反常积分的审敛法
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
第8次课反常积分及其审敛法
第五章定积分及其应用本节主要内容：1、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法2、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法一、回顾定积分定义与计算()()011,1lim ()d ()d lim ()(()[,],,.,()[,].,,,,[,],,.)niii ba nbi i ai f x f x x f x x f x f x f x dx x y f x a b f x a b a b a b λλξξ→=→=∆=∆=∑⎰∑⎰设函数在上有界按照分割、求和、取极限的做法得若此极限存在则称此极限值为函数在上的定积分记为即为、定积分其中称为被积函数称积分表达式叫做积分变量为积分区间为积分下限为积分上限几何定义：曲线：由()[],,.[,][,][,]()d (1),,.d (2)0()d ()()()()d ()(),,()d ()d ,babbbaaab c aaf x x a x b x S f x x f x f x k f xg x x k f x x g x x k a c b f x x f x x a b a b a b λλλ>===+=+≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰及轴围成的曲边梯形面积为存在定理：若上连续，或者在上只有有限个第一类间断点，则上的定积分存在可积2、在性质线性性质 其中为任意常数可加性 在 若则[][][]()d ,()0()d 0,(),()(),()d ()2()d ()d (), ()().(3),,.1(4),bcbab baabbaaf x x a b f x f x x a b a b f xg x a M f x x g x dxf x x f x xf x b m b f m a x +≥≥<≤≤≤-≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰保号性 在上如果则推上则推论在区间上的最大值论如果在区间估值定理与最小值， 设分别函数则是()[][][][]d ()(),, ()d ()()3)(5) ,, (),() (d (),()=().baba xa x Mb a f x a b a b f x x f b a f x a b F x f t t f x a b F x f x ξξ≤-=-='⎰⎰⎰定积分牛中值定理如果函数在上连续则在内至少有一个 使得、定积分与不定积分的关系原函数存在定理：若在上连续，则是在上的一个原函数.显然由此得[][]()(),(), ()d ()()()bba a F x f x ab f x a b f x x F x F b F a ==-⎰顿莱布尼茨公式：若是在上的一个原函数，在上连续，则()()()41()d ()()()2()[,](t)()[,](),(),()d ((t)(t))dt 2()d ()()()()du()bba a ba b b ba aaf x x F x F b F a f x a b x t a b f x x f u x v x u x v x v x x u βαϕϕαβϕαϕβϕϕ==-'='==='=⎰⎰⎰⎰⎰、定积分的计算牛顿莱布尼茨公式： 换元积分法：在上连续，单值，在上连续，又则分部积分法：- ，其中[]()()()0202(),(), ()[()()];0,() ().2(),()()()()();()aaa aa aT TA T T AA nT Ax v x a b f x dx f x f x dx f x f x dx f x dx f x f x T f x dx f x dx f x dx f x dx --+-+'=+-⎧⎪=⎨⎪⎩===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上连续5、常用的定积分公式：1是奇函数2是偶函数3如果是以为周期的周期函数，则()()02202200220()().4cos sin 1;1331,2422cos sin .13421,2535()(sin )(cos );(sin )(sin 2T n n n f x dx n N xdx xdx n n n n n xdx xdx n n n n n f x f x dx f x dx xf x dx f x πππππππππ∈==--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在为正偶数为大于1的设函数[0，1]奇数上连续，正0).dx π⎰例1已知211,22()11,2x xe x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，计算212(1)f x dx -⎰.例2证明以下结论：（1）2200()(sin )(cos );f x f x dx f x dx ππ=⎰⎰设函数在[0，1]上连续，（2）2201331,2422cos sin 13421,253n n n n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇数二、无穷区间上的有界函数的反常积分（无穷积分）1、定义1设函数f (x )在区间[a ,+∞)上连续,取b >a .如果极限dx x f ba b )(lim⎰+∞→存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分,记作dx x f a )(⎰+∞,即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛. 如果上述极限不存在,函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地,可定义反常积分dx x f b)(⎰∞-和dx x f )(⎰+∞∞-.2、计算:如果F (x )是f (x )的原函数,则ba b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.即简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a -==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰.例3（1）计算反常积分⎰+∞-0dt te pt(p 是常数,且p >0).（2）讨论反常积分dx x p a 1⎰+∞(a >0)的敛散性.3、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法()[,)(0.)()0lim (),.1,0()1,0()p x a af x a a f x x f x l p l f x dx p l f x dx →+∞+∞+∞+∞>≥=>≤<+∞≤<≤+∞⎰⎰极设函数在区间上连续，且满足则有(1)当时，无穷限反常积分收敛； (限审敛法：2)当时，无穷限反常积分发散例4讨论下列反常积分的敛散性（1）1+∞⎰（2）32211xdx x+∞+⎰三、有限区间上的无界函数的反常积分（瑕积分）1、定义2设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,而在点a 的右邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在,则称此极限为函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点:如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数f (x )的瑕点,也称为无界定义2'设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,点a 为f (x )的瑕点.函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.类似地,函数f (x )在[a ,b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.在[a ,c )⋃(c ,b ](c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f btct ta ct ba )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.2、反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数,则有bt at btat ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=.简记形式:（1）当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰;（2）b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x ba ba -==-→⎰.（3）当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx cx bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰.例5（1）计算反常积分⎰-adx xa 0221.（2）讨论反常积分⎰-ba q a x dx)(的敛散性.3、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法1.()(,]()0.lim ()(),0,0()1,0()p x babaf x a b f x x a f x l p l f x dx p l f x dx →+∞≥-=<<≤<+∞≥<≤+∞⎰⎰设函数在区间上连续，且满足则有（1）当极时，瑕积分收敛；（2）瑕限审敛法：当时，积分发散例6讨论下列反常积分的敛散性（1）31ln dxx⎰（2）1201()k <⎰椭圆积分（3）101dx x ⎰。
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
反常积分(也称广义积分)分为两类：一类是积分区间为无限的积分，另一类是被积函数无界的积分;在考研数学中，关于反常积分常考的题型主要有两种：一是反常积分的计算，另一个是反常积分收敛性的判断;关于反常积分收敛性的判断，一部分题可以利用正常积分的计算方法来判断其收敛性，另一部分题须利用比较审敛法或极限审敛法来判断，有些同学对极限审敛法感到有些困惑，下面我们就来对其中的一些问题做些分析，供大家参考。
一、极限审敛法的基本理论
二、应用极限审敛法的关键
在应用极限审敛法来判断反常积分是否收敛时，要求大家对等价无穷小代换和其它求极限的方法比较熟，另外，如果应用极限审敛法难以判断反常积分的收敛性，则应考虑运用其它方法来判断，如：比较审敛法、通过计算来判断其收敛性，大家在做题时要灵活运用，最后预祝大家在2016考研中取得佳绩。
无穷限反常积分的审敛法
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x
3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
例 3．判别下列反常积分的敛散性： 1 比较判别法 （1） sin 2 dx 1 x 1 1 1 解：∵ 0 sin 2 2 ， dx 收敛 ， 而 1 x2 x x 1 ∴ sin 2 dx 收敛 。 1 x
a
2) 若存在常数 N 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 N f ( x) p x 则 f ( x) d x 发散 .
a
例1. 判别反常积分
x4 1 1 sin 2 x 解: 3 4 14 03 4 x x 1 x3 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论反常积分 d x 的敛散性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 x 1 3 ( x 1) 3 x 1
a
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有
x p f ( x) l
即
l N f ( x) p x x
a
(N l )
可见
f ( x) d x 发散 .
x
定理1. 设 f ( x) C [a , ) , 且 f ( x) 0 , 若函数
F ( x) f (t ) d t
a
x
在[a , ) 上有上界 , 则反常积分
反常积分审敛万能公式
反常积分审敛万能公式在咱们学习数学的过程中，有个叫反常积分审敛的东西，这玩意儿可不简单，不过别担心，今天咱就来聊聊所谓的反常积分审敛万能公式。
先给大家举个例子哈。
有一次我去超市买零食，看到巧克力在打折，那种巧克力平时卖得挺贵，这次居然降价了。
我就想，这降价是不是有个“极限”呢？就像反常积分，积分区间无限延伸，那这个巧克力价格的变化是不是也能找到一个类似的规律？说回反常积分审敛万能公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开判断反常积分收敛还是发散的大门。
比如说，对于形如∫[a,+∞) f(x)dx 的反常积分，我们通过一些特定的计算和判断，就能知道它到底是收敛还是发散。
那这个万能公式具体是啥样呢？其实它涉及到一些复杂的数学运算和条件判断。
比如说，我们得看看被积函数的形式，是多项式啊，还是指数函数啊，或者是其他更复杂的形式。
然后根据不同的形式，运用不同的方法和定理来判断。
我还记得有个学生，他在做反常积分审敛的题目时，总是搞不清楚那些条件和公式的运用。
我就跟他说，你别把这当成特别难的东西，就像你玩游戏，每个关卡都有规则，咱们只要熟悉了规则，就能通关。
后来他慢慢地掌握了，那高兴劲儿，就像终于在游戏里打败了大 boss 一样。
在实际应用中，反常积分审敛万能公式能帮我们解决很多问题。
比如说在物理中，计算一些无限过程的能量或者功的时候，就能用这个公式来判断结果是否合理。
而且，大家别觉得这个公式只是为了考试才学的。
其实在很多实际的科学研究和工程计算中，都能用到它。
就像建筑师在设计高楼的时候，需要考虑各种力的作用，这里面可能就涉及到反常积分的计算和审敛。
总之，反常积分审敛万能公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解、多做练习，就一定能掌握它。
就像我当初学会挑选巧克力一样，只要掌握了方法，就能买到最实惠的美味。
希望大家在学习反常积分审敛万能公式的时候，都能充满信心，加油！。
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
数二考反常函数的审敛法和伽马函数
数二考反常函数的审敛法和伽马函数反常函数是指在某些点不满足收敛条件的函数。
对于这类函数，我们需要采用适当的方法判断其收敛性，从而进行合理的运算。
审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。
具体来说，审敛法要求将积分的区间拆分成若干个小区间，然后针对每个小区间，采用适当的方法估计积分值的大小。
在这个过程中，我们需要注意的是，对于收敛的小区间，我们可以直接计算积分值。
而对于不收敛的区间，则需要采用一些捷径来估计积分大小，以便快速判断是否收敛。
审敛法的具体实现方法有很多种，其中，常用的方法包括比较审敛法、级数审敛法、积分余项估计法等。
在应用其中任何一种方法时，我们都要对所述方法的适用条件和具体步骤有清晰的理解，从而确保正确性。
伽马函数是一个非常有用的特殊函数。
具体地，伽马函数是一族持续解析的函数，它将实数域上的函数扩展到整个复平面。
而且，它具有许多重要的性质和应用，如计算不完全的贝塔函数和多重积分，证明定积分的值，研究概率论和统计等等。
伽马函数的定义式如下：$$\Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx,\Re(z)>0$$其中，$z$ 表示一个复数， $x^{z-1}$ 表示 $x$ 的复数幂。
伽马函数具有很多有用的性质，例如：1. (递推公式) $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$2. (对数导数) $\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi(z)$，其中 $\psi(z)$ 表示对数导数函数。
3. (对偶性) $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$4. (笛卡尔公式)$\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$。
除了这些性质以外，伽马函数还具有许多其他特殊性质和应用，可供我们在各种数学问题中运用。
总之，反常函数的审敛法和伽马函数是数学中非常重要的概念。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
其中，反常积分是指积分区间为无穷或者在某些点上函数值无界的情况。
本文将介绍反常积分判敛的方法，帮助读者更好地理解和处理这类积分。
一、无穷积分的判敛方法对于无穷积分，我们需要分情况讨论其判敛性。
一般来说，无穷积分可以分为无穷限积分和无穷间断积分两种情况。
1. 无穷限积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷限积分，我们可以通过比较判别法来判断其是否收敛。
比较判别法的基本思想是将被积函数与一个已知的易于处理的函数进行比较，从而确定其收敛性。
若存在一个函数$g(x)$，使得在积分区间$[a, +\infty)$上，$0\leq f(x) \leq g(x)$成立，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
2. 无穷间断积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的无穷间断积分，其中积分区间存在间断点，我们需要分别讨论左右极限的情况。
若在间断点$a$处，$\lim_{x \to a^+}f(x)$和$\lim_{x \to a^-}f(x)$中至少有一个是无穷大或无穷小量，则该积分为无穷间断积分。
此时，我们可以将积分区间分为$[a, c]$和$[c, b]$两部分，分别讨论其判敛性。
二、无界函数积分的判敛方法对于在积分区间内函数值无界的情况，我们需要特殊处理来判断其收敛性。
1. 无界上下函数的判敛方法若被积函数$f(x)$在积分区间$[a, b]$上无界，即存在$M>0$，使得对任意$x \in [a, b]$，$|f(x)| > M$，则该积分为无界函数积分。
反常积分审敛法
反常积分审敛法
反常积分审敛法是一种研究微分方程未知函数的求解方法，它通过将未知函数一次积分拆分成一系列已知函数的求积数来求解这些未知函数，从而实现未知函数的求解。
反常积分审敛法是一种重要的求解微分方程未知函数的经典方法，是近代数学家们普遍采用的重要解析方法。
二、基本原理
反常积分审敛法以未知函数为准绳，以不变量的积分为目的，将相关的微分方程的一次积分拆分为一系列未知函数的求积数，从而将未知函数求解的原问题转化为反常积分审敛法的求解问题，即估计其积分常数，从而得到未知数。
三、过程步骤
反常积分审敛法的求解过程由以下几步构成：
（1）确定求解方程的形式。
将微分方程按照一般的习惯和规则统一化，常用的形式为普通微分方程和关联微分方程，常用的积分参数为时间t、位置x和其他形式的变量；
（2）写出相关的微分方程，根据其中的量确定求解的未知函数；
（3）确定积分常数的估值法，通常采用隐式函数定理方法；
（4）运用反常积分审敛法计算出未知积分常数，得到未知函数的解；
（5）验证此解是否正确，如果不正确，可重新根据估值法计算，直到未知函数的解得到正确验证。
四、应用实例
反常积分审敛法在实际问题中应用广泛，如在简谐振荡问题中，使用反常积分审敛法可以得出简谐振荡器的解析解；在光学干涉中，可以用反常积分审敛法求出空间干涉图；在流体动力学等研究中，可以使用反常积分审敛法计算粘性系数；在抛物线和椭圆等圆周率的研究中，可以使用反常积分审敛法求出对应的参数。
五、结论
反常积分审敛法是一种重要的求解复杂微分方程未知函数的解
析方法，它采用一次积分拆分的方式，将未知函数的求解问题转化成求函数积分常数的问题，解决了微分方程求解的一类重要问题，具有重要的实际意义。
反常积分的审敛法
反常积分的可积性
定义：如果函数在区间上的积分存在，则称该函数在该区间上可积 性质：可积函数在其定义域内的积分等于其不定积分在区间上的增量 判断方法：通过定积分、不定积分、级数等方法判断函数是否可积 应用：在数学、物理等领域中有着广泛的应用，如计算面积、体积等
反常积分与连续函数的关系
反常积分收敛时，其极限值 可能为无穷小
反常积分与正常积分的区别
积分范围：反常积分在无穷区间或有限区间上积分，正常积分在有限区间上积分 积分性质：反常积分可能存在奇点或无界，正常积分无奇点或有界 积分收敛性：反常积分可能存在收敛或发散的情况，正常积分总是收敛的 积分结果：反常积分的积分结果可能存在极限或无穷大的情况，正常积分的结果总是有限的
物理学：反常积分在量子力学和热力学等领域有广泛应用，例如计算粒子在有限空间内的分布 情况
金融学：反常积分在金融领域用于计算风险价值和预期收益等指标
在概率论和统计学中的应用
反常积分可用 于计算概率分
布函数
反常积分可用 于计算随机变 量的期望和方
差
反常积分在统 计推断中的应 用，如参数估 计和假设检验
积分审敛法
定义：反常积分 审敛法是指通过 判断反常积分的 敛散性，来确定 函数在无穷区间 上的积分是否收 敛的方法。
分类：根据积分 的不同性质，反 常积分审敛法可 以分为比较审敛 法、Cauchy审 敛法和Dirichlet 审敛法等。
应用：反常积分 审敛法在数学、 物理和工程等领 域有着广泛的应 用，是研究函数 积分的重要工具 之一。
反常积分审敛法的改进方向
引入更精确的收敛 性判别方法
优化积分计算的数 值稳定性
拓展审敛法在复杂 积分中的应用
深入研究不同类型 反常积分的审敛特 性
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。
判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。
下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。
一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。
主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。
1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。
二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。
主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。
1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。
反常积分的审敛法
反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。
本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。
一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。
二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。
常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。
2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。
3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。
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例１ 判别反常积分 ∫ 1
+∞
dx
3
x4 + 1
的收敛性 .
解 ∵当 x ∈ [1,+∞ ) 时 ,
0<
1
3
<
+∞ 1
1
3
x +1
3
4
4 = , p = > 1, 4 3 x4 / 3 x
1
收敛.
∴ 反常积分 ∫
dx x4 + 1
（比较审敛法１）
定理 4 ( 极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f ( x ) 存在，
判别反常积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
1 ∵ lim = + ∞ ∴ x = 1是瑕点 x →1+ lnx
1 x −1 lim ( x − 1) = lim + x →1 x →1+ ln x ln x
0 ( )型 0
= lim +
x →1
= 1 > 0, 3 dx ∴ 反常积分 ∫ 发散 . (极限审敛法2) 1 ln x
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
证明 Γ( s + 1) =
+∞ −x s 0
∫
+∞
0
e x
+∞ 0 +∞
−x
( s + 1 ) −1
dx
−x
= ∫ e x dx = ∫ = [ x ( −e )]
s −x +∞ 0
x d ( −e )
s −x s
− ∫ ( − e )d ( x )
1 sin 1 x dx 的收敛性 . 例8 判别反常积分 ∫ 0 x 解 1 sin x 在 0的右半邻域内无界 ∴ x = 0是瑕点 ∵ x 1 sin 1 1 dx 1 x ≤ 收敛，[∵ q = < 1] ∵ , 而 ０ 2 x x x
∫
∴∫
1
0
1 1 sin sin 1 x dx 也收敛． x dx 收敛 (比较审敛法2) ∴ ∫0 x x
∴ 所给反常积分收敛． （极限审敛法1）
证明 (1) ∵ xlim x f ( x )存在 ,可设 xlim x f ( x ) = c → +∞ → +∞
p p
∴ 按定义，对 ε = 1，∃X > 0, 使得当 x > X时， 就有 | x p f ( x ) − c |< ε = 1
取 X 1 = max{a , X } , 则当x > X 1时, 就有
1 1 x
(洛必达法则)
例7 判别椭圆积分 解 ∵ lim−
x →1
这里 | k |< 1
1
2
∫
1
1 (1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 )
= +∞
0
dx 的收敛性 .
(1 − x )( 1 − k x )
2 2
∴ x = 1是瑕点
∵ lim− (1 − x )
x →1
1 2 2
1 (1 − x )( 1 − k x )
+∞ a
f ( x ) dx 收敛 , 则 ∫
+∞
a
f ( x )dx 也收敛．
1 证 令 ϕ ( x) = [ f ( x) + f ( x) ] 2 +∞ ∵ ϕ ( x ) ≥ 0，且 ϕ ( x ) ≤ f ( x ) , 又 ∫ f ( x ) dx 收敛 , a
∴ ∫ ϕ ( x )dx 也收敛 . ∵ f ( x ) = 2ϕ ( x ) − f ( x ) , 取t > a
解 ∵e
− ax
∴∫ +∞e−ax sinbxdx 收敛 . 0
0
二、无界函数的反常积分的审敛法
定理 6 (比较审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, x = a是瑕点 .如果存在常数 M > 0 及 q < 1， M f ( x) ≤ 使得 (a < x ≤ b ), q ( x − a) 则反常积分 使得
由Γ( s )的图形，可知： Γ( s )在(0,+∞ )上连续
o
s
Γ －函数的几个重要性质：
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
２．当 s → 0 时， ( s ) → +∞ . Γ
3．余元公式
+
π Γ( s )Γ(1 − s ) = (0 < s < 1). sin π s 1 1+ t + ∞ − u2 t 4. ∫0 e u du = Γ( ) , ( t > −1) 2 2
∫ ∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果存在常数 N > 0 ， (a < x ≤ b ),
N f ( x) ≥ x−a
b a
则反常积分
f ( x )dx 发散 .
( 定理７ 极限审敛法 2) 设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0, x = a是瑕点.如果存在常数 0 < q < 1，使得
∴ lim F ( x )存在
x → +∞
（极限的存在准则）
即 lim
∴∫
x → +∞ a
+∞
∫
x
f ( t )dt存在
a
f ( x )dx 收敛
(比较审敛原理 ) 定理 2 设函数 f ( x )、g( x ) 在区间 [a ,+∞ ) 上连续、非负 , 如果 f ( x ) ≤ g ( x ), (a ≤ x < +∞ ), 并且 则 ∫a
− x s −1 = lim x ∵ lim x ⋅ (e x ) x → +∞ e x x → +∞ 2
（比较审敛法2） s +1
=0
Γ(s )
∴ I2 = ∫ e x
−x 1
+∞
s −1
dx 收敛 .
(极限审敛法 1 )
由 (1), ( 2) 知
+ ∞ − x s −1 ∫0 e x dx 对 s > 0 均收敛 .
a
+∞
+∞
a
f ( x )dx
为绝对收敛 .
由定理5得:
+∞ 若 ∫a +∞ f ( x )dx绝对收敛 , 则 ∫a
f ( x )dx 必定收敛．
例5 判别反常积分
− ax
∫
+∞
0
e
− ax
sin bxdx (a , b 都是常数
+∞
a > 0) 的收敛性 .
sin bx ≤ e , 而 ∫ e − ax dx 收敛 . 0 +∞ 1 − ax + ∞ 1 1 − ax [ ∵ ∫ e dx = [− e ]0 = 0 − ( − ) = ] 0 a a a +∞ ∴ ∫ e − ax sin bx dx 收敛 . （比较审敛法1）
+∞ X1
f ( x )dx 收敛 （比较审敛法1）
X1
∵∫
+∞
a
+∞
f ( x )dx = ∫
a
f ( x )dx + ∫
+∞
X1
f ( x )dx
∴∫
a
f ( x )dx收敛
（2）（略）
例３ 判别反常积分 解
∫
+∞
1
x3/ 2 dx 的收敛性 . 2 1+ x
x3/ 2 x2 x = +∞ , lim x = lim 2 2 x → +∞ x → +∞ 1 + x 1+ x
x → +∞ +∞
则∫
a
f ( x )dx 收敛；
x → +∞
如果 lim xf ( x ) = d > 0 (或 lim xf ( x ) = +∞ ), 则
x → +∞
∫
+∞
a
f ( x )dx 发散．
证明
例２ 判别反常积分
2
∫
+∞
dx x 1 + x2
1
的收敛性 .
1 = 1, p = 2 > 1 解 ∵ lim x ⋅ 2 x → +∞ x 1+ x
x →a
lim+ ( x − a )q f ( x )
存在, 则反常积分
x →a
∫
b
a
f ( x )dx 收敛；如果
x →a
lim+ ( x − a ) f ( x ) = d > 0 (或 lim+ ( x − a ) f ( x ) = +∞ ),
则反常积分
∫
b
a
f ( x )dx 发散．
例6 解
a
g ( x )dx 收敛，
t t ∴ ∫ a f ( x )dx ≤ ∫ a g ( x )dx ≤ ∫ a
g ( x )dx .
∴ F (t ) =
t ∫a
f ( x )dx 在 [a ,+∞ ) 上有上界．