福建专升本高数练习卷及答案

福建省高职高专升本科入学考试

高等数学 练习卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.下列各对函数()f x 与()g x 表示相同的函数是（ ）

A ．(1)(3)

()(1)

x x f x x -+=

-，()(3)g x x =+

B

．()f x

()g x = C

．()()23f x g x x ==- D ．2()lg(2),()2lg(2)f x x g x x =+=+

2. 当20x x →时，下列函数中能成为的等价无穷小的是（ ） A.1cos x - B.2

1x e -

1 D.()2ln 1x -

3. 设()2y f x y '=是可导函数，则=( )

A. ()22xf x '

B. ()22x f x '

C. ()2xf x '

D. ()22f x ' 4. 已知()f x 在点0x 可导，且0

001

lim

,(2)()4

h h f x h f x →=--则0()f x '=（ ）

A. 4-

B. 4

C. 2

D. 2- 5. 曲线0x y x e x =+=在处的切线方程是（ ）

A.210y x --=

B.220y x --=

C.10y x --=

D.20y x --=

6. 下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）.

A. 1

y x

=

B. 1y x =+

C. ()21y x =-

D. 1y x =-

7. 设函数()f x 在(),a b 内恒有()()0,0,f x f x '''><则曲线在(),a b 内（ ）

A. 单调上升且是凹的

B. 单调上升且是凸的

C. 单调下降且是凹的

D. 单调下降且是凸的 8. 下列等式正确的是（ ）

A . ()()d

f x dx f x dx dx

=⎰ B. ()()df x f x =⎰

C. ()()f x dx f x c '=+⎰

D. ()()()d

f x dx f x =⎰

9. 空间点()1,32-，

关于坐标面x yoz 、轴对称的点的坐标是（ ）. A.()()13,21,3,2---，、

B. ()()13,21,3,2，、---

C. ()()13,21,3,2-，、

D. ()()13,21,3,2，、-- 10. 微分方程430y y y '''++=的通解是（ ） A. 312x x y c e c e =+ B.312x x y c e c e -=+ C. 312x x y c e c e -=+ D. 312x x y c e c e --=+ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 若函数223y x ax =++在1x =处取得极小值，则a =_________

12. 设42lim 1,kx

x e x -→∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

则=k _____________

13. 参数方程()()

sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(其中a 为常数)，则dy dx =__________

14. ()4

sin

1x x dx π

π

-+=⎰

__________

15. 广义积分0

1

x

x e dx e -∞+⎰=____________

16. 已知215

lim

tan(1)

x x ax b x →+-=-，则常数,a b 值为

三、计算下列各题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）

17. 求极限sin 0

20

ln(1)lim

(1)tan x

x x t dt

e x

→+-⎰.

18. 已知()sin 000

x x f x x a x

a x x ⎧<⎪

==⎨⎪+≥⎩在处连续，求.

19. 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，求dy dx

.

20. 求1

21. 求经过()220-，，且与平面2103210x y y z -+=-+=及都平行的直线方程.

22. 求方程()11x

e y y y e x x

'+⋅==的通解及满足条件的特解.

四、应用题（本大题共2小题，每小题11分，共22分）

29. 欲做一个容积为V 立方的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为侧面单位造价的2倍，问蓄水池底圆的半径r 和侧面高h 各为多少时，总造价最低？ 30.（1）求由1,1,3xy y x S ===所围成图形的面积； （2）求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V.

五、证明题（本大题6分）

31.设()(),f x -∞+∞是内连续的偶函数，试证()()()02x

F x x t f t dt

=-⎰为偶函数.

专升本《高等数学》练习卷参考答案

二、填空题

11. 4- 12. 2- 13. sin 1cos t

t

- 14. 2π

15. ln 2 16. 4,6a b == 三、计算题

17.解： sin sin sin 0

22

ln(1)ln(1)ln(1)lim

lim

lim

(1)tan 22x

x

x

x x x x t dt

t dt t dt e x

x x

x →→→+++==-⋅⎰⎰⎰

00ln(1sin )cos cos 1

lim

lim 444

x x x x x x x x →→+⋅⋅===.

18. 解：(

)()()0

sin lim lim ,lim lim 1x x x x x

f x a x a

f x x

++

--

→→→→=+=== 已知函数()01f x x a ==在处连续，所以.

19. 解：1y

y xe =- ()12y y

y y

y e e y e xe y y xe y

--'''=-+⋅⇒==+-或

20. ,t =则2

1,2x t dx tdt =-=-

所以

1

00112222211tdt dt t t -⎛⎫==--= ⎪

--⎝⎭⎰⎰()012

22ln 1t t --- =1

12ln 12ln 22

+=-.

21.解：由题意可知，所求直线的方向向量为()2,4,6l = 故所求的直线方程为

22123

x y z

-+==. 22.解： 1(),()x

e P x Q x x x

== 代入一阶非齐次线性微分方程的解的公式得