反常积分的审敛法

2 2
= lim−
x →1
1 (1 + x )( 1 − k 2 x 2 )
=
1 2 ，q = 2 < 1 2 (1 − k )
(极限审敛法2)
1
∴∫
1 2
1 (1 − x )(1 − k x )
2 2
0
dx 收敛 .
注： 对于无界函数的反常积分，当被积函数 在所讨论的区间上可取正值又可取负值时， 也有与定理5相类似的结论。
a +∞
∴ ∫ f ( x )dx = 2∫ ϕ ( x )dx − ∫ f ( x ) dx ,
a a a
t
t
t
令t → +∞ , 得
∫
+∞
a
f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫
a
+∞ a
+∞
+∞
a
f ( x ) dx .
∴∫
f ( x )dx收敛
定义
若 ∫ | f ( x ) | dx收敛 , 则称 ∫
∴ 所给反常积分发散． （极限审敛法１）
例４ 判别反常积分 解
∫
+∞
1
π arctan x lim x = lim arctan x = >0 x → +∞ x → +∞ x 2
arctan x dx 的收敛性 . x
∴ 所给反常积分发散． （极限审敛法１）
定理 5 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 如果 ∫
+∞ a
f ( x ) dx 收敛 , 则 ∫
+∞
a
f ( x )dx 也收敛．
1 证 令 ϕ ( x) = [ f ( x) + f ( x) ] 2 +∞ ∵ ϕ ( x ) ≥ 0，且 ϕ ( x ) ≤ f ( x ) , 又 ∫ f ( x ) dx 收敛 , a
∴ ∫ ϕ ( x )dx 也收敛 . ∵ f ( x ) = 2ϕ ( x ) − f ( x ) , 取t > a
解 ∵e
− ax
∴∫ +∞e−ax sinbxdx 收敛 . 0
0
二、无界函数的反常积分的审敛法
定理 6 (比较审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, x = a是瑕点 .如果存在常数 M > 0 及 q < 1， M f ( x) ≤ 使得 (a < x ≤ b ), q ( x − a) 则反常积分 使得
∫ ∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果存在常数 N > 0 ， (a < x ≤ b ),
N f ( x) ≥ x−a
b a
则反常积分
f ( x )dx 发散 .
( 定理７ 极限审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, x = a是瑕点.如果存在常数 0 < q < 1，使得
1 sin 1 x dx 的收敛性 . 例8 判别反常积分 ∫ 0 x 解 1 sin x 在 0的右半邻域内无界 ∴ x = 0是瑕点 ∵ x 1 sin 1 1 dx 1 x ≤ 收敛，[∵ q = < 1] ∵ , 而 ０ 2 x x x
∫
∴∫
1
0
1 1 sin sin 1 x dx 也收敛． x dx 收敛 (比较审敛法2) ∴ ∫0 x x
判别反常积分
∫
3
1
Baidu Nhomakorabea
dx 的收敛性 . ln x
1 ∵ lim = + ∞ ∴ x = 1是瑕点 x →1+ lnx
1 x −1 lim ( x − 1) = lim + x →1 x →1+ ln x ln x
0 ( )型 0
= lim +
x →1
= 1 > 0, 3 dx ∴ 反常积分 ∫ 发散 . (极限审敛法2) 1 ln x
三、Γ − 函数
定义 Γ( s ) = ∫
+∞ 0
e
− x s −1
x
dx , ( s > 0)
特点: 1.积分区间为无穷区间; 2.当 s − 1 < 0 时 , 被积函数在点 x = 0 的 右半邻域内无界 . 即 : 点 x = 0是瑕点 .
设 I1 =
1 − x s −1 ∫ 0 e x dx ,
0
= lim x ( −e ) − 0 − ∫ ( −e )sx dx
s −x −x s -1 x → +∞ 0
+∞
= 0 − 0 + s ∫ e − x x s-1dx （洛必达法则） 0
例１ 判别反常积分 ∫ 1
+∞
dx
3
x4 + 1
的收敛性 .
解 ∵当 x ∈ [1,+∞ ) 时 ,
0<
1
3
<
+∞ 1
1
3
x +1
3
4
4 = , p = > 1, 4 3 x4 / 3 x
1
收敛.
∴ 反常积分 ∫
dx x4 + 1
（比较审敛法１）
定理 4 ( 极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f ( x ) 存在，
a
g ( x )dx 收敛，
t t ∴ ∫ a f ( x )dx ≤ ∫ a g ( x )dx ≤ ∫ a
g ( x )dx .
∴ F (t ) =
t ∫a
f ( x )dx 在 [a ,+∞ ) 上有上界．
∴
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛． (定理1)
+∞ ∫a g( x )dx发散,
下证： 如果 0 ≤ g( x ) ≤ f ( x ), 且
a
+∞
+∞
a
f ( x )dx
为绝对收敛 .
由定理5得:
+∞ 若 ∫a +∞ f ( x )dx绝对收敛 , 则 ∫a
f ( x )dx 必定收敛．
例5 判别反常积分
− ax
∫
+∞
0
e
− ax
sin bxdx (a , b 都是常数
+∞
a > 0) 的收敛性 .
sin bx ≤ e , 而 ∫ e − ax dx 收敛 . 0 +∞ 1 − ax + ∞ 1 1 − ax [ ∵ ∫ e dx = [− e ]0 = 0 − ( − ) = ] 0 a a a +∞ ∴ ∫ e − ax sin bx dx 收敛 . （比较审敛法1）
+∞ X1
f ( x )dx 收敛 （比较审敛法1）
X1
∵∫
+∞
a
+∞
f ( x )dx = ∫
a
f ( x )dx + ∫
+∞
X1
f ( x )dx
∴∫
a
f ( x )dx收敛
（2）（略）
例３ 判别反常积分 解
∫
+∞
1
x3/ 2 dx 的收敛性 . 2 1+ x
x3/ 2 x2 x = +∞ , lim x = lim 2 2 x → +∞ x → +∞ 1 + x 1+ x
x →a
lim+ ( x − a )q f ( x )
存在, 则反常积分
x →a
∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果
x →a
lim+ ( x − a ) f ( x ) = d > 0 (或 lim+ ( x − a ) f ( x ) = +∞ ),
则反常积分
∫
b
a
f ( x )dx 发散．
例6 解
I2 =
+ ∞ − x s −1 ∫ 1 e x dx ,
(1) 当 s ≥ 1 时, I1 是定积分 ;
( 2 ) 当 0 < s < 1 时,
∵e
−x
x e x 1− s 1 − x s −1 x dx收敛. 又 ∵ 1 − s < 1 ∴ I1 = ∫0 e
x
⋅x
s −1
=
1
1− s
⋅
1
<
1
| x f ( x ) − c |< 1 且
p
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0
即
即
x p f ( x) < c + 1
c +1 f ( x) < p x
且 且
c +1 ∴ f ( x ) < p 且 f ( x ) ≥ 0 (当 x > X 1 时 ) x
∵ p > 1 ∴∫
x → +∞ +∞
则∫
a
f ( x )dx 收敛；
x → +∞
如果 lim xf ( x ) = d > 0 (或 lim xf ( x ) = +∞ ), 则
x → +∞
∫
+∞
a
f ( x )dx 发散．
证明
例２ 判别反常积分
2
∫
+∞
dx x 1 + x2
1
的收敛性 .
1 = 1, p = 2 > 1 解 ∵ lim x ⋅ 2 x → +∞ x 1+ x
− x s −1 = lim x ∵ lim x ⋅ (e x ) x → +∞ e x x → +∞ 2
（比较审敛法2） s +1
=0
Γ(s )
∴ I2 = ∫ e x
−x 1
+∞
s −1
dx 收敛 .
(极限审敛法 1 )
由 (1), ( 2) 知
+ ∞ − x s −1 ∫0 e x dx 对 s > 0 均收敛 .
第五节 反常积分的审敛法 Г函数
一、无穷限反常积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定反常积分 收敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续， 且 f ( x ) ≥ 0．若函数 F ( x ) = ∫ f ( t )dt
a x
在 [a ,+∞ ) 上有上界，则反常积分
∴ lim F ( x )存在
x → +∞
（极限的存在准则）
即 lim
∴∫
x → +∞ a
+∞
∫
x
f ( t )dt存在
a
f ( x )dx 收敛
(比较审敛原理 ) 定理 2 设函数 f ( x )、g( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续、非负 , 如果 f ( x ) ≤ g ( x ), (a ≤ x < +∞ ), 并且 则 ∫a
∴ 所给反常积分收敛． （极限审敛法1）
证明 (1) ∵ xlim x f ( x )存在 ,可设 xlim x f ( x ) = c → +∞ → +∞
p p
∴ 按定义，对 ε = 1，∃X > 0, 使得当 x > X时， 就有 | x p f ( x ) − c |< ε = 1
取 X 1 = max{a , X } , 则当x > X 1时, 就有
由Γ( s )的图形，可知： Γ( s )在(0,+∞ )上连续
o
s
Γ －函数的几个重要性质：
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
２．当 s → 0 时， ( s ) → +∞ . Γ
3．余元公式
+
π Γ( s )Γ(1 − s ) = (0 < s < 1). sin π s 1 1+ t + ∞ − u2 t 4. ∫0 e u du = Γ( ) , ( t > −1) 2 2
∫
+∞
a
f ( x )dx 收敛．
证
∵ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a ,+∞ )
d x 即F ' ( x ) = [ ∫a f ( t )dt ] = f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [a ,+∞ ) dx
∴ F ( x )在[a ,+∞ )上是单调增加的 .
∵ F ( x )在[a ,+∞ )上有上界
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
证明 Γ( s + 1) =
+∞ −x s 0
∫
+∞
0
e x
+∞ 0 +∞
−x
( s + 1 ) −1
dx
−x
= ∫ e x dx = ∫ = [ x ( −e )]
s −x +∞ 0
x d ( −e )
s −x s
− ∫ ( − e )d ( x )
+∞ +∞ ∫a g( x )dx 收敛，
f ( x )dx 也收敛；如果 f ( x ) ≥ g( x ), (a ≤ x < +∞ ), f ( x )dx 也发散 .
又∫
+∞
+∞
并且
+∞ +∞ ∫a g( x )dx 发散，则 ∫a
证 取t>a ∵ 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ), x ∈ [a ,+∞ )
1 1 x
(洛必达法则)
例7 判别椭圆积分 解 ∵ lim−
x →1
这里 | k |< 1
1
2
∫
1
1 (1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 )
= +∞
0
dx 的收敛性 .
(1 − x )( 1 − k x )
2 2
∴ x = 1是瑕点
∵ lim− (1 − x )
x →1
1 2 2
1 (1 − x )( 1 − k x )
+∞ 则 ∫a
f ( x )dx 必定发散 .
f ( x )dx 收敛，则由第一部分知 ．
假设
+∞ ∫a
+∞ ∫a
g ( x )dx 也收敛，这与已知矛盾
f ( x )dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) = p ，即得下面的 x
∴∫
+∞
比较审敛法.
定理 3 (比较审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得 +∞ M f ( x ) ≤ p , (a ≤ x < +∞ ), 则 ∫ f ( x )dx收敛； a x 如果存在常数 N > 0 ，使得 +∞ N f ( x) ≥ (a ≤ x < +∞ )，则 ∫ f ( x )dx 发散． a x