高二数学教案 曲线与方程
高二数学教案：曲线和方程概念的理解
●教学目标1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.2．会判定一个点是否在已知曲线上.●教学重点曲线和方程的概念●教学难点曲线和方程概念的理解●教学方法学导式●教具准备三角板、幻灯片●教学过程Ⅰ.复习回顾师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.Ⅱ.讲授新课1．曲线与方程关系举例：师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M （x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）又如，函数y=ax2的图象是关于y轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M（x0,y0）是抛物线上的点，那么（x0,y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0,y0）是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程.（如右图）.2．曲线与方程概念一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.3．点在曲线上的充要条件：如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.4．例题讲解：例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M（3，－4）、M2（－25，2）是否在这个圆上.证明：（1）设M （x 0,y 0）是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以,52020=+y x也就是,252020=+y x 即（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解.（2）设（x 0,y 0）是方程x 2+y 2=25的解，那么,252020=+y x 两边开方取算术根，得,52020=+y x即点M （x 0,y 0）到原点的距离等于5，点M （x 0,y 0）是这个圆上的点.由（1）、（2）可知，x 2+y 2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程.把点M 1（3，－4）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边相等，（3，－4）是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2（－25，2）的坐标代入方程x 2+y 2=25，左右两边不等，（－25，2）不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上.Ⅲ.课堂练习：课本P 69练习1，2，3●课堂小结师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.●课后作业习题7.6 1，2● 板书设计●教学后记。
【教案】双曲线及其标准方程说课稿-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.1双曲线及其标准方程尊敬的各位评委：大家好！我今天说课的内容是《双曲线及其标准方程》。
下面，我将从教学内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计五个方面来汇报我的思考与设计。
一、教学内容及其解析1.教学内容本节课是人教A 版选择性必修第一册第三章第二节第1 课时。
其主要内容包括：双曲线的现实背景与几何情境，双曲线的几何特征与概念以及双曲线的标准方程。
2.教学内容解析本节内容是在学习直线和圆的方程以及椭圆的基础上，先类比椭圆，从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，进而得出双曲线的概念，然后建立它的标准方程，最后再通过例题让学生进一步熟悉双曲线的定义、方程和实际应用。
本节课纵向承接椭圆和抛物线，横向为双曲线简单几何性质的探究打下了基础，起到了深化提高、承上启下的重要作用，为随后抛物线的学习提供了良好的类比价值，也为从整体上认识圆锥曲线提供了经验。
本节课的教学，继续强化了几何概念的抽象过程，充分发挥了坐标法的核心纽带作用，进一步贯彻了“先用几何眼光观察与思考、再用坐标法解决”的研究策略，促进了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：双曲线的几何特征，双曲线的定义以及双曲线的标准方程。
二、教学目标及其解析1.教学目标（1）能从几何情境中抽象出双曲线的几何特征，给出双曲线的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养。
（2）类比椭圆标准方程的建立过程，运用坐标法推导出双曲线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算等素养。
2.教学目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过观察利用信息技术演示绘制双曲线的过程，明确双曲线上的点满足的几何条件，明确双曲线的几何特征，形成双曲线的概念。
（2）能认识建立双曲线标准方程的过程与建立椭圆标准方程的过程是类似的。
能通过建立适当的坐标系，根据双曲线上点的几何特征，列出双曲线上点的坐标满足的方程，进而化简所列出的方程，得到双曲线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法。
高二数学 07曲线和方程 圆的方程培优教案
曲线和方程 圆的方程[本讲主要内容]1. 曲线的方程的定义.2. 用直接法求曲线的方程一般步骤.3. 设曲线C 1, ()0,1=y x f ,()0,:22=y x f C ,则有以下结论:①若21,C C 有交点,则21,C C 的交点M ⇔方程组()()⎩⎨⎧==0,0,21y x f y x f 的实数解.②方程组有几组实数解,而曲线21,C C 就有几个交点;方程组无实数解,两曲线21,C C 就无交点.4. 圆的定义及圆的标准方程.5. 圆的一般方程及参数方程.6. 点与圆,直线与圆及圆与圆的位置关系.]学习指导]1. 根据曲线形成的几何条件,在选定的坐标系下求出曲线方程,这是解析几何的基本问题,也是代数方法研究几何问题的基础,求曲线方程的方法,一般有定义法、直接法、变量代换法(转移法).直接法的一般步骤是: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标;(2)写出适合条件P 的点M 的集合(){}M P M P =;(3)用坐标表示条件P(M)列出方程()0,=y x f ;(4)化方程()0,=y x f 为最简形式;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程.2. 方程022=++++F Ey Dx y x ,当0422>-+=F E D t 时,表示一个圆;当t=0时,表示一个点;当t<0时,无轨迹.3. 解决和圆有关的问题,通常可考虑三种方法: (1)代数法,(2)几何法,(3)参数方程法. 如直线被圆所截得的弦长的求法: ① 几何法: 用弦心距半径及半弦构成的直角三角形.② 代数法: 由方程组⎩⎨⎧直线方程圆的方程消元得一元二次方程,再由韦达定理可求出弦长:()()221B Ax xk AB -+=.再如求某些最值问题常利用圆的参数方程.4. 在判断点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系时,要注意位置关系与数量关系的等价性,在解决直线与圆相切时,除运用代数法外,还应注意运用几何知识去求解往往更加简便.[例题精讲]例1. 过点(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是2=x 吗?如果是,请说明理由;如不是,应怎样改? [分析及解]根据“曲线的方程”的概念,过点(2,0)平行于y 轴的直线l 上任一点的坐标是方程2=x 的解,即满足轨迹的“纯粹性”,但以方程2=x 的解为坐标的点不都在直线l 上,所以不满足轨迹的完备性,故2=x 不是直线l 的方程.正确答案应是直线l 的方程,为x=2.例2. 过定点A(a,b)作互相垂直的两条直线l 1和l 2,它们分别与x 轴,y 轴交于M,N 两点,求线段MN 的中点B 的轨迹方程. [分析及解]此题按求曲线方程的一般步骤,先设MN 的中点B 的坐标为(x,y),则N(0,2y),M(2x,0),由勾股定理得,222MNAMAN=+,即点M,N 满足此关系式,所以()022222=---+b a b y a ,化简得02222=--+b a by ax .即是所求线段MN 的中点B 的轨迹方程.例3. 已知点P 是圆0422=-+x y x 上的一个动点,点Q 的坐标为(2,6),当点P 在圆上运动时,线段PQ 的中点M 的轨迹是什么? [分析及解]因为中点M 依赖于P 在圆上的运动,所以设M 点的坐标为(x,y),P 点坐标为()00,y x ,则有26,2200+=+=y y x x ,即62,2200-=-=y y x x ,即可用变量代换法求解.由P 点是圆0422=-+x y x 的点,得0402020=-+x y x .即()()()0224622222=---+-x y x ,整理得()()13222=-+-y x ,故所求点的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.此题也可考虑圆的参数方程,将圆方程化为()4222=+-y x ,其参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ,故可设()θθsin 2,cos 2+P ,由中点坐标公式得点M 轨迹的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 22y x . 所以,线段PQ 的中点是M 的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.例4. 直线l 经过点P(5,5),且和圆O:2522=+y x 相交于A,B,若54=AB ,求直线l 的方程. [分析及解]此题一般思路可由直线l 过点P(5,5),设直线l 的点斜式方程()55-=-x k y ,然后利用弦长54=AB 的条件,列出关于k 的方程,确定k 的值,这就需要联立方程组求A,B 的坐标.这种方法运算较繁,其实,我们还可以避免解方程组求A,B 的坐标,即利用平面几何的知识求解.作OH ⊥AB 于H,则H 是AB 的中点.5,5,52===∴OH AO AH这样即可得()51152=+--k k ,解得21=k 或2=k . ∴直线l 的方程是x-2y+5=0或2x-y-5=0.例5. 求过点P(2,4)向圆()()13122=++-y x 所引的切线的方程.[分析及解]此题首先要判断点P 与已知圆的位置关系,即()()150341222>=++- ,∴点P(2,4)在圆()()13122=++-y x 外.接下来可以有二个思路,一是利用圆和直线相交的两个交点重合时,直线和圆相切.当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα≠时,设切线方程是()24-=-x k y .把①代入圆的方程得()()[]1342122=++-+-x k x ,即()()049284214412222=+-++--+k k x k kx k 19256-=∆∴k .令0=∆,得724=k ,把724=k 代入①,得020724=--y x .当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα=,此直线方程是x=2.∵圆心(1,-3)到该直线的距离d=1∴x=2是所求的另一条切线,因此,所求的切线方程是020724=--y x 和x=2. 二是利用圆心到切线的距离等于半径.圆心是(1,-3),r=1,将切线方程写成一般形式024=-+-k y kx ,可是有112432=+-++=k kk d ,解得724=k ,下面再考虑k 不存在的特殊情况,即可得到x=2是另一条所求直线.[能力训练部分] A. 基础性训练题1. 下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. 1,==xyx y B. 2,x y x y == C. y x x y ==, D. 22,y x x y ==2. 曲线C 的方程是F(x,y)=0,则C 关于直线x+y=0的对称的方程是( ) A. F(y,x)=0 B. F(-y,x)=0 C. F(-y,-x)=0 D. F(y,-x)=03. 到两坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是( )A, 二条直线 B. 四条直线 C. 四条射线 D. 八条射线 4. 若方程()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则a 的值是( ) A. –1 B. 2 C. –1或2 D. 15. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A. 2=bB. 11≤<-b 且2-=bC. 11≤≤-bD. 非A,B,C 的结论6. 当曲线241x y -+=与直线()42+-=x k y 有两个相异交点时,实数k 的取值范围是( ) A. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,125 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D. ⎪⎭⎫⎝⎛43,31 7. 过点P 1(1,5)任作直线交x 轴于点A,过点P 2(2,-7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于B,点M 在线段AB 上,且BM:MA=1:2,求动点M 的轨迹方程.8. 两条直线分别过点A(a,0),B(-a,0),且绕A,B 旋转,它们在y 轴上的截距分别是OC=c,OD=d,且2a d c =⋅(a 是定值,c,d 是可变的),求两直线的交点M 的轨迹方程. 9. 若实数x,y 满足024222=++-+y x y x ,试求y x 3-的最大值和最小值.10.已知经过点A(0,1),B(4,a)且与x 轴相切的圆只有一个,求此时a 的值及相应的 圆的方程. B. 提高性训练题1. 已知动点P 到点A(-3,4)和B(4,6)的连线互相垂直,则P 点的轨迹方程是__________.2. 已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB 总有公共点,则k 的取值范围是___________.3. 已知两点A(1,1),B(3,3),P 是x 轴上一个动点,那么使∠APB 最大的点P 的坐标是______.4. 过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点,圆心为C(-1,1)的圆的方程为__________.5. 若P(x,y)在圆()()63322=-+-y x 上运动,则xy的最大值为_______. 6. 当实数m 的取值范围是________时,直线02=--y x 与曲线m y x 422=-的交点P 在圆()4422=+-y x 内部.7. 如图,已知两点A(-1,0),B(2,0),求使夹角αβ2=的点M 的轨迹方程.8. 直线32=+y x 与曲线0622=+-++P y x y x 的两个交点为A,B,O 是原点,当P 为何值时,有OA ⊥OB.9. AB,CD 是半径为a 的定圆O 的两互相垂直的直径,作动弦AF 交CD 于E,引EP ∥AB,且交BF 于P,求点P 的轨迹方程. 10. 已知圆012222=+--+y x y x ,点A(2a,0),B(0,2b)且a>1,b>1, ① 若圆与AB 相切时,求AB 中点的轨迹方程.②若圆与AB 相切时,且△AOB 面积最小,求直线AB 的方程及面积最小值. C. 研究性习题已知圆()024*********=--+---+m m y m mx y x ()R m ∈ (1)求证: 不论m 为何值,圆心在同一直线上.(2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证: 任何一条平行l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等. [解答](1)配方得()()[]251322=--+-m y m x .设圆心为(x,y),则⎩⎨⎧-==13m y mx 消去m 得,033:=--y x l ,则圆心恒在直线l:033=--y x 上.(2)设与l 平行的直线是03:=+-b y x l ,则圆心到直线l 的距离为()10310133b bm m d +=+--=∴圆的半径为r=5.∴当d<r 时,即31053105-<<--b 时,直线与圆相交; 当d=r 时,即3105-±=b 时,直线与圆相切;当d>r 时,即3105--<b 或3105->b 时,直线与圆相离.(3)对于任一条平行l 且与圆相交的直线03:1=+-b y x l ,由于圆心到直线l 1的距离103b d +=,从而弦长222d r -=与m 无关.能力训练题点拨与解答: 基础性训练题1. D 因为A 中y=x 表示一条直线,而1=xy表示这条直线除去一点(0,0);在B 中y=x 表示一条直线,而2x y =表示一条折线;在C 中x y =表示两条相交直线,而y x =表示一条射线;在D 中x y =与22y x =都表示两条相交直线.故应选D.2. C 设点M 的坐标为M(x,y),易得到点M 关于直线x+y=0的对称点坐标为M ’(-y,-x),所以曲线C 关于直线x+y=0的对称方程为F(-y,-x)=0,故应选C.3. D 设动点为M(x,y),则2=-y x ,即2±=-y x .当0,0≥≥y x 时,2±=-y x ;当0,0≤≤y x 时, 2±=+-y x ;当0,0≤≥y x 时,2±=+y x ;当0,0≥≤y x 时, 2±=--y x ,所以动点的轨迹是八条射线.4. A 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ② ①04222222a aa a a a 由①得,a= -1或a=2.当a= -1时,②成立;当a=2时,②不成立.5. B 将曲线21y x -=化为122=+y x ()0≥x ,当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时,则满足1200=--b,即2±=b .观察图形可得当2-=b 或11≤<-b 时,直线与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.6. B 曲线241x y -+=是以(0,1)为圆心,2为半径的圆(如图)直线()42+-=x k y 是过定点(2,4)的直线.设切成PC 的斜率为k,切成PC 的方程为()420+-=x k y 圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即125,2142020==+-+k k k . 直线PA 的斜率为431=k ,所以,实数k 的范围是43125≤<k . 7. 如图,设M(x,y) ∵BM:MA=1:2∴211210++=A x x 即x x A 3=,∴A(3x,0)211021+⨯+=B y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴y B y y B 23,0,23 B P A P 21⊥121-=⋅∴B P A P k k , 故1022373105-=---⋅--yx化简后得动点的轨迹方程是4x+5y+22=0.当直线A P 1的斜率不存在时,点A 是(1,0),点B 是(0,-7),此时点M 是⎪⎭⎫⎝⎛-314,31,也满足轨迹方程4x+5y+22=0. 8. 如图,设M(x,y) ∵点M 在直线AC 上∴点M(x,y)满足直线AC 的方程,即1=+cya x . 同理,点M(x,y)满足直线BD 的方程,即1=+-dya x . ∴x,y 应是方程①,②构成的方程组的解. 下面设法从①,②中消去变量c,d由①得,a x c y -=1 由②得,axd y +=1③×④得,2221ax cd y -= 将2a cd =代入⑤,整理得点M 的轨迹方程是222a y x =+.9. 圆方程化为()()32122=-+-y x ,其参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数) ()θθsin 323cos 313+--+=-∴y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θθsin 23cos 2132321 ⎪⎭⎫⎝⎛+++=3cos 32321πθ∴最大值为134+,最小值为1.10. 设圆心为()00,y x ,则圆的方程为()()202020y y y x x =-+-.∵A(0,1),B(4,a)在圆上()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+∴2202020202041y y a x y y x 消去y 0,得()()016812020=+-+--a a x x a当1=a 时, x 0=2,相应的250=y ; 当1≠a 时,由()()0161442=+---=∆a a a b ,解之得a=0. 此时, x 0=4, 2170=y . 故所求a 的值为0或1,相应圆的方程为:()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 或()4289217422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x .提高性训练题1. 0121022=+--+y x y x设P 点的坐标为(x,y),则1-=⋅BP AP k k .即14634-=--⋅+-x y x y , 整理得0121022=+--+y x y x .2. 10≤≤k线段AB 与直线y=k(x+1)总有公共点,须满足的条件是:()[]()[]0011110≤-+⋅-+k k ,即()021≤⋅-k k ,解得10≤≤k .3. ()0,6P设P 点的坐标为(x 0,0),则0011,33x k x k PA PB -=-=, 46224626421tan 0200200-⋅≤-+=+-=⋅+-=∠∴x x x x x k k k k APB PB PA PB PA 此时等号成立的条件是006x x =60=∴x ,即()0,6P .4. ()()251122=-++y x⎩⎨⎧=--=++01223073y x y x 解得⎩⎨⎧-==32y x 又∵点(2,-3)在圆上,圆心为C(-1,1) ∴半径为()()5131222=--++=r∴圆的方程为()()251122=-++y x . 5. 32+设直线OP 的斜率为k,直线OP 的方程为y=kx,圆心O 1坐标为()3,3,半径为6,圆心O 1到直线OP 的距离等于6,可列出方程:61332=+-kk,解得23,3221-=+=k k .xy∴的最大值是32+.6. 1<m<3 ⎩⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=-=-11224222m y m x m y x y x m y x y x 即为P 点坐标. ∵若P 在圆内()()0414122<--+-+∴m m ∴1<m<3 7. 设点M(x,y)① 若︒=90β,则︒=45α,从而由△ABM 是等腰直角三角形,可得M(2,3),(2,-3). ② ︒≠90β,设点M 在x 轴或x 轴上方,则αααβ2tan 1tan 22tan tan -==2tan ,1tan --=+=x y x y βα ()03322=--∴y x y当M 在x 轴下方时,同样可得上方程.y=0,由于只有在()2,1-∈x 时,0==βα符合题意,在x 轴的其它各线段(包括A,B 本身)都不合题意,所以轨迹方程为y=0,(-1<x<2).03322=--y x 满足题意,动点M 应在AB 的垂直平分线右面,所以应有x ≥1且x ≠2.综上所述,所求轨迹方程为y=0, (-1<x<2)或1322=-y x (x ≥1且x ≠2). 8. 设()()2211,,,y x B y x A由方程组⎩⎨⎧=+-++=+063222P y x y x y x 消去x,得0122052=++-P y y ∵直线与曲线有两个交点()8,01254400<>+⨯-=∆∴P P ,且根据韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅=+51242121P y y y x()()2211,23,,23y y B y y A --∴又∵OA ⊥OB123232211-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y y y y即()09652121=++-y y y y即094612=+⨯-+P∴P=3.9. 以直线AB,CD 分别为x,y 轴建立直角坐标系, 如图,则圆O 的方程为:222a y x =+.设θ=∠BOF ,取θ为参数. 则点F 的坐标为()θθsin ,cos a a 直线AF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y +=+ ①BF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y -=- ② 以x=0代入①解得点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+1cos sin ,0θθa E∵EP ∥AB∴直线EP 的方程为()θθsin 1cos a y =+ ③ ②×③得, ()()θθ222sin 1cosa x a y -=-即()a x a y --=2 ()a x ≤≤0.10. 如图,①设AB 的中点M(x,y),b b y a a x =+==+=220,202 直线AB: bx+ay-2ab=0.∵AB 与圆相切∴d=r,即121122=+-⋅+⋅b a aba b整理化简为 2a+2b-2ab-1=0 (*)∴AB 中点的轨迹方程: 2x+2y-2xy-1=0 (x>1,y>1)②设△AOB 面积为AOB S ∆.()14121222-≥-+=-+==∆ab b a b a ab S AO B 122-=∆AOB S令2>=∆AOB S t1,1>>b a 1222-≥∴t t即101222≥+-t t ,解得12-≤t 或12+≥t . 223+≥∴∆AO B S ,当且仅当a=b 时,等号成立. 代入(*)式得: 22101422±=⇒=+-a a a 221+=∴a ∴直线AB 的方程:022=--+y x .。
高二数学求曲线的轨迹方程 教案
高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。
求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。
三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。
（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。
注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。
②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。
③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。
（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
高二数学下册(春季)-第3讲-曲线方程和圆的标准方程
高二下册（春季）数学辅导教案 学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 曲线方程和圆的标准方程教学内容1. 理解曲线方程的概念；2. 会应用圆的标准方程解题。
（以提问的形式回顾）1. 曲线的方程和方程的曲线的定义是什么？你是怎样理解的？一般地，如果某曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系：① 曲线C 上的点的坐标都方程(,)0F x y =的解；② 以(,)0F x y =方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点，此时，把方程(,)0F x y =；叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线.此处的定义比较抽象，理解的时候可以认为曲线和方程谁大就可以了，如果曲线大说明满足方程的点都在曲线上，但曲线上的点不一定都满足方程；反过来方程大说明曲线上的点都满足方程，但以方程的解为坐标的点不一定都在曲线上。
2. 求曲线的方程的步骤是怎样的？（以提问为主，让学生回答）① 建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；② 设曲线上任意一点的坐标为(),x y ；③ 根据曲线上点所适合的条件，写出等式；④ 用坐标,x y 表示这个等式(方程)，并化简；⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.3. 求曲线的方程你经常用哪些方法？（老师引导，让学生回答）① 直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．② 代入法：找到所求曲线上点的坐标与已知曲线上点的坐标之间的关系，通过建立的关系，把原来的曲线方程转化为所求的曲线方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法．4. 圆的标准方程：()222()x a y b r -+-=，(),C a b 为圆的圆心，0r >为圆的半径.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 已知坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的是( )()A 曲线C 上的点的坐标都满足方程(,)0F x y =()B 不在曲线C 上的点的坐标有些满足方程(),0F x y =()C 凡坐标不满足方程(,)0F x y =的点都不在曲线C 上()D 不在曲线C 上的点的坐标必不满足方程(,)0F x y =解：由曲线的方程的定义可知,曲线C 上的点的坐标不一定都满足方程(),0F x y =，故A 错；不在曲线C 上的点一定不适合(),0F x y =，故B 错；坐标不适合方程(),0F x y =的点可能在曲线C 上，故D 错；正确答案D .试一试：如果曲线C 上任意一点的坐标都是方程(,)0F x y =的解，则下列命题正确的是（ ）A . 曲线C 的方程是(,)0F x y =B . 曲线C 上的点都在方程(,)0F x y =的曲线上2m x y n y x=+⎧⎨=+⎩，由因为2222m n -=，所以()()22222x y y x +-+=化简得2222x y -=． 2. 已知定点)1,1(M ，动点P 满足条件1||=MP ，点Q 与点P 关于直线x y -=对称，求点Q 的轨迹. 解：设Q ,P 两点的坐标分别为(),x y ，()11,x y 则由点Q 与点P 关于直线y x =-对称，可得11x y y x=-⎧⎨=-⎩,又因为动点P 满足条件||1MP =u u u r ，所以()()2211111x y -+-=,所以点Q 的轨迹方程为()()22111x y ++-=.例4. 已知O 为坐标原点，A 点坐标为()6,8，求以OA 为直径的圆.解：设圆的标准方程为()222()x a y b r -+-=，由已知可得：10OA =，∴5r = ，线段OA 中点坐标为()3,4，即为待求圆的圆心，∴圆的方程为()223(4)25x y -+-=试一试：过点A （-1，1）和B （1，3），圆心在x 轴上的圆的标准方程为：解：圆经过A 、B ，则圆心在线段AB 的中垂线20x y +-=上，又圆心在x 轴上，所以圆心为两直线的交点C （2，0），半径为CA 的长10，所求圆的方程为22(2)10x y -+=．例5. 已知直线l :50x y --=，圆C :()()22221x y -++=，求直线l 被圆C 所截得的线段的长.解：直线l 被圆C 所截得的线段的长为2.试一试：已知直线l :0x y b -+=被圆C :2225x y +=所截得的弦长为8，求b 的值.解：32b =±（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 已知两点P 1（4，5）和P 2（6，3），则以P 1P 2为直径的圆的方程___________．【答案】22(5)(4)2x y -+-=2. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程为 .【答案】22(2)1x y +-=3. 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 .【答案】3π 4. 圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 .【答案】45. 已知直角坐标平面上一点(2,0)Q 和圆C ：221x y +=，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与||MQ 的和．求动点M 的轨迹方程。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高中数学选修4-424曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案
单元（章节）课题
本节课题
2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
三维目标
知识与技能：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
过程与方法：通过学生自主探究极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式，培养学生自主学习能力和阅读能力；
情感,态度与价值观：培养学生数学表达能力。
提炼的课题
极坐标方程与直角坐标方程的互化
教学重难点
重点：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式．
难点：实现ห้องสมุดไป่ตู้坐标方程和直角坐标方程之间的互化．
教学过程
一、情境导入
1.点的直角坐标与极坐标互化关系如下：
(1)点M的极坐标 化为直角坐标 的公式：
(2)点M的直角坐标 化为极坐标 的公式：
（1）将方程转化成含、、的式子；
（2）将 分别换成、、；
（3）整理、化简。
2.将曲线的直角坐标方程化成极坐标方程的基本步骤：
（1）将 分别换成、、；
（2）整理、化简。
五、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1.把下面的极坐标方程转化为直角坐标方程.
（1） （2）
2.课本P17练习1.
课后作业布置
课本第18页A组5,6
预习内容布置
完成《极坐标习题二》
（1） （2） （3）
2．直角坐标方程化为极坐标方程的公式
（1） （2） （3）
三、典型例题
题型一：极坐标方程化为直角坐标方程
例1、将下列曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：
题型二：直角坐标方程化为极坐标方程
例2.将下列曲线的直角坐标方程化成极坐标方程。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程1. 引言高中数学中，曲线和方程是一门重要的基础课程，需要在高二阶段进行系统学习。
学生在学习过程中，需要掌握如何利用各种不同的方程式，来求解数学问题。
本文将介绍高中高二数学教案中，曲线和方程的相关知识。
2. 曲线的概念在高中数学中，曲线是一个非常重要的概念。
它是指在平面直角坐标系中的图形，可以是由数学函数表达的折线或曲线，也可以是由多个点的连线形成的图形。
曲线在数学中有着广泛的应用，例如用于工程计算、物理学、统计学等领域。
3. 方程的概念方程是在数学中非常常见的概念，它是包含了一个或多个变量的等式。
我们可以利用方程来求解各种数学问题，例如在平面直角坐标系中，可以利用方程来表示一个图形的几何特征。
在高中数学中，方程的学习是非常重要的一环，学生需要掌握各种不同类型的方程式，并且清楚它们的求解方法。
4. 曲线和方程的关系在数学中，对于同一个曲线来说，可以有多种不同的方程式来表示。
例如对于直线 y = 3x + 5 来说，它可以看作是关于 x 和 y 的一次方程，而当我们观察这条直线的斜率和截距时，它们又可以转化为更简单的表达形式。
因此，学生需要掌握如何通过曲线的特征，来构造出对应的方程式。
5. 一元二次方程在高中数学中，我们需要学习一元二次方程。
它是被广泛利用的一个方程式，可以应用在多个领域中，例如物理、工程、经济等。
学生需要掌握一元二次方程的求解方法，并且理解它产生的原因和应用。
6. 一元二次方程根的求法在学习一元二次方程时，学生需要掌握如何求解方程的两个根。
有多种不同的求解方法，例如公式法、配方法、图像法等，学生需要理解它们的原理和优缺点。
对于不同类型的二次方程，可能需要采用不同的求解方法，因此学生需要进行分类讨论和实践练习。
7. 一元二次方程的应用在高中数学教学中，很多问题可以利用一元二次方程进行求解。
例如在物理学中，我们可以利用抛物线运动的轨迹，来求解各种物理问题。
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
高二数学(人教A版)《2.1曲线与方程》导学案
2.1曲线与方程一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0；（4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：知识点一 曲线与方程的概念的运用例1. 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2）－=0 （3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0例2. （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2，2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上。
（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25。
例3. 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
高二数学选修课件：2-1-1曲线与方程的概念
[解析]
① ②
得 2x2－11x－13＝0， 13 即(2x－13)(x＋1)＝0，得 x1＝－1，x2＝ . 2 将 x＝－1 代入①得
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[例2] 求曲线2y2＋3x＋3＝0与曲线x2＋y2－4x－5＝0 的公共点．
[分析] 曲线和曲线的公共点，即 的解
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2y2＋3x＋3＝0 2 x ＋y2－4x－5＝0
因此解方法程组即可求得．
第二章
圆锥曲线与方程
2y2＋3x＋3＝0， 由 2 2 x ＋y －4x－5＝0，
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表示两圆公切线的方程．(但应注意此圆系中不包含圆C2)
[答案] 1.方程F(x，y)＝0的曲线 曲线C的方程 4．两圆公共弦所在直线
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例 1]
已知方程 x2＋(y－1)2＝10.
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(1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的 曲线上； m (2)若点 M( ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的 2 值．
系数法求椭圆的标准方程．
第二章
圆锥曲线与方程
(3)掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b、c、
e的几何意义，以及a、b、c、e之间的相互关系． (4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选 择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程． (5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，
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能根据条件确定双曲线的标准方程．
(6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的 标准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特 征．
高二数学 双曲线及其标准方程
高二数学 双曲线及其标准方程【教学目标】知识与能力：使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导；在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生分析、归纳、推理等能力。
过程与方法：通过媒体演示，让学生感悟双曲线的形成和发生；通过学生对双曲线标准方程推导过程要点的叙述，使学生巩固轨迹方程求解的一般方法。
通过例题的剖析，使学生加深对双曲线标准方程的理解。
情感态度与价值观：在教师的引导下，注重学生的自我体验，注重培养学生的探究精神。
【教材分析】重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．（通过多媒体演示，让学生理解双曲线定义） 难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生叙述完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)【教学过程】问题引入：前面我们一起研究了椭圆的定义，标准方程，几何性质，请大家回忆一下：椭圆的定义是什么？————引出与两个定点的距离差的绝对值为常数的轨迹又是什么曲线呢？1、 探究实验：利用多媒体演示（并加以说明）：当该常数<|F 1F 2|时，轨迹为双曲线；当该常数=|F 1F 2|时，轨迹为两条射线。
2、 双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意．．： 1） 要在平面内2） 距离差的绝对值为常数3） 该常数要<21F F3、 求双曲线的标准方程：设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？请学生按照双曲线的定义参照求椭圆标准方程的步骤去求解双曲线的标准方程。
(1)建立坐标系设动点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合P：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程：将这个方程移项，两边平方得：化简得：)()(22222222a c a y a x a c -=--由定义c a 22< 022>-∴a c 222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-b y a x ， 此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b a c +=如果焦点坐标为F 1(0,c)，F 2(0,-c)，其标准方程又是什么呢？ 12222=-bx a y （0,0>>b a ） 那么：椭圆与双曲线的标准方程有什么异同？设问：知道双曲线的标准方程，如何写出焦点坐标？练习：(1)已知双曲线的标准方程是116922=-y x ，则焦点坐标是________；焦距是_____________。
高二数学双曲线及其标准方程 人教版 教案
高二数学双曲线及其标准方程教学目的：1、掌握双曲线的定义2、能推导双曲线的标准方程3、能根据条件求简单的双曲线标准方程教学重点：双曲线的定义及其标准方程教学难点：双曲线定义的理解，及标准方程的推导一、 复习提问：椭圆的第一定义是什么，椭圆的标准方程是怎样的？二、新课讲解：1. 双曲线的定义如果把椭圆定义中的“距离和”改为“距离的差”，那么的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？用双曲线演示板画出双曲线，引导学生概括出双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
请学生思考⑴定义中少了“绝对值”一不一样？⑵定义中的常数是否会大于或等于｜F 1F 2｜。
结论：1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，P 点轨迹是双曲线其中，当|MF1|-|MF2||= 2a 时，M 点轨迹是与F2对应的双曲线的一支；当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.2、当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时， M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M 点的轨迹不存在请学生说明下列方程各表示什么曲线。
4)3()3()1(2222=+--++y x y x 5)3()3()2(2222=+--++y x y x2. 双曲线标准方程请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，引导学生给出双曲线标准方程的推导。
焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：想一想：如果双曲线的焦点在y 轴上，那么它的方程怎么表示。
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程： 焦点位置确定：椭圆看分母大小；双曲线看x2、y2的系数正负注意：x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，当x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。
高二数学下 12.5《曲线的极坐标方程》教案(1)(沪教版)
曲线的极坐标方程一、教学内容分析“曲线的极坐标方程〞是在学生掌握平面直角坐标系中曲线的方程基础上，在新的坐标系中研究曲线的方程，为本章的一个难点.主要让学生了解极坐标系的建立，通过探索几种常见的曲线的极坐标方程及极坐标与平面直角坐标系的相互转化，初步掌握用类比的思想在极坐标系下研究曲线方程的方法.二、教学目标设计经历体验建立曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的及应用过程，理解曲线的极坐标方程的意义，领会在不同坐标系研究曲线的方程及性质的方法，会用转化思想解决简单的问题，感悟事物之间相互转化、辩证统一的思想.三、教学重点及难点极坐标系的建立几种常见的曲线的极坐标方程.四、教学流程设计五、教学过程设计一、极坐标系的建立1．类比平面直角坐标系建立极坐标系，给出极点、极轴、极径、极角等概念.2．在极坐标系中，除了极点外,平面上的所有点所成的集合和实数对集合{}πϑρθρ20,0),(<≤>{}),0),((πθπρθρ≤<->或具有一一对应关系，我们规定极点的极坐标为)2,0[),,0(πθθ∈，一般认为0≥ρ.[说明]要引导学生分析平面直角坐标系建立与建立极坐标系建立过程的异同点，以加深学生对极坐标系的理解.二、极坐标系下曲线的方程在极坐标系中，平面内的曲线可以用含有θρ,这两个变数的方程0),(=θρF 来表示，方程0),(=θρF 叫做这条曲线的极坐标方程.例1 求圆心是点C 〔a,0〕，半径是a 的圆的极坐标方程.解：由题设，知圆C 经过极点O ，设圆和极轴的另一个交点是M ，那么OM=2a ，设)22)(,(πθπθρ≤<-P 是圆C 上的任意一点，因为OM 是圆的直径，所以OPM ∠为直角.在Rt OPM ∆中，θcos OM OP =，即)22(cos 2πθπθρ≤<-=a , 这就是圆C 的极坐标方程.[说明]可引导学生自己探讨圆心在不同位置时，半径是a 的圆的极坐标方程.例2求经过点),0)(0,(>a a M 且与极轴夹角为ϕ的直线l 的极坐标方程. 解：设),(θρP 是直线l 上位于M 上方的任意一点，那么θϕϕθθρ-=∠<<=∠=OPM POx OP ),0(,在POM ∆中，由正弦定理，得)sin()sin(θϕϕπρ-=-a 即ϕθϕρsin )sin(a =-〔1〕当点P 位于M 下方或与M 重合时，同样可以推得〔1〕所以〔1〕就是直线l 的极坐标方程.[说明]本例有一定的难度，要求在教师引导下进行推导，同时也说明在极坐标系下，曲线的方程形式是多样的.例3 设质点M 为射线OA 上的动点，M 沿着OA 方向作为匀速运动，同时射线OA 又绕着它的端点O 作等角速度旋转，求质点M 运动的轨迹方程.解：设动点到达的位置为),(θρM因为点M 沿OA 做匀速运动，所以vt +=0ρρ射线OA 绕点O 做等角速度旋转，得t ωθ= 将ωθ=t 代入，得θωρρ⋅+=v 0 其中ωρ,,0v 为常数，设a v =ω，那么方程可写成θρρa +=0这个就是所求轨迹的极坐标方程.[说明]通过本例说明建立极坐标系的必要性，在平面直角坐标系中很难解决的问题在极坐标系中很易解决.三、极坐标系与平面直角坐标系的互化1．极坐标系与平面直角坐标系的互化的条件：极点与坐标原点重合，x 轴的正半轴是极轴，取相同的长度单位.2．极坐标系与平面直角坐标系的互化关系式：θρθρsin ,cos ==y x)0(tan ,222≠=+=x xy y x θρ 3．应用：例4〔1〕把点M 的极坐标)6,2(π化成直角坐标;〔2〕把点P 的直角坐标〔-1，3〕化成极坐标.[说明]注意直角坐标化成极坐标表示方法是不唯一的.例5化直角坐标方程0=-y x 为极坐标方程.解：将θρθρsin ,cos ==y x 代入0=-y x ，得0sin cos =-θρθρ，即0)sin (cos =-θθρ,解得0=ρ或0sin cos =-θθ;由0sin cos =-θθ，得1tan =θ, 解得4πθ=或45πθ=, 因为0=ρ表示极点，而4πθ=或45πθ=均表示过极点的射线，所以0=ρ已包含在4πθ=或45πθ=中, 因此所化的极坐标方程4πθ=或45πθ=. 例6化极坐标方程θρcos 4=为直角坐标方程，并指出它是什么曲线. 解：当0≠ρ时,由θρcos 4=，得θρρcos 42=,由此得,422x y x =+即4)2(22=+-y x ,当0=ρ时，满足θρcos 4=的点是极点，即直角坐标系的原点〔0，0〕，它也满足上述方程.所以θρcos 4=是以〔2，0〕为圆心，以2为半径的圆.[说明]这两个例子说明在不同坐标中虽然同一曲方程形式上不一样，但本质上是统一的.四、巩固练习〔1〕课本练习2.3〔1〕(2) 课本练习2.3〔2〕(3) 课本练习2.3〔3〕四、课堂小结〔1〕极坐系建立及其意义〔2〕极坐系中曲线的方程〔3〕极坐标系与平面直角坐标系的互化五、作业布置数学练习部分第10页，习题2.3，第1、2、3、4、5、6、7题．。
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
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曲线和方程教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系.这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上.师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师：请这位同学进一步阐明自己的见解.生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜-1或＞2＝的图象上.师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义.这堂课［例1］的第(1)小题，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(-1≤x≤2)是曲线C的方程，而C是方程y=2x2(-1≤x≤2)的曲线.同学们再举3个例子，每个例子画一条曲线，写一个方程.第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义中第1个条件，不满足第2个条件；第3个例子不满足定义中第1个条件，满足第2个条件.(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆.选一位同学构造的例题板书.)生：(板书)师：(与学生一起评议)例1符合定义中的两个条件，y=|x|是曲线C的方程，C是方程y=|x|的曲线；例2中，曲线C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲线，如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点．如果确定曲线，那么方程缺少了制约条件x＞0；第3个例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲线.如果确定方程，曲线上混有坐不是方程解的点(以原点为圆心，2为半径而圆在x轴下方的部分).如果确定曲线，那么方程x2+y2=4增添了制约条件y≥0(以上叙述在师生多次数学交流中进行).师：同学们对上面后两个例子，就定曲线变方程和定方程变曲线分别构造两个例子，使其符合“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，写在投影片上.(选正确与有错误的解答各一份.先展示有错的，进行纠正；后展示正确的定格.)师：通过上面例题的研究，同学们掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，要牢记定义中的1、2两者缺一不可，当且仅当两者都满足时，能才称为“曲线的方程”和“方程的曲线”.下面研究“证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0”的方法和步骤，请看例2(老师操作计算机或投影展示).例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在这个圆上.师：请同学们研究，证明应从何着手?(大家讨论后回答)生：应从以下两方面着手：1.圆上任一点M(x0,y0)满足x201920195；2.以方程x201920195的解(x0,y0)为坐标的点在圆上.师：同学回答得很好，请大家阅读理解课本第50页例1，学会证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.(进一步培养学生的阅读、思考、逻辑思维能力.)师：现在我们再一起看一下本例题的证明过程.(老师操作计算机或投影片展示)证明：1.设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以x201920195，，也就是x20+y20=25. 即(x0,y0)是方程x201920195的解.2.设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x201920=25.两边开方取算术根，得x20192019，即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.由1、2可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.师：现在请一位同学归纳一下证明已知曲线的方程的方法和步骤.生：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0.证明中分两个步骤；第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.师：这位同学的回答正确归纳了证明的两个步骤，要记住最后应加以总结，使证明更完美.现在我们再来看两个例题，同学们把解答写在投影片上.(老师操作计算机或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程.(选两个同学的投影片)1.解 y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y=x.2.解：由可知y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y2=x.师：第一个同学的解答是错误的，遗漏了对称图形中x轴下方图象的方程.而第二位同学通过画出曲线y=x2关于直线y=x的图象，写出了其方程.看来证明某已知曲线的方程是f(x,y)=0是必不可少的，证明课下研究.例4 求曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程.(选一个同学的投影片)解设y=x2-x关于点(1，2)的对称曲线上任一点M(x,y)，则M关于点(1，2)的对称点M′(2-x,4-y)，因为M′在曲线y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即为所求的对称曲线的方程.师：这位同学把所求曲线上的点转移到已知曲线上去，方法很好，也是今后求曲线的方程的基本方法.但是，我们这一堂课还要提出的问题是如何证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程为4-y=(2-x)3-(2-x)呢?证明也留作课下研究.“曲线和方程”这一节，我们准备用两节课.这一堂课，着重研究了“曲线的方程”、“方程的曲线”这两个概念，以及必须具备的两个条件，这是我们用代数的方法研究几何问题的基础.下一堂课，我们将着重研究证明曲线C的方程及重要性.为此，我们留以下作业：书面作业：课本第51页练习，解答写在书本上；研究作业：(板书)1.证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x.2.证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作业的解答请同学们储存在软盘内或写在投影片上.设计说明1.“曲线的方程”这一节，按教参要求是两课时，鉴于本节在解析几何中的重要地位，教案设计是第一堂课着重引出“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念；第二堂课着重研究证明某曲线C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2节“求曲线的方程”中，指出了求曲线的方程的5个步骤，而课本中特别指明：“除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以省略不写”.同学们高兴的是步骤(5)可以省略不写，而忽略了“同解变形过程”及“如有特殊情况，可适当予以说明”.在提倡素质教育的今天，对学生应用能力的要求日益加强.就目前高中数学对学生的要求，已经到了某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(带字母参数的)的对称曲线的方程，并加以证明.这样，高中数学中的8种基本对称关系：关于x轴、关于y轴、关于直线y=x、关于直线y=-x、关于直线x=α(α≠0)、关于直线y=b(b≠0)以及关于原点、关于除原点外的任一个定点(t,r)的对称曲线的方程的求法及证明已放到了教学日程上.那么这些问题放哪儿解决?由于这些问题在前一阶段的教学中已有了不同程度的渗透，所以在这一节中系统解决较好.为此，设计了例3和例4，为下一堂课铺垫，也为学生在学习“坐标变换”后解决某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(或某已知直线)的对称曲线的方程，并加以证明打下良好的基础.关于除此之外的第9种对称关系，即除上述提到前8种对称关系外的任一直线Ax+by+C=0的对称曲线的方程则可在以后的学习中适时介绍.2.在锐意创新的时代，着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的数学能力是本教案的出发点.在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透、掌握、强化的有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.不是所有的课都能把这些思想自然地溶纳进去，但由于“曲线与方程”这一节在教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代数这两个单科紧紧连在一起，为此能把以上数学思想溶纳大半，这不能不引起我们的高度重视.几何，原始的展现是形.解析几何，主要体现用数学研究形.为此，这一节教材中的“数形结合”应是涉及到数学思想中最多的一个，尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生用“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪.由于曲线C中有很多的代数中函数的图象，曲线C是点按某种条件运动而成的，所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想加以足够的重视.在本教案中例1的直线l和抛物线的一部分C在计算机显示中均以点运动所成的轨迹出现.并与代数中一次函数和二次函数的图象和方程相联系，触类旁通提高学生的数学能力是高中教学的任务之一，而逻辑思维能力是所有数学能力的核心.为了实现这一目标，本教案力图让学生主体参与、主题参与.让学生动手、动脑，通过观察、联想、猜测、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.在学生的活动中，老师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误.引导学生，揭示内涵，从正反两方面认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义的两个条件，不断地培养和训练学生的逻辑思维能力。