2020-2021学年高二下学期期末联考(A)数学(理)试题
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.03.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.7444.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.358.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$11.（单选题，5分）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．i（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82821.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解： $|\frac{1+2i}{2-i}|=\frac{|1+2i|}{|2-i|}=\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$ ．故选：A．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.0【正确答案】：B【解析】：先求f′（x）再把 $\frac{π}{6}$代入即可解决此题．【解答】：解：∵f′（x）=-sin（x+ $\frac{π}{3}$），∴f′（ $\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{2}$ =-1．故选：B．【点评】：本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744【正确答案】：C【解析】：利用正态分布曲线的对称性分析求解即可．【解答】：解：因为μ=7，所以P（X≥11）=P（X≤3）=0.128．故选：C．【点评】：本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系判断可得．【解答】：解：对于① ，把x=172 代入回归方程 $\hat{y}$ =0.849x-85，y′=0.849x-85.712，得到y′=61.028，所以女大学生的体重大约为61.028（kg），不是一定是61.028，故① 错误，对于② ，线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ），故② 正确，对于③ ，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r，的值越接近于±1，故③ 错误，对于④ ，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故④ 错误，对于⑤ ，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤ 正确．故选：B．【点评】：本题主要考查了命题的真假判断，统计基本知识，线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．5.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$【正确答案】：B【解析】：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，利用古典概型的概率公式先求出P（A），P（B），然后利用条件概率的概率公式求解即可．【解答】：解：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，所以P（A）= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ，P（AB）= $\frac{5}{10}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ ，所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{5}{9}$ ．故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种【正确答案】：D【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算全部的安排方法数目，而其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意，每艺安排一节，连排六节，有 ${A}_{6}^{6}$ =720种排法，其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，故排课时“射”在“御”的后面的排法有 $\frac{1}{2}$ ×720=360种，故选：D．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，属于基础题．7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.35【正确答案】：C【解析】：直接令x=1即可求得结论．【解答】：解：（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，令x=1可得：（1+1）•（1+1）n=128⇒n=6；则x2的系数为：${C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{4}$ =30．故选：C．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．8.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同【正确答案】：D【解析】：由归纳推理和类比推理、演绎推理和反证法的概念，可判断正确结论．【解答】：解：哥德巴赫猜想属于归纳推理，故A错误；由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是类比推理，故B错误；演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，只有大前提和小前提均正确，结论才正确，故C错误；反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查推理的几种形式，考查推理能力，属于基础题．9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项【正确答案】：D【解析】：利用数学归纳法的解题方法进行分析，弄清从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式，即可得到答案．【解答】：解：由于n∈N*，n＞1，所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k-1}+1}+\frac{1}{{2}^{k-1}+2}+\bullet \bullet \bullet +\frac{1}{{2}^{k}}$ ，共2k-1项．故选：D．【点评】：本题考查了数学归纳法的理解与应用，要掌握用数学归纳法证明恒等式的步骤，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得杨辉三角中，第n行有n项，由此求出前63行的项数，据此分析可得第2021项是第64行的第5项，即可得答案．【解答】：解：根据题意，杨辉三角中，第n行有n项，则前n行共有1+2+……+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ 项，则前63行共有 $\frac{63×64}{2}$ =2016项，故第2021项是第64行的第5项，为 ${C}_{63}^{4}$ ，故选：B．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析每一行中数字的个数，属于基础题．11.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）【正确答案】：C【解析】：对f（x）求导分析f（x）单调性，作出函数图象，结合图使得直线y=k与函数f （x）的图象至少有三个交点，即可得出答案．【解答】：解：当x＞1时，f（x）= $\frac{x}{lnx}$ ，则f′（x）= $\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$ ，令f′（x）=0，得x=e，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=e时，f（x）取得最小值f（e）=e，当x≤1时，f（x）=x3-3x+1，则f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=-1时，f（x）取得最大值f（-1）=3，所以f（e3）= $\frac{{e}^{3}}{3}$ ＞3，f（ $\sqrt{e}$ ）=2 $\sqrt{e}$ ＞3，f（0）=1＜e，f （-2）=-1＜e，作出f（x）的大致图象，如图所示：由图可知当k∈[e，3]时，直线y=k与函数f（x）的图象至少有三个交点，从而方程f（x）=k至少有三个不同的实数根．故选：C．【点评】：本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）【正确答案】：D【解析】：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x ＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，结合图象可得．【解答】：解：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，则F（x）为偶函数且x≠0，求导数可得F′（x）= $\frac{f′(x)x-f(x)x′}{{x}^{2}}$ = $\frac{xg(x)-f(x)}{{x}^{2}}$ ，∵当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，由函数为偶函数可得F（x）在（-∞，0）单调递增，由f（1）=0可得F（1）=0，∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）故选：D．【点评】：本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．【正确答案】：[1] $\frac{π{a}^{2}}{4}$【解析】：根据已知条件，将原式转化为半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，即可求解．【解答】：解：由定积分的几何意义可知， ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ 表示的是半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，∴ ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ = $\frac{π{a}^{2}}{4}$．故答案为： $\frac{π{a}^{2}}{4}$ ．【点评】：本题考查了定积分的几何含义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．【正确答案】：[1]540【解析】：先从6人中选出4人，再对4人选派即可求解．【解答】：解：先从这6名志愿者中选派4名有C ${}_{6}^{4}$ 种选法，这4名志愿者中．有2名去了同一个社区，其他2名志愿者各去一个社区，故不同的选派方案有C ${}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}=540$ ，故答案为：540．【点评】：本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．【正确答案】：[1]56【解析】：根据题意，归纳线段的数目与将圆最多分割成多少部分之间的关系，将n=10代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，在圆内画1条线段，将圆分割成：1+1=2部分；画2条相交线段，将圆分割成：1+1+2=4部分；画3条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3=7部分；画4条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3+4=11部分；由此归纳推理，猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成：a n=1+1+2+3+…+n=1+$\frac{n(n+1)}{2}$ 部分，故当n=10时，有a10=1+ $\frac{10×11}{2}$ =56，在圆内画10条直线，将圆最多分割成56部分．故答案为：56．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析变化的规律，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．【正确答案】：[1]-1或5【解析】：先讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性，进而确定最大值和最小值在何时取，再建立关于a，b的方程，解方程即可得答案．【解答】：解：$f′(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$ ．令f′（x）=0，得x=0或$x=\frac{a}{3}$ ．① 当a＜0时，函数f（x）在 $(-∞，\frac{a}{3})$ 和（0，+∞）上单调递增，在$(\frac{a}{3}，0)$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得b=-1，a=0，与 a＜0矛盾．② 当a=0时，函数f（x）在R上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ ．③ 当0＜a⩽3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上最小值为 $f(\frac{a}{3})=-\frac{a^{3}}{27}+b$ ，最大值为f（0）=b或f（1）=2-a+b．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，b=1$ ，则 $a=3\sqrt[3]{2}$ ，与0＜a⩽3矛盾．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，2-a+b=1$ ，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或a=0，与0＜a⩽3矛盾．④ 当a＞3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在[0，1]的上最大值为f（0），最小值为f（1），即 $\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$综上，当 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$ 时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，所以a+b的值为-1或5．故答案为：-1或5．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．【正确答案】：【解析】：求出原函数的导函数．（1）求出函数在x=1处的导数，得到求出的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），求出曲线f（x）在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，可得切点横坐标，进一步可得过点Q的切线方程．【解答】：解：由f（x）= $\frac{2}{x}$ ，得f′（x）= $-\frac{2}{{x}^{2}}$ ．（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线的斜率k=f′（1）=-2，∴所求切线方程为y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），则所求切线的斜率为$f′({x}_{0})=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$ ，∴所求切线方程为 $y-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(x-{x}_{0})$ ，由点Q（-3，2）在切线上可知， $2-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(-3-{x}_{0})$ ，整理得： ${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=0$ ，解得x0=3或x0=-1．故所求的切线方程为2x+9y-12=0或2x+y+4=0．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分“在某点处”与“过某点处”，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再确定f（x）的极值即可；（2）由条件可知，函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点，根据函数f（x）的图象，结合条件求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2）．令f′（x）=0，解得x=2或x=-2．当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上单词递增，在（-2，2）上单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（-2）=22，极小值为f（2）=-10．（2）由题意知，方程f（x）=a在区间[-5，5]上有3个不同的实数根，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点．∵f（5）=71＞22，f（-5）=-59＜-10，∴结合（1）及函数f（x）的图象，可知-10＜a＜22，故实数a的取值范围为（-10，22）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，根据函数的零点求参数的范围，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．x 0.25 0.5 1 2 41y 16 12 5 2表中t i= $\frac{1}{{x}_{i}}$ ．（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．【正确答案】：【解析】：（1）计算相关系数，利用相关系数绝对值的大小判断；（2）把数据代入公式计算；（3）判断函数单调性求最值．【解答】：解：（1）令 $t=\frac{1}{x}$ ，数据整理得：\overline{x})^{2}=9.3$模型y=a+bx的相关系数 ${r}_{1}=\frac{-32.8}{39.86}≈-0.82$ ；模型y=c+kt的相关系数 ${r}_{2}=\frac{38.45}{39.86}≈0.96$；因为|r2|＞|r1|，所以y=c+kx-1适宜作为y关于x的回归方程类型．（2） $\overline{t}=\overline{x}=1.55，\overline{y}=7.2$ ；$\hat{k}=\frac{38.45}{9.3}≈4.13，\hat{c}=\hat{y}-\hat{k}\overline{t}≈0.80$所以y关于x的回归方程为 $y=0.80+\frac{4.13}{x}$ ．（3） $z=y-x=0.80+\frac{4.13}{x}-x，x≥4$因为 $z=0.80+\frac{4.13}{x}-x$ 在[4，+∞）上单调递减．所以z的最大值为 $0.80+\frac{4.13}{4}-4≈-2.17$ ．【点评】：本题考查非线性回归模型、线性回归模型、函数的最值，属于中档题．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【正确答案】：【解析】：（1）分别求出X值为0，1，2，4的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．（2）根据已知条件，运用独立性随机检验公式，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，4，则P（X=0）= $\frac{3}{8}$ ，P（X=1）= $\frac{1}{3}$ ，P（X=2）= $\frac{1}{4}$ ，P （X=4）= $\frac{1}{24}$ ，∴X的分布列为（2）由题意可得，K2的现测值为k= $\frac{600×(280×80-120×120)^{2}}{400×200×400×200}=6$ ，∵6＞3.841，∴有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关．【点评】：本题考查了离散型随机变量的概率与期望，以及独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导函数，根据导数符号与函数单调性之间的关系分a⩽0和a＞0两种情况分别求出单调性即可；（2）题意等价于即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立，当x=0时显然成立，当x＞0时，等价于 $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ，构造新函数求最值即可求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=e x-a．当a⩽0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0，∴f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．综上所述，当a⩽0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．（2）由 $f(x)⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，得 $e^{x}-ax-2a⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立．当x=0时，0=0，显然成立．当x＞0时， $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ．令 $g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}，x＞0$ ，则$g′(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2(x-1)e^{x}-(x^{3}+x^{2}-2)}{2x^{2}}$ = $\frac{2(x-1)e^{x}-(x-1)(x^{2}+2x+2)}{2x^{2}}=\frac{2(x-1)[e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)]}{2x^{2}}$ ．令 $h(x)=e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)，x＞0，h′(x)=e^{x}-(x+1)$ ，h′′（x）=e x-1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增，则h′（x）=e x-（x+1）＞h′（0）=0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴h（x）＞e0-（0+0+1）=0，∴h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，令g′（x）=0，得x=1，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴ $g(x)_{min}=g(1)=e-\frac{7}{4}$ ，∴ $a⩽e-\frac{7}{4}$ ，故所求实数a的取值范围为 $(-∞，e-\frac{7}{4}]$ ．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数在处理恒成立问题中的应用，属于难题．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合参数直线方程的定义，以及极坐标公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，即可求解．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），根据韦达定理，可得 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$，再结合条件 $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，可得tan2α=4，即可求解．【解答】：解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数），∵ρ=ρcos2θ+4cosθ，∴ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴x2+y2=x2+4x，即y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$① ，∵ $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，∴t1=-2t2② ，将② 代入① 可得，tan2α=4，∴k=±2，∴直线l的直角坐标方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．【点评】：本题考查了直线l的参数方程和曲线的极坐标方程，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．。
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).docx
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.若&为离散型随机变量，且&〜B（5, §）,则其方差。
（0 =（）OA.—B. —C. 1D.39 32.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.某中学高二有10个班，一班有51人，二班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人B.根据等差数列的性质，可以推测等比数列的性质C.由6=3+3, 8 = 3+5, 10=3+7,…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D.平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分3.若函数f（.r）=e x+ax - 1的图象经过点（1, e）,则曲线y=f（.r）在点（2, f（2））处的切线的斜率4=（'）A. . eB. e+1C. e-D. e2+l4.在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比丙高.乙：我的成绩比丙高.丙：甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A. 48B. 72C. 90D. 1206.某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X） =8.9,则y的值为（）A.0.8B. 0.4C. 0.6D. 0.27.2019年1月28日至2月3日(腊月廿三至腊月廿九)我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X (单位：万)近似服从正态分布N (10, 0.82),则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( )A.竺B.二C. 39D.业128 64 64 1288.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：°C)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了v关于x的线性回归方程=0.25x+k,A. 33°CB. 34°CC. 35°CD. 35.5°C9.若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为(A. 17B. 18C. 19D. 2010.设a=lnV2> b旦馨~，5c=ln5,则a, b, c的大小关系为( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a11.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美” .现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/ (x)是f (x) 的导函数，f (-r)是f (x)的导函数，则曲线y=f (.r)在点(x, f (x))处的曲率|f" (x) | _K=A-若曲线f (x) =lnx+x与g (x)=石在(1, 1)处的曲率分别(x)]2)2Ki为Ki, K2,——=( )K2A. —B. —C. 4D. 24 212.设函数/ (x)是奇函数f (x) (x£R)的导函数，当x>0时,(x) < - -f (x),X 且/ (1) <0,则使得(寸-9) f (x) <0成立的工的取值范围( )A. ( -3, 0) U (3, +8)B. ( - oo, - 3)U (3, +8)C. ( - 3, 0) U (0, 3)D. ( - 8, -3)U (0, 3)二. 填空题(共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上), 4i ，一一—13.已知复数z= °为虚数单位)，z表示z的共貌复数，则z=.14.已知(3x2+3.r - 2) (x-1) 5 = ao+flix+- ■ +OJX1,则«2+«4+«6=.15.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是•①如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法；②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法；④如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法.16.已知函数f (x) =lQa2 - 2a[x+3ln (3x) ]+x2+Zn2 (3x),若存在xo使得f (xo)忍*■成立，则实数a的值为 .三、解答题(共6小题，17、18题10分，19、20、21题各12分，22题附加题20分，请写出必要的解答过程)17.已知必七)11二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3.(1)求〃的值；(2)求展开式中/项的系数.18.已知函数f (x) =*+〃，曲线y=f (x)在点(1, £)处的切线方程为3x-3y+l=0.(1)求实数m, n的值；(2)令g (x) =f (x) +破2 - 3。
陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020B．（3x）'＝3x ln3C．（sin x）'＝cos x D．3．曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣14．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交B．a与b异面C．a与b相交或异面D．a与b垂直6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1B．2C．3D．47．的展开式中常数项为（）A．160B．184C．192D．1868．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2πB．3πC．4πD．9π9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A．B．C．4D．510．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，）C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D．利用合情推理得出的结论一定是正确的11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49B．52C．56D．5912．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）＝f（2）D．2f（1）≤f（2）二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝．X a34P0.10.7b15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有种．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．20．某企业在产品出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利η元，求η的分布列．21．为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：x12345y90100105105100（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程＝x+，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η，求出η的分布列与数学期望．参考公式：＝＝，＝x+．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵，∴z在复平面内z对应的点为（3，1），在第一象限．故选：A．2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020B．（3x）'＝3x ln3C．（sin x）'＝cos x D．解：（x2021+e）′＝2021x2020，（3x）′＝3x ln3，（sin x）′＝cos x，．故选：D．3．曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣1解：由f（x）＝e x+x，得f′（x）＝e x+x＝e x+1，∴f′（0）＝e0+1＝2，又f（0）＝e0＝1，∴曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1．故选：C．4．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s解：∵S′＝10﹣2t，S′|t＝3＝10﹣6＝4，∴物体在t＝3s的瞬时速度是4m/s．故选：B．5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交B．a与b异面C．a与b相交或异面D．a与b垂直解：a与b的位置关系有a∥b和a与b不平行两种，因此用反证法证明“a∥b”时，应先假设a与b不平行，即a与b相交或异面．故选：C．6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1B．2C．3D．4解：由于随机变量X～B（6，p），DX＝，则6p（1﹣p）＝，得p＝，E（X）＝6p＝6×＝3，故选：C．7．的展开式中常数项为（）A．160B．184C．192D．186解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中常数项为•23＝160，故选：A．8．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2πB．3πC．4πD．9π解：曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是V＝πxdx＝π×x2＝×（23﹣12）＝4π．故选：C．9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A．B．C．4D．5解：根据题意，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为＝．故选：A．10．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，）C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D．利用合情推理得出的结论一定是正确的解：对于A：对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，故A正确；对于B：线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，），故B正确；对于C：设正多面体的顶点数为V，棱数为E，面数F，每个面是正m变形（其中整数m ≥3），每个顶点有n条边与之交汇（其中整数n≥3），则mF＝2E，nV＝2E，与欧拉公式V﹣E+F＝2联立，消去F，V得﹣E+＝2，即﹣1+＝，则＝＞0，则mn﹣2m﹣2n＜0，即（m﹣2）（n﹣2）＜4（其中整数m≥3，n≥2），则或或或或，则F＝•E＝•＝＝4或8或6或20或12，所以正多面体只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，这五种，故C正确；对于D：合情推理得到的结论不一定正确，它是由特殊到一般，其本质就是由特殊猜想一般性结论，结论是否正确可判断，一般前提为真，结论可能为真，故D错误；故选：D．11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49B．52C．56D．59解：∵（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24+33+32＝52，故选：B．12．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）＝f（2）D．2f（1）≤f（2）解：因为f（x）＞xf′（x），所以f（x）﹣xf′（x）＞0，设F（x）＝，F′（x）＝＜0，所以F（x）在R上单调递减，所以F（2）＜F（1），所以＜，即f（2）＜2f（1），故选：B．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是（﹣2，4）．解：f′（x）＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜4，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝0.6．X a34P0.10.7b 解：由题意可得：0.1+0.7+b＝1，解得b＝0.8，EX＝3，可得3＝0.1a+3×0.7+4×0.2，解得a＝1，DX＝0.1×（1﹣3）2+07×（3﹣3）2+0.2×（4﹣3）2＝0.6，故答案为：0.6．15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是（0，1）．解：f′（x）＝x3﹣（m+1）x2+mx＝x（x﹣m）（x﹣1），当m＜0时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝1处取得极小值，不合题意，当m＝0时，f′（x）＝x3﹣x2，f″（x）＝3x2﹣2x，所以在（﹣∞，0）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（0，）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又因为f′（0）＝0，f′（）＝（）3﹣（）2＝﹣，f′（1）＝0，所以在（﹣∞，0），（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝1处取得极小值，x＝0处没有取得极值点，不合题意，当0＜m＜1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，m）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（m，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0，x＝1处取得极小值，合题意，当m＝1时，f′（x）＝x3﹣2x2+x，f″（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），在（﹣∞，）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（，1）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（1，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又f′（）＝（）3﹣2（）2+＝，f′（1）＝0，f′（0）＝0，所以在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝0处取得极小值，x＝1处不是极值点，当m＞1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，m）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极小值，x＝1处取得极大值，不合题意，故答案为：（0，1）．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有119种．解：根据题意，“我爱大中华”五个字排成一排，有＝120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120﹣1＝119种；故答案为：119．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．【解答】证明：（1）当n＝1时，4n+15n﹣1＝18，能被9整除，故当n＝1时，4n+15n﹣1能被9整除．（2）假设当n＝k时，命题成立，即4k+15k﹣1能被9整除，则当n＝k+1时，4k+1+15（k+1）﹣1＝4（4k+15k﹣1）﹣9（5k﹣2）也能被9整除．综合（1）（2）可得，对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．解：（1）根据题意，f（x）为一次函数，设f（x）＝kx+b（k≠0），又因为函数f（x）的图象过点（1，3），则有3＝k+b，①又由，即f（x）dx＝（kx+b）dx＝（kx2+bx）＝+3b＝，②由①②得：k＝1，b＝2，故f（x）＝x+2；（2）由，解可得x1＝﹣1，x2＝2，所以f（x）与g（x）围成的图形面积为，即S＝（x+2﹣x2）dx＝（x2+2x﹣）＝；故函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积为．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．20．某企业在产品出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利η元，求η的分布列．解：（1）设“该产品不能销售”为事件A，则．所以该产品不能销售的概率为；（2）由已知，可知η的可能取值为﹣80，﹣20，40，100，160，所以，，，，，所以η的分布列为：η﹣80﹣2040100160P21．为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：x12345y90100105105100（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程＝x+，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η，求出η的分布列与数学期望．参考公式：＝＝，＝x+．解：（1）由表可知＝，＝，则，＝100﹣2.5×3＝92.5，故回归直线方程为＝2.5x+92.5.当x＝6时，＝2.5×6+92.5＝107.5，所以估计该考生的期末数学成绩为107．．（2）由题可知随机变量η的所有可能取值为1，2，3，则；；，故随机变量η的分布列为：η123P随机变量η的数学期望．。
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜04．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．37．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．608．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．2011．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝．14．．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：∵z＝＝，∴．故选：C．3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0【分析】由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C．4．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】容易判断出p是真命题，q是假命题，所以得到p∧￢q为真命题．解：∵∀x＞0，e x+1＞e1＝e＞0，∴命题p为真命题，当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a＜b，但不满足a2＜b2，∴命题q为假命题，∴p∧￢q为真命题，故选：A．6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．3【分析】计算代入回归方程求出，根据平均数公式列方程解出t．解：＝，∴＝0.7×4.5+0.35＝3.5，∴，解得t＝3．故选：D．7．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．60【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有C C C＝12种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有A C A＝48种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48＝60种，故选：D．8．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙【分析】本题主要抓住甲、丁的预测是一样的这一特点，则甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，可推出矛盾，故甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是甲和丁．解：由题意，可知：∵甲、丁的预测是一样的，∴甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，根据甲、丁的预测，丙获奖，乙、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故甲、丁的预测不成立，②甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，∵乙、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵甲、丁的预测不成立，乙的预测成立，∴丙不获奖，甲获奖．从而获奖的是甲和丁．故选：C．9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．【分析】先利用排列组合求出基本事件总数和甲被分到A班包含的基本事件个数，由此能求出甲被分到A班的概率．解：要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，基本事件总数n＝＝36，甲被分到A班包含的基本事件个数m＝＝12，∴甲被分到A班的概率为p＝．故选：B．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．20【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵二项展开式的第三项系数为＝15，∴n＝6，则的二项展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为T4＝＝20，故选：D．11．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意，计算正方形EFGH与圆I的面积比，利用对立事件的概率求出P（B|A）的值．解：由题意，设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r＝a，面积为πa2；正方形EFGH的边长为a，面积为2a2；∴所求的概率为P（B|A）＝1﹣＝1﹣．故选：C．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）【分析】函数f（x）＝|x|e x＝，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令f2（x）﹣af（x）+1＝0，对△＝a2﹣4及其a分类讨论，结合图象即可得出．解：函数f（x）＝|x|e x＝，x≥0，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x＞0，因此x≥0时，函数f（x）单调递增．x＜0，f（x）＝﹣xe x，f′（x）＝﹣（x+1）e x，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增；可得函数f（x）在（﹣1，0）单调递减．可得：f（x）在x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）＝．画出图象：可知：f（x）≥0．令f2（x）﹣af（x）+1＝0，①△＝a2﹣4＜0时，函数g（x）无零点．②△＝0时，解得a＝2或﹣2，a＝2时，解得f（x）＝1，此时函数g（x）只有一个零点，舍去．a＝﹣2，由f（x）≥0，可知：此时函数g（x）无零点，舍去．③△＝a2﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣2．解得f（x）＝，f（x）＝．a＜﹣2时，＜0，＜0．此时函数g（x）无零点，舍去．因此a＞2，可得：0＜＜1＜．由g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，∴a＞2，0＜＜，1＜．解得：a＞+e．则a取值范围为．另解：由g（t）＝t2﹣at+1有两根，一个在（0，）上，一个在（，+∞）上，∴△＝a2﹣4＞0，g（）＝﹣a•+1＜0，解得a＞e+．∴a取值范围为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝0.8．【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知结合对称性求解．解：∵随机变量X～N（1，σ2），∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝1．又P（X＞2）＝0.2，∴P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝1﹣P（X＜0）＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．14．．【分析】由于dx＝，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积＝π×1＝，又＝＝0，∴原式＝．故答案为：．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．【分析】先求出每次抽出红球的概率，然后利用ξ～B（3，），由方差的计算公式求解即可．解：由题意，每次抽出红球的概率为，所以ξ～B（3，），故ξ的方差D（ξ）＝np（1﹣p）＝＝．故答案为：．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为π．【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．【分析】（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．（Ⅱ）根据公式计算线性回归方程，再令x＝2019可得．解：（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．…………………………（Ⅱ），，∴y关于x的线性回归方程是．当x＝2019时，，即A地区2019年足球特色学校有208个．…………………………18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B 总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a，并能估算平均分．（2）记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030．估算平均分为：＝45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.010×10＝74．（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，由频率分布直方图的性质得得分在90分以上的频率为0.010×10＝0.1，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），P（X＝0）＝＝0.6561，P（X＝1）＝＝0.2916，P（X＝2）＝＝0.0486，P（X＝3）＝＝0.0036，P（X＝4）＝＝0.0001，∴X的分布列为：X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001 E（X）＝4×0.1＝0.4．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，，然后对a进行分类讨论，再结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式可令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，然后求导，结合导数研究单调性，即可求解．解：（1）函数f（x）定义域是（0，+∞），，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无减区间；当a＜0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，（2）由已知e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a≥0在x≥1恒成立，令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，则，易得F'（x）在[1，+∞）递增，∴F'（x）≥F'（1）＝﹣a，①当a≤0时，F'（x）≥0，F（x）在[1，+∞）递增，所以F（x）≥F（1）＝0成立，符合题意．②当a＞0时，F'（1）＝﹣a＜0，且当x＝ln（a+1）+1时，，∴∃x0∈（1，+∞），使F'（x）＝0，即∃x∈（1，x0）时F'（x）＜0，F（x）在（1，x0）递减，F（x）＜F（1）＝0，不符合题意．综上得a≤0．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．【分析】（1）设抛物线的方程为x2＝ay，代入A（2，1），可得a＝4，即可求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）设出AB和AC所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得B，C两点的横坐标，再由两点式写出直线BC的方程，把B，C的坐标，k1+k2＝k1k2，代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点．【解答】（1）解：设抛物线的方程为x2＝ay，则代入A（2，1），可得a＝4，∴抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝﹣1；（2）证明：设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB方程y＝k1（x﹣2）+1，AC方程y＝k2（x﹣2）+1，联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x2﹣4k1x+8k1﹣4＝0，∴x1＝4k1﹣2①同理x2＝4k2﹣2②而BC直线方程为y﹣x12＝（x﹣x1），③∵k1+k2＝k1k2，∴由①②③，整理得k1k2（x﹣2）﹣x﹣y﹣1＝0．由x﹣2＝0且﹣x﹣y﹣1＝0，得x＝2，y＝﹣3，故直线BC经过定点（2，﹣3）．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）曲线，根据，整理得：y2＝4x．曲线C2的参数方程为（t为参数）转换为普通方程为：．（2）把直线的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x，得到：．所以，，所以|PA|+|PB|＝＝．。
茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)
茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：每小题5分，共40分.1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，{}240B xx x =-<∣，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．52.已知命题:1p x ∀>，4220212022x x +>，则p ⌝为（ ） A ．1x ∃≤，4220212022x x +≤ B ．1x ∀>，4220212022x x +≤ C ．1x ∃>，4220212022x x +≤ D ．1x ∀≤，4220212022x x +>3.已知双曲线()222:10,0x y C a b a b2-=>>的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．34.已知倾斜角为α的直线l 与直线:30l x y '-=平行，则222sin 2cos 2cos sin αααα--的值为（ ） A ．3- B ．57- C ．518D ．35.冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为（ ） A ．120 B ．180 C ．240 D ．360 6.某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（ ）A ．2π B ．π C ．32π D ．2π7.记ABC ∆的面积为S ，若10AC BC +=，6AB = ，则S 的最大值为（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．24 8.草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100只草地贪夜蛾经过t 天后，数量落在区间(67210,210⨯⨯⎤⎦内，则t 的值可能为（参考数据：lg1.080.0334≈，lg 20.301≈）（ ） A ．80B ．120C ．150D ．200二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足()712z i i +=-，则（ ）A ．z 的虚部为12B ．z 的共轭复数为3122i -- C ．252z =D ．z 在复平面内对应的点位于第二象限10.茂名市某单位在定点帮扶贫困村A 村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高. A 村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y （单位：万元）与年份代号x 之若y 与x 线性相关，且求得其线性回归方程为2y x =-，则下列说法错误的是（ ） A ．人均纯收人y （单位：万元）与年份代号x 负相关 B ．8m n +=C ．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D ．2023年A 村人均年纯收人约为11万元11.已知函数()()2sin 0,()f x x m ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，52AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．3πω=B ．6πϕ=C ．把函数()f x 的图象向左平移32个单位长度后得到函数()2cos 3x g x π=-的图象 D ．把()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的6π倍，纵坐标不变，得到的函数在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数12.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，若()05f =，且()()2f x f x '->，则使不等式()32xf x e ≤+成立的x 的值不可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()3,4a =，3b =，()3a b b -⊥，则向量a ，b 夹角的余弦值为 ． 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，234512a a a =，则2a 的值为 ，若()12n n a a n ->≥，则10S = ．（本题第一空2分，第二空3分）15.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间(1,)∞+上单调递增，写出一个满足条件的函数()f x = ．16.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱111ABC A B C -是一“堑堵”，2AC BC ==，1AA D 为11B C 的中点.则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①416S =，②()21512a a a =+，③2n S n tn =+三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =， ， 若11n n n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆ABC ∆的外接圆半径为3，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，1AB BC ==，2AD =，3AP =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAC ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值.20.随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.A 市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分100分），根据他们的服务质量得分分成以下6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分x （每组数据以区间的中点值为代表）；（2）A 市外卖派送人员的服务质量得分Z （单位：分）近似地服从正态分布()2,14.31N μ，其中μ近似为样本平均数x .若A 市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(]41.88,84.81的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t 的可抽奖2次，反之只能抽奖1次.在每次抽奖中，若中奖，则补助200元/次，若不中奖，则只补助100元/次，且假定每次中奖的概率均为25. 问：哪一种补助方案补助总金额更低.参考数据：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，即()2~,Z N μσ，则0().6827P Z μσμσ-<≤+=，2205().945P Z μσμσ-<≤+=.21.已知函数()()221xf x ax x e =+-.（1）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，若不等式()3222xf x e x x ≤--恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知圆22:20O x y +=与抛物线()2:20C y px p =>相交于M ，N 两点，且8MN =.（1）求C 的标准方程；（2）过点()3,0P 的动直线l 交C 于A ，B 两点，点Q 与点P 关于原点对称，求证：2AQB AQP ∠=∠.参考答案一、选择题1.B 解析：{}1,2,3AB =，故A B 中元素的个数为3.故选B .2.C解析：先变量词，再否结论，故可知命题p 的否定为1x ∃>，4220212022x x +≤.故选C . 3.A解析：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y x =，即1ba=，所以C 的离心率e ==故选A . 4.B解析：由已知得tan 3α=，故2222222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 152cos sin 2cos sin 2tan 7ααααααααααα---===----，故选B . 5.C解析：不同的旅游方案种数为2454C ?A 240N ==.故选C .6.B解析：设该圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，则()224r h +=，所以22r h +=，该圆柱的侧面积22222r h S rh rh ππππ+⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21r h ==时取等号.故选B . 7.C解析：以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴建立，直角坐标系，由椭圆的定义易知，点C 的轨迹是分别以A ，B 为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且3c =，5a =，则4b =，故该椭圆的标准方程为()22102516x y y +=≠，11641222S AB yc =⨯⨯≤⨯⨯=.当且仅当AC BC =时取等号.故选C .8.C解析：由题意得67100(10.08)210100(10.08)210t t ⎧+>⨯⎨+≤⨯⎩，两边取对数得lg1.08lg 24lg1.08lg 25t t >+⎧⎨≤+⎩， 所以lg 240.3014128.77129lg1.080.0334t ++>≈≈≈，且lg 250.3015158.71159lg1.080.0334t ++≤≈≈≈，即()129,159t ∈，对照各选项，只有C 符合.故选C . 二、多项选择题9.ABD解析：因为()()712223111222i i i i z i i i -+---===-=-+++， 所以z 的虚部为12，z 的共轭复数为3122i --，它在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限，故A 正确，B 正确，D 正确；223132222z i i ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故C 错误.故选ABD .10.AD解析：由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人y （单位：万元）与年份代号x 正相关；A 错误；因为457864x +++==，所以624y =-=，于是得2.1 5.944m n +++=⨯，解得8m n +=，B 正确；由x 每增加1，y 约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，C 正确；2023年的年份代号为11，故1129y =-=，故可估计2023年A 村人均年纯收人约为9万元，D 错误.故选AD . 11.AD解析：设点A 在x 轴上的投影为C ，则2AC =，3||2BC ===， 3,22C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.1333422T ∴=-=， 6T ∴=，263ππω∴==，332sin 2232f πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2()22k k ππϕπ∴+=+∈Z ，又||ϕπ<，0ϕ∴=，即()2sin3xf x π=，A 正确；B 正确；332sin 2sin 2cos 232323x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；把()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的6π倍，纵坐标不变，得到的函数为62sin 2sin 23x y x ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故函数2sin 2y x =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为减函数，D 正确，故选AD .12.AB 解析：设()()2x f x F x e -=，则()()()2xf x f x F x e'-+'=. ()()2f x f x '->， ()()20f x f x '∴-+<，()0F x '∴<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减.()05f =， ()03F ∴=，∴不等式()32x f x e ≤+等价于()23xf x e-≤，即()()0F x F ≤，解得0x ≥.故不等式的解集为[0,)+∞.故选AB .三、填空题13.15解析：由()3a b b -⊥，得()2330a b b a b b -⋅=⋅-=，所以2133a b b ⋅==， 所以231cos ,53a b a b a b ⋅===⋅+.14.4,2046±解析：由234512a a a =得33512a =，38a ∴=，24a ∴=±.设公比为q ，若()12n n a a n ->≥，则q 为正数，故21422a q a ===，()1010212204612S -==-. 15.21x -（答案不唯一）解析：若()21f x x =-，则()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()221,01,1,1,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩显然()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，故()f x 的解析式可以是()21f x x =-.16.283π解析：如图，取AB 的中点E ，BC 的中点F ，连接EF ，则//EF AC ，且112EF AC ==. 所以EF BC ⊥，又1EF CC ⊥，所以EF ⊥平面11BCC B ，连接DF ，则1DF CC =，且1//DF CC ， 所以DF ⊥平面ABC .设该球的球心为O ，设DBC ∆的外心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面11BCC B ， 所以1// OO EF .连接OE ，EF ，OA ，由E 是ABC∆的外心得OE ⊥平面ABC ， 所以// OE DF ，可得四边形1OO FE 为矩形.2CD BD =====，所以DBC ∆为等边三角形，可知1133OE O F DF ===，所以2222273OA OE AE =+=+=⎝⎭， 所以三棱锥D ABC -的外接球的表面积为22843S OA ππ=⋅=. 四、解答题17.解：设数列{}n a 的公差为d .若选①：由23a =，416S =，得113,43416,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩ 解得11a =，2d =， 所以21n a n =-.因为11n n n a b a +=，所以()()1111212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则12311111111...1...2335572121n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 若选②：由23a =，()21512a a a =+，得()()121113,42,a d a a d a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得11a =，2d =， 所以21n a n =-.因为11n n n a b a +=，所以()()1111212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则1231111111111...1...1233557212122121n n n T b b b n n n b n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦若选③：因为2n S n tn =+，所以222224S t t =+=+，2111S t t =+=+， 所以22133a S S t =-=+=，解得0t =，则()221(1212)n n n a S S n n n n -=-=--=-≥.因为111a S ==满足上式，所以21n a n =-. 因为11n n n a b a +=，所以()()1111.212122121n n n n n b ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则1231111111111...1...1233557212122121n n n T b b b n n n b n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.解：（1=，=， sin (sin )C B A A=，)sin sin sin B A B A A B +=，3cos sin sin sin B A A B ∴=. sin 0A ≠，3cos sin B B ∴=，即tan B =(0,)B π∈，3B π∴=.（2）ABC ∆为等边三角形.理由如下：1sin 2ABC S ac B ∆==，即1sin23ac π=4ac ∴=，①ABC ∆22b B ∴==.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即2224b a c =+-， 228a c ∴+=，② 由①②得2a c ==， ABC ∴∆为等边三角形. 19.解：（1）在梯形ABCD 中，过点C 作CHAD ⊥于点H .由已知可知1CH AB ==，1AHHD ==，2AC =，CD =所以2224AC CD AD +==，即AC CD ⊥.① 因为AP ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD AP ⊥.②由①②及AC AP A =，得CD ⊥平面PAC .又由CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC .（2）因为AB ，AD ，AP 两两垂直，所以以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，()1,1,3PC =-，()0,2,3PD =-. 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则30230n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取3y =，则2z =，3x =，则()3,3,2n =.平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD =， 所以 322cos ,22AD n AD n AD n⋅<>==，所以平面PCD 与平面PAB .所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5. （2）由（1）可知70.5x =，故70.5μ=，所以(](]2,70.5214.31,70.514.3141.88,84].81(μσμσ-+=-⨯+=，而11(2)(22)()0.818622P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤++-<≤+=. 故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间(]41.88,84.81的人数约为200000. 818616372⨯=（人）.（3）按方案一：所补助的总费用为200420070.5456400x ⨯=⨯⨯=（元）按方案二：设一个人所得补助为Y 元，则Y 的可能取值为100，200，300，400. 由题意知，())12(P x t P x t <=≥=， 133(100)2510P Y ==⨯=，1213319(200)2525550P Y ==⨯+⨯⨯=，1321236(300)25525525P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1222(400)25525P Y ==⨯⨯=，所以Y 的分布列为()10020030040021010502525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 估算补助的总金额为：20021042000⨯=（元）.4200056400<，所以选择方案二补助的总金额更低.21.解：（1）()2f x 的定义域为R ，()()222x x f x ax xe x e a '=-=--. 当1a >时，令()0f x '>，得0ln x a <<；令()0f x '<，得0x <，或ln x a >.()f x ∴在(0),-∞上单调递减，在()0,ln a 上单调递增，在(ln ),a +∞上单调递减.（2）由()3222x f x e x x ≤--，得()22210x ax x e x ---≤， 当0x >时，()2210x ax e x ---≤，即2112x e x a x--≤对0x >恒成立. 设()()210x e x g x x x--=>， 则()()()211x x e x g x x---'=. 设()()10x h x e x x =-->，则()1x h x e '=-.0x >，()0h x ∴'>， ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即1x e x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在(1,)∞+上单调递增，()()12g x g e ∴≥=-，22a e ∴≤-. a ∴的取值范围是,24(]e -∞-.22.解：（1）由题意得圆心O 到弦MN 的距离2d ==， 则由拋物线和圆的对称性可得M ，N 两点的坐标分别为(2,)4±， 代入C 的方程可得164p =，解得4p =，所以C 的方程为28y x =.（2）法一：当直线l 垂直于y 轴时，不适合题意；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 方程为3x ky =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程238x ky y x=+⎧⎨=⎩，可得28240y ky --=， 128y y k ∴+=，1224y y =-，要证明2AQB AQP ∠=∠，只需要证0AQ BQ k k +=，121233AQ BQ y y k k x x +=+++()()()()()()()()12211221121233663333y x y x y ky y ky x x x x ++++++==++++ ()()()()()12121212262(24)6803333ky y y y k k x x x x ++-+⨯===++++， 2AQB AQP ∴∠=∠.法二：当直线l 垂直于y 轴时，不适合题意；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 方程为3x ky =+，()11,A x y ，()22,B x y . 要证明2AQB AQP ∠=∠，只需要证点B 关于x 轴的对称点()22,E x y -在直线AQ 上即可.直线AQ 方程为211383y x y y +=-，即2112438y x y y +=-， 联立方程238x ky y x=+⎧⎨=⎩，可得28240y ky --=， 128y y k ∴+=，1224y y =-，将2y -代入2112438y x y y +=-， 可得()()22121212112424388y y y y y x y y y --++=--= 1112112424824888y k y y y k y y -⋅+⋅== 223ky x =+=，∴点()22,x y -在直线AQ 上，2AQB AQP ∠=∠∴.。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题(含答案)
合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知命题，命题，则（ ）A.命题､命题都是真命题B.命题的否定､命题都是真命题C.命题､命题的否定都是真命题D.命题的否定､命题的否定都是真命题2.给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（ ）1234524478A.时的残差为-1B.时的残差为1C.时的残差为-0.9D.时的残差为0.93.若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ）A. B. C. D.:,11p x x ∀∈+>R 2:0,10q x x x ∃>-+=p q p q p q p q x y y x 5ˆˆ1.yx a =+xy0.5,3ˆax ==0.5,3ˆax ==0.4,3ˆax ==0.4,3ˆax ==A S m t s ()2(1S t t t=-≥t =3s 1s t =3s t =22,39-22,3922,93-22,934.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于实数，下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ）A.B. C. D.7.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ）A. B. C. D.8.已知，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（）A.若，且，则B.设，若，则C.已知随机变量的方差为，则D.若，则当时概率最大10.已知且，下列等式正确的有（）,,,a b c d a b >11a b a>-,a b c d <<ac bd>0a b c >>>b c a c a b >--1a b >>11a b a b+>+n⎛⎝x 135161427ξ()21140P ξ==10%20%30%40%1,,,,13a b c d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦222222a b c d ab bc cd+++++52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)2,∞+()0,1N ξ~(1)P p ξ>=1(10)2P p ξ-<=-…(),B n p ξ~()()30,20E D ξξ==90n =X ()D X ()()2323D X D X -=-()10,0.8X B ~8X =*,m n ∈N 1n m ≥>A.B.C.D.11.设函数，则下列说法正确的是（ ）A.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是B.若函数有3个零点，则实数的取值范围是C.设函数的3个零点分别是，则的取值范围是D.存在实数，使函数在内有最小值三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.全集，则__________.13.已知，函数有两个不同极值点，则__________.14.从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示）四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）15.（13分）（1）解关于的不等式：.（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：11A A m m n n m --=12111A A A n nn n n n n +-+--=3333202134520232024C C C C C ++++= ()()()22212C C C C n n nnnn+++= ()222,0e ,0x x ax a x f x a x ⎧---<=⎨-≥⎩()f x R a (],0∞-()f x a ()2,∞+()f x ()123123,,x x x x x x <<12313x x x +-1,4ln23∞⎛⎫--- ⎪⎝⎭a ()f x ()1,1-[](),4,8,0,6U A B ===R ()U A B ⋂=ð0a >()2322a f x ax x =-+12,x x ()()12f x f x +=()12332,,,,3,m a a a a m m +≥∈Z ,(132)i j a a i j m <<<+()()()1211211232,,,,,,,,,,,i i i j j j m a a a a a a a a a -++-+++ ,i j a a m x ()210x a x a -++≥x 230x ax -+≥[]1,2x ∈a从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：男生女生合计喜欢351550不喜欢252550合计6040100（1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因参考公式：其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82817.（15分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”.（1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”.（2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由.18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选人选人选，则选择的人获奖；5人中3人选人选人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；0.01α=0.01α=()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++)n a b c d =+++αx α()f x (),M a b ()()22()()s x x a f x b =-+-()()00,P x f x ()0s x ()s x P ()f x M ()1(0)f x x x=>()0,0M P P ()f x M ()()ln ,0,1f x x M =P ()f x M MP ()f x P P ,,A B C ,2A ,1B C C ,1A ,1B C B C ,,A B C（2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？19.（17分）函数.（1）求函数的单调区间；（2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；（3）设，若是函数在上的极值点，求证：.合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考数学参芳答案一.单选题1.【答案】D【解析】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题，对于命题，故是假命题，的否定是真命题，综上可得，的否定和的否定都是真命题.故选D.2.【答案】A 【解析】由已知，因为点在回归直线上，X X ,,A B C A B ()e xf x x=()f x ()()xg x f x =()y g x =l l x ()()2sin x f x x ϕ=-x a =()x ϕ()π,0-()02a ϕ<<p 1x =-101x +=<p p ,Δ0q <q q p q 12345244783,555x y ++++++++====(),x y 5ˆˆ1.yx a =+所以，所以时残差为.故选：A.3.【答案】D【解析】，所以.即该质点在时的瞬时速度为；从到这两秒内的平均速度为；故选：D.4.【答案】B【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿.故选：B.5.【答案】D【解析】对于选项A ，若时，，则错误.对于选项B ，若，当，则，则B 错误.对于选项C ，若取，则，故错误.对于选项D ，因为函数在上单调递增，故D 正确.故选：D.6.【答案】A【解析】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.则即，通项公式为，故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种，ˆ0.5a=3x =()4341ˆ5y-=-=-()()()223Δ3Δ23Δ3ΔΔΔ33ΔS t S S t ttt t -++-+===+0022limlim 3(3)9t t S t t ∆→∆→∆==∆+∆3t s =291t s =3t s =()()312313S S -=-1,1a b ==-11a b a<-A ,a b c d <<1,1,2,3a b c d =-===ac bd <3,2,1a b c ===1b c a c a b==--1y x x=+()1,∞+n⎛ ⎝62642n ==6n =n ⎛ ⎝6⎛- ⎝6316C (2)(1),0,1,2,,6r r r rr T x r --+=⋅-⋅= 0,2,4,6r =3434A A故奇次项都互不相邻的概率为，故选：A.7.【答案】C【解析】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由，得，化简得，解得，即本次测试的不合格率为.故选：C.8.【答案】【解析】因为，当且仅当时等号成立.，由对勾函数性质，所以，则，同理则，故的取值范围是.故选：B.二､多选题9.【答案】ABD【解析】对于选项A ，若，则A 正确.对于选项，设，则，解得，则B 正确.对于选项C ，，故C 错误.对于选项D ，因为，则；343477A A 1A 35P ==n ξ()21140P ξ==1210310C C 21C 40n n-=()()109637n n n --=⨯⨯3n =3100%30%10⨯=B2222222222222222a b c d a b b c c d ab bc cdab bc cd ab bc cd ab bc cd++++++++++==++++++…a b c d ===1,,13a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦103b a a b +…()22310ab a b +…()()222233,1010bc b c cd c d ++……()222222222222222210332210a b c d a b c d ab bc cd a b c d ++++++=+++++ (2222)22a b c d ab bc cd+++++102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()12(1)10,1,(10)22P N P p ξξξ->~-<==-…B (),B n p ξ~()()()30120E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩9013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩()()234D X D X -=()10,0.8X B ~()1010C 0.80.2kkkP x k -==⋅因为，若，则当时，，当时，，即，所以当时概率最大，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】对于选项A ，，则A 错误.对于选项B ，，所以，则B 正确.对于选项，故C错误.对于选项D ，考虑二项式展开式的前的系数是，又因为的前的系数可看成，故D 正确.故选：BD.11.【答案】BC【解析】对于选项A ，若函数在上单调递增，则，即，即，则A 错误.对于选项B ，令，当时，，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；当时，得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根，则，解得.故若函数有3个零点，则的取值范围是，则B 正确.()()1191010101C 0.80.2404C 0.80.21k k k k k k P x k k P x k k ++--=+⋅-===⋅+404391815k k k -=⇒=<+7k ≤()()1P x k P x k =+>=8k ≥()()1P x k P x k =+<=(1)(2)(7)(8)(9)(10)P x P x P x P x P x P x =<=<<=<=>=>= 8X =()()()()111!!A A !11!mm n n n n n n n m n m ---==⋅=-⎡⎤---⎣⎦()()()121211A A 1!!!11!,A 1!!n nn n n n n n n n n n n nn n n +-+--=+-=+-=⋅=-=⋅12111A A A n n n n n n n +-+--=33334333433420203452023445202355202320242024C,C C C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++=== 2(1)n x +n x 2C nn 2(1)(1)(1)n n n x x x +=+⋅+n x 0011C C C C C C n n n n n n n n ⋅+⋅++⋅ ()f x R 20221aa a a-⎧-=-≥⎪-⎨⎪-≤-⎩01a a ≤⎧⎨≥-⎩[]1,0a ∈-()0f x =0x ≥e x a =()f x e x a =1a ≥0x <2220x ax a ---=()f x 2220x ax a ++=2Δ(2)42020a a a ⎧=-⋅>⎨>⎩2a >()f x a ()2,∞+对于选项，设函数的3个零点分别是，则，得，令则，则在上单调递减，当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为即的取值范围是，故C 正确.对于选项D ，当时，函数是开口向下的二次函数，故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，故；要使函数在内有最小值，即，即，故无解，所以不存在，故错误.故选：BC.三､填空题12.【答案】解析：，所以13.【答案】4.解析：由三次函数对称性可知.答案：4.（24年全国1卷18题第2问思路）另解：解得所以14.答案：.解析：设三组中的数的个数分别为则，所以C ()f x ()123123,,x x x x x x <<3122e x x x aa +=-⎧⎨=⎩123112ln 33x x x a a +-=--()()12ln ,2,3g x x x x ∞=--∈+()161233x g x x x--=--='()g x ()2,∞+()max 1()24ln23g x g ==--x ∞+()g x ()g x 1,4ln23∞⎛⎫---⎪⎝⎭12313x x x +-1,4ln23∞⎛⎫--- ⎪⎝⎭0x <()2122f x x ax a =---()1f x 0x ≥()2e xf x a =-()2min 2()01f x f a ==-()f x ()1,1-()()11111021f af a a ⎧-=-≥-⎪⎨=-≥-⎪⎩21a a ≥⎧⎨≤-⎩a a []6,8][()U ,06,B ∞∞=-⋃+ð()[]U 6,8A B ⋂=ð()()124f x f x +=()22302a f x ax '=-=12x x ==()()124f x f x f f ⎛+=+= ⎝213122m m -+()3,3,3,,x y z x y z +∈N 333232x y z m +++=+x y z m++=隔板法可得.（24年全国1卷19题第3问思路）四､解答题15.解析：（1）因为解得当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（2）易知在上有解，所以..因为，所以.所以.答案：16.解析：（1）零假设为：是否喜欢篮球和学生性别没有关联..根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算：.根据独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.17.解析：（1），当且仅当时，等号成立，所以当时，点是到点的“最近点”；.（2）；所以()()2211213C 1222m m m m m ---==-+()210x a x a -++=12, 1.x a x ==1a >][(),1,a ∞∞-⋃+1a =R 1a <][(),1,a ∞∞-⋃+233x a x x x+≤=+[]1,2x ∈max 3a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭[]1,2x ∈34x x+≤4a ≤4a ≤0H ()()()()220.01() 4.167 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ-=≈<=++++0.01α=0H 0H ()()()()220.01()8.333 6.635n ad bc x a b c d a c b d χ-=≈>=++++0.01α=()2212,(0)s x x x x=+≥>1x =()1,1P P ()f x M ()22(ln 1),(0)s x x x x =+->()2222ln ;x xs x x-+=⋅⋅'记，则在上单调递增，因为，所以在单调递减，在单调递增，所以，即点是到点的“最近点”.切点为，则在点处的切线的斜率为1，所以直线与在点处的切线垂直，当且仅当取时，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直.18.解析：（1）设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B..（2）的可能取值为所以的分布列为：01的数学期望（3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为设选择方案2获奖人数为的可能取值为.则方案2获奖人数的数学期望.()21ln ,(0)h x x x x =-+>()h x ()0,∞+()10h =()s x ()0,1()1,∞+()()1s x s ≥()1,0P ()f x M ()1,0P ()f x P l 10101MP k -==--MP ()f x P ()1,0P ()f x M MP ()f x P ()()()332133443322A 1A C 7C A A A n AB P B n A ===+∣X 0,1,2⋅⋅()23131535335C A C A C 9303243P X ++===()()121133545433222255C C C C A A A A 90601;2;32433243P X P X ======X XP 932439024360243X ()93906070012.24324324381E X =⨯+⨯+⨯= 707000300.8127⨯=,Y Y 0,1,2()()()1222252522555C A C A A 210200;1;2;232232232P Y P Y P Y =========()210202501232323216E Y =⨯+⨯+⨯=选择方案2获取奖金总额的数学期望为.因为.所以选择方案2.19.解析：（1）的定义域为.得到.所以在单调递增，在和单调递减.（2）因为，所以设切点坐标为，则切线方程为因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或.在切线方程中，令，得，解得令，则或，可得.即在轴上的截距的取值范围为.（3）因为.则当时，.故在上单调递减.当时，令则所以在上单调递减，因为，25625200162⨯=6257000227>()f x {}0x x ≠∣()()22e 1e e 0x x x x x f x x x'--===1x =()f x ()1,∞+(),0∞-()0,1()2e x x g x =()2222e e 2,.e ex x x x x x x x g x x '--==∈R ()0200,e x x x -()002200002e .e x x x x y x x x ---=-()y g x =020020ex x x -<00x <02x >0y =()002200002e ex x x x x x x ---=-20000022 3.22x x x x x x -==-++-- 02t x =-23(2x t t t=++<-0)t >()),03x ∞∞⎡∈-⋃++⎣l x ()),03∞∞⎡-⋃++⎣()e 2sin x x x x ϕ=-()()221e 2cos .x x x x x xϕ--'=π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0x ϕ'<()x ϕπ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()21e 2cos x h x x x x =--()()2e 4cos 2sin e 4cos 2sin 0,x x h x x x x x x x x x x '=-+=-+<()h x ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()ππ0,02h h ⎛⎫->-< ⎪⎝⎭所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点当时，，即，当时，，即，所以时取最大值.所以，即得证.()h x ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()x ϕππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.x a =()π,x a ∈-()0h x >()0x ϕ'>(),0x a ∈()0h x <()0x ϕ'<x a =()x ϕ()()π2π22πe 1πe 0,2sin 2sin 22πe a a a a a a ϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭>-=>=-<-< ⎪⎝⎭()02a ϕ<<。
2020-2021学年山东省青岛市高二(下)期末考试数学试卷人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯202-2021学年山东省高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A，B，C满足：A∪B=B，B∩C=B，则下列关系一定正确的是( )A.A∩C=AB.A∩B=BC.A∪B=CD.A∪C=B2. “a>2”是“函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5=S2+a11，且a1=1，则S8=( )A.42B.56C.64D.824. 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=ln|x|2+cos x B.f(x)=2−ln|x|sin xC.f(x)=cos x⋅ln|x|D.f(x)=sin x⋅ln|x|5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.16. 函数f(x)=x3−2021x+1图象的对称中心为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)7. 已知a=2−12，b=log1225，c=log283，则( )A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c8. 已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为（）A.1B.2√55C.3√55D.4√55二、多选题已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，则（）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545.A.D(X)=2B.E(Y)=6C.P(X<5)=0.84135D.D(Y)=2.5设全集U=R，集合A={y|y=x−2+2}，集合B={x|x2−2x−3<0,x∈R}，则( )A.A∩B=(2,3)B.A∪B=[2,+∞)C.A∩(∁R B)=[3,+∞)D.A∪(∁R B)=R已知数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=3n，n∈N∗，则下列说法正确的是（）A.a6=8 B.{a2n}是等差数列C.S20=300D.a2n−a2n−1=3已知函数f(x)=e x−cos2x，则下列结论正确的是（）A.f(x)在(0,π2)上单调递增 B.f(x)在(π2,π)上单调递减C.∀x0≥0，f(x0)≥0D.∃x0<0，f(x0)<0三、填空题(√x−x2)4展开式中x3的系数为________.已知函数f(x)=−x2+ax+1−ln x，若f(x)在(0,12)上是减函数，则实数a的最大值为________.给出一个满足以下条件的函数f(x)=________.①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0,+∞)不是单调函数；④f(x)有无数个零点．O为平面直角坐标系xOy的坐标原点，点W0(0,2)在x轴正半轴上依次取OW0中点W1，OW中点W2，OW2中点W3，⋯，OW n中点W n+1，⋯，记|OW|=a n，n∈N∗．则(1)数列{a n}的通项公式a n=________；(2)记c n=n2a n，数列{c n}的最大值为________.四、解答题在①a n+1>a n，a2a9=51，a4+a7=22；②S5=25a1，a2=3；③S n=n2三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且________，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．(1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y（单位：人）如下表：现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型：ŷ=b测第几轮次该地区观看球赛的人数y超过10000人？(2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛，求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．附：回归方程ŷ=b̂x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式和参考数据：b̂=∑x ini=1y i−nx¯⋅y¯∑x i2ni=1−nx¯2=∑(ni=1x i−x¯)(y i−y¯)∑(ni=1x i−x¯)2，a=y¯−b̂x¯，∑x ini=1y i=103000．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+2=4(a n+1−a n)，a1=1，a2=4，n∈N∗．(1)证明：数列{a n+1−2a n}为等比数列；(2)记b n=a n2n，证明数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．已知函数f(x)=ax33−x22，a≥0．(1)若a=1，求函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值；(2)求函数f(x)的极值点．为治疗病毒Y引发的疾病，某医药公司研发了一种新药W，为了解W的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联？(2)假设该药的治愈率为80%，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；(3)已知该地区某医院收治的2k(k≥3，k∈N∗)名病毒Y感染者使用该药W治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份样本为阴性，若检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率p=0.91．现将2k份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当k=10时，预测检测次数是否小于15次？，n=a+b+c+d．附：参考公式及数据：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)②0.91已知函数f(x)=e x−a[ln(1+x)+ln a+1](a>0)．(1)当a=1时，证明：f(x)≥0．(2)若f(x)有且仅有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2<0．参考答案与试题解析202-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】分析题意，对照选项—一验证各选项的正确性，具体分析选项可得答案．【解答】解：∵A∩B=B，∴A⊆B，∵B∩C=B，∴B⊆C，∴A⊆B⊆C，A，A∩C=A，故A正确；B，A∩B=A，故B错误；C，A∪B=B，故C错误；D，A∪C=C，故D错误．故选A．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】当a>1时，函数f(x)单调递增．即可判断出．【解答】解：当a>2时，可以得出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．由函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，可以得出a>1，无法得出a>2，∴ “a>2”是“函数f(x)=a x+logax(a>0，a≠1)在(0,+∞)上单调递增”的充分非必要条件．故选A．3. 【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=S2+a11，a1=1，∴5+5×42d=2+d+1+10d，解得：d=2，则S8=8+8×72×2=64．故选C．4.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】解：A，f(x)=ln|x|2+cos x，其定义域为x≠0，f(−x)=ln|−x|2+cos(−x)=ln|x|2+cos x=f(x)，不符合题意，排除A；B，f(x)=2−ln|x|sin x，其定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，不符合题意，排除B；C，f(x)=cos x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=cos(−x)⋅ln|−x|=f(x)，不符合题意，排除C；D，f(x)=sin x⋅ln|x|，其定义域为x≠0，f(−x)=sin(−x)⋅ln|−x|=−sin x⋅ln|x|=−f(x)，符合题意．故选D．5.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.6.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．7.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较【解析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a=2−12=√22，b=log1225=log252，c=log283>log252=b>1，则a<b<c．故选C．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，则f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0，则曲线y=f(x)上的点到直线y=−2x+1的最小距离为：√22+12=2√55．故选B．二、多选题【答案】B,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据对称性，由题意可求出答案．【解答】解：已知随机变量X∼N(3,22)，Y∼B(10,0.6)，∴D(X)=3，E(Y)=10×0.6=6，P(1<x<5)=0.6827，∴D(Y)=6×0.4=2.4，P(x<5)=0.5+12×0.6827=0.84135.故选BC．【答案】A,C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【解答】解：由题意得，A={y|y>2}，B={x|−1<x<3}，∴A∩B=(2,3)，A∪B=(−1,+∞)，∁R B={x|x≤−1或x≥3}，∴A∩(∁R B)=[3,+∞)，A∪(∁R B)=(−∞,−1)∪(2,+∞)，故AC正确，BD错误．故选AC．【答案】A,B,C【考点】数列递推式等差数列数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a1=1，a1+a2=3，∴a2=2，由题意得，a n+a n+1=3n，①则n≥2时，a n−1+a n=3(n−1)，②①−②，得a n+1−a n−1=3，则a2(n+1)−a2n=3.∴数列{a2n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a2n=2+3(n−1)=3n−1，∴a6=8.同理可得，数列{a2n−1}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴a2n−1=1+3(n−1)=3n−2，∴S20=2+292×10+1+282×10=155+145=300，∵a2n=3n−1，a2n−1=3n−2，∴a2n−a2n−1=1.故选ABC.【答案】A,C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】通过对函数求导来解决单调性问题，判断单调区间。
菏泽市2020-2021学年高二下学期期末联考 数学试题(A卷)(含答案)
菏泽市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（A ）一、选择题：每小题5分，共40分。
1．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ） A ．()2,1B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--2．地摊经济既体现了一座城市烟火气，也是城市综合治理能力与治理水平的一个刻度与窗口。
如图1、图2分别表示某市各区的地摊的摊位数和食品神位比例，现用分层抽样的方法抽取5%的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A 区被抽取的食品摊位数分别为（ ）A ．210，24B ．420，24C ．210，48D ．420，483．“2m =”是“直线1l ：()2140x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量y （单位：万件）之间的对应数据如下表所示：根据表中的数据可得回归直线方程 2.27y x a=-，决定系数0.96R ≈，以下说法正确的是（ ） A ．第四个样本点对应的残差4ˆ1e=-，回归模型的拟合效果一般 B ．第四个样本点对应的残差4ˆ1e=，回归模型的拟合效果较好 C ．销售量y 的多少有96%是由研发投入费用引起的D ．销售量y 的多少有4%是由研发投入费用引起的5．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6．已知()()()()20212202101220212111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则0122021a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．40422 B ．1 C ．20212 D ．07．甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1，2，5，6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数是3，4，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率为（ ） A ．310B ．25C ．35D ．7108．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于58-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．58C D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知圆1C ：2210100x y x y +--=和圆2C ：2262400x y x y +-+-=则（ ）A ．两圆相交B ．公共弦长为C ．两圆相离D ．公切线长10．某市有3名男生，4名女生组成代表队参加了2020年全国高中生健美操大赛。
黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二下学期期末联考试题 数学含答案
2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若3420242024C C m m -=，则m =（）A .2B.6C.2或6D.2或5072.设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（）A.1- B.1C.3D.63.若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（）A.()2,+∞ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()0,∞+4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.14405.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.函数()f x '在(),b c 上单调递增B.函数()f x 至少有2个极值点C.函数()f x 在(),a e 上单调递减D.函数()f x 在x c =处取得极大值6.已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（）A.15B.115 C.154D.4157.已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是()A.(2,0)- B.(0,2) C.(90,2D.9(,0)2-8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A.314B.13C.23D.27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A .第4项B.第5项C.第6项D.第7项10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.()5|12P C A =D.()1|6P B A =11.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．13.已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．16.已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.8415.0246.6357.87918.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？19.定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若3420242024C C m m -=，则m =（）A.2B.6C.2或6D.2或507【答案】D 【解析】【分析】通过组合数的性质即可得到答案.【详解】由题意知34,m m =-或342024,m m +-=所以2m =或507.m =故选：D ．2.设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（）A.1-B.1C.3D.6【答案】B 【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为1x =时的预测值为619ˆ3y=⨯+=，所以残差为1091-=．故选：B ．3.若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（）A.()2,+∞ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()0,∞+【答案】C 【解析】【分析】由导函数定义可得()f x '，再利用导函数求单调减区间即可.【详解】()()1limx f x x f x x xx∆→+∆--=∆ ，1()x f x x-'∴=，()0,x ∈+∞，由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,1).故选：C.4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.1440【答案】D 【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【详解】先将甲、乙排为一列，有22A 种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有66A 种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为2626A A 1440=．故选：D ．5.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.函数()f x '在(),b c 上单调递增B.函数()f x 至少有2个极值点C.函数()f x 在(),a e 上单调递减D.函数()f x 在x c =处取得极大值【答案】D 【解析】【分析】根据()f x '的图象判断其符号，进而可知()f x 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.【详解】由()f x '的图象可知：当x a <或>x e 时，()0f x '>；当a x e <<时，()0f x '≤；可知()f x 在(),a ∞-，(),e ∞+上单调递增，在(),a e 上单调递减，则函数()f x 有且仅有两个极值点,a e ，结合选项可知：ABC 正确；D 错误；故选：D.6.已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（）A.15B.115 C.154D.415【答案】A 【解析】【分析】由随机变量(),X B n p 的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为()35E X np ==，()()12125D X np p =-=，所以()()415D X pE X =-=，即15p =，所以3n =，所以15np=．故选：A ．7.已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是()A.(2,0)- B.(0,2) C.(90,2D.9(,0)2-【答案】D 【解析】【分析】求得2()3f x x x '=+，得出函数()f x 的单调性与极值，结合()f x 有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．【详解】由函数3213()32f x x x c =++，可得2()3f x x x '=+，令()0f x '=，解得0x =或3x =-，令()0f x '>，解得0x >或3x <-；令()0f x '<，解得30x -<<，则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又由9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，解得902c -<<，所以实数c 的取值范围是9(,0)2-．故选：D ．8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A.314B.13C.23D.27【答案】B 【解析】【分析】先由古典概率公式求出()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，再由全概率公式求出()314P A =，最后由条件概率求出()11|3P B A =即可.【详解】用A 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用1B 表示丢掉的小球为红球，2B 表示丢掉的小球为黑球，则()()1212P B P B ==，()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，由全概率公式可得()()()()()112111123||272714P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以()()()1111127|3314P AB P B A P A ⨯===，故选：B.【点睛】关键点点睛：条件概率公式为()()()11|P AB P B A P A =，全概率公式为()()()()()1121||P A P B P A B P B P A B =+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项【答案】CD 【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.【详解】因为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38C C n n =；所以11n =，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.()5|12P C A =D.()1|6P B A =【答案】BCD 【解析】【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D.【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有21342322C C A 36A ⋅=种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，各有223323C A +A =12种方案，∴()()()13P A P B P C ===；甲、乙均学习VisualBasic 编程语言，有22A 2=种方案，∴()213618P AB ==；甲学习VisualBasic 编程语言且乙学习VisualC ＋＋编程语言，有11221C C 5+=种方案，∴()536PAC =，对于A ，∵()()()P AB P A P B ≠，∴事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，∵()5036P AC =≠，∴事件A 与C 不是互斥事件，故B 正确；对于C ，()()()5|12P AC P C A P A ==，故C 正确；对于D ，()()()1|6P AB P B A P A ==，故D 正确.故选：BCD.11.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑【答案】AB 【解析】【分析】根据题意分析可知4为()f x '的周期，关于2x =对称，关于点()1,0对称，进而判断AB ；分析可知4为()f x 的周期，但没有充分条件求()2f ，进而判断CD.【详解】因为()41f x +为偶函数，则()()4141f x f x +=-+，即()()11f x f x +=-+，可知()f x 关于1x =对称，又因为()2f x '+为偶函数，则()()22f x f x '+=-+'，可知()f x '关于2x =对称，且()()11f x f x +=-+，则()()11f x f x +=--'+'，即()()2f x f x '=--+'，可得()f x '关于点()1,0对称，且()()2f x f x ''=-+，则()()()()244f x f x f x f x ''''⎡⎤=-+=--+=+⎣⎦，可知4为()f x '的周期，由()()2f x f x '=--+'，可得()()11f f ''=-，即()10f '=，则()()()()130,241f f f f ''''=-==-=-，即()()()()12340f f f f ''''+++=，所以()()()()202311231i f i f f f ='=++'''=-∑，()202410i f i ='=∑，故AB 正确；因为()()4f x f x ''=+，则()()4f x c f x c +=++，即()()4f x f x =+，可知4为()f x 的周期，又因为()()22f x f x '+=-+'，则()()222f x f x c +=--++，即()()222f x f x c ++-+=，可知()f x 关于点()2,c 对称，但没有充分条件求()2f ，故无法求CD 选项的值，故CD 错误；故选：AB.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．【答案】87##117【解析】【分析】根据分布列的性质概率之和为1可求.【详解】已知()2i aP X i ==（1,2,3i =），则由分布列的性质可得231117(1)(2)(3)12228P X P X P X a a ⎛⎫=+=+==++== ⎪⎝⎭，解得87a =，故答案为：87.13.已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】因为()f x 有两个极值点，所以()223f x x ax =+-'有两个变号解，结合韦达定理得出122x x a +=-，又因为1225x x -=，联立得出125425,,33a a x x -+==-又因为123x x =-，所以得出1a =-或1.4a =-再利用()f x 的极小值为整数即可得出答案.【详解】()223,f x x ax =+-'由题意知12,x x 是2230x ax +-=的两根，所以24120,a ∆=+>且12x x +=122,3,a x x -=-又1225,x x -=所以125425,,33a a x x -+==-所以54253,33a a -+⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即24a +510,a +=解得1a =-或1.4a =-当1a =-时，123,1,x x ==-此时()f x 的极小值为()263,3f =-不合题意；当14a =-时，1232,,2x x ==-此时()f x 的极小值为()24,f =-符合题意．故1.4a =-故答案为：14-.14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.【答案】①.516##0.3125②.n【解析】【分析】X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到n X 与X 关系，得到()2n X X n X X n =--=-，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.【详解】设X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率()333661150C 12216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，X 表示向右移动的次数则n X -表示向左移动的次数，则()2n X X n X X n =--=-，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭则()()111224n D X np p n =-=⨯⨯=，所以()()()22244n nD X D X n D X n =-=⨯=⨯=.故答案为：516；n .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．【答案】（1）128（2）2m =或53-【解析】【分析】（1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】在7280128(1)(1)x x a a x a x a x --+=+++⋅⋅⋅+中，取1x =，得01280a a a a =+++⋅⋅⋅+，取=1x -，得018256a a a -=-+⋅⋅⋅+，以上两式相减，得1357128a a a a +++=．【小问2详解】7(1)mx +的通项为777177C ()C k k k k k k T mx m x ---+==，若270a =-，可得62577C C 70m m -=-，所以23100m m --=，解得2m =或53-．16.已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）40x y +-=（2）极大值为127e -，极小值为e.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.【小问1详解】由()()2254e xf x x x =-+，()f x 的定义域为R ，得()()221e xf x x x '=--，所以()00e 1f '=-=-，又()04f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为4y x =-+，即40x y +-=；【小问2详解】()()()()221e 121e x x f x x x x x '=--=-+，由()0f x '=，得12x =-，或1x =，当12x <-或1x >时，()0f x ¢>，()f x 在()1,,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增；当112x -<<时，()0f x '<，()f x 在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；故函数()f x 在12x =-处取得极大值，极大值为1217e 2f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；在1x =处取得极小值，极小值为(1)e f =.故函数()f x 有极大值，也有极小值，极大值为127e -，极小值为e.17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）答案见解析（2）0.08794【解析】【分析】（1）根据题意完善22⨯列联表，求2χ，并与临界值对比分析；（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求()90P X <，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：22⨯列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设0H ：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得()220.10102404 1.667 2.7066428x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，依据小概率值0.10α=的独立性检验，可以推断0H 成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】由题意可得，物理成绩的平均分为()1849082848381838190828410x =+++++++++=（分）；方差()()()()()()()222222221848490848284848483848184838410s ⎡=-+-+-+-+-+-+-⎣()()()22281849084828410⎤+-+-+-=⎦，结合题意可知：()84,10X N :，即84,3μσ==≈，则290μσ+=，可得()()1221+0.954590=0.9772522P X P X μσμσ+-<<+<=≈，记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A ，则A 为“4人物理成绩的等第都是非优秀”，故()()4419010.9772510.912060.08794P A P X ⎡⎤=-<≈-≈-=⎣⎦，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为0.08794.18.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40（2）①减少了；②增加了【解析】【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X 的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．2611(10)C 15P X ===，26224(15)C 15P X ⨯===，2611(20)C 15P X ===，2622(35)C 15P X ===，2622(40)C 15P X ===，2622(65)C 15P X ===，2622(70)C 15P X ===，2611(90)C 15P X ===，所以X 的分布列为X 1015203540657090P11541511521521521521511514122221()1015203540657090401515151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n 人，则门票收入为120n 元，举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为(140%)(12040)112120n n n +-=<，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，则期望值为1111153040602363⨯+⨯+⨯=．不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为11547512033n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为475497475(140%)40333n n n ⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了19.定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；【解析】【分析】（1）借助导数，分0a ≤及0a >讨论即可得；（2）（i ）结合定义，令()()f x g x =，构造函数()()2e 2xk x x ax =---，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明()002e e 0xx --≤，构造函数()()2e e x h x x =--，借助导数求出其在()0,2上的最大值即可得.【小问1详解】()2e x f x a ='-，当0a ≤时，()0f x '>对任意x ∈R 恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '<，得ln 2a x <；令()0f x '>，得ln 2a x >，故函数()f x 在,ln 2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】（i ）令()()f x g x =，得2e e 2x x ax x -=+，得()2e 20xx ax ---=，设()()2e 2xk x x ax =---，则()()1e xk x x a =--'，设()()1e xm x x a =--，则()e xm x x '=-，当()0,x ∞∈+时，()0m x '<，()m x 单调递减，即()k x '在()0,∞+上单调递减，且()010k a ='->，()10k a '=-≤，故(]10,1x ∃∈，使得()10k x '=，当()10,x x ∈时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，当()1,x x ∞∈+时，()0k x '<，函数()k x 单调递减，因为()00k =，()2220k a =--<，所以()k x 在()0,2上只有一个零点0x ，故函数()k x 在()0,∞+上只有一个零点0x ，即函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ii ）因为002x <<，所以要证()0ln 11x a ⎡⎤+<⎣⎦，即证()01e x a +<，即证00e 0ax x +-<，只需证0e 0ax +2-≤，因为()()00002e 20xk x x ax =---=，得()0002e2x x ax -=+，所以只需证()002e e 0xx --≤即可，令()()2e e xh x x =--，02x <<，则()()1e xh x x ='-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()()max 10h x h ==，即()002e e 0xx --≤，原不等式即证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助()()00002e 20xk x x ax =---=，从而消去参数a ，将()01e x a +<转化为()002e e 0x x --≤.。
2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.23.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.246.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于17.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.758.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.3010.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.13211.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】：C【解析】：由复数模公式可解决此题．【解答】：解：由复数z=2-i，得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ．故选：C．【点评】：本题考查复数模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：利用导数的公式求导即可．【解答】：解：$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ，所以f'（1）=2+2f'（1），解得f'（1）=-2．故选：A．【点评】：本题考查常见函数的导数公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】：B【解析】：利用分布列的性质，列出方程求解即可．【解答】：解：由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1，解得a= $\frac{1}{4}$ ．故选：B．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题．4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1，故（1）错误；对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；对于（3），在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；对于（4），在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.24【正确答案】：C【解析】：根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将2名男生安排在两端，有A22=2种排法，② 将3名女生安排在中间三个位置，有A33=6种排法，则有2×6=12种排法；故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于1【正确答案】：A【解析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“x，y∈R，若|x-1|+|y-1|=0，则x=y=1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1，即x，y至少有一个不等于1．故选：A．【点评】：本题考查了反证法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】：D【解析】：利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率，再进行预测．【解答】：解： $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5，\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ，因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95，\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即：$4=3.5\hat{b}+2.95$ ，解得 $\hat{b}=0.3$ ，所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ，2021年为第6年，所以当x=6时， $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ ．故选：D．【点评】：本题考查线性回归方程的求解及其预测功能，属于基础题．8.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】：D【解析】：先利用正态分布对称性，求出抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ，然后在利用二项分布的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布N（96，52），所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ ．故选：D．【点评】：本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.30【正确答案】：D【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，② 将分好的3组安排到3个班级，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有C42-1=5种分组方法，② 将分好的3组安排到3个班级，有A33=6种安排方法，则有5×6=30种分配方法，故选：D．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】：C【解析】：列出顶点数与多边形边数，分析归纳出变化规律，从而解得．【解答】：解：由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】：本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力，属于中档题．11.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导得f′（x）=3x2-3，求得其最大值点，再根据f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，求出a的取值范围．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=-1时，f（x）取得最大值，又f（-1）=f（2）=2，且f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，所以2a＜-1＜3-a2≤2，解得-2＜a≤-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1]．故选：D．【点评】：本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]【正确答案】：C【解析】：利用分段函数的解析式，当$x≤\frac{1}{2}$ 时， $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），由导数研究h （x）的性质，得到当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，结合题意可知， $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，求解即可得到m的取值范围．【解答】：解：函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ，当$x≤\frac{1}{2}$ 时，由8x-m=0，解得 $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，由xe x-2mx+m=0，解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ，当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，又h（1）=e，所以当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，由于f（x）在R上有三个零点，所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，解得m≤4，综上所述，m的取值范围为（e，4]．故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为．【解答】：解：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查类比推理，考查数学运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] $\frac{1}{4}$【解析】：由题意m，n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出，进而求出其概率．【解答】：解：由题意，任取m，n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12，双曲线的焦点在x轴上的取法有：C ${}_{3}^{1}$ ×1=3，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为： $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ；故答案为： $\frac{1}{4}$ ．【点评】：本题考查双曲线的性质及古典概率的求法，属于基础题．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．【正确答案】：[1]150【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目，再排除其中“0在首位”的六位数数目，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有C62C42A22=180个六位数，其中0在首位的六位数，有C52C32=30个六位数，则有180-30=150个不同的六位数；故答案为：150．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，转化为a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，构造函数f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），利用导数研究f （x）的取值范围，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），则f'（x）= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ，又y=x2e x在（0，+∞）上单调递增，设x0为方程x2e x-1=0的根，即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ，所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ，两边同时取对数，可得x0=-2lnx0，因为x＞0，x+2＞0，故当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，且当x→0时，f（x）→+∞，又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1，所以当a≥1时，a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．【正确答案】：【解析】：首先把z化成a+bi的形式（Ⅰ）由a=0且b≠0可解决此问题；（Ⅱ）由ab＞0可解决此问题．【解答】：解： $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ，解得m=-1．所以当实数m=-1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜-1或$m＞-\frac{1}{3}$ ，所以当实数$m∈({-∞，-1})∪({-\frac{1}{3}，+∞})$时，表示复数z的点位于第一、三象限．【点评】：本题考查复数的代数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）写出二项式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，求解即可；（Ⅱ）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．【解答】：解：（Ⅰ）展开式的通项为： ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ，依题可得：$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ，解得m=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ，当r=0，2，4，6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$，${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ，${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ，${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ ．【点评】：本题考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过n的取值，求解数列的前几项即可．（Ⅱ）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．n=1时， ${a_2}=\frac{1}{3}$ ，n=2时，解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ，n=3时，解得${a_4}=\frac{1}{4}$ ．（Ⅱ）猜想： ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ ．证明：① 当n=1时， ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ，猜想成立；② 假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ ．那么，依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ ．所以，当n=k+1时猜想成立．根① 和② ，可知猜想对任何n∈N*都成立．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是中档题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-5x+2lnx，定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0，解得 $x=\frac{1}{2}$ ，或x=2，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=-6+2ln2．（Ⅱ）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2，① 若a≤0，则当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．② 若0＜a＜4，即 $0＜\frac{a}{2}＜2$ ，则当$x∈({0，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({\frac{a}{2}，2})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，③ 若a=4，即 $\frac{a}{2}=2$ ，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，④ 若a＞4，即 $\frac{a}{2}＞2$ ，则当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({2，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当$x∈({\frac{a}{2}，+∞})$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间是 $({0，\frac{a}{2}})$ ，（2，+∞），递减区间是$({\frac{a}{2}，2})$ ；当a=4时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间是（0，2）， $({\frac{a}{2}，+∞})$，单调递减区间是$({2，\frac{a}{2}})$ ．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件完成列联表，求出K2，即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为：40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667＞7.879$ ．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ，$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ，$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ，$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ，$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ ．∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ ．【点评】：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导得f'（x）=4x+lna，由导数的几何意义可得k切=f'（1）=0，解得a即可．（Ⅱ）g（x）-f（x）＜0恒成立，可转化为 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），判断h（x）的单调性，进而求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）依题可得f'（x）=4x+lna且f'（1）=0，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，∴4+lna=0，∴ $a=\frac{1}{e^4}$ ．（Ⅱ）由g（x）-f（x）＜0，可得ae2x lnx-（2x2+xlna）＜0，整理，得 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ，令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ，得x=e，∴当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减．又当x∈（0，1）时， $h(x)=\frac{lnx}{x}＜0$ ，∴h（x）＜h（ae2x），∴只需x＜ae2x，即 $a＞\frac{x}{e^{2x}}$ ，设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ，则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ，令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ，得 $x=\frac{1}{2}$ ，∴当$x∈({0，\frac{1}{2}})$ 时，H'（x）＞0，H（x）单调递增，当$x∈({\frac{1}{2}，1})$ 时，H'（x）＜0，H（x）单调递减．∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ，∴ $a＞\frac{1}{2e}$ ，∴a的取值范围为（ $\frac{1}{2e}$ ，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
浙江省金华十校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题
20．在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ， ，且 为线段 上的一动点．
（Ⅰ）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）当直线 与平面 所成角小于 ，求 长度的取值范围．
21．已知抛物线 ，点 ， 是抛物线上两个动点，点 到直线 的距离为1．
（Ⅰ）若直线 的倾斜角为 ，求直线 的方程；
A． B． C． D．
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．64B．128C．252D．
8． 五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，（红包中金额相同视为相同红包），则 两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有（ ）
（Ⅱ）求 的最小值．
22．设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）设 对任意 恒成立时 的最大值为 ，证明： ．
参考答案
1．C
【解析】
.
.
故选C.
2．A
【解析】
由 得 ，即不等式的等价条件是 ，
则不等式 的一个充分不必要条件一个是 的一个真子集，
则满足条件是 ，
故选A.
3．D
【解析】
∵ ，
∴ ，
令 ，解得 ，
17．已知椭圆 与 轴交于 两点，过椭圆上一点 （ 不与 重合）的切线 的方程为 ，过点 且垂直于 轴垂线分别与 交于 两点，设 交于点 ，则点 的轨迹方程为__________．
四、解答题
18．已知圆 ，直线 ， 为直线 上一动点， 为坐标原点
（Ⅰ）若直线 交圆 于 两点，且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，过点 做圆的切线，切点为 ，求 的最小值．
2020-2021学年天津市四校联考高二下学期期末数学试卷【含答案】
2020-2021学年天津市四校联考高二下学期期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.44．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是.（用数字作答）12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是，此时b ＝．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．参考答案一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1} 【分析】可求出集合A，然后进行补集和并集的运算即可．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{1，﹣2}，B＝{0，1}，∴∁U B＝{﹣2，﹣1}，A∪（∁U B）＝{﹣2，﹣1，1}．故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，由x﹣4＞0，得x＞4，即由x2﹣5x+6＞0不能得到x﹣4＞0，反之，由x﹣4＞0，能够得到x2﹣5x+6＞0．即“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0 1 3 4y 3.3 4.8 5.7 A．2.2 B．1.8 C．1.6 D．1.4【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．解：由题意可知，，，则样本中心在回归方程为＝0.85x+2.1上，所以，解得m＝1.4．故选：D．4．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析，结合函数的解析式分析可得当x＞0时，f（x）＝e x﹣cos x＞0，排除AC，又由f（﹣）＝＞0，排除B；即可得答案．解：根据题意，f（x）＝e x﹣cos x，当x＞0时，e x＞1而cos x≤1，则有f（x）＝e x﹣cos x＞0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f（﹣）＝﹣cos（﹣）＝﹣0＞0，排除B；故选：D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．解：因为共有2道选择题和3道填空题，依次不放回地随机抽取2道题作答，第1次抽到选择题，故剩下1道选择题和3到填空题，所以P（B|A）＝．故选：A．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，有A22＝2种安排方法，则有15×2＝30种报名方法，故选：C．7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．解：由f（x）＝xe x，得f′（x）＝e x+xe x，∴f′（2）＝3e2，又f（2）＝2e2，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l的方程为y﹣2e2＝3e2（x﹣2），即y＝3e2x﹣4e2．取x＝0，得y＝﹣4e2，取y＝0，得x＝，∴曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是S＝．故选：A．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m2【分析】根据已知条件，可得人行道面积S＝，再结合均值不等式，即可求解．解：设草坪南北方向长为x米，则草坪东西方向长为，人行道占地面积为S平方米，∵要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，∴S＝＝，当且仅当，即x＝40时，等号成立，S取得最小值504．故选：D．9．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：对于①，令g（x）＝＝lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，由0＜x1＜x2，可得g（x1）＜g（x2），即＜，即x1f（x2）＞x2f（x1），故①正确；对于②，令h（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，h′（x）＝lnx+2，由h′（x）＞0可得x＞e﹣2，由h′（x）＜0可得0＜x＜e﹣2，所以h（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增，当0＜x1＜x2＜e﹣2时，h（x1）＞h（x2），即x1+f（x1）＞x2+f（x2），故②错误；对于③，令m（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，m′（x）＝lnx，在（0，1）上，m′（x）＜0，m（x）单调递减，在（1，+∞）上，m′（x）＞0，m（x）单调递增，故当0＜x1＜x2＜1时，m（x1）＞m（x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，所以f（x2）﹣f （x1）＜x2﹣x1，所以＜0，故③错误；对于④，因为lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）单调递增，由①可知，x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是∃n∈N，n2≤2n．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题p：∀n∈N，n2＞2n的否定￢p是：∃n∈N，n2≤2n．故答案为：∃n∈N，n2≤2n．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是126.（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得常数项．解：∵（x+）9的展开式中，通项公式为T r+1＝•，令9﹣＝3，求得r＝4，可得x3的系数是＝84，故答案为：126．12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5．【分析】利用正态曲线的对称性求解即可．解：因为数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），故正态分布曲线的对称轴为X＝9，因为P（X＜10）＝0.91，所以P（X＞10）＝1﹣0.91＝0.09，P（8≤X≤9）＝P（9＜X＜10）＝0.5﹣P（X＞10）＝0.5﹣0.09，所以P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5﹣0.09+0.09＝0.5．故答案为：0.5．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是．【分析】利用古典概型的概率公式以及分类计数原理进行分析求解即可．解：由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为＝．故答案为：．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是2，此时b＝．【分析】化简，利用基本不等式性质可求得答案．解：由a＞b＞0，且ab＝，＝＝（2a+b）+≥2＝2，当且仅当2a+b＝时，等号成立，故的最小值为2，由2a+b＝，ab＝，解得b＝，或b＝，由a＞b＞0，b＝舍去，故答案为：．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是2；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】函数f（x）的极值点的个数即f′（x）变号零点个数，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，数形结合可得方程有2个解，进而得到函数f（x）的极值点的个数是2；函数f（x）在R上是增函数，即f′（x）⩾0在R上恒成立，即不等式a⩽3x2+cos x在R上恒成立，构造函数g（x）＝3x2+cos x，求函数g（x）的最值可求实数a的取值范围．解：f（x）＝x3﹣ax+sin x，当a＝6时，f（x）＝x3﹣6x+sin x，则f′（x）＝3x2﹣6+cos x，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cos x，作出函数y＝6﹣3x2和y＝cos x的图象，数形结合可知方程6﹣3x2＝cos x有两个解，即方程f′（x）＝0有两个解，所以f′（x）＝3x2﹣6+cos x有两个零点，且都为变号零点，所以函数f（x）的极值点个数是2．若函数f（x）在R上是增函数，则f′（x）⩾0在R上恒成立，即f′（x）＝3x2﹣a+cos x⩾0⇔a⩽3x2+cos x，令g（x）＝3x2+cos x，则g′（x）＝6x﹣sin x，因为g′′（x）＝6﹣cos x＞0，所以g′（x）在R上单调递增，又g′（0）＝0，所以当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a⩽1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：2；（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据已知条件，事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，∴．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，即X的分布列为∴＝．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）由题意，利用不等式对应方程的关系，结合根与系数的关系求得b、c的值，再代入不等式求出对应的解集；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可求得a的取值范围；（Ⅲ）把b＝a﹣1，c＝a﹣2代入不等式f（x）＞0中，求含有字母系数的不等式的解集即可．解：（Ⅰ）由题意知：﹣1，2是方程x2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系，得，解得b＝﹣1，c＝﹣2，代入不等式bx2+cx+8≥0，可得：﹣x2﹣2x+8≥0，化简得（x+1）2≤9，解得﹣4≤x≤2，故所求不等式的解集为：[﹣4，2]．（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可得，解得a≥3，故实数a的取值范围为：[3，+∞）．（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，则不等式f（x）＞0化为x2+（a﹣1）x+a﹣2＞0，Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣2）＝（a﹣3）2≥0，当a＝3时，不等式化为x2+2x+1＞0，则不等式的解集为{x|x≠﹣1}，当a≠3时，两根为﹣1，2﹣a，当a＞3时，﹣1＞2﹣a，则不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，当a＜3时，2﹣a＞﹣1，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}，综上得：a＝3时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，a＞3时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，a＜3时，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，求导得f′（x）＝x﹣2+，由导数的几何意义可得k切＝f′（4），又f（4）＝2ln2，进而可得答案．（Ⅱ）求导得f′（x）＝，由于函数f（x）在x＝2处取得极值，则f′（2）＝0，解得a＝，分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，f′（x）＝x﹣2+，所以k切＝f′（4）＝，又f（4）＝×42﹣2×4+ln4＝2ln2，所以曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程：y﹣2ln2＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36+8ln2＝0．（Ⅱ）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝＝，因为函数f（x）在x＝2处取得极值，所以f′（2）＝0，解得a＝，所以f（x）＝x2﹣x+lnx，f′（x）＝x﹣+＝＝，在（1，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（2，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（2）＝×22﹣×2+ln2＝﹣2+ln2，f（1）＝﹣，f（3）＝﹣+ln3，且f（1）＜f（3），所以f（x）的最大值为﹣+ln3，最小值为﹣2+ln2．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人得分超过85分的人数合计数女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.1 0.05 0.01 0.005 0.001P（K2≥k0） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（I）由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数＝7：3，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数＝1：1，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据．（II）根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解．（III）运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且X取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）根据图可得，女生中得分不超过85分的人数50×，女生得分超过85分的人数50﹣35＝15，男生中得分不超过85分的人数，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据得分超过85分的人数合计得分不超过85分的人数女生35 15 50男生25 25 50合计60 40 100（II）∵K2＝＝＞3.841，又∵α＝0.05，∴该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联．（III）由（I）可得，得奖人数中男生：女生＝5：3，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人，则X取值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，随机变量X的分布列为X0 1 2 3PEX＝．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣e x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝1﹣e x，分析导数的正负，进而可得f（x）的单调区间．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣x+e x﹣2，求导得g′（x）＝﹣1+e x，，则若x＞0时，（x ﹣k）g′（x）+x+1＞0，转化为当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，只需k ＜h（x）min，即可得出答案．（Ⅲ）设p（x）＝x﹣lnx﹣1，求导分析单调性，最值，得p（x）≥p（0）＝0，即x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，进而可得答案．解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣e x，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）g（x）＝﹣f（x）﹣1＝﹣x+e x﹣2，g′（x）＝﹣1+e x，若x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，则x＞0时，（x﹣k）（﹣1+e x）+x+1＞0，当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，h′（x）＝+1＝，令H（x）＝e x﹣x﹣2，H′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，而H（1）＜0，H（2）＞0，所以H（x）在（0，+∞）内存在唯一的零点，设x0，则x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h（x0）＝+x0＝1+x0∈（2，3），所以k＜+x恒成立，所以整数k的最大值为2．（Ⅲ）证明：设p（x）＝x﹣lnx﹣1，p′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当0＜x＜1时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）min＝p（1）＝0，所以p（x）≥p（0）＝0，所以x﹣lnx﹣1≥0，所以x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，所以1+++...+＞ln（n+1）．。
2020-2021学年宁夏银川一中高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年宁夏银川一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，B＝{2，3，4}U A）∪B ＝（）A．{0，6}B．{2，3，4，6}C．{2，4}D．{0，2，3，4，6} 2．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2+c2＝0，则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设（）A．a≠0且b≠0且c≠0B．abc≠0C．a≠0或b≠0或c≠0D．a+b+c≠03．（5分）将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）A．B．C．D．4．（5分）某个与自然数有关的命题：如果当n＝k（k∈N*）时，命题成立，则可以推出n ＝k+1时（）A．当n＝5时命题不成立B．当n＝7时命题不成立C．当n＝5时命题成立D．当n＝8时命题成立5．（5分）为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测，命题q为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（）A．p∨q B．p∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）6．（5分）命题“∀x＞0，x sin x＜2x﹣1”的否定是（）A．∀x＞0，x sin x≥2x﹣1B．∃x＞0，x sin x≥2x﹣1C．∀x≤0，x sin x＜2x﹣1D．∃x≤0，x sin x≥2x﹣17．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（﹣1）]＝5（）A．﹣2B．2C．﹣3D．38．（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lgI，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）A．2B．10C．100D．10009．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝（3）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）函数y＝x﹣（0＜a＜1）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）正实数a，b，c均不等于1，若log a bc+log b c＝5，log b a+log c b＝3，则log c a的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3•（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）二、填空题：（共20分）13．（5分）函数f（x）＝的定义域是．（用区间表达）14．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，f（x+3）f（x﹣4），当x∈[0，7）时，f（x）2（9﹣x），则f（﹣100）＝．16．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）函数f（x）＝|x﹣1|+|x|．（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）已知函数f（x）的最小值为t，正实数a，b，证明：．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（φ为参数），曲线N：x2+y2﹣4x＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C与曲线N的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线l：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C及曲线N相交于点A、B（不含坐标原点）时，求的最大值．19．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax﹣3|．（1）当a＝2时，若f（x）≤2m2﹣m﹣1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上有解20．（12分）已知倾斜角为α且经过点M（，0）的直线l与椭圆C：+y2＝1交于A，B两点．（1）写出直线l与椭圆C的参数方程；（2）若＝，求直线l的普通方程．21．（12分）已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）x+2﹣x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．2020-2021学年宁夏银川一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，B＝{2，3，4}U A）∪B ＝（）A．{0，6}B．{2，3，4，6}C．{2，4}D．{0，2，3，4，6}【解答】解：∵∁U A＝{0，2，6，6}，∴（∁U A）∪B＝{0，6，3，4，2}故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2+c2＝0，则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设（）A．a≠0且b≠0且c≠0B．abc≠0C．a≠0或b≠0或c≠0D．a+b+c≠0【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若a2+b2+c3＝0，则a＝b＝c＝0”时，故选：C．3．（5分）将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）A．B．C．D．【解答】解：将点（2，3）变成点（6，横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，故选：B．4．（5分）某个与自然数有关的命题：如果当n＝k（k∈N*）时，命题成立，则可以推出n ＝k+1时（）A．当n＝5时命题不成立B．当n＝7时命题不成立C．当n＝5时命题成立D．当n＝8时命题成立【解答】解：由题意可知，根据互为逆否命题的等价性．故选：A．5．（5分）为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测，命题q为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（）A．p∨q B．p∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【解答】解：命题p为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题￢p为“甲核酸检测结果不是阴性”；命题q为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题￢q为“乙核酸检测结果不是阴性”；因此命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（￢p）∨（￢q）．故选：D．6．（5分）命题“∀x＞0，x sin x＜2x﹣1”的否定是（）A．∀x＞0，x sin x≥2x﹣1B．∃x＞0，x sin x≥2x﹣1C．∀x≤0，x sin x＜2x﹣1D．∃x≤0，x sin x≥2x﹣1【解答】解：命题“∀x＞0，x sin x＜2x﹣4”的否定是∃x＞0，x sin x≥2x﹣5．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（﹣1）]＝5（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：∵函数f（x）＝，f[f（﹣1）]＝5，∴f（﹣4）＝3﹣1+4＝，f[f（﹣5）]＝f（）＝2×2a＝5，解得a＝2．故选：B．8．（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lgI，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）A．2B．10C．100D．1000【解答】解：设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I8，里氏4.3级地震所散发出来的能量为I2，则3.1＝7.6lgI1•①，8.3＝0.6lgI2•②②﹣①得：1.2＝0.6lg，解得：．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝（3）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝，∴，解得f（x）＝，∴f（3）＝＝﹣．故选：B．10．（5分）函数y＝x﹣（0＜a＜1）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x﹣，排除A，B，当x＝1时，f（1）＝2﹣a＞0，故选：C．11．（5分）正实数a，b，c均不等于1，若log a bc+log b c＝5，log b a+log c b＝3，则log c a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：5＝log a bc+log b c＝log a b+log a c+log b c＝＝＝＝，解得．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3•（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：函数f（x）的图象如右：方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x6＜x3＜x4，则x5+x2＝﹣2，﹣log8x3＝log2x3，所以x3x4＝5，且x3∈[，1），所以x3•（x2+x2）+＝﹣2x3+，令g（x）＝﹣2x+，x∈[，则g'（x）＝﹣2﹣＜0，故g（x）在x∈[，1）上单调递减，所以x3•（x1+x2）+的取值范围为（﹣1．故选：A．二、填空题：（共20分）13．（5分）函数f（x）＝的定义域是（﹣∞，0）∪[2，+∞）．（用区间表达）【解答】解：要使f（x）有意义，则：；解得：x＜0，或x≥2；∴f（x）的定义域是（﹣∞，4）∪[2．故答案为：（﹣∞，0）∪[4．14．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（8，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣6．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，f（x+3）f（x﹣4），当x∈[0，7）时，f（x）2（9﹣x），则f（﹣100）＝﹣．【解答】解：∵对任意实数x，有f（x+3）•f（x﹣4）＝﹣3．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x）＝﹣1．∴对任意实数x，有f（x+2）•f（x+14）＝﹣1．∴f（x）＝f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，∴f（﹣100）＝f（﹣2），∵当5≤x＜7时，f（x）＝log2（7﹣x），∴f（5）＝2，∵f（﹣2）•f（5）＝﹣5，故f（﹣100）＝f（﹣2）＝﹣．故答案为：﹣．16．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省3．【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h＝27πS全面积＝πr5+2πrh＝＝（法一）令S＝f（r），（r＞7）＝令f′（r）≥4可得r≥3，令f′（r）＜0可得6＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，+∞）单调递增（法二）：S全面积＝πr2+2πrh＝＝＝＝27π当且仅当即r＝6时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：3三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）函数f（x）＝|x﹣1|+|x|．（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）已知函数f（x）的最小值为t，正实数a，b，证明：．【解答】解：（1）由题意可得，f（x）＝|x﹣1|+|x|＝，当x≤0时，f（x）＝8﹣2x≥5，故x≤﹣6，当0＜x＜1时，f（x）≥7，当x≥1时，f（x）＝2x﹣6≥5，故x≥3，综上所述，不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，+∞）．（2）证明：f（x）＝|x﹣1|+|x|≥|x﹣1﹣x|＝5，当0≤x≤1时，则t＝6，∵a+b+2c＝（a+c）+（b+c）＝2，∴＝＝ ，当且仅当a+c＝b+c＝1时取等号．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（φ为参数），曲线N：x2+y2﹣4x＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C与曲线N的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线l：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C及曲线N相交于点A、B（不含坐标原点）时，求的最大值．【解答】解：（1）已知曲线C：（φ为参数）2+5y2＝4，根据8cos2θ+4ρ2sin2θ＝4，整理得，曲线N：x2+y2﹣5x＝0，根据；（2）射线l：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C及曲线N相交于点A、B，所以＝，当时，．19．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax﹣3|．（1）当a＝2时，若f（x）≤2m2﹣m﹣1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）关于x的不等式f（x）≥3x﹣3在x∈[1，2]上有解【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣8|﹣|2x﹣3|，因为|6x﹣1|﹣|2x﹣7|≤|2x﹣1﹣5x+3|＝2，所以﹣2≤|2x﹣1|﹣|5x﹣3|≤2，由题意可得3m2﹣m﹣1≥2，解得m≥，即m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[；（2）f（x）≥7x﹣3，即|2x﹣8|﹣|ax﹣3|≥3x﹣2在x∈[1，即|ax﹣3|≤5﹣x在x∈1，2]上有解．所以x﹣3≤ax﹣3≤2﹣x，则5+≤a≤，5]上有解．所以（1+）min≤a≤（﹣1）max，所以≤a≤4，故a的取值范围是[，4]．20．（12分）已知倾斜角为α且经过点M（，0）的直线l与椭圆C：+y2＝1交于A，B两点．（1）写出直线l与椭圆C的参数方程；（2）若＝，求直线l的普通方程．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），（2）将直线l的参数方程代入中，得（cos2α+3sin2α）t2+（2cosα）t﹣1＝7，∴t1+t2＝﹣，，则|AB|＝|t1﹣t6|＝＝，∵＝，∴，解得sin5α＝，则tan．∴直线l的普通方程为y＝．21．（12分）已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）x+2﹣x．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若mf（x）≤2﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，所以f（0）＝0，又当x＞0时，f（x）＝6x+2﹣x，当x＜0时，则﹣x＞2x+2﹣x＝﹣f（x），故f（x）＝﹣2x+＝﹣3﹣x，所以．（Ⅱ）若mf（x）≤5﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（6x+2﹣x﹣1）≤8x﹣1，当x＞0时，6x+2﹣x﹣1＞8，所以不等式等价于在（7，令t＝2x﹣1，（t＞8），则，因为，当且仅当t＝1时取等号，不等式恒成立即为m在（0，所以，故m的取值范围是．22．（12分）已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•3n＝20＝7．（2）f(m)＝＝m+,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以2≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,因为g(x)＝|log2x|在[,7]上单调递减,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(7，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,7]∪{0}时,)内或为5，令h(t)＝4t2﹣3at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[4，关于t的方程h(t)＝p在区间[01,t8(t1＜t2),且t7＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t7≤2＜t2≤7,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),),所以x1x2x7∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,关于x的方程5g2(x)﹣4ag(x)+5a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x8,实数a的取值范围为(，],x7x2x3的范围为[,)．。
【数学】黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试试题(理)
黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2020-2021学年
高二下学期期末考试数学试题（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1.已知集合
，，若，则所有的取值构成的集合为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．已知复数1-i 11+i =
+z ，则其共轭复数z =（ ） A ．1i - B ．1i +
C ．2i -
D ．2i + 3．命题“
2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．
2,||0x x x ∀∈+<R B ．2,||0x x x ∀∈+≤R C ．2000,||0x x x ∃∈+<R
D ．2000,||0x x x ∃∈+≥R 4．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布()270,N σ.若ξ在()
50,70内取值的概率为0.4，则ξ在90分以上取值的概率为（ ） A ．0.05
B ．0.1
C ．0.2
D ．0.4 5．在二项式
的展开式中，含的项的系数是 ( ) . A ． B ．
C ．
D ． 6.已知函数23()1x f x x -=
-，若在[2,5]-上随机取一个实数0x ，则()01f x 的概率为( ) A.17 B.37 C.47 D.67
7.已知函数，则
A. B. C. D. 25
1()x x -4x 10-105-5。
2020-2021学年广西北海市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年广西北海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z =12+i 2021，则z −在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有( )A. 11条B. 12条C. 13条D. 14条3. 变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.2x −3.8，则缺少的数值为( ) x 22 23 2425 26 y2324▲2628A. 24B. 25C. 25.5D. 264. ∫1x+121dx =( )A. ln2B. ln 23C. ln 32D. ln35. 若曲线y =e x +x 的一条切线l 与直线x +2y −2021=0垂直，则切线l 的方程为( )A. 2x −y +1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y −1=0D. 2x +y +1=06. 在极坐标系中，O 为极点，曲线ρ2cosθ=1与射线θ=π3的交点为A ，则|OA|=( )A. 2B. √2C. 12D. √227. 已知随机变量X 的分布列为P(X =k)=a3k−1(k =1,2，3，4，5)，则P(X ≥4)=( )A. 3121B. 4121C. 1121D. 1171218. 已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62)，P(ξ≤5)=0.89，则P(ξ≤3)=( )A. 0.89B. 0.78C. 0.22D. 0.119. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则在点数之和为6的条件下，其中一枚点数为2的概率为( )A. 118B. 25C. 1136D. 2310. 我们知道，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，13+23+33+43+53=152，…，若13+23+33+⋯+n 3=1296，则n =( )A. 6B. 7C. 8D. 911. 若函数f(x)=x 2−(a +2)x +alnx 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2)∪(2,+∞)B. (0,2)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. {2}12. 若实数a ，b ，c ，d 满足e a+1b=c−2d=1，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若复数z =2i1+i (i 为虚数单位)，则复数z −= ______ ． 14. (3x 3√x )7的展开式中常数项为______ .(用数字作答)15. 设P ，Q 分别为曲线C ：{x =1+2cosθy =3+2sinθ(θ为参数)与直线l ：3x −4y −6=0上的动点，则|PQ|的最小值为______ ．16. 设随机变量X ～B(n,14)，且D(X)=34，则事件“X =2”的概率为______ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =2cosαy =√3sinα(α是参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)+√22=0．(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；(2)设P(−1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、两点，求|PA|⋅|PB|的值．18. 高中阶段有这样一句话，成也数学败也数学，意思是说数学成绩好的同学总成绩也好，数学成绩不好的同学总成绩也不好.某市教育局对本届高三学生的上学期期末考试成绩进行随机调查得到如下2×2列联表：(1)求表中m，n，p，q的值；(2)能否有99.9%的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关？附：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.2021年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为X．(1)求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲没有通过预选赛的概率．20. 2021年初，S 市出现了第一例新冠肺炎本土病例，各大媒体，微信公众号都在报道此事.某微信公众号关于S 市疫情的信息发布以后，统计了网友的点击量y 与发布时间x 的相关数据，如表：(1)已知y 与x 线性相关，利用表格中的数据，求点击量y 与发布时间x 之间的回归直线方程y ^=b ^x +a ^； (2)在(1)的条件下，若点击量超过1000次，就达到了宣传效果，那么1小时后，该公众号是否达到了宣传效果？ 参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2−4x −4=0，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)． (Ⅰ)求抛物线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若抛物线C 与直线l 交于A ，B 两点，求|AB|的值．22. 已知函数f(x)=x 2lnx ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥ax−1对任意的x∈(0,+∞)成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为i 4=1，所以i 2021=(i 4)505⋅i =i ， 所以z =12+i 2021=12+i =2−i(2+i)(2−i)=25−15i ，则z −=25+15i ， 所以复数z −在复平面内所对应的点为(25,15)， 位于第一象限， 故选：A ．先根据i 4=1，求出i 2021=i ，进而可以求出z 以及z −，由此即可求解． 本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：从甲到丁分为两类，第一类：从甲过乙到丁分两步，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，由分步乘法计数原理得，从甲到丁有6种走法；第二类：从甲过丙到丁分两步，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，由分步乘法计数原理得， 从甲到丁有8种走法，再由分类加法计数原理得，从甲到丁共有6+8=14种走法， 故选：D ．从甲到丁分为两类，第一类：从甲过乙到丁，第二类：从甲过丙到丁，利用分步乘法计数原理计算出两类各自的数量，再相加即可求出答案．本题考查了分类计数原理和分步计数原理的综合应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设缺少的数为x ，则x −=22+23+24+25+265=24，y −=23+24+x+26+285=101+x 5，把(24,101+x 5)代入y =1.2x −3.8，得101+x 5=1.2×24−3.8，解得x =24．故选：A ．设缺少的数为x ，利用回归直线过样本中心点列方程求解．本题考查回归直线过样本中心点，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，∫1x+121dx =ln(x +1)|12=ln3−ln2=ln 32， 故选：C ．根据题意，由定积分的计算公式计算可得答案．本题考查定积分的计算，注意定积分的计算公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵y =e x +x ，∴y′=e x +1， 设切点为(x 0,y 0)，则切线l 的斜率k =e x 0+1=2， ∴x 0=0，得y 0=e 0+0=1， 故切线l 的方程为y =2x +1． 即2x −y +1=0． 故选：A ．求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得切点处的导数值，求得求得横坐标，进一步求得切点的纵坐标，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6.【答案】B【解析】解：将θ=π3代入ρ2cosθ=1得ρ2=2， 则|OA|=ρ=√2． 故选：B ．直接利用极径的应用和三角函数值的应用求出结果．本题考查的知识要点：极径和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：因为随机变量X 的分布列为P(X =k)=a3k−1(k =1,2，3，4，5)，所以∑a3k−15k=1=a ⋅1−(13)51−13=1，解得a =81121， 所以P(X =k)=a3k−1=35−k 121(k =1,2，3，4，5)，则P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5)=3121+1121=4121． 故选：B ．利用概率之和为1，列出等式求出a 的值，然后在由P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5)，结合分布列求解即可．本题考查了随机变量分布列性质的应用，等比数列求和公式的运用以及随机变量概率的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正态分布曲线的特点，正态分布的概率计算，属于基础题．根据随机变量ξ服从正态分布N(4,62)，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴为直线x =4，利用正态曲线的对称性，即可得到结果． 【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(4,62)，∴这组数据对应的正态曲线的对称轴为直线x =4． ∴P(ξ≤3)=P(ξ≥5)， ∵P(ξ≤5)=0.89，∴P(ξ≥5)=1−0.89=0.11， ∴P(ξ≤3)=0.11． 故选：D ．9.【答案】B【解析】解：设“抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和为6”为事件A，“抛掷两枚骰子，其中一枚骰子的点数为2”为事件B，则P(A)=536，P(AB)=236，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=236536=25．故选：B．利用条件概率的概率公式结合古典概型的概率公式求解即可．本题考查了条件概率的理解与应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式以及古典概型的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由于13+23+...+n3=[n(n+1)2]2=1296，所以n2⋅(n+1)2=5184，所以n(n+1)=72，所以n=8或−9(负值舍去)．故选：C．直接利用数列的求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的求和的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】对函数f(x)求导，由f(x)既有极大值又有极小值可得f′(x)=0有两个不相等的正实数解，由此可得关于a 的不等式，解之即可．本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查函数的极值与导数零点的关系，属于基础题．【解答】解：因为f(x)=x2−(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，且f′(x)=2x−a−2+ax =2x2−(a+2)x+ax=(2x−a)(x−1)x(x>0)，所以f′(x)=0有两个不相等的正实数解，所以a2>0，且a2≠1，解得a>0，且a≠2．故选：B．12.【答案】D【解析】解：由e a+1b =c−2d=1，可得b=e a+1，d=c−2，故(a−c)2+(b−d)2的几何意义为曲线y=e x+1上一点(a,b)与直线y=x−2上一点(c,d)间距离的平方，对于函数y=e x+1，令y′=e x+1=1，解得x=−1，即y=e x+1在点(−1,1)处的切线方程为x−y+2=0，切线方程与直线y=x−2平行，则函数y=e x+1在(−1,1)处的切线与直线y=x−2之间的距离d=√2=2√2，故(a−c)2+(b−d)2的最小值为d2=8．故选：D．由e a+1b =c−2d=1，可得b=e a+1，d=c−2，把问题转化为求曲线y=e x+1上一点(a,b)与直线y=x−2上一点(c,d)间距离的平方求解，然后利用导数求曲线y=e x+1的与直线y=x−2平行的切线方程，再由两点间的距离公式求解．本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题．13.【答案】1−i【解析】解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，∴z−=1−i．故答案为：1−i．根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】21【解析】解：(3x3√x )7的展开式的通项公式为T r+1=C7r(3x3)7−r(√x)r=C7r⋅37−r⋅x21−72r，令21−72r=0，得r=6，所以(3x3+√x)r的展开式中常数项为C76⋅37−6=21．故答案为：21．可先由二项式的展开式公式求出第7项为常数项，再计算出常数项即可．本题考查了二项式的展开式公式，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：曲线C ：{x =1+2cosθy =3+2sinθ(θ为参数)转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −3)2=4， 所以圆心(1,3)到直线3x −4y −6=0的距离d =|3−12−6|5=3，所以|PQ|min =3−2=1．故答案为：1．首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】27128【解析】解：∵随机变量X ～B(n,14)，且D(X)=34，∴n ×14×(1−14)=34，解得n =4，∴事件“X =2”的概率为：P(X =2)=C 42×(14)2×(34)2=27128． 故答案为：27128．由随机变量X ～B(n,14)，且D(X)=34，先求出n =4，由此能求出事件“X =2”的概率．本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)曲线C ：{x =2cosαy =√3sinα(α是参数)，转换为直角坐标方程为x24+y 23=1， 直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)+√22=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．(2)设P(−1,0)，直线的参数方程{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)， 把直线的参数方程{x =−1+√22t y =√22t ，代入x 24+y 23=1得到：7t 2−6√2t −18=0；所以|PA||PB|=|t 1t 2|=187．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)m =400−220=180，n =220+100=320，p =m +300=480，q =400+400=800． (2)因为K 2=800×(200×300−180×100)2400×400×320×480=75>10.828，因此有99.9%的把握认为学生总成绩不好与数学成绩不好有关．【解析】补充列联表，把数据代入K 2公式计算．本题考查独立性检验，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意可知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布， 所以P(X =0)=C 60C 33C 93=184， P(X =1)=C 61C 32C 93=314， P(X =2)=C 62C 31C 93=1528， P(X =3)=C 63C 30C 93=521，所以随机变量X 的分布列为：所以E(X)=0×184+1×314+2×1528+3×521=2．(2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道，所以甲没有通过预选赛的概率P =P(X =0)+P(X =1)=184+314=1984．【解析】(1)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(2)利用随机变量的含义以及分类计数原理结合随机变量X 的分布列，求解即可得到答案．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知，x −=5+10+15+20+255=15， y −=98+193+280+369+4605=280，∑x iy 15i=1=25500，∑x i 25i=1=1375，所以b ̂=25500−5×15×2801375−5×152=4500250=18， 所以a ̂=y −−b ̂x −=280−18×15=10， 所以点击量y 与发布时间x 之间的回归直线方程为y ̂=18x +10；(2)令x =60，可得y ̂=18×60+10=1090>1000，所以1小时后，该公众号信息的点击量约为1000次，达到了宣传效果．【解析】(1)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；(2)将x =6代入回归方程，求解判断即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入y 2−4x −4=0得ρ2sin 2θ−4ρcosθ−4=0，所以抛物线C 的极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcosθ−4=0．(Ⅱ)将θ=π3代入抛物线C 的方程得3ρ24−2ρ−4=0， 所以ρ1+ρ2=83，ρ1ρ2=−163，|ρ1−ρ2|2=(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=649+643=2569，所以|ρ1−ρ2|=163，故|AB|=|ρ1−ρ2|=163．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．22.【答案】解：(1)因为f(x)=x2lnx，所以f′(x)=2x(lnx+12)，令f′(x)=0，则2x(lnx+12)=0，所以x=0(舍去)或x=√ee，当x∈(0,√ee)时，f′(x)<0，当x∈(√ee,+∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,√ee )上单调递减，在(√ee,+∞)上单调递增．(2)根据题意可知a≤x2lnx+1x对任意的x∈(0,+∞)成立，令g(x)=x2lnx+1x，则g′(x)=x2lnx+x2−1x2，令ℎ(x)=x2lnx+x2−1，ℎ′(x)=2xlnx+x2⋅1x+2x=2xlnx+3x=x(2lnx+3)，所以在(e−32,+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，在(0,e−32)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x→0时，ℎ(x)→−1；且ℎ(1)=0，所以当x≥1时，g′(x)≥0，当0<x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，所以g(x)min =g(1)=1，所以a ≤1，所以实数a 的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)对f(x)求导，令f′(x)<0，f′(x)>0，即可解得f(x)的单调性．(2)根据题意得a ≤x 2lnx+1x 对任意的x ∈(0,+∞)成立，令g(x)=x 2lnx+1x ，只需a ≤[g(x)]min ，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝i+i2020，则|z﹣1|等于（）A．B．1C．0D．22．若函数f（x）＝﹣3x﹣1，则f′（x）＝（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3x3．曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2 4．甲、乙、丙、丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳、篮球、竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，则甲不选游泳、乙不选篮球的概率为（）A．B．C．D．5．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A．48B．72C．90D．1206．将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（）不同分分配方法．A．18B．4C．3D．127．展开式中的各二项式系数之和为1024，则x4的系数是（）A．﹣210B．﹣960C．960D．2108．已知x为正数，随机变量ξ的分布列为ξ﹣201P3x2x x则x＝（）A．B．C．D．9．若随机变量X～B（5，p），，则E（X）＝（）A．B．C．D．10．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X≥0）＝0.6，则P（X＞2）＝（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.811．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的一条切线方程为（）A．ρcosθ＝2B．ρcosθ＝1C．ρsinθ＝2D．ρsinθ＝112．曲线（θ为参数）中两焦点间的距离是（）A．B．C．2D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．观察以下式子：按此规律归纳猜想第5个的等式为．（不需要证明）14．定积分3xdx的值为．15．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有种．16．点（2，﹣2）的极坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．18．已知z1＝1﹣i，z2＝2+2i．（1）求z1•z2；（2）若＝+，求z．19．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？20．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）．（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯．（2）根据以上数据完成如下2×2列联表：主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下50岁及以上总计（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？附表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝4y+4．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的斜率．22．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝i+i2020，则|z﹣1|等于（）A．B．1C．0D．2【分析】由虚数单位i的运算性质化简z，求得z﹣1，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝i+i2020＝i+(i4)505＝i+1，∴|z﹣1|＝|i+1﹣1|＝|i|＝1．故选：B．2．若函数f（x）＝﹣3x﹣1，则f′（x）＝（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3x【分析】求函数的导数，即可得到结论．解：∵f（x）＝﹣3x﹣1，∴f′（x）＝﹣3，故选：C．3．曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．故选：A．4．甲、乙、丙、丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳、篮球、竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，则甲不选游泳、乙不选篮球的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝34＝81，其中甲不选游泳、乙不选篮球包含的基本事件个数m ＝2×2×3×3＝36，由此能求出甲不选游泳、乙不选篮球的概率．解：甲、乙、丙、丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳、篮球、竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，基本事件总数n＝34＝81，其中甲不选游泳、乙不选篮球包含的基本事件个数m＝2×2×3×3＝36，则甲不选游泳、乙不选篮球的概率为P＝＝＝．故选：B．5．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A．48B．72C．90D．120【分析】根据题意，分3步进行分析：①将甲乙排好，②在其余4辆车中任选2辆，安排在甲乙之间，③将最后的两辆汽车安排这个整体的两端，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①将甲乙排好，有2种情况，②在其余4辆车中任选2辆，安排在甲乙之间，有C42A22＝12种情况，③将最后的两辆汽车安排这个整体的两端，有2种情况，则有2×12×2＝48种排法；故选：A．6．将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（）不同分分配方法．A．18B．4C．3D．12【分析】只需用确定有两个名额的班级即可．解：根据题意每个班级至少一个名额，则必有一个班级是2个名额，故只要确定是2个名额的班级即可，故有＝3种不同的分配方法，故选：C．7．展开式中的各二项式系数之和为1024，则x4的系数是（）A．﹣210B．﹣960C．960D．210【分析】由题意利用二项式系数和等于2n，求得n的值，写出通项公式，计算可得．解：由已知得：2n＝1024，∴n＝10，∴展开式的通项公式为，令2k﹣10＝4，k＝7，对应系数为：．故选：B．8．已知x为正数，随机变量ξ的分布列为ξ﹣201P3x2x x则x＝（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，利用分布列的概率和为1，即可求解．解：由分布列的性质可得，3x+2x+x＝1，得．故选：C．9．若随机变量X～B（5，p），，则E（X）＝（）A．B．C．D．【分析】根据二项分布的期望与方差的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果．解：因为X～B（5，p），，则，解得，所以．故选：D．10．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X≥0）＝0.6，则P（X＞2）＝（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【分析】利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，结合X～N（1，σ2）中的数据，求解即可．解：因为随机变量X～N（1，σ2），所以曲线关于X＝1对称，则P（X＞2）＝P（X＜0）＝1﹣P（X≥0）＝1﹣0.6＝0.4．故选：B．11．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的一条切线方程为（）A．ρcosθ＝2B．ρcosθ＝1C．ρsinθ＝2D．ρsinθ＝1【分析】利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可．解：在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心为（1，0），半径为1，如图所示：所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：，或ρcosθ＝2，故选：A．12．曲线（θ为参数）中两焦点间的距离是（）A．B．C．2D．2【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，利用椭圆的性质求出结果．解：曲线（θ为参数）化为普通方程为：，则曲线表示焦点在y轴的椭圆，c2＝a2﹣b2＝6，所以，即两焦点间的距离是．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．观察以下式子：按此规律归纳猜想第5个的等式为．（不需要证明）【分析】观察等式，找出等式右边是﹣，左边是余弦的和，从而可得到第5个等式．解：由题意，右边是﹣，左边是余弦的和，可得第5个的等式为．故答案为：．14．定积分3xdx的值为．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．解：3xdx＝＝．故答案为：．15．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有6种．【分析】根据题意，选出的3人为2男1女，依次计算“2名男生”、“1名女生”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，选出的3人中恰好有一名女生，即2男1女，2名男生的选法有C32＝3种，1名女生的选法有C21＝2种，则有3×2＝6种不同的选法，故答案为：6．16．点（2，﹣2）的极坐标为（2，﹣）．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，将点（2，﹣2）的直角坐标，化成极坐标即可．解：∵点（2，﹣2）中x＝2，y＝﹣2，∴，tanθ＝，∴取．∴点（2，﹣2）的极坐标为（2，﹣）故答案为（2，﹣）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x＝﹣与x＝1时都取得极值，所以得到f′（﹣）＝0且f′（1）＝0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f'（x）＝3x2+2ax+b由解得，f'（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x＝﹣时，f（x）＝+c为极大值，而f（2）＝2+c，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．18．已知z1＝1﹣i，z2＝2+2i．（1）求z1•z2；（2）若＝+，求z．【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案；（2）把已知等式通分变形求得z，代入z1、z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（1）∵z1＝1﹣i，z2＝2+2i．∴z1•z2＝（1﹣i）（2+2i）＝4；（2）由＝+，得．19．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①，要求数字为四位奇数，则个位为1、3、5中一个，②，0不能在首位，则首位数字有4种选法，③，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、十位，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分3种情况讨论：①，当四位数的千位为2、3、4、5时，在剩下的5个数字中任选3个，作为四位数的后三位，②，当四位数的千位为1，百位为4或5时，在剩下的4个数字中任选2个，作为四位数的后两位，③，当四位数的千位为1，百位为3，十位数字必须为4或5，在剩下的3个数字中任选1个，作为四位数的个位，由加法原理计算可得答案．解：（1）根据题意，分3步进行分析：①，要求数字为四位奇数，则个位为1、3、5中一个，有3种情况；②，0不能在首位，则首位数字有4种选法，③，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、十位，有A42＝12种情况，则一个可以组成3×4×12＝144个四位奇数；（2）根据题意，分3种情况讨论：①，当四位数的千位为2、3、4、5时，在剩下的5个数字中任选3个，作为四位数的后三位，有A41×A53符合条件的四位数；②，当四位数的千位为1，百位为4或5时，在剩下的4个数字中任选2个，作为四位数的后两位，有A21×A42符合条件的四位数；③，当四位数的千位为1，百位为3，十位数字必须为4或5，在剩下的3个数字中任选1个，作为四位数的个位，有A21×A31符合条件的四位数；则一共有个符合条件的四位数．20．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）．（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯．（2）根据以上数据完成如下2×2列联表：主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下50岁及以上总计（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？附表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）【分析】（1）由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可；（2）根据茎叶图填写2×2列联表即可；（3）由题意，求随机变量K2的观测值k，并与参考值作比较，即可判断．解：（1）由茎叶图可知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主；（2）2×2列联表如下所示：主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下481250岁及以上16218总计201030（3）由题意，知随机变量K2的观测值，故有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝4y+4．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的斜率．【分析】（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4＝0，利用极径的几何意义，即可求解．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ﹣4ρsinθ﹣4＝0；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4＝0，∵cos2α≠0（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点）于是，，由|AB|＝8得，所以l的斜率为1或﹣1．22．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数为分段函数，然后求解不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求出函数的最小值，即可求a的取值范围．解：（1）因为，所以当x＜﹣3时，由f（x）≤15得﹣8≤x＜﹣3；当﹣3≤x≤2时，由f（x）≤15得﹣3≤x＜2；当x＞2时，由f（x）≤15得﹣2＜x≤7．综上，f（x）≤15的解集为[﹣8，7]．（2）由﹣x2+a≤f（x）得a≤x2+f（x），因为f（x）≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当﹣3≤x≤2取等号，所以当﹣3≤x≤2时，f（x）取得最小值5，所以当x＝0时，x2+f（x）取得最小值5，故a≤5，取a的取值范围为（﹣∞，5]．。
欣宜市实验学校二零二一学年度高二数学下学期期末试题理试题 2
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度2021-2021学年第二学期十校期末联考高二年级理科数学试卷本卷须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号等填写上在答题卡规定的正确位置上。
2．本套试卷分为：第一卷选择题和第二卷非选择题。
作第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答题第二卷非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
3．试卷一共150分，考试时间是是120分钟。
第一卷选择题一、选择题〔每一小题5分，一共60分。
只有一个选项符合题意〕1.22(1)ii =- A.1- B.i - C.1D.i2.即将毕业，4名同学与数学教师一共5人站成一排照相，要求数学教师站中间，那么不同的站法种数是 A.120B.96C.36D.243.曲线()x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程为A.0ex y -= B.0ex y +=C.10ex y --=D.20ex y e --=4.复数1234,43z i z i =-=-+，那么在复平面内12z z +对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.函数()2x ln(1)f x x =-，那么此函数的导函数()f x '=A.2x ln(1)x - B.22ln(1)1x x x x -+- C.21xx - D.22ln(1)1x x x x---6.以下等于1的定积分是A.112dx ⎰ B.101dx ⎰ C.10xdx ⎰ D.()101x dx ⎰+ 7.Y ＝5X ＋1，E (Y )＝6，那么E (X )的值是A.1B.5C.6D.7 8.复数z 满足：|||32|z z =-，且z 的实部为2，那么|1|z -=A.3B.2C.32D.239.设椭机变量X ～N (3,1)，假设P (X ＞4)＝p ，那么P (2＜X ＜4)＝A.12＋p B.1－p C.1－2p D.12－p 10.假设12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项的二项式系数是15，那么展开式中所有项系数之和为A.132B.164C.1-64D.112811.如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象，给出以下命题： ①-2是函数()y f x =的极值点； ②1x =是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在1x =-处获得极大值；④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增.那么正确命题的序号是A.①③B.②④C.②③D.①④12.将5种不同的花卉种植在如下列图的五个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，那么不同的种植方法种数是第二卷非选择题二、填空题〔每一小题5分，一共20分。
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可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，
乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了合情推理，属于中档题.
20．过椭圆 ： 右焦点的直线 交 于 ， 两点，且椭圆的长轴长为短轴长的 倍.
（1）求 的方程；
（2） ， 为 上的两点，若四边形 的对角线分别为 ， ，且 ，求四边形 面积的最大值.
21．已知函数 .
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
22．在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求此人到达当日空气质量指数大于 的概率；
（2）设 是此人停留期间空气质量指数小于 的天数，求 的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
19．已知四棱锥 的底面 是正方形， 底面 .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）当 的值为多少时，二面角 的大小为 ？
A．乙可以知道两人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
6．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．执行下面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 （ ）
A． B．
C． D．
8． 、 两支篮球队进行比赛，约定先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局 队获胜的概率是 外，其余每局比赛 队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立.则 队以 获得比赛胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知两变量 和 的一组观测值如下表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为 ,则 （ ）
2
3
4
5
4
6
A． B． C． D．
4．某快递公司共有 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货 天，其不同的排法共有（ ）种.
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
3．D
【分析】
根据回归直线方程过样本点的中心，求出 ，代入线性回归方程中即可．
【详解】
把 代入 中，得 ，
故本题选D．
【点睛】
本题考查了回归直线方程过样本点的中心．
4．C
【解析】
分析：把 天分成 天 组，然后 人各选一组值班即可.
详解： 天分成 天， 天， 天 组，
人各选一组值班，
共有 种，故选C.
点睛：本题主要考查分组与分配问题问题，着重考查分步乘法计数原理，意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
5．D
【分析】
由甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，说明乙、丙一人优秀一人良好，再乙看丙的成绩，丁看甲的成绩、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，
详解：因为
，
所以 ，
解得 ，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．D
【解析】
二、填空题
13．设随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 __________．
14．已知 的展开式中 的系数为 ，则 __________．
15．设双曲线 ： 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为__________．
16．在直三棱柱 中， .有下列条件：
① ；
② ；
【全国校级联考】内蒙古赤峰市重点高中（赤峰二中，平煤高级中学等）2020-2021学年高二下学期期末联考（A）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设命题 ： ， ；命题 ：若 ，则 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
10．三棱锥 的棱长全相等， 是 中点，则直线 与直线 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．过点 且斜率为 的直线与抛物线 ： 交于 ， 两点，若 的焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．若函数 有小于零的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
③ .
其中能成为 的充要条件的是__________．（填上序号）
三、解答题
17．已知 ，设命题 ：函数 在 上为减函数，命题 ：不等式 对 恒成立，若 为假命题， 为真命题，求 的取值范围.
18．如图是某市 年 月 日至 日的空气质量指数趋势图，某人随机选择 年 月 日至 月 日中的某一天到达该市，并停留 天.
分析：先判断命题 的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得结论.
详解：因为 成立，
所以，不存在 ， ，
故命题 为假命题， 为真命题；
当 时， 成立，但 不成立，
故命题 为假命题， 为真命题；
故命题 均为假命题，
命题 为真命题，故选D.
点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查不等式的性质以及特称命题的定义，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 ， 的交点为 ， ，求 的面积.
23．选修4—5：不等式选讲
设函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.