(浙江专版)201X年高中数学 复习课(一)导数及其应用学案 新人教A版选修2-2

复习课(一) 导数及其应用(部分)

导数的概念及几何意义的应用

(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现． (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．

[考点精要]

(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；

(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝

f x 1－f x 0

x 1－x 0

求解．

[典例] (全国卷Ⅱ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．

[解析] 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －1＋x .

∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.

∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] 2x －y ＝0 [类题通法]

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．

[题组训练]

1．曲线y ＝

x

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2

解析：选A ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝

2

x ＋2

2

，

∴k ＝y ′|x ＝－1＝

2

－1＋2

2

＝2，

∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

2．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

解析：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1

x

，

y ′

| x ＝1

＝2.

∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为

y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.

法一：∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．

由⎩

⎨⎧

y ＝2x －1，y ＝ax 2

＋a ＋2x ＋1， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.

法二：设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|

x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．

由⎩⎨

⎧

2ax 0＋

a ＋2＝2，

ax 2

＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧

x 0

＝－12，

a ＝8.

答案：8

导数与函数的单调性

(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、

证明或判断函数的单调性等问题。

(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

[考点精要]

函数的单调性与导函数值的关系

若函数f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )在(a ，b )任意子区间内部不恒等于0.

f ′(x )＞0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )＜0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递减．

反之，函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇒f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件．

[典例] 已知函数f (x )＝x ＋a x

＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.

(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性并求出单调区间． [解] f ′(x )＝1－a x

2.

(1)由导数的几何意义得f ′(2)＝3，即1－a

4＝3，

∴a ＝－8.

由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上，

得f (2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b ＝7，解得b ＝9， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8

x

＋9(x ≠0)．

(2)当a ≤0时，显然f ′(x )＞0(x ≠0)， 这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 当x ＜－a 或x ＞a 时，f ′(x )＞0； 当－a ＜x ＜0或0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上是增函数， 在(0，a )，(－a ，0)上是减函数． [类题通法]

求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )．