π2)πcos(0)πsin( 10222--='-='='-'+=-==故应填所以，，即求导得等式两边同时对方程y x y xy y yy y y y y x y x y xy 解 .________d 1ln .52=-⎰x x x 求.ln .ln d 1d 11ln d 11d ln d 1d ln d 1ln 222222C xxC xxx x x x x x x xx x x x x x x x x x +-+-=-+⋅-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故应填解.________)0(d )12()( .61，其单减区间为已知函数>-=⎰x t tx F x).41,0).41,0410001212)( 故应填（所以单减区间为（，，得，且由<<><-=-='x x xx x x F 解二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。
2017年山东省春季高考数学试卷(解析版)
2017年山东省春季高考数学试卷一、选择题1．已知全集U={1，2}，集合M={1｝,则∁U M等于（）A．∅B．{1｝C．｛2｝D．｛1,2}2．函数的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪［2，+∞) C．(﹣2,2） D．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）3．下列函数中，在区间(﹣∞，0)上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=｜x|4．二次函数f(x）的图象经过两点（0,3），（2,3）且最大值是5，则该函数的解析式是（)A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x)=﹣2x2+8x﹣1 C．f(x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+35．等差数列｛a n}中,a1=﹣5，a3是4与49的等比中项,且a3＜0,则a5等于（) A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．已知A（3，0），B(2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．7．“p∨q为真”是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（)A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．69．下列说法正确的是()A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（) A．72 B．120 C．144 D．28812．若a，b,c均为实数，且a＜b＜0,则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．13．函数f(x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9）,则实数k的值是(）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣214．如果，，那么等于(）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．1815．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分)是（) A．B．C．D．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4,则圆C2的方程是（）A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5)2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5)2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛,在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0)的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是(）A．B．C．D．二、填空题:21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于．22．在△ABC中,a=2,b=3,∠B=2∠A，则cosA=．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．25．对于实数m，n，定义一种运算：,已知函数f(x)=a＊a x，其中0＜a＜1，若f（t﹣1)＞f（4t），则实数t的取值范围是．三、解答题：26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2(3﹣x），(1）求函数f（x)的定义域,并判断函数f（x)的奇偶性；（2）已知f(sinα）=1，求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠;②按照航行天数交纳：第一天缴纳0。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(山东卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2016总决赛答案 山东省大学生数学竞赛(专科)试卷
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷答案（非数学类，2016）一、填空题（每小题5分，共30分） 1. []1,3--和][3,1 2. 2ln a 3. ()(]0-0-，或，∞∞ 4.C x f +22)]([41 5. 23. 6.2 二、综合题（本题共70分，请写出相应演算步骤。
）1.（11分）设n a a a ,,,10Λ是满足0132210=+++++n a a a a n Λ的实数，证明多项式 n n x a x a x a a x f ++++=Λ2210)(，在)1,0(内至少有一个零点.解：令132)(132210+++++=+n x a x a x a x a x F n n Λ （4分） )(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=F （2分）又因为0132210=+++++n a a a a n Λ，所以0)1(=F （2分） 所以由罗尔定理知在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(='ξF即0)()(2210=++++=='n n a a a a f F ξξξξξΛ 得证 （3分）2. （11分）求不定积分dx x x )1ln(2⎰++. 解：⎰⎰++-++=++)1ln()1ln()1ln(222x x xd x x x dx x x （3分） ⎰+-++⋅=dx x xx x x 221)1ln( （4分）⎰++-++⋅=)1(1121)1ln(222x d xx x x （2分） C x x x x ++-++⋅=221)1ln( （2分）3. （16分）设)(x f 连续，dt xt f x ⎰=10 )()(ϕ，且A xx f x =→)(lim 0（A 为常数），求)(x ϕ'并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.解：当0≠x 时，令u xt =，则du dt x =⋅，当0=t 时0=u ，当1=t 时x u =， 所以xduu f du x u f x x x ⎰⎰== 0 0 )()( )(ϕ （4分） 所以当0≠x 时，2 0)()()(x du u f x xf x x⎰-='ϕ （2分） 由A xx f x =→)(lim 0知0)0(=f （1分） 又由dt xt f x ⎰=10 )()(ϕ和0)0(=f 知0)0(=ϕ （1分） 则2 0 00)(lim 0)0()(lim )0(x du u f x x x x x ⎰→→=--='ϕϕϕ22)(lim 0A x x f x ==→ （4分） 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-='⎰0 ,20,)()()(2 0 x A x x du u f x xf x x ϕ （1分） 又因为)0(22)(lim )(lim )()(lim )(lim 2 0 0202 0 00ϕϕ'==-=-=-='⎰⎰→→→→A A A x du u f x x xf x du u f x xf x xx x x x x （注意2 00)()(lim x duu f x xf x x ⎰-→直接用洛必达法则计算有一定问题，若直接用洛必达法则计算要得出结论，需证明)(x f '在0=x 处是连续的，而题设中没有此结论）所以)(x ϕ'在0=x 处连续 （3分）4. （16分）已知一开口向上的抛物线通过x 轴上的两点)0,1(A 和)0,3(B .（1）试证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积；（2）计算上述两个平面绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.解：由开口向上，通过x 轴上的两点)0,1(A 和)0,3(B ，得抛物线方程)0()34()3)(1(2>+-=--=a x x a x x a y （4分）（1）两坐标轴与该抛物线所围图形的面积 ()13122100443(23)33x s a x x dx a x x a =-+=-+=⎰ （2分）x 轴与该抛物线所围图形的面积()33 3222 114[43](23)33x s a x x dx a x x a =--+=--=⎰ （2分） 结论得证。
山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案)
4 x2
解得
dy 8 x ln 4 x 2 2 x ln x 2 dx dy 8 x ln 2 x 2 x ln x . 2 dx ey ey
2
2 x0 x 2 (1 cos x), 3.(10分)设f ( x) 1 x 0，试讨论f ( x)在x 0处的可导性. 1 x 2 x0 x 0 cos t dt 2 (1 cos x ) 1 2 2(1 cos x ) x 2 2 sin x 2 x x 解： f (0) lim lim lim 3 x 0 x 0 x0 x x 3x 2 2 cos x 2 sin x lim lim 0 x 0 x 0 6x 6 1 x x cos t 2dt 1 cos t 2 dt x cos x 2 1 0 x 0 f (0) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x2 2x 2 2 x sin x lim 0 x 0 2 f (0) f (0) f ( x )在x 0处可导 .
4.(10分)设f (2 x 1)
7 ln x ，求 f ( x)dx. 1 x
解：令 x 2t 1，则 dx 2dt，x 1时t 1；x 7时t 4
7
1
f ( x )dx 2 f ( 2t 1)dt 2 f ( 2 x 1)dx 2
(2)设G ( x) f ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( x)在[1,1]上是偶函数 G (1) f (1) f (1) 1 f (1) f (1), G (1) f (1) f (1) 1 f (1), 而G ( x)在[1,1]上连续，在(1,1)内可导， 由罗尔定理知，存在 (1,1)使得G( ) f ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) f ( ) 1.
【全国大学生数学竞赛真题试卷】2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷
一、填空题（本题 42 分，共 6 小题，每小题 7 分）
x
1．已知可导函数 f x满足 f xcos x 20 f t sin t d t x 1 ，则 f x ________________。
2．极限
lim
n
sin2
n2 n __________________。
___________。
x0 x 4
esin x sin 2x
5．不定积分I
d x ____________。
2
1 sin x
6．记曲面z 2 x 2 y2 和z 4 x2 y2 围成的空间区域为V ，则三重积分
z d x d y d z ______________。
V
二、（本题 14 分）设二元函数 f x, y 在平面上有连续的二阶偏导数，对任意角度 ，定义一元函数
3 ． 设 w f u, v 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 u x cy, v x cy ， 其 中 c 为 非 零 常 数 ， 则
1
wxx
c2
wyy
___________。
f sin2 x
4．设 f x具有二阶连续导数，且 f 0 f 0 0, f 0 6 ，则 lim
g
t
f
t
cos
, t
sin
,
若对
任何
都
有
d g 0
dt
0
且
d2 g 0
dt2
0
，
证明
：
f
0,
0
是
f x, y的极小值。
三、（本题 14 分）设曲线 为曲线x2 y2 z2 1, x z 1, x 0, y 0, z 0 上从点A 1, 0, 0
全国大学生数学竞赛初赛2017年第九届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
【参考解答】【解法一】在有泰勒公式应用于解题的竞赛题解析中，特别强调了泰勒公式的两种类型适
用的问题类型。这里是求极限，并且是求自变量趋于0 的极限；毫无疑问，就是用带皮亚诺余项的泰勒公
式，并且由于函数由二阶连续导数，所以可以在0 点可以展开为二阶带皮亚诺余项的泰勒公式，即有
f x f 0 f 0x f 0x2 o x2 2!
2
1 t
dt
1t
dt
2
1 t
dt
et
dt
1t
1 det et
1t
1t
et
d 1
1 t
et
et
1 t (1 t)2 dt
tet
et
代入上式可得
dt
+C ，由于 sin x t ，所以
2
1 t
1t
esin x sin 2x
2esin x
I
2
1 sin x
dx
+C
1 sin x
6．记曲面z 2 x 2 y2 和z 4 x2 y2 围成的空间区域为V ，则三重积分
z d x d y d z ______________。
V
【参考解答一】由两个方程，可得边界线方程为x 2 y2 2 ，这个题目由被积函数的结构，只包含一个
变量 z ，而且用平行于 xOy 的平面取截取立体区域，截面都为圆，所以考虑先二后一的截面法计算要简
f xcosx f xsin x 2f xsin x 1
f xcosx f x sin x 1
f x f xtan x secx
这是一个非齐次的一阶线性微分方程，由计算公式可得
f (x) e tan x d x sec xe tan x d x d x C
2017年中国大学生数学竞赛预赛试题参考答案(非数学类)
1 1 − ln cos x =e − ln cos x ∫ e dx + c = cos x ∫ dx + c 2 cos x cos x
= cos x ( tan x + c ) = sin x + c cos x
由于 f (0) = 1 ，故 f ( x) = sin x + cos x 。
2 2 2
பைடு நூலகம்
Γ
解: 记 Γ 为从 B 到 A 的直线段, 则 x = t , y = 0, z = 1 − t , 0 ≤ t ≤ 1 ，
1
Γ1
∫ ydx + zdy + xdz = ∫ td (1 − t ) = − 2 .
0
1
1
-----4
分
设 Γ 和 Γ 围成的平面区域 Σ ，方向按右手法则. 由 Stokes 公式得到
I + ∫ = − ∫∫ dydz + dxdy .
Γ1 Σ
曲线 Γ 在 xy 面上投影的方程为
( x − 1 / 2) 2 y2 + = 1. (1 / 2) 2 (1 / 2 ) 2
------12
分
又该投影（半个椭圆）的面积得知 ∫∫ dxdy = 4π 2 . 同理， ∫∫ dydz = 4π 2 .
6.
2 2 2
4 − x2 − y 2
围成空间区域为V ，则三重积分
V
I = ∫∫∫ zdxdydz = ∫ dθ ∫
0 V
2π
π /4
0
dϕ ∫ ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕ d ρ
0
2
2 π /4 1 1 = 2π ⋅ sin 2 ϕ ⋅ ρ 4 = 2π 0 0 2 4
【全国大学生数学竞赛真题试卷】2017年02-参考解答-第九届全国初赛-数学类试卷
lim
n
n k 1
f
nk
An
lim
n
n
1 1
2n f (x) d x lim n
1
n
1
2n f (x)d x
0
f (1) f (0) .
2 28
六、【参考解答】：容易知道 f x 连续，注意到 f (x) 1 x 2(1 x)，于是有
0 f (x) 1 f (0) f (1), x (0, 1)
n
d
x
m n
n n
4
1
1
1
4
n
1
n
1
1
1
1 n
n
1
(1
)
M
mn
n
1
f n (x)d x
从而 lim
0.
n
f n (x) d x
0
对于
0,
ln
5 4
，取
2
e 1
，则
0,
12,
ln
2
2
.
1
f n (x)d x
另一方面，由前述结论，存在 N 1 使得当n N 时，有
n
1 n
n k 1
f
nk
1
f (x)d x
0
1
1x
ln 2
x arctan x
dx
0 0 1x2
42
对于 x
k
n
1
,
k n
,
(1
k
n
)
，由中值定理，存在
n,k
k
n
1
,
k n
2017山东卷高考数学试题(Word版本)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1） 设函数A ，函数y=的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知i 是虚数单位，（A ）i 或-1 （B （C ） （D（3）已知命题p:()＞,log 1＞0+x x；命题q ：若a ＞b ，则＞a ba b ，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ） p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ （4）已知x,y 满足31,+11⎧-+≤⎪+≤⎨⎪⎩x y 2x y ，则z=x+2y 的最大值是（A ） （B ） （C ） （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，学|科网根据散点图可以看出y 与x 之间有相关关系，直线方程为y=bx+a 已知∑=225，∑=1000，b=1该班某学生的脚长为，据此估计身高为（A ）160（B ）183（C ）（D ）170(6)执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为，则第一次，第二次输出的的值分别为（A ）0,0（B ）1,1（C ）0,1（D ）1,0（7）若a >b >0，且ab=1，则下列不等式成立的是（A ）2a 1b a log (a b)2+〈〈+b（B ）2a b 1log (a b)a 2〈+〈+b（C ）2a 1b a log (a b)2+〈+〈b （D ）2a 1b log (a b)a 2+〈+〈b （8）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取Z 次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ） （B ） （C ） （D ）（9）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（A ）a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D) B=2A(10)已知当x []01∈，时，函数y=(mx-1)2 的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）（0，1）[2,+] （B ）（0，1）[3,+ ] （C ）（0，[2,+] (C) （0，[3,+]第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知（1+3x ）n 的展开式中含有x -1的系数是54，则n =（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若 123-e e 与12+3e e 夹角为 则实数λ的值是（13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4(0)＞＞2222x y +=a b a b 与焦点为F 的抛物线()2x =2py p >0 交于A,B 两点，若AF +BF =OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________.（15）若函数y=f(x)，本题请等后更新。
2017年山东卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0B．1，1C．0，1D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P 1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(参考答案)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．3．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．5．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D7．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．8．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．9．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1=（3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．12．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．13．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．14．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．15．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．17．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．18．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．20．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。
2017年高考真题山东卷数学(理)试题及答案
浙江学联数学教研组
(13)由一个长方体和两个 为 .
1 圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积 4
（14）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
x2 y 2 1 a 0, b 0 的右支与焦点为 F 的抛物 a 2 b2
线 x 2 2 px p 0 交于 A, B 两点，若 AF BF 4 OF ，则该双曲线的渐近线方程 为 .
1 b log 2 a b a b 2
（B）
b 1 log 2 a b a a 2 b 1 b b 2a
（C） a
（D） log 2 a b a
（8）从分别标有 1 ， 2 ， ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则 抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( （A） ) （C）
3 2 1 2 cos 60o 1 2
(13)【答案】 2
3 ． 3
2
【解析】该几何体的体积为 V （14） 【答案】 y
1 12 1 2 2 11 2 ． 4 2
2 x 2
（15） 【答案】①④ 【解析】① e x f x e x 2 x 2Biblioteka )（C） A 2 B
（D） B 2 A
（10）已知当 x 0,1 时，函数 y mx 1 的图象与 y 交点，则正实数 m 的取值范围是( （A） 0,1 U 2 3, )
x m 的图象有且只有一个
（B） 0,1 U 3, （D） 0, 2 U 3,
（15）若函数 e x f x （ e 2.71828L 是自然对数的底数）在 f x 的定义域上单调递增， 则 称函数 f x 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 ① f x 2 x ② f x 3 x ③ f x x3 ④ f x x2 2 .
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x e t sin 2t 4.曲线 在点(0,1)处的法线方程为 _______________ . t y e cos t
dy dy dt e t cos t e t sin t cos t sin t 解： t ， t dx dx e sin 2t 2e cos 2t sin 2t 2 cos 2t dt dy 1 x 0时t 0 从而 ，所以法线斜率为k法 2 dx t 0 2 所以法线方程为y 1 2 x，即2 x y 1 0.
1 1
4
4
4 ln xd ( x ) 4( x ln x
1 1
4
4
4
1
ln x dx x 1 x dx ) x
4 1
8(ln 4 x ) 8(ln 4 1).
1
4
5.(14分)设奇函数 f ( x )在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1, 证明： (1)存在 (0,1)，使得 f ( ) 1 ( 2)存在 ( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) . 1
6.
1 sin x dx ______________ . x cos x 1 sin x d ( x cos x) 解： x cos x dx x cos x ln x cos x C.
得 分
评阅人
二、综合题（本题共 70 分，请写出相应演算步骤。 ）
得 分
封
评阅人
一、填空题（每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在题中横线上。 ） x 1 1.设f ( ) 3 f ( x) 2 x，求f ( x) ________ . x 1
密
x 1 t 1 , 则x , x 1 t 1 t 1 t 1 2t 2 于是f (t ) 3 f ( )2 3[3 f (t ) 2t ] t 1 t 1 t 1 t 1 整理得 8 f (t ) 6t 2 t 1 3 1 x 1 所以 f ( x) x ，x 1. 4 4 x 1 解：令t
4.(10分)设f (2 x 1)
7 ln x ，求 f ( x)dx. 1 x
解：令 x 2t 1，则 dx 2dt，x 1时t 1；x 7时t 4
7
1
f ( x )dx 2 f ( 2t 1)dt 2 f ( 2 x 1)dx 2
数学竞赛试题 第 3 页（共 5 页）
证明： (1)设F ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( 0) 0 F (0) f (0) 0 0, F (1) f (1) 1 0, 而F ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 由罗尔定理知，存在 (0,1)使得F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1.
5.设y f (ln x)e f ( x )，其中f可微，则dy ______________ .
1 解：y [ f (ln x)]e f ( x ) f (ln x)[e f ( x ) ] f (ln x) e f ( x ) f (ln x)e f ( x ) f ( x)， x 1 dy ydx e f ( x ) [ f (ln x) f ( x) f (ln x)]dx . x
1.(10分)求 os 2 x . x(e 2 x 1) ln(1 tan 2 x)
解：原式 lim
sin 2 x x 2 cos 2 x 1 (sin x x cos x)(sin x x cos x) lim 2 x 0 x 2x x 2 x 0 x4 1 sin x x cos x sin x x cos x 1 sin x x cos x lim lim lim 2 3 x 0 2 x 0 x x 2 x 0 x3 cos x cos x x sin x x2 1 lim lim . x 0 x 0 3 x 2 3x 2 3
绝密★启用前
山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷 （非数学类，2017）
座号： 考试形式： 闭卷
题 号 满 分 得 分
考试时间： 120
一 30 二 70
分钟
满分： 100
总 分
分
100
注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。 线 所在院校： 2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
身份证号：
2. lim
x 1
3 x 1 x ___________ . x2 x 2
3 x 1 x 2(1 x) 1 lim lim x 1 x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x
解：原式 lim
解： (1)由题意得 4 4 V1 (2 x ) dx ( x 5 ) (32 a 5 ) a 5 5 a
2 2 2 2
V2 a 2a
2
2
2a2
0
y 1 dy 2a 4 ( y 2 ) a 4 . 2 4 0
2a2
4 (32 a 5 ) a 4 5 3 由V 4a (1 a) 0得唯一驻点a 1 (0,2) 当0 a 1时，V 0；当a 1时，V 0 (2)设V V1 V2 因此a 1是极大值点即为最大值点。此时，V1 V2取得最大值，为 129 . 5
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2.(10分) e t dt
0
y
2
3x2
0
ln t x 2 dt ( x 0)，求
3x2
dy . dx
4 x2 x
解：令u t x 2，则
y
2
0
ln t x 2 dt 2 ln u du
对等式 et dt 2 ln u du两边视y为x的函数求导数，得
(2)设G ( x) f ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( x)在[1,1]上是偶函数 G (1) f (1) f (1) 1 f (1) f (1), G (1) f (1) f (1) 1 f (1), 而G ( x)在[1,1]上连续，在(1,1)内可导， 由罗尔定理知，存在 (1,1)使得G( ) f ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) f ( ) 1.
0 x
4 x2
解得
dy 8 x ln 4 x 2 2 x ln x 2 dx dy 8 x ln 2 x 2 x ln x . 2 dx ey ey
2
2 x0 x 2 (1 cos x), 3.(10分)设f ( x) 1 x 0，试讨论f ( x)在x 0处的可导性. 1 x 2 x0 x 0 cos t dt 2 (1 cos x ) 1 2 2(1 cos x ) x 2 2 sin x 2 x x 解： f (0) lim lim lim 3 x 0 x 0 x0 x x 3x 2 2 cos x 2 sin x lim lim 0 x 0 x 0 6x 6 1 x x cos t 2dt 1 cos t 2 dt x cos x 2 1 0 x 0 f (0) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x2 2x 2 2 x sin x lim 0 x 0 2 f (0) f (0) f ( x )在x 0处可导 .
x 1
lim 姓名：
x 1
2 1 2 lim . x 2 x1 3 x 1 x 6
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3.设 lim(
x
x 2a x ) 8，则a _____________ . xa
x a 3 ax
3a 3a x a 解：原式 lim(1 ) e3a 8 x xa 所以 a ln 2.
6.(16分)设D1是由抛物线y 2 x 2 和直线x a, x 2及y 0所围成的平面区域；D2 是由抛物线 y 2 x 2 和直线y 0, x a所围成的平面区域，其中0 a 2 (1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2 绕y轴旋转而成的旋转体体积V2； (2)问当a为何值时，V1 V2取得最大值？试求此最大值.
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