高二数学教案 曲线与方程

曲线和方程

教学目标

1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.

2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.

3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.

教学重点与难点

对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.

教学过程

师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系.

这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)

例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.

(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.

(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)

师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)

生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.

生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上.

师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)

学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.

师：请这位同学进一步阐明自己的见解.

生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.

师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程

y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线

的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)

生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜-1或＞2＝的图象上.

师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是

y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)

生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.

师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).

师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：

1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立；

2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.

本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的关系：

1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形).

师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义.这堂课［例1］的第(1)小题，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(-1≤x≤2)是曲线C的方程，而C是方程y=2x2(-1≤x≤2)的曲线.同学们再举3个例子，每个例

子画一条曲线，写一个方程.第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义中第1个条件，不满足第2个条件

；第3个例子不满足定义中第1个条件，满足第2个条件.(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆.选一位同学构造的例题板书.)

生：(板书)

师：(与学生一起评议)例1符合定义中的两个条件，y=|x|是曲线C的方程，C是方程y=|x|的曲线；例2中，曲线C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲线，如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点．如果确定曲线，那么方