高中数学必修二第一章第二章习题合集

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(人教版)高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析(全)

必修(bìxiū)二第一章空间(kōngjiān)几何体知识点：1、空间(kōngjiān)几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些(zhèxiē)面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长；正方体的对角线长3、球的体积公式：，球的表面积公式：4、柱体，锥体，锥体截面积比：5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥(yuánzhuī)侧面积：典型(diǎnxíng)例题：★例1：下列命题(mìng tí)正确的是( )Ａ.棱柱(léngzhù)的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥(léngzhuī)的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A 倍B 倍C 2倍D 倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱正视侧视俯视★★例4：一个(yīɡè)体积为的正方体的顶点(dǐngdiǎn)都在球面上，则球的表面积是A．B. C． D．二、填空题★例1：若圆锥(yuánzhuī)的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个(zhè ge)圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径(bànjìng)扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.1知能演练轻松闯关

1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,2)与(－4,1)B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)解析：选D.选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在．2．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C ．每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应D ．与x 轴垂直的直线的斜率不存在解析：选B.每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°；仅当倾斜角α不为90°时，直线的斜率存在，换句话说，当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选B.3．直线l 的斜率为k ＝ln 12，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90° B ．0°<α≤90°C ．90°≤α<180°D ．90°<α<180°解析：选D.由k ＝ln 12<0及直线倾斜角的范围是[0°，180°)，可知选D. 4．已知直线l 1的倾斜角为α，将直线l 1绕直线与x 轴的交点逆时针旋转45°，得直线l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－45°C ．α－135°D ．α＋45°或α－135°解析：选D.当0°≤α＜135°时，l 2的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 2的倾斜角为：α－135°.5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 3＜k 2D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选C.由图知k 2＞k 3＞0＞k 1.6．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k ＜1，则它的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0＞k ≥－1时，α∈[135°，180°)；当0≤k ＜1时，α∈[0°，45°)．答案：[0°，45°)∪[135°，180°)7．直线过l 过A ⎝⎛⎭⎫－2，⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，B ⎝⎛⎭⎫2，⎝⎛⎭⎫t －1t 2两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为________，倾斜角为________．解析：k AB ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 22－(－2)＝－1，由tan α＝－1，得α＝135°.答案：－1 135° 8．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：三点共线，则k AB ＝k AC ，即22－a＝2－b 2，整理知2a ＋2b ＝ab ，同除以ab ，有2b ＋2a＝1， ∴1a ＋1b ＝12. 答案：129．已知三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解：k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 10．已知M (2m ＋3，m )，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？(3)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？解：当2m ＋3≠m －2，即m ≠－5时，k MN ＝m －1(2m ＋3)－(m －2)＝m －1m ＋5(m ≠－5)． (1)当k MN ＞0，即m －1m ＋5＞0时，解得m ＞1或m ＜－5，直线MN 的倾斜角为锐角． (2)当k MN 不存在，即m ＝－5时，直线MN 的倾斜角为直角．(3)当k MN ＜0时，解得－5＜m ＜1，直线MN 的倾斜角为钝角．1．(2013·九江同文中学期中测试)斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a 、b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析：选C.由斜率公式可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 7－5a －3＝2b －5－1－3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.2．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围是________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图像上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A (1，52)，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是(－∞，－32]∪[12，＋∞)．答案：(－∞，－32]∪[12，＋∞) 3．在坐标轴上有一点B ，已知点A (3,4)，且k AB ＝2，求点B 的坐标．解：若点B 在x 轴上，设点B 的坐标为(x,0)，由题意可知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)．若点B 在y 轴上，设点B 的坐标为(0，y )，由题意可知4－y 3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)，故点B 的坐标为(1,0)或(0，－2)．4．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围(注：tan 135°＝－1)．解：如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. (1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．。

高中数学必修2知识点加例题加课后习题

高中数学必修二第一章空间几何体1.1空间几何体的结构 1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD—A'B'C'D'几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

(完整word版)高中数学必修二第二章经典练习试题整理

完美格式整理版A. 相交 B .异面 C .平行 D •异面或相交第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明6.设四棱锥P- ABCD 勺底面不是平行四边形，用平面（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面a （）1.在空间，下列哪些命题是正确的（）•① 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③ 平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④ 垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A •仅②不正确 B.仅①、④正确 C .仅①正确 D.四个命题都正确2. 如果直线a 是平面a 的斜线，那么在平面％内（）A不存在与a 平行的直线 B不存在与a 垂直的直线C 与a 垂直的直线只有一条D 与a 平行的直线有无数条A.不存在B .只有1个C •恰有4个D.有无数多个高一数学必修二第二章经典练习题a 去截此四棱锥 3.平面a 内有一四边形 ABCD P 为a 外一点, P 点到四边形ABCD 各边的距离相等，则这个四边形 A 必有外接圆 BD 必是正方形必有内切圆（）C既有内切圆又有外接圆4.已知六棱锥PA ±平面 ABC PA= 2AB , 则下列结论正确的是（）A . PB 丄ADBC .直线BC//平面PAED 平面PABL 平面PBC直线PD 与平面ABC 所成的角为45 7.设P 是厶ABC 所在平面外一点，到厶ABC 各边的距离也相等，那么△ A 是非等腰的直角三角形 BC 是等边三角形DP 到厶ABC 各顶点的距离相等，而且 PABC （）是等腰直角三角形不是A 、B 、C 所述的三角形8.已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等点，则AE , SD 所成的角的余弦值为 ,E 是SB 的中 A. 13B.-23 C-33D. 23完美格式整理版5•若a , b是异面直线，直线c // a，则c与b的位置关系是（完美格式整理版侧面BB 1C 1C 的中心，贝V AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是（）15.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，0为正方形ABCD 中心，则厲0与平面ABCD所成角的正切值为（） A.、2B.—2C.1D.二323A . 30°B . 45°C . 60°D . 90° w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.已知直线I 、m ，平面、，且| , m ，则//是I m 的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件16.在正方体 ABCDAB 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线 CE 垂直于（ )A ACBBD C A ,D DA 1D 117.四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（）A. 1 B . 3 C . 4D. 1 或 49.正方体 ABC —ABCD 中，E 、F 分别是 AA 与CG 的中点，则直线与DF所成角的大小是（）EDA .B 。

人教A版高中数学必修二-章节练习题

第二章单元测试1．下列命题正确的是………………………………………………（） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行5．下列命题中，错误的是…………………………………………（） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是…………………………………………（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．下列命题中错误的是……………………………………（） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面τα⊥，τβ⊥，l =⋂βα，那么τ⊥l 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成 60 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④9．不共面的四点可以确定平面的个数为（） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 10．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 11．下列四个说法 ①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组13．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？（2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？AB CDEFMN C A 1B 11P A BCDCABPMN14．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ．求证：BC ⊥平面PAC ．15.（10分）如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥16．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．,M N 分别是17．如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN，求证：//MN 平面SCDA BCP O17.（14分）如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点，求证：（1）PA ||平面BDE ；（2）面PAC ⊥面BDE.18．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．19．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点（1）证明：AD D F ⊥1；（2）求AE D F 与1所成的角；（3）证明：面面AED A FD ⊥11．必修2第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（）Ａ m ＝－３，n ＝１０Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行（B ）垂直（C ）相交但不垂直（D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值. ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.261;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（A ）2、4、4；（B ）-2、4、4；（C ）2、-4、4；（D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D)1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（）(A)5 (B) 3 (C)10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 . 2+y 2-8x=0的弦OA 。

高中数学必修二第二章练习题

第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则 α⊥β．那么()．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°(第2题) 3．关于直线m，n与平面 α，β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β 且 α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β 且 α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面 α 内，则l∥α②若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为()．A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱P A，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面 α 外一点，过P作PO⊥平面 α，垂足是O，连P A，PB，PC．(1)若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的心；(2)P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的心； (4)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的点； (5)若P A ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面 α 所成角为30°，l ∩α＝A ，直线m ∈α，则m 与l 所成角的取值范围是．15．棱长为1 的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角 α－l －β 的棱上有一点A ，在平面 α，β 内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂α，AC ⊂β，则∠BAC ＝．三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 θ，猜想 θ 为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)J(第13题)(第17题)18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是所求二面角的棱.)(第19题)(第18题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1．D解析：命题②有反例，如图中平面 α∩平面 β＝直线n，l⊂α，m⊂β，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面 α 不垂直平面β， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与 α 无公共点，l与平面 α 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．(第5题) 6．B解析：设平面α 过l1，且l2∥α，则l1上一定点P与l2确定一平面β ，β 与α 的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°．8．D解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B解析：因为①②④正确，故选B ． 10．A解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．ABC 的垂心； ABC 的内心；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面 α 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在 α 内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin θ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯， ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6． ∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。

高中数学必修2第一、二章练习题

重庆市永川北山中学高中2019级高二上期数学学科（文）课时作业（五）主要内容：必修2第一单元及2.1,2.2 编写人：彭亚审核人：何家斌完成时间：第四周班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________1.下列命题中正确的是（）Ａ．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥Ｂ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台Ｃ．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面Ｄ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是() A．32πB．16πC．12πD．8π3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱4.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A. 23B.76C.45D.565．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. 3RB. 3RC. 3RD. 3R6. 如图，在△ABC中，AB=2,BC=1.5,∠A BC=120o,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. 92π B. 72π C.52π D. 32π7.下列命题中正确的是（）A 平行于同一平面的两条直线平行B 同时与两条异面直线平行的平面有无数个C 如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D 直线l与平面α不相交，则α//l8. 某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为()A ．24B ．80C ．64D ．240（第7题）9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与A 1B 是异面直线的棱有_______条10.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有______________11. 下列说法：①一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的无数条直线平行②一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线无公共点③过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行④如果一条直线和一个平面平行，则过这个平面内一点和这条直线平行的直线在这个平面内，其中正确的有______________12. 正四棱锥S —ABCDS 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________13.如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝2，BD＝M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角大小。

北师大版高中数学选择性必修第二册课后习题第一章 1.1 数列的概念

第一章数列§1 数列的概念及其函数特性1.1 数列的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知数列{a n }的通项公式为a n =1+(-1)n+12,n ∈N +,则该数列的前4项依次为( )A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,0n 分别等于1,2,3,4时,a 1=1,a 2=0,a 3=1,a 4=0. 2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ) A.a n =n 2-n+1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n+1)2D.a n =n 2+1n=1,2,3,4,代入A,B,C,D 检验,即可排除A,B,D,故选C. 3.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n-50,n ∈N +,则-8是该数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 4.数列23,45,67,89,…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.22234项可知,数列的一个通项公式为a n =2n 2n+1,n ∈N +,当n=10时,a 10=2×102×10+1=2021.5.(浙江湖州期中)在数列0,14,…,n -12n,…中,第3项是 ;37是它的第项.7,设该数列为{a n },则数列的通项公式为a n =n -12n,则其第3项a 3=3-12×3=13,若a n =n -12n=37,可解得n=7.6.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式是 .n =2n +1,n ∈N +7.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.(1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,….符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为a n =(-1)n (6n-5).(2)将数列变形为89(1-0.1),89(1-0.01),89(1-0.001),…,∴a n =891-110n.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =-n 2+n+110. (1)20是不是{a n }中的一项? (2)当n 取何值时,a n =0.令a n =-n 2+n+110=20,即n 2-n-90=0,∴(n+9)(n-10)=0, ∴n=10或n=-9(舍). ∴20是数列{a n }的第10项. (2)令a n =-n 2+n+110=0, 即n 2-n-110=0, ∴(n-11)(n+10)=0, ∴n=11或n=-10(舍),∴当n=11时,a n =0.关键能力提升练9.数列12,14,-58,1316,-2932,6164,…的一个通项公式是( )A.2n -32nB.-2n -32nC.(-1)n 2n -32nD.(-1)n+12n -32n21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.把第1项变为-2-32,因此原数列可化为-21-321,22-322,-23-323,24-324,….故原数列的一个通项公式为a n =(-1)n·2n -32n.10.设a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n ∈N +),那么a n+1-a n 等于( )A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1−12n+2a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n ,∴a n+1=1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2,∴a n+1-a n =12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2.11.如图是由7个有公共顶点O的直角三角形构成的图案,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},则此数列的通项公式为( )A.a n=n,n∈N+B.a n=√n+1,n∈N+C.a n=√n,n∈N+D.a n=n2,n∈N+OA1=1,OA2=√2,OA3=√3,…,OA n=√n,…,∴a1=1,a2=√2,a3=√3,…,a n=√n,….12.(多选题)已知数列0,2,0,2,0,2,…,则前六项适合的通项公式为( )A.a n=1+(-1)nB.a n=2cos nπ2C.a n=2sin(n+1)π2D.a n=1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2)解析对于选项A,由a n =1+(-1)n 得前六项为0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项B,由a n =2cos nπ2得前六项为0,-2,0,2,0,-2,不满足条件;对于选项C,由a n =2sin(n+1)π2得前六项为0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项D,由a n =1-cos(n-1)π+(n -1)(n-2)得前六项为0,2,2,8,12,22,不满足条件. 13.(多选题)下列选项中能满足数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式的有( ) A.a n =1+(-1)n+12B.a n =sin 2nπ2C.a n =cos 2(n -1)π2D.a n ={1,n 是奇数0,n 是偶数,当n 为奇数时,选项ABCD 中的通项公式均得出1,当n 为偶数时,选项ABCD 中的通项公式均得出0. 14.已知数列{a n }的通项公式a n =(-1)n -1·n2n -1,n ∈N +,则a 1= ;a n+1= .(-1)n·(n+1)2n+11=(-1)1-1×12×1-1=1,a n+1=(-1)n+1-1·(n+1)2(n+1)-1=(-1)n·(n+1)2n+1.15.323是数列{n(n+2)}的第项.a n =n 2+2n=323,解得n=17,或n=-19(舍去).∴323是数列{n(n+2)}的第17项.16.在数列{a n }中,a 1=2,a 17=66,通项公式a n =kn+b,其中k≠0. (1)求{a n }的通项公式;(2)判断88是不是数列{a n }中的项?∵a 1=2,a 17=66,a n =kn+b,k≠0,∴{k +b =2,17k +b =66, 解得{k =4,b =-2.∴a n =4n-2,n ∈N +. (2)令a n =88,即4n-2=88, 解得n=22.5∉N +.∴88不是数列{a n }中的项.学科素养创新练17.已知数列{a n }的通项公式是a n ={2-n ,n 是奇数,11+2-n,n 是偶数(n ∈N +),则a 3+1a 4= .3=2-3=18,a 4=11+2-4=1617, ∴1a 4=1716,∴a 3+1a 4=1916.18.已知数列9n 2-9n+29n 2-1,n ∈N +.请问在区间13,23内有无数列中的项?若有,有几项;若没有,请说明理由.a n =9n 2-9n+29n 2-1=(3n -1)(3n -2)(3n+1)(3n -1)=3n -23n+1,令13<3n -23n+1<23,∴{3n +1<9n -6,9n -6<6n +2,∴{n >76,n <83.∴76<n<83, ∴当且仅当n=2时,上式成立, 故区间13,23内有数列中的项,且只有一项为a 2=47.。

高中数学必修2第1、2章知识点+习题

第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．222r rl S ππ+=主视图左视图俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29π B ．27π C ．25π D ．23π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5C ．6D ．215 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。

解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。

高中数学必修2第二章试题(含答案)

A高一数学必修2第二章测试题班别姓名考号得分一、选择题1．下列说法不正确的．．．．是（） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.2．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能4．如右图所示，正三棱锥V A B C -中，,,D E F 分别是,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（）A ．6πB ． 2πC ． 3πD ．随P 点的变化而变化。

5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．86．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 7．在四面体ABCD 中，已知棱AC ，其余各棱长都为1，则二面角A C D B --的余弦值为（）A ．12 B．13C 3D ．38．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3请将选择题的答案填入下表：二、填空题:1．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________。

高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征组合体展开图截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥或者棱锥．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母表示．O下列命题中，正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形是梯形，可知，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（）A．个 B．个 C．个 D．个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有，其中为球的半径，为截面圆的半径，为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过，，三点作一个平面，再过，，作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体中过点，，的截面形状是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则解：四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学必修2第二章知识点总结及例题

高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表 rlSπ=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表l R r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥'1()3V S S h =台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥'2211()()33V S S h r rR R hπ=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 12 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3公理1 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥bLA ²α C ²B²A ² α =>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学必修二第二章 2.1 2.1.1课后练习题

第二章 2.1 2.1.1基础巩固一、选择题1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点[答案] C2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[答案] C[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A6．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.(2)点A与平面α：________.(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.(5)平面α与平面β：________.[答案](1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1.(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．[答案](2)(3)(4)[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[分析][解析]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C ∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD共面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线．能力提升一、选择题1．(2015·天津武清月考)下列说法正确的是()A．两两相交的三条直线确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形可以确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面[答案] C[解析]因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．2．下列命题正确的是()A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面[答案] D[解析]如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这3个点．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[答案] D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．二、填空题5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.[答案] 6[解析]如图．6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD ＝BD，所以P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．三、解答题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [证明] (1)分别连结EF 、A1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ．又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。

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【人教A版】高中数学必修1-5教材课后习题答案全套完整WORD版

人教A版高中数学必修1-5教材课后习题答案目录必修1第一章课后习题解答 (1)必修1第二章课后习题解答 (33)必修1第三章课后习题解答 (44)必修2第一章课后习题解答 (51)必修2第二章课后习题解答 (56)必修2第三章课后习题解答 (62)必修2第四章课后习题解答 (78)必修3第一章课后习题解答 (97)必修3第二章课后习题解答 (110)必修3第三章课后习题解答 (120)必修4第一章课后习题解答 (125)必修4第二章课后习题解答 (147)必修4第三章课后习题解答 (162)必修5第一章课后习题解答 (177)必修5第二章课后习题解答 (188)必修5第三章课后习题解答 (201)新课程标准人教A 版高中数学必修1第一章课后习题解答1.1集合【P5】1.1.1集合的含义与表示【练习】1.用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度____A ，英国____A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C .解答：1.（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===. （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-. （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉. 2.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集. 解答：2.解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程的所有实数根组成的集合为；（2）因为小于的素数为，所以由小于的所有素数组成的集合为；（3）由，得，290x -={3,3}-82,3,5,78{2,3,5,7}326y x y x =+⎧⎨=-+⎩14x y =⎧⎨=⎩即一次函数与的图象的交点为，所以一次函数与的图象的交点组成的集合为；（4）由，得，所以不等式的解集为．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页） 1．写出集合的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；取一个元素，得；取两个元素，得；取三个元素，得，即集合的所有子集为．2．用适当的符号填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______． 2．（1）是集合中的一个元素；（2）；（3）方程无实数根，；（4）（或）是自然数集合的子集，也是真子集；（5）（或）；（6）方程两根为． 3．判断下列两个集合之间的关系：（1），；3y x =+26y x =-+(1,4)3y x =+26y x =-+{(1,4)}453x -<2x <453x -<{|2}x x <{,,}a b c ∅{},{},{}a b c {,},{,},{,}a b a c b c {,,}a b c {,,}a b c ,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅a {,,}a b c 02{|0}x x =∅2{|10}x R x ∈+={0,1}N {0}2{|}x x x ={2,1}2{|320}x x x -+={,,}a a b c ∈a {,,}a b c 20{|0}x x ∈=2{|0}{0}x x ==2{|10}x R x ∅=∈+=210x +=2{|10}x R x ∈+==∅{0,1}N {0,1}N ⊆{0,1}N {0}2{|}x x x =2{0}{|}x x x ⊆=2{|}{0,1}x x x ==2{2,1}{|320}x x x =-+=2320x x -+=121,2x x =={1,2,4}A ={|8}B x x =是的约数（2），；（3），．3．解：（1）因为，所以；（2）当时，；当时，，即是的真子集，；（3）因为与的最小公倍数是，所以． 1．1．3集合的基本运算练习（第11页） 1．设，求． 1．解：，．2．设，求． 2．解：方程的两根为，方程的两根为，得，即．3．已知，，求． 3．解：，．4．已知全集，，求． 4．解：显然，，{|3,}A x x k k N ==∈{|6,}B x x z z N ==∈{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,{|20,}B x x m m N +==∈{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数AB 2k z =36k z =21k z =+363k z =+B A BA 41020AB ={3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==,A B A B {3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B =={3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==22{|450},{|1}A x x x B x x =--===,A B A B 2450x x --=121,5x x =-=210x -=121,1x x =-={1,5},{1,1}A B =-=-{1},{1,1,5}A B A B =-=-{|}A x x =是等腰三角形{|}B x x =是直角三角形,A B A B {|}A B x x =是等腰直角三角形{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形{1,2,3,4,5,6,7}U ={2,4,5},{1,3,5,7}A B ==(),()()U U U A B A B {2,4,6}UB ={1,3,6,7}UA =则，．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“”或“”填空：（1）_______；（2）______；（3）_______；（4_______；（5；（6）_______．1．（1）是有理数；（2）是个自然数；（3）是个无理数，不是有理数；（4是实数；（5）是个整数；（6）是个自然数．2．已知，用 “”或“” 符号填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______． 2．（1）；（2）；（3）．当时，；当时，； 3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于且小于的整数；（2）；（3）．3．解：（1）大于且小于的整数为，即为所求；（2）方程的两个实根为，即为所求；（3）由不等式，得，且，即为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；(){2,4}U A B =()(){6}U U A B =∈∉237Q 23N πQ R Z 2N 237Q ∈23723N ∈239=Q π∉πR Z 3=2N ∈25={|31,}A x x k k Z ==-∈∈∉5A 7A 10-A 5A ∈7A ∉10A -∈2k =315k -=3k =-3110k -=-16{|(1)(2)0}A x x x =-+={|3213}B x Z x =∈-<-≤162,3,4,5{2,3,4,5}(1)(2)0x x -+=122,1x x =-={2,1}-3213x -<-≤12x -<≤x Z ∈{0,1,2}24y x =-（2）反比例函数的自变量的值组成的集合；（3）不等式的解集．4．解：（1）显然有，得，即，得二次函数的函数值组成的集合为；（2）显然有，得反比例函数的自变量的值组成的集合为；（3）由不等式，得，即不等式的解集为．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合，则有：_______； _______；_______； _______；（2）已知集合，则有： _______； _______； _______； _______；（3）_______；_______．5．（1）；；；；，即；（2）；；； =；；（3）；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合，求．2y x =342x x ≥-20x ≥244x -≥-4y ≥-24y x =-{|4}y y ≥-0x ≠2y x ={|0}x x ≠342x x ≥-45x ≥342x x ≥-4{|}5x x ≥{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥4-B 3-A {2}B B A 2{|10}A x x =-=1A {1}-A ∅A {1,1}-A {|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等腰三角形{|}x x 是等边三角形4B -∉3A -∉{2}B BA 2333x x x -<⇒>-{|3},{|2}A x xB x x =>-=≥1A ∈{1}-A ∅A {1,1}-A 2{|10}{1,1}A x x =-==-{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-,A B A B6．解：，即，得，则，．7．设集合，，求，，，．7．解：，则，，而，，则，．8．学校里开运动会，设，，，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为．（1）；（2）．9．设，，，，求，，．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即，．3782x x -≥-3x ≥{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥{|2}A B x x =≥{|34}A B x x =≤<{|9}A x x =是小于的正整数{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==A B AC ()A B C ()A B C {|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数{1,2,3}A B ={3,4,5,6}A C ={1,2,3,4,5,6}B C ={3}B C =(){1,2,3,4,5,6}A B C =(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C ={|}A x x =是参加一百米跑的同学{|}B x x =是参加二百米跑的同学{|}C x x =是参加四百米跑的同学AB AC ()A B C =∅{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学{|}S x x =是平行四边形或梯形{|}A x x =是平行四边形{|}B x x =是菱形{|}C x x =是矩形B C A B S A {|}B C x x =是正方形{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形{|}SA x x =是梯形10．已知集合，求，，，．10．解：，，，，得，，，．B 组 1．已知集合，集合满足，则集合有个．1．集合满足，则，即集合是集合的子集，得个子集．2．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合之间有什么关系？ 2．解：集合表示两条直线的交点的集合，即，点显然在直线上，得．3．设集合，，求．3．解：显然有集合，当时，集合，则；当时，集合，则；当时，集合，则；{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<()R A B ()R A B ()R A B()R A B {|210}A B x x =<<{|37}A B x x =≤<{|3,7}RA x x x =<≥或{|2,10}RB x x x =≤≥或(){|2,10}RA B x x x =≤≥或(){|3,7}RA B x x x =<≥或(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或{1,2}A =B {1,2}A B =B 4B A B A =B A ⊆B A 4{(,)|}C x y y x ==y x =21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,C D 21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭21,45x y x y -=+=21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭(1,1)D y x =DC {|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈{|(4)(1)0}B x x x =--=,A B A B {|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==3a ={3}A ={1,3,4},A B A B ==∅1a ={1,3}A ={1,3,4},{1}A B A B ==4a ={3,4}A ={1,3,4},{4}A B A B ==当，且，且时，集合，则．4．已知全集，，试求集合． 4．解：显然，由，得，即，而，得，而，即．第一章集合与函数概念 1．2函数及其表示 1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）；（2）．1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为．2．已知函数，（1）求的值；（2）求的值．2．解：（1）由，得，同理得，1a ≠3a ≠4a ≠{3,}A a ={1,3,4,},A B a A B ==∅{|010}U A B x N x ==∈≤≤(){1,3,5,7}U A B =B {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =U A B =UB A⊆()U UA B B=(){1,3,5,7}U A B ={1,3,5,7}UB =()UU B B ={0,2,4,6,8.9,10}B =1()47f x x =+()1f x =470x +≠74x ≠-7{|}4x x ≠-1030x x -≥⎧⎨+≥⎩31x -≤≤{|31}x x -≤≤2()32f x x x =+(2),(2),(2)(2)f f f f -+-(),(),()()f a f a f a f a -+-2()32f x x x =+2(2)322218f =⨯+⨯=2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=则，即；（2）由，得，同理得，则，即． 3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；（2）和．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间；（2）不相等，因为定义域不同，． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为，面积为，把表示为的函数．1．解：显然矩形的另一边长为，，且，即． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．(2)(2)18826f f +-=+=(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=2()32f x x x =+22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=h t 21305h t t =-21305y x x =-()1f x =0()g x x =0t >0()(0)g x x x =≠25cm xcm 2ycm y x 2250x cm -222502500y x x x x =-=-050x <<22500(050)y x x x =-<<2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数的图象．3．解：，图象如下所示．，从到的映射4．设正弦”，与中元素相对应是“求中的元素是什么？与中的元素相对应的的中元素是什么？4．解：因为，所以与中元素相对应的中的元素是；因为，所以与中的元素相对应的中元素是． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：|2|y x =-2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩{|},{0,1}A x x B ==是锐角A B A 60B B 22A 3sin 602=A 60B 322sin 452=B 22A 45离开家的距离时间（A ）离开家的距离时间（B ）离开家的距离时间（C ）离开家的距离时间（D ）（1）；（2）；（3）；（4）． 1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2），即该函数的定义域为；（3）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为；（4）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为． 2．下列哪一组中的函数与相等？（1）；（2）；（3）． 2．解：（1）的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（2）的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（3）对于任何实数，都有，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数与相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3()4x f x x =-()f x=26()32f x x x =-+()1f x x =-40x -≠4x ≠{|4}x x ≠x R ∈()f x =R 2320x x -+≠1x ≠2x ≠{|12}x x x ≠≠且4010x x -≥⎧⎨-≠⎩4x ≤1x ≠{|41}x x x ≤≠且()f x ()g x 2()1,()1x f x x g x x =-=-24(),()f x x g x ==2(),()f x x g x ==()1f x x =-R 2()1x g x x =-{|0}x x ≠()f x ()g x 2()f x x =R 4()g x ={|0}x x ≥()f x ()g x 2x =()f x ()g x（1）；（2）；（3）；（4）．3．解：（1）定义域是，值域是；（2）定义域是，值域是；（3）3y x =8y x =45y x =-+267y x x =-+(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞定义域是，值域是；（4）定义域是，值域是．4．已知函数，求，，，． 4．解：因为，所以，即；同理，，即；，即；，即． 5．已知函数，（1）点在的图象上吗？（2）当时，求的值；（3）当时，求的值．(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞[2,)-+∞2()352f x x x =-+(2)f -()f a -(3)f a +()(3)f a f +2()352f x x x =-+2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+(2)852f -=+22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++2()352f a a a -=++22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++2(3)31314f a a a +=++22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+2()(3)3516f a f a a +=-+2()6x f x x +=-(3,14)()f x 4x =()f x ()2f x =x5．解：（1）当时，，即点不在的图象上；（2）当时，，即当时，求的值为；（3），得，即．6．若，且，求的值． 6．解：由，得是方程的两个实数根，即，得，即，得，即的值为．7．画出下列函数的图象：（1）；（2）．7．图象如下：3x =325(3)14363f +==-≠-(3,14)()f x 4x =42(4)346f +==--4x =()f x 3-2()26x f x x +==-22(6)x x +=-14x =2()f x x bx c =++(1)0,(3)0f f ==(1)f -(1)0,(3)0f f ==1,320x bx c ++=13,13b c +=-⨯=4,3b c =-=2()43f x x x =-+2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=(1)f -80,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩()31,{1,2,3}G n n n =+∈。

高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案

|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0．（ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ．综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ．已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程．解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程直线与直线的位置关系直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程描述：直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系描述：直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ．例题：直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定解：两直线的斜率分别为交．）

2021_2022学年新教材高中数学第二章函数4.2简单幂函数的图象和性质练习含解析北师大版必修第一

4．2 简单幂函数的图象和性质水平11．函数y ＝－x 2是幂函数．( ) 2．幂函数y ＝x 2是偶函数．( ) 3．幂函数y ＝x －1是减函数．( ) 4．幂函数都过点(0，0)，(1，1).( )5．当0<x <1时，y ＝x 12的图象在y ＝x 2图象的下方．( ) 【解析】1.提示：×.所给函数的系数为－1，不满足幂函数的定义． 2．√.3．提示：×.y ＝x －1在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，但在整个定义域上不具有单调性． 4．提示：×.只有α>0时过(0，0)，(1，1)点．5．提示：×.0<x <1时，y ＝x 12图象位于y ＝x 2的图象的上方．·题组一幂函数的概念1．在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．3【解析】选B.根据幂函数的定义：(1)x α的系数为1；(2)x 为自变量；(3)α为常数．所以只有y ＝x －2是幂函数．2．已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( ) A.2 B ．1 C.12D ．0 【解析】f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.3．若定义域为R 的函数f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________．【解析】因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 当m ＝5时，f (x )＝x 5的定义域为R ，合乎题意．当m ＝－1时，f (x )＝x －1的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，不合题意．所以m ＝5. 答案：5·题组二幂函数的图象及其应用1．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，，－2，－12【解析】y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象变化为：当n >0时，n 越大，y ＝x n 的递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.2．下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )【解析】y ＝x α是幂函数，而y ＝αx 是一次函数，选项A ，直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1；选项B ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 12；选项C ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2；选项D ，直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数y ＝x 3，故C 正确．3．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )【解析】a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a >0，y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以A ，D 项均不正确；对于B ，C 项，若a >0，则y ＝ax －1a 是增函数，B 项不正确，C 项正确．·题组三利用幂函数的性质比较大小 1．下列不等式成立的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12B ．⎝⎛⎭⎫3423<⎝⎛⎭⎫2323C.⎝⎛⎭⎫232>⎝⎛⎭⎫322D ．8－78<⎝⎛⎭⎫1978【解析】y ＝x －12是减函数，所以，⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12，A 正确．因为幂函数y ＝x 23是增函数，所以⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，B 错误．因为幂函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，所以⎝⎛⎭⎫232<⎝⎛⎭⎫322，C 错误．因为幂函数y ＝x 78是增函数，所以8－78>⎝⎛⎭⎫1978，D 错误． 2．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 【解析】f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .αα，则α的取值X 围是________．【解析】αα，所以y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．故α<0. 答案：(－∞，0)4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值X 围是________．【解析】因为f (x )＝x 12(x ≥0)，易知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以解得所以3<a ≤5.答案：(3，5]易错点幂函数的图象不清楚导致错误1．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是( )A ．④⑦B ．④⑧ C.③⑧ D ．①⑤【解析】y ＝x 12的图象形状是上凸形，在经过(1，1)点以前在y ＝x 上方，而过了(1，1)点后在y ＝x 下方，故可知y ＝x 12过①⑤“卦限”．2．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )【解析】a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向上，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，故排除A ，C ；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向下，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，函数y ＝ax的图象在第二、四象限．【易错误区】对幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象在同一坐标系中的相对位置关系不清楚而出错．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______ 一、选择题(每小题5分，共30分)1.如图所示，幂函数y ＝x α在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小( )A ．α1<α3<0<α4<α2<1 B.0<α1<α2<α3<α4<1 C.α2<α4<0<α3<1<α1 D.α3<α2<0<α4<1<α1【解析】x ＝2得0<2α3<2α2<1<2α4<2α1，所以α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，所以α3<α2<0<α4<1<α1. 2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(16，4)，则f ⎝⎛⎭⎫164的值为( ) A.3 B ．13 C ．18 D ．14【解析】y ＝f (x )＝x α的图象经过点(16，4)，所以16α＝4，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f ⎝⎛⎭⎫164＝⎝⎛⎭⎫16412＝18.3．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数，则实数m 等于( ) A.1＋ 52B ．－1C.2或－1 D ．2【解析】x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数，所以m 2－m －1＝1，且－m －1＜0，解得m ＝2或－1，且m ＞－1，即m ＝2.4．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．0或1【解析】f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1.5．(多选)下列不等式在a <b <0的条件下成立的是( ) A.a －1>b －1B ．a 13<b 13C.b 2<a 2D ．a －23>b －23【解析】y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上单调递增，故D 不成立，其余都成立．6．(多选)下列说法中错误的是( )B.y ＝x 0的图象是一条直线y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <12 y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}【解析】选BCD.由幂函数的图象易知A 正确；y ＝x 0的图象是直线y ＝1上去掉点(0，1)，B 错误；函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0＜y ＜12，C 错误；若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域也可能是{x |0≤x ≤2}，D 错误．所以说法错误的有BCD. 二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，则f (2)＝________．【解析】设幂函数为y ＝x α，因为幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，所以14＝4α，所以α＝－1，所以y ＝x －1，所以f (2)＝2－1＝12.答案：128．已知y ＝(2a ＋b )x a ＋b ＋(a －2b )是幂函数，则a ＝________，b ＝________.【解析】由题意得解得答案：25159．给出以下结论：①幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；②若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ③幂函数的图象可能在第二象限．则正确结论的序号为________．【解析】当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0，0)点，故①不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故②不正确．③正确．答案：③10．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号). 【解析】对于函数①f (x )＝x －1，这是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．答案：②三、解答题11．(10分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则所以m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则所以m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，某某数k的取值X围．【解析】(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)可知f(x)＝x2.当x∈[1，2]时，f(x)，g(x)单调递增，所以A＝[1，4]，B＝[2－k，4－k].因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以⇒0≤k≤1.所以实数k的取值X围是[0，1].。