非线性Volterra积分方程

一类第二种非线性Volterra 积分程积
分数值解法
1前言
微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。

所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰
=-b
a
a
x f dt t x t )()()
(ϕ,该程称为广义
Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21
时，该式子便成为)()(x f dt t
x x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由
于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。

后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

我国在60年代前，积分程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译联的相关书籍，那时研究的积分程基本是一种模式，即用古典的法来研究相关的积分程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在容面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分程的研究趋向于复杂化。

随着数学研究的高速发展，特别是积分程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。

在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分程论》，该书选择2L空间来讨论古典积分程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分程的相关问题。

最近出版的比较适合一般读者阅览的积分程的书有星出版的《积分程》，该书从最简单的法分析研究积分程的理论问题，并给日后打算研究泛函的读者提供了基本的实例。

由于现代的计算机技术高速发展，对于一些比较复杂，难以求解的非线性积分程逐渐采用了比较有效的数值解，常用的法有逐次逼近法、Adomian分解法、配置法、haar小波法、小波-Galerkin 法、泰勒展开等等一些法.
现在积分程的应用广泛，很多问题都可以引出积分程，并可用积分程来解决.像弹性弦问题、线性系统响应问题、人口增长问题、等时曲线问题等等.还有在空气动力学中研究分子运动，对于非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类非线性积分程.在确定飞机机翼面的研究中，对于气流、升力等问题的计算中也引出了积分程的研究.现在很多积分程面的研究都取得了不错的进展.
2、预备知识
积分程是一个在积分号下出现待求的函数的程，称作积分程。

含一个未知函数
的线性积分程的一般形式为：⎰=-b
a
x f dy y y x k x )()(),()(ϕλϕ []b a x ,∈ [1]
我们把积分号中的上下限为常数的积分程称为Fredholm 程。

其中)(x f 、),(y x k 是已知函数，)(y ϕ是未知所要求的函数。

一般称)(x f 为自由项 ，),(y x k 称为积分程的核，而λ是积分程的一个参数，程的解与λ相关
而与Fredholm 对应的是Volterra 积分程，与Fredholm 的一个不同点是Volterra 积分号下的上下限中的上限是一个变量而不是一个常数。

本论文我们主要研究的是非线性的Volterra 积分程。

非线性 Volterra 积分程的形式为
⎰=-x
a
x f dy y F y x k x )()((),()(）ϕλϕ []b a x ,∈ 。

同样，)(y ϕ为所求。

积分程的解法： 一、
Fredholm 积分程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、
泛函修正平均法、Fredholm 积分程退化核解法、退化核近似代替法、待定系数法。

二、
Volterra 积分程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、转化为常
微分程的初值问题、第二类Volterra 积分程的数值积分解法。

第二类线性volterra 积分程与第二类线性Fredholm 积分程的一个很大的差别是volterra 程的解不依赖于参数λ的值，即对于任的参数λ该程都有解，而且解具有唯一性。

具体的证明过程参见[]，所以得出定理：如果核),(y x k 与自由函数
()x f 在Volterra 积分程的定域是连续函数，那么无论参数λ取值该程都有解，而
且解具有唯一性。

3、Volterra 积分程
3.1第一类Volterra 积分程
3.1.1 第一类线性Volterra 积分程 形如：⎰=x
a x f dy y y x k )()(),(ϕ
其中函数),(y x k 、)(x f 为已知的，)(x ϕ为所要求的未知函数，这样的程叫第一类线性Volterra 积分程.一般来说第一类积分程由于其不适定性，研究其解跟第二类积分程有很大的不同，而且比较复杂，在此主要简单介绍一下.
3.1.2 第一类Volteraa 积分程的一种解法
在某种情况下第一类Volterra 积分程通常可以化为第二类volterra 积分程的解，一般对程两边求导，当程的),(y x k 、)(x f 可微，且0),(≠y x k ,就把第一类该程化为第二类。

化为第二类的形式为：)
,()
()(),(),()(y x k x f dy y y x k y x k x x
a
x '='+⎰
ϕϕ,这样就可以用第二类积分程的解法来求解.对于一种特殊的第一类Volterra 积分程：Abel 程，Abel 程是Volterra 积分程的一种特殊情况，其形式为：
)()
()
(x f dy y x y x
a
a
=-⎰
ϕ
其中当y x =时，该程出现弱奇性。

其解可根据定理：假设Abel 积分程
)()()
(x f dy y x y x
a
a
=-⎰
ϕ的自由项)(x f 是连续可微的，而且0)(=a f ，则它有唯一的解.即 dy y x y f dx d a
x x a a ⎰---
=1)
()
(sin )(π
πϕ
3.2第二类volterra 积分程
3.2.1第二类线性Volterra 积分程
第二类程的形式：⎰=-x
a x f dy y y x k x )()(),()(ϕλϕ
其中)(x ϕ是所要求的未知函数，λ是已知或是需要讨论的参数，跟Fredholm 程一样).(y x k 是已知的函数，叫Volterra 程的核，当).(y x k =0时，Volterra 程可以看成特殊形式的Fredholm 程，而且Fredholm 程理论适合于Volterra 程。

Volterra 程有自己的特点，例如，Volterr 程没人特征值，对于任意的自由项它都有解。

对于第一类的Voltrra 程在某种条件下可以转化为第二类Volterra 程。

与第二类线性Fredholm 积分程一样，第二类线性Volterra 积分程也有自己的迭核、解核，其迭核、解核的引出法跟第二类线性Fredholm 一样.
迭核：假设dt y t k t x k y x k x
y ⎰=),(),(),(2，则⎰=x
a
dt t f y x k x )(),()(22ϕ
...... ⎰=x
a
n n dy y f y x k x )(),()(ϕ ,我们称),(y x k n 为Volterra 程的迭核。

解核：我们称∑∞
=-=1
1),();,(n n n y x k y x R λλ为解核
只要知道程的迭核，就能求得程的解核，从而求得程的解。

3.2.2第二类线性Volerra 积分程的解法：
1、逐次逼近法
假设程具有这样一个形式的解
∑==+++=n
i i i n
n x x x x 0
10)()()()(λϕλϕλϕϕϕΛ
如果对于逐次法来说该程有解，解次程一般令
)(0x f =ϕ
⎰+=x
a
dy y x k x f 01),()(ϕϕ
⎰+=x
a
dy y x k x f 12),()(ϕϕ
……
⎰-+=x
a
n n dy y x k x f 1),()(ϕϕ
那么，对于上述的级数一定收敛，即对级数∑=n
i i i x 0
)(λϕ收敛，可以证明对于任意
的参数λ程都有解，依据定理:如果核),(y x k 及自由项)(x f 是连续的实函数.那么第二类线性Volterra 程
)()(),()(x f dy y y x k x x
a =-⎰ϕλϕ
对于任意的参数λ存在一个唯一的连续解，而且解可以用逐次逼进法求出. 迭核：假设dt y t k t x k y x k x
y ⎰=),(),(),(2，则⎰=x
a
dt t f y x k x )(),()(22ϕ
...... ⎰=x
a
n n dy y f y x k x )(),()(ϕ ,我们称),(y x k n 为Volterra 程的迭核。

解核：我们称∑∞
=-=1
1),();,(n n n y x k y x R λλ为解核, 只要知道程的迭核，就能求
得程的解核，从而求得程的解。

3.2.3非线性第二类Volterra 积分程
非线性第二类volterra 积分程的形式如：⎰
=-x
a
x f dy y F y x k x )()((),()(）ϕλ
ϕ
未知函数为)(x ϕ，而)(x f 、),(y x k 、)(x F 都是已知的。

当程满足一定条件时，可用逐次逼近法求解。

对于第一类非线性Volterra 积分程可以通过转化成第二类非线性Volterra 积分程求解。

具体转化的过程参见[]。

非线性Volterra 积分程的数值解
3.3 卷积型Volterra 程的解法
3.3.1第二类卷积型Volterra 积分程的解
1、形如⎰-+=x
a dy y y x k x f x )()()()(ϕϕ称为第二类卷积型Volterra 积分程，此类
程一般用Laplace 变换来解决。

如果程中的)(x f 、),(y x k 是足够光滑、指数阶的函数，那么程的解也是指数阶的，这样就可以用Laplace 变换来解此程。

设
{})()(p K x k =ϖ，{})()(p F x f =ϖ，{})()(p x ϕϕϖ=，通过对程两边作Laplace 变换，可得)()()()(p p K p F p ϕϕ+=，解出)
(1)
()(p K p F p -=
ϕ，当1)(≠p K 时，
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-=-)(1)()(1p K p F x ϖϕ
2、对于第一类Volterra 积分程，即程⎰=-x a
x f dt t t x k )()()(ϕ同样对程两边作Laplace 变换，可解得)()
()(p K p F p =ϕ,所以程的解为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=-)()()(1p K p F x ϖϕ 3、非线性
Volterra 积分程
Laplace
变换的解.即程
⎰-+=x dy y x y x f x 0
)()()()(ϕϕλϕ，设{})()(p x φϕϖ=，{})()(p F x f +ϖ，对程两边
作Laplace 变换，可得出⎪⎭
⎪
⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧-±=-λλϖϕ2)(411)(1
p F x ，当λλ2)(411p F -±存在时，该解就是非线性Volterra 积分程的Laplace 变换得出的解.
4、积分数值解相关知识
4.1 Newton-Cotes 型积分求积公式
在这里我们主要讨论
dx x f b
a
⎰
)(的数值计算问题，可以假设)(x f 在[]b a ,上可积.
在一些时候函数)(x f 并不是可积的能用初等函数来表示，所以有的时候并不能求出该函数的原函数，因此，这里我们来研究用数值法解函数积分. 欲计算积分⎰=dx x W x f f I )()()(，其中)(x W 为权函数，可以假设)(x f 在n+1个互异的点：b x x x a n ≤<<<≤+121Λ的值分别为：)(1x f ,)(2x f ,…, )(1+n x f ,就可以用)(1x f ,)(2x f ,…, )(1+n x f 的线性组合得出积分的近似解，即
)()(f I f I n ≈，其中∑+==1
1)(n i i i n x f A I
插值求积公式：∑+=+=1
1
)()()(n i n i i f E x f A f I )(f E n 是离散误差
其中⎰=b
a
i i dx x W l A )( )
()()(11
i n i n i x w x x w x l ++'-=
1,,2,1+=n i Λ )())(()(1211++---=n n x x x x x x x w Λ
当我们假设[]b a ,为有限区间，1)(=x W ，并将该区间分成n 等份，取等距基点为：
b x x x a n =<<<=+121Λ，并且得出步长为n
a
b x x h i i -=
-=+1，根据上面所得出的差值求积公式，便可得出Newton-Cotes 型积分求积公式，即
∑+==1
1)
()(n i i i n x f A f I ，其中
⎰
⎰------+--='-=-+++n i
n i n i n i dt n t i t i t t t i n i i h dx x w x x x w A 0
111)()))(2(()1()!1()!()1()()()(ΛΛ1,,2,1+=n i Λ
在Newton-Cotes 型积分求积公式中，n=1时，便可以得到梯形公式，即令
b x a x ==21,，根据Newton-Cotes 型积分求积公式便可以得出公式：
))()((2)(1b f a f a
b f I +-=
，其中 2
,221a
b A a b A -=
-=.如果令n=2时就可以得到simpson 公式. 4.2 复合梯形公式
我们假设所讨论的积分中函数的定域义为[]b a ,，在该区间取n+1个互异基点，即b x x x a n =<<<=+121Λ，且取步长为n
a
b x x h i i -=-=+1.在子区间[]i i x x ,1+上使用体型公式，所以
[]∑∑∑⎰
⎰
==+=''-+==+n
i i n i i i n
i x x b
a
f h x f x f h dx x f dx x f i i
1
111
)(12)()(2)()(1
ξ
从而可以得出：
∑∑⎰
=-=''-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=n
i i n i b
a
f h ih a f b f a f h dx x f 1
1
1)(12)(2)()(2)(ξ
舍去∑=''n
i i f h 1
)(12ξ项，于是就得到复合梯形公式：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++=∑⎰
-=1
1)(2)()(2)(n i b
a
ih a f b f a f h dx x f
5 积分程的数值解法
5.1未知函数展开法
在这里，我们将讨论在),(2b a L 中完备的函数系在近似程解面的作用，这些
函数系可以是正交的，也可以的非正交的，可以去某个函数系的有限项当作程解的近似值.设该函数系为{}n
i i 1=φ，其中该函数系的各个函数是线性无关的，
可令积分程的解i i n
i c x φϕ∑=≈1
)(，把该近似函数代人积分程：
⎰=-x
a
x f dy y y x k x )
()(),()(ϕλϕ，这样就可得到)
(),(1
1
x f dy y x k c c i n
i i n
i i
i +≈⎰∑∑==φλφ
，
把
它
整
理
成
：
)()(),(1
1
x R x f dy y x k c c i n
i i n
i i
i =--⎰∑∑==φλφ
，其中)(x R 是残差，如果能是)(x R 等
于零，那么程的近似解就等于该程的精确解，但是一般来说，要使)(x R 等于零是很难的，一般在)(x R 很小的情况下可以忽略，即得出程的一种数值解：
)(),(1
1
x f dy y x k c c i n
i i n
i i
i +=⎰∑∑==φλφ
，但对残差的不同要求，可以得出不同的
解法，一般来说有如下几种解法：配点法、Galerkin 法、最小二乘法等法. 1、 配点法
如果要求残差在所选取的基点上满足)(i x R 等于零，其中{}n
k k x 1=是一些互异的
基点，如此便可以得到一下程组：
)()(),()(1
1
k n
i x a
i k i k n
i i i x f dy y y x k c x c k
=-∑⎰∑==φλφ，
（n k ,,2,1Λ=），求解该程组变
可以得到展开系数{}n
i i c 1=
2、 矩量法
对于矩量法以下用于Fredholm 积分程，即⎰=-b
a x f dy y y x k x )()(),()(ϕλϕ.矩
量法就是要求残差关于原点到N 阶的矩为零，即0)(=⎰b
a
k dy x x R ，可得到如
下的程组：
⎰∑⎰⎰∑⎰=⎥⎤⎢⎡-==b a k n
i b
a k
b a
i i n
i b
a k
i i dx x x f dx x dy y y x k c dx x x c )()(),()(1
1φλφ，
（n k ,,2,1Λ=）解此程变可以得到展开系数{}n
i i c 1=
3、 Galerkin 法
Galerkin 法要求残差函数)(x R 在平可积空间即空间],[2b a L 与函数i φ积为零,
即要求0)(=⎰b
a i dx x R φ，n i ,,2.1Λ=.所以展开系数可以这样来确定{}n
i i c 1=，取
函数系中的前n 个函数i φ（n i ,,2.1Λ=）在[a,b]上与积分程
)()(),()(1
1
k n
i b
a
i i n i i i x f dy y y x k c x c =-∑⎰∑==φλφ两端正交，令i i n c φϕ=于是展开系
数满足下列线性程组：
()
()a x x f x dy y x k x x i b
a i n
i n )(),()(,),()(),(φφϕλφϕ+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰,n i ,,2.1Λ=
其中()⎰=b
a
dx x g x f x g x f )()()(),((，解该程组便可以得到展开系数{}n
i i c 1=
5.2积分核级数展开法
积分核级数展开法又称退化核近似法，就是利用某种展开式把非退化的核展
开成近似退化的核，一般的展开式有泰勒级数展开、Fourier 级数展开、[]b a L ,2空间的线性无关的针对为知函数近似展开的函数系等等.如果利用泰勒展式，那么应该注意保留合适的级数项数，一般来说应该根据积分限的大小来决定级数项数.也有把未知函数展开求积分程的未知函数的解.
对于用退化核来近似积分程核的误差有如下估计法：
定理[1]：设),(~
y x k 是积分程核的近似退化核，对于退化核满足条件
h dt y x k y x k b
a
<-⎰
),(),(~
而且以退化核),(~y x k 为积分核的积分程的解核):,(λy x R ，成立 R dt y x R b
a
<⎰
);,(λ
则积分程
⎰=b
a dy y y x k x )(),()(ϕλϕ
的解)(x ϕ与用近似退化核代替的积分程的解),(~
y x ϕ，满足 )
1(1)1()()(2~
R h h R B x x λλλλϕϕ+-+<
-
在式子中,B 是)(x f 的一个上界.
6 非线性Volterra 积分程的数值解
⎰=+x
a x f dy y F y x k x )()((),()(）ϕλϕ ],[
b a x ∈，我们假定)(x f 、),(y x k 、
)(x F 在其定义域上都是连续函数，利用数值求值公式
i m im i
m m i f F K A =-∑=)(1
ϕλφ ,,...,2,1n i =
i φ=)(i φ,m A 是数值积分公式中的权系数，),(m i im x x k K =，)(i i x f f =，该程组是一个n 阶的下三角程组，)()a f a =（ϕ，有此我们可以顺着程组的顶端解出n 个数值解，所以我们便得出程的近视解
)()(),()1
i m m i i
m m x f F x x k A x +=∑=ϕλϕ（ ,,...,2,1n i =
当n 趋向于无穷时该解也是趋于精确解
6.1梯形公式
我们取h 步长，n
a x h n -=（n 为大于1的正整数），n x 是x 的终点，由梯
形公式
a y =0,h a y +=1,…,n n x y =
[][][][]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++++=--⎰)(),(21)(),()(),()(),(21))((),(111100n n n n x
a
y F y x k y F y x k y F y x k y F y x k h dy y F y x k ϕϕϕϕϕK [][][][])
()(),(21)(),()(),()()(21)(111100i n n n n i i x f y F y x k y F y x k y F y x k y F y x k h x =⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+++---ϕϕϕϕϕK n i ,,2,1Λ=，上述程是一个下三角程组，由积分程组可知
)()()(00a f x f x ==ϕ，便可从上到下依次解出程组。

6.2 复合梯形公式
我们将积分区间[]b a ,分成n 个相等的小区间[]1,+i i x x ，n i ,,2,1Λ=,其中我们取步长为n
a
b h -=
,h i a x i )1(-+=,n
i ,,2,1Λ=。

复合梯形公式：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++=∑-=1
1)(2)()(21)(n i n ih a f b f a f f T ，我们将此公式应用到积分程中
去，可以得到
)
()))((),(2))((),())(()((2)(111111,i i j j j i i i i i i x f x F x x k x F x x k x F x x k h x =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-∑-=++ϕϕϕλϕn i Λ,2,1=，i j ,,2,1Λ= ，)()(1a f x =ϕ,这样我们便可得出一个下三角行
程组,接触此程组的解，便可得出n 个该程的数值解，然后用插值法进行拟合，就可以得出一个近似的解。

6.3 投影-积分法
首先在n 维空间中假设一个线性无关的一组基{})(x e i n i 1=，可令未知近似
解∑==n
i i i n x e c x 1
)()(ϕ，只要能解出{}n
i i c 1=的值就可以得出程的近似解，在n
维子空间中对于任意的],[)(b a x V ∈,则)(x V 在n 维坐标系的投影为
∑==n
i i i n x e x V x V p 1
)()()(，i x 为插值点，所以∑===n
i i i n n e c x p x 1
)()(ϕϕ.用n
p 乘以程的两边可得：
)())((),()(x f p dy x F y x k p x p n x
a n n =+⎰ϕϕ （2）
把公式(1)带入（2）便可得
∑∑⎰
∑====+n
i i i n
i x
a
i i n i i i x e x f dy x e x F y x k x e c 1
1
1)()()())((),()(ϕ
0)()())((),()()(1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+∑⎰=n
i i
i
i
i
i
i x e x f dy y F y x k x e x e c ϕ ∑⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+n
i i x a i i i x f dy y x k c x e i 1
0)(),()( 0)())((),(=-+⎰i x a
i i x f dy y F y x k c i
ϕ
∑==-+i
j i n j i i i i x f A y e c F y x k c 1
0)())((),(。