人教B版高中数学高二选修2-1练习第二章《圆锥曲线》章末检测

合集下载

数学人教B版选修2-1章末测试：第二章圆锥曲线与方程B

第二章测评B(高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 3．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．36．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，34B.⎣⎡⎦⎤38，34C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1 7．(2014课标全国Ⅰ高考)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．28．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x9．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝010．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为__________．12．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.13已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是__________．15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．17．(6分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .18．(6分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．19．(7分)(2013广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．参考答案1．解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p 2.又点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)⎝⎛⎭⎫x －p2＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 20＝2px 0，得16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，解之，得p ＝2，或p ＝8. 所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 答案：C2．解析：由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5. 又因为一条渐近线与l 平行，因此b a ＝2，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1，故选A.答案：A3．解析：因为0＜k ＜9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 29＝1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.答案：A4．解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32. 答案：B5．解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝ 3.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，所以x 0＝－p 2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp 2a .由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＋b 2＝c 2，得b ＝3a ，所以|y 0|＝32p .所以S △AOB ＝34p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．答案：C6．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 23＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.故kP A 1＝－341kP A 2.∵kP A 2∈[－2，－1]， ∴kP A 1∈⎣⎡⎦⎤38，34.故选B. 答案：B7．解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ，则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34，∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3. 答案：B8．解析：由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a ， ∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选B.答案：B9．解析：由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 2＝32，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 4＝34，整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.答案：A10．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即b 2a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)， ∵AB 的中点为(1，－1)， ∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12. 又∵a 2－b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D11．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x12．解析：抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 42，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝⎛⎭⎫3＋p 42，所以p ＝6.答案：613．解析：如图所示．根据余弦定理|AF |2＝|BF |2＋|AB |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，即|BF |2－16|BF |＋64＝0，得|BF |＝8.又|OF |2＝|BF |2＋|OB |2－2|OB |·|BF |cos ∠ABF ，得|OF |＝5. 根据椭圆的对称性|AF |＋|BF |＝2a ＝14，得a ＝7. 又|OF |＝c ＝5，故离心率e ＝57.答案：5714．解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－ba x ，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b .由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54.故c a ＝52. 答案：5215．解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c3，得B 0坐标为⎝⎛⎭⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c 3.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋c )，x 2＋y 2b 2＝1得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为－5c3和c ，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－53c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b 2，－53c ×c ＝k 2c 2－b2k 2＋b2，解之，得c 2＝13，∴b 2＝1－c 2＝23.∴椭圆方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝116．分析：(1)利用椭圆的几何性质可得BF 2＝a ＝2，再把点C 的坐标代入即可求出椭圆方程；(2)写出B ，F 2的坐标，用b ，c 表示直线AB 的方程，联立椭圆方程表示出点A 的坐标，利用点A 与点C 的对称性，表示出点C 的坐标，利用直线F 1C 的斜率及kF 1C ·k AB ＝－1建立a ，b ，c 的关系，再结合平方关系求离心率．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15.因此e ＝55. 17．分析：在第(1)问中，根据椭圆中a ，b ，c 的关系及题目给出的条件可知点M 的坐标，从而由斜率条件得出a ，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O 是F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，可得a ，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN |＝5|F 1N |，可得|DF 1|与|F 1N |的关系，然后可求出点N 的坐标，代入C 的方程，可得a ，b ，c 的另一关系式，最后利用a ，b ，c 的关系式可求得结论．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |，设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.18．分析：第(1)问求动点M 的轨迹C 的方程，就是找出动点M (x ，y )中x 与y 的关系，依据点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴距离多1建立等式|MF |＝|x |＋1，而|MF |可用两点间距离公式表示，化简整理可得轨迹C 的方程．而对于第(2)问，由于直线过定点(－2,1)，可用点斜式得直线方程y －1＝k (x ＋2)，讨论直线l 与曲线C 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题．由第(1)问知曲线C 的方程分为两段：一段是抛物线，一段为射线，而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程，需对二次项系数以及根的判别式作出讨论，还要注意与抛物线联立后有解时x 的取值为非负这一条件．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x ). 故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12. 即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合ⅰ，ⅱ可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 19．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0. 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2.所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92. 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 新人教B版高二选修2-1数学试题

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D ．由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．k <－1 B ．k >1 C ．－1<k <1D ．k <－1或k >1解析：选C ．方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1，可化为x 2k ＋1＋y 2k ＋1k －1＝1，因为双曲线的焦点在x轴上，所以k ＋1>0且k ＋1k －1<0，所以－1<k <1. 3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D ．点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．4．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A ．15B ．25C ．45D ．215解析：选B ．根据椭圆定义可得4＋2a ＝14，解得a ＝5，故其离心率e ＝c a ＝25，故选B ．5．双曲线的两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( ) A ．2或233B ．2C ．233D ． 3解析：选A ．不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为y ＝±bax .由题意，则ba ＝33或a b ＝33，所以b 2a 2＝13或a 2b 2＝13，可以求得e ＝233或2.6．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C ．点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．7．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50 B ．x 2－y 2＝24 C ．x 2－y 2＝－50 D ．x 2－y 2＝－24解析：选D ．因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.8．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64解析：选B ．抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1解析：选C ．直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m ≤1，解得m ≥1，又m ≠5，故选C ．10．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A ．由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ∶x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A ．11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A ．13B ．23C ．23D ．223解析：选D ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C ．由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝2，4a2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝114．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0，2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.答案：x 2＋(y －2)2＝1615．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，又c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝5，b ＝4，所以双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝116．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．解析：依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32.求椭圆E 的方程．解：因为椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，半焦距为c (a >0，b >0，c >0)．由题意知F (0，1)为椭圆的短轴的上顶点，所以b ＝1，又由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，所以6＝2p ×32，所以p ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝4x . 因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，所以c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，所以94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8.(舍去) 所以所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知点P (3，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解：(1)令F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以k △PF 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3，4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.20．(本小题满分12分)如图，O 为坐标原点，过点P (2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值；(2)求证：OM ⊥ON .解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．① 由①及y 2＝2x 消去y 可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1，x 2是方程②的两个根，由根与系数的关系得x 1x 2＝4k2k 2＝4，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16，又y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(2)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－44＝－1，所以OM ⊥ON .21．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论． (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)点F 在直线l 上⇒|FA |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x 轴平行，所以上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，因为x 1≠x 2，所以当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b . 则过点A ，B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，所以x 1＋x 2＝－14.因为A ，B 为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l 上，所以116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，所以l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.22．(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求A 1A 2的长．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依据题意得c ＝1，c a ＝12，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，又F 1(－1，0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为焦点在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒有两个交点．设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1，0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋2＝2＋4k 2＋2＝649.。

人教新课标版数学高二B版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程综合检测

综合检测(二)第二章圆锥曲线与方程(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·西安高二检测)双曲线3x2－y2＝9的焦距为()A.6B．26C．23D．4 3【解析】方程化为标准方程为x23－y29＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，∴2c＝4 3.【答案】 D2．(2013·荆州高二检测)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是() A．开口向上，焦点为(0,1)B．开口向上，焦点为(0，1 16)C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为(0，1 16)【解析】抛物线可化为x2＝14y，故开口向上，焦点为(0，116)．【答案】 B3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2n＝1的离心率为12，则n＝()A. 3B.3 2C.23 D.83【解析】依题意，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ，又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32. 【答案】 B4．(2013·石家庄高二检测)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a ＞0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．不存在【解析】 ∵a ＋9a ≥2a ·9a ＝6，故当|PF 1|＋|PF 2|＝6时，动点P 表示线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|＞6时，动点P 表示以F 1、F 2为焦点的椭圆．【答案】 C5．(2013·长沙高二检测)已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12 C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C6．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB→＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB →·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac＝0，两边同除以a 2得，e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D7．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋2y 2＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0，因为直线与椭圆有公共点，故Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，∴k ≥22或k ≤－22.【答案】 C8．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】如图S △F 1AB ＝12|OF 1|·|y A －y B |≤12c ·2b ＝12×3×2×4＝12. 【答案】 B9．(2013·临沂高二检测)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 23＝1，即y 20＝3－34x 20，O (0,0)，F (－1,0)，则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2.∵|x 0|≤2，∴当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.【答案】 C10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与双曲线交于M ，N 两点，且MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1D.x 22－y 25＝1【解析】由c ＝7，得a 2＋b 2＝7. ∵焦点为F (7，0)，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1， ①并设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．将y ＝x －1代入①并整理得 (7－2a 2)x 2＋2a 2x －a 2(8－a 2)＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 27－2a2，由已知得－2a 27－2a2＝－43，解得a 2＝2，得双曲线方程为x 22－y 25＝1. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．【解析】设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2y ，将x 1，y 1代入到x 21＋y 21＝1，有x 2＋4y 2＝1.【答案】 x 2＋4y 2＝112．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝________.【解析】不妨设F 1(－3，0)，则|PF 1|＝|y P |＝12. 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72. 【答案】 7213．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA→＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB→＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0，即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )＞0，解得a ≥1.【答案】－43，43hslx3y3h ，所以符合题意的直线l 不存在． 18．(本小题满分14分)(2012·江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )，满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA→＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与P A ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．【解】 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得 |MA→＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y . 由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线P A ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F (0，－x 204)，分别联立方程组⎩⎨⎧ y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E－x D＝2，|FP|＝1－x204，故S△PDE＝12|FP|·|x E－x D|＝12×(1－x204)×2＝4－x204，而S△QAB＝12×4×(1－x204)＝4－x20 2.则S△QABS△PDE＝2，即△QAB与△PDE的面积之比为2.。

高中数学选修2-1章末检测卷28：第二章圆锥曲线与方程

章末检测一、选择题1.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1B.2C.4D.8 [答案] C[解析] 抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) A.y ＝±5x B.y ＝±55xC.y ＝±3xD.y ＝±33x[答案] D[解析] ∵y 2＝8x 焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，所以a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .3.已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2－y 28＝1(x >1) B.x 2－y 28＝1(x <－1) C.x 2＋y 28＝1(x >0) D.x 2－y 210＝1(x >1) [答案] A[解析] 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2，所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x ＞1).4.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.3 [答案] A[解析] 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5.设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A.不同的顶点B.不同的准线C.相同的焦点D.相同的离心率[答案] C[解析] 当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点；当k <0时，－k >0且3－k >－k ，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k . ∴a 2－b 2＝3＝c 2 与已知椭圆有相同焦点.6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则可令F (c,0)，B (0，b )，直线FB ：bx＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·ba ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e－1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).7.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A.4B.3C.2D.1 [答案] A[解析] 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.8.已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C.3D.2[答案] A[解析] 如图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33，∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[答案] D[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，因为点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，所以2a ＝4，b ＝1，c ＝3；所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，即x ＋y ＝4.① 又四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，则2a ′＝|AF 2|－|AF 1|＝y －x ＝22，2c ＝222－12＝23，所以双曲线C 2的离心率e ＝c ′a ′＝32＝62. 10.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233 D.433[答案] D[解析] 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F (0，p2)，双曲线的右焦点为F 2(2,0).y ′＝1p x ，所以在M (x 0，x 202p )处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，即三点F (0，p 2)，F 2(2,0)，M (33p ，p 6)共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p ，即p ＝433，选D.二、填空题11.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.[答案] y ＝±34x[解析] a ＝4，b ＝3.∴y ＝±34x12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________. [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知，c a ＝22，∴b 2a 2＝12.∵△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. [答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2) 抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14.抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是________. [答案] (－10，10)[解析] 设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称.当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52>(－m2)2，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10). 三、解答题15.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.16.炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000,0)处晚30017s.已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程.解由声速为340m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上. 设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000. 而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002，∵|PF 1|－|PF 2|＝6000>0，∴x >0，所求双曲线方程为x 230002－y 240002＝1(x >0).17.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.18.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，PF 1→·PM →||PF 1→＝PF 2→·PM→||PF 2→，设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标代入并化简得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0，因为x 20≠4,所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈(－32，32) .(3)由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： x 0x 4＋y 0y ＝1，所以k ＝－x 04y 0，而k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，代入1kk 1＋1kk 2中得1kk 1＋1kk 2＝－4(x 0＋3x 0＋x 0－3x 0)＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测第二章圆锥曲线与方程

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．23B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.2．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441[答案] D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，∴L ＝441，故选D. 3．椭圆x 2m 2＋y 23－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )A ．1 B.－1±172C ．－2或1D ．－2或1或－1±172[答案] C[解析] ∵焦点在y 轴上，∴3－m >m 2. 由3－m －m 2＝1得m ＝1或－2，∴选C.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x[答案] C[解析] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近方程为y ＝±b a x ＝±22x .5．(2013·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2D ．3[答案] C[解析] ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A ＝(－p 2，3p 2)，B (－p 2，－3p2)，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.6．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lga 2－b 2a＋lg a 2＋b 2a ＝lga 4－b 4a 2<lg a 2a 2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.7．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22a ＋2b ＝2·2ca 2＋b 2＝c2，解得a ＝2，b ＝2.又焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.8．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] 由题意知，|QF 1|＝|QP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a .(2a 为椭圆长轴长)，∴Q 点轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[答案] C[解析] 由已知F (34p,0)，A (0,2)，M (y 23p ，y 0)，∵AF ⊥AM ，∴k AF ·k AM ＝－1，即2－34p ×2－y 0－y 203p＝－1，∴y 20－8y 0＋16＝0，∴y 0＝4，∴M (163p ，4)，∵|MF |＝5，∴5＝(34p －163p )2＋16，∴(34p －163p )2＝9.∴3p 4－163p ＝3或3p 4－163p ＝－3， ∴9p 2－36p －64＝0，① 或9p 2＋36p －64＝0，由①得∴p ＝－43(舍)，p ＝163. 由②得p ＝43(p ＝－163舍)， ∴c 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .10．已知θ∈R ，则方程x 2＋y 2cos θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆[答案] A[解析] 当θ＝0时，cos θ＝1，方程表示圆；当θ＝π3时，cos θ＝12，方程表示椭圆；当θ＝2π3时，cos θ＝－12，方程表示双曲线，故选A.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254x B ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”的值为452，所以选项C 符合题意．12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1[答案] D[解析] 设A 点坐标的(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b 2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点为F 1、F 2点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个．[答案] 0[解析] 设a >b >0，c ＝a 2－b 2，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．14．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.[答案] 2[解析] ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴ba ＝2， ∴b 2a 2＝4，∴b 2＝4，又∵b >0，∴b ＝2.15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[答案] 57[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．在△ABF 中，由余弦定理得，cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.16．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y2b ＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P (103，y )，求椭圆及双曲线的方程．[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b ① 又点P (103，y )在椭圆、双曲线上，得 y 2＝89m ，②y 2＝b 9.③解由①、②、③组成的方程组得m ＝1，b ＝8，∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2－y28＝1.18．(本小题满分12分)求以直线x ＋2y ＝0为渐近线，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线的标准方程．[解析] 由于双曲线渐近线方程为x ＋2y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．设直线x －y －3＝0与双曲线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎨⎧x －y －3＝0，x 2－4y 2＝λ.消去y ，整理得3x 2－24x ＋36＋λ＝0. 由Δ＝242－12(36＋λ)>0，解得λ<12. 由根与系数关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝36＋λ3.代入弦长公式中，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·82－4×36＋λ3＝8(12－λ)3，于是8(12－λ)3＝833，解得λ＝4(与λ<12符合)．故所求的双曲线方程为x 24－y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，方程4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)(2013·新课标Ⅰ文，21)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[解析] (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程式为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求出Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x－8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.[解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程．∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)双曲线的焦点为F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵M 点在双曲线上，∴32－m 2＝6，m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝0.22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝3＋5＝8，∴⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝12，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1.消去y ，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得，|t |94＋1＝4，∴t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，故符合题意的直线l 不存在．。

高二年级数学选修2_1第二章《圆锥曲线》检测试题整理

圆锥曲线一.选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分。

请将答案写在括号里。

1、已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（）Ａ．k ＜１Ｂ．k ＞２Ｃ．k ＜１或k ＞２Ｄ．１＜k ＜２2、已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和），它们所表示的曲线可能是（）ＡＢＣＤ3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能 4、椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么P 点到椭圆的右焦点的距离是（）A.15B.10C.12D.85、双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.75°6、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·7、双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A. 2B.3C. 2D.238、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9、设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是。

(数学选修2-1)第二章圆锥曲线 [综合训练B组]及答案

（数学选修2-1）第二章圆锥曲线 [综合训练B 组]及答案一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,02．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定二、填空题1．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

2．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

5．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。

高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

第二章 2.4 2.4.1一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线[答案] D[解析] 如图，设点P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，因此选D.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32 C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] ∵点P 到y 轴的距离为6，∴点P 到抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2的距离d ＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P 到抛物线焦点的距离为8. 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.[答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)．又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.4．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522 B ．522＋1 C.522－2D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.二、填空题5．已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物于点B ，过B 点作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.[答案]2[解析] 由抛物线的定义可得BM ＝BF ，F (P2，0)，又AM ⊥MF ，故点B 为线段F A 中点，即B (p 4，1)，所以1＝2p ×p4⇒p ＝ 2.6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称．点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0＝________.[答案] 1＋ 2[解析] ∵点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称，∴B (1,0)，根据题意，得y 20x 20－1＝2，又y 20＝4x 0，∴2x 0＝x 20－1，即x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x 0＝1＋ 2. 三、解答题7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .8．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得 0．82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。

高二数学选修2—1圆锥曲线单元测试

高二数学选修2—1圆锥曲线单元测试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1,若焦点在x轴上的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则m=32（Ｃ）83（Ｄ）232.对于椭圆C1：12222=+byax( a>b>0)焦点为顶点，以椭圆C1的顶点为焦点的双曲线C2，下列结论中错误的是（）A. C2的方程为122222=--bybaxB. C1、C2的离心率的和是1C. C1、C2的离心率的积是1D.短轴长等于虚轴长3、双曲线14322=-xy的渐近线方程是( )A. xy23±= B. xy332±= C. xy43±= D. xy34±=4、抛物线281xy-=的准线方程是( ).A.321=x B. 2=y C.321=y D. 2-=y5、已知4||=AB，点P在A、B所在的平面内运动且保持6||||=+PBPA，则||PA的最大值和最小值分别是( )A．5、3 B．10、2C．5、1 D．6、46、抛物线xy122=上与焦点的距离等于8的点的横坐标是（）A、2B、3C、4D、57、若双曲线与64422=+yx有相同的焦点，它的一条渐近线方程是03=+yx，则双曲线的方程是( )A. 1123622=-yxB. 1123622=-xyC. 1123622±=-yxD. 1123622±=-xy8.若双曲线的两条渐进线的夹角为060，则该双曲线的离心率为A.2B.36C.2或36D.2或3329、与圆x2+y2-4y=0外切, 又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).A. y 2=8xB. y 2=8x (x>0) 和 y=0C. x 2=8y (y>0)D. x 2=8y (y>0) 和 x=0 (y<0)10、若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（）A.4B.2C.1D.1211、已知椭圆222(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A. 02a <<B. 02a <<或a >C. 103a <<D. 2a <<12．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．21二、填空题：（5分×4=20分）13. 与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

人教b版选修2-1高二月数学圆锥曲线测试题

信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 -----------------------------------------------------
17.( 本题满分 12 分) 直线 l 过点 P (2, 4) 且与抛物线 y2 8 x 只有一个公共点，求直线 l 的
坐标为 ( c,0) (c
0) ，一个定点
A 的坐标为
10 (
uuur c,0) ，且 OF
uuur 2FA ，过点 A 的直线与
c
椭圆相交于两点 P ， Q ：（ 1）求椭圆的方程及离心率；（ 2）如果 OP ⊥ OQ ，求直线 PQ
的方程。
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 -----------------------------------------------------
6 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ ， F1是另一焦点，若∠ PF1Q 曲线的离心率 e 等于（）
A 2 1B 2 C 2 1D 2 2
，则双
2
7. 已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 上三点 A、 B、C的横坐标 x 1,x 2,x 3 成等差数列， F 为焦点，
则 |AF| 、 |BF| 、 |CF| （） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 的倒数成等差数列 D. 的倒数成等比数列
是 _________
一、 1-5 ： DDDBC6-10:CABDB

高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案

第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)[答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6，解得a >3或－6<a <－2，故选D.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12 B ．13 C.14 D.22[答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故选B.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.5．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.33 D ．22[答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 6．已知A ＝{1,2,4,5}，a 、b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为( )A.34 B ．38 C.316 D ．12[答案] B[解析] ∵a 、b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个．由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2、4、5；a ＝2时，b ＝4、5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38.二、填空题7．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________. [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4. 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.[解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)、F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)、A 2(1,0)、B 1(0，－12)、B 2(0，12)．10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.[解析] 解法一：设焦点坐标为F 1(－c ，0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2,3b ＝2a .∴b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53.一、选择题1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8、6B ．4、3C ．2、3D ．4、2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.2．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[答案] B[解析] 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12 D ．5－2 [答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. 4．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 椭圆的方程mx 2＋y 2＝1化为标准方程为x 21m ＋y 2＝1，由题意得，a 2＝1，b 2＝1m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，∴离心率e ＝ca ＝1－1m ＝32，∴m ＝4. 二、填空题5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________.[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6c ＝33. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.6．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3∴S ＝12×3×2＝3.三、解答题7．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋62＝x y 0＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．[解析] (1)由题意得：⎩⎨⎧e ＝c a ＝22a 2＝b 2＋c2S ＝12×(2a )×(2b )＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2b ＝2c ＝2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.。

人教版数学高二-人教B版选修2-1练习第二章圆锥曲线与方程

阶段水平测试(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. 已知θ∈R ，则方程x 2＋y 2cos θ＝4表示的曲线不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：本题主要考查cos θ的取值范围和各种圆锥曲线的标准方程．因为θ∈R ，所以若cos θ＝1，方程表示圆；若cos θ>0且不等于1，方程表示椭圆；若cos θ<0，方程表示双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线，故选D.答案：D2. 如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A. (3，＋∞)B. (－∞，－2)C. (3，＋∞)∪(－∞，－2)D. (3，＋∞)∪(－6，－2)解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征．由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6.解得a >3或－6<a <－2，故选D.答案：D3. 以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1解析：方程可化为y 212－x 24＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．从而椭圆方程中，a ＝4，c ＝23，∴b ＝2.∵焦点在y 轴上，∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 答案：D4. 斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A. 2014·四川省成都七中期中考试2014·课标全国卷Ⅰ2014·山东济南三模2014·河北省衡水中学月考2014·安徽师大附中月考2014·江苏高考hslx3y3h 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C (43，13)在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1. 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c2，⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c2)．又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为(2a 2ca 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c2)．因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3·(－b c )＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15. 因此e ＝55.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

章末检测一、选择题1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( )A ．2 3B ．22C ．4 3D ．4 2 2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝13．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 4．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p >0)的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 26．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．17．过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 的一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于( ) A ．2aB.12a C ．4a D.4a8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫12，－1D.⎝⎛⎭⎫12，19．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 10．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值 ( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．812．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(1,2]D ．(1，2]二、填空题13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．14．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝______.15．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k ＝________.16．若椭圆mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm 的值为________． 17．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．18．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．19.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．20.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．21．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．22．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．答案1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10．C 11．C 12．C 13.12 14.72 15．－1 16. 217．解椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133，∴双曲线的实轴长为6. ∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.18．解由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|. 又∵∠F 1PF 2＝90°， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ＝36＋2|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝32， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 19．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2＝4125×41＝415. 21．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.22．解直线l 的方程为x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2pyx ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p 2 ②，又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为 y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为 b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。

人教B版高中数学高二选修2-1练习第二章《圆锥曲线》章末检测

数学人教B版选修2-1章末测试：第二章圆锥曲线与方程B

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 新人教B版高二选修2-1数学试题

人教新课标版数学高二B版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 综合检测

高中数学选修2-1章末检测卷28：第二章 圆锥曲线与方程

人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测 第二章 圆锥曲线与方程