2008年天津市高考数学试卷(理科)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 A ． B ． C ．D ．5．设椭圆上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 A ．6B ．2C ．D ．6．设集合，则的取值范围是A ．B ．C ．或D ．或7．设函数的反函数为，则A ．在其定义域上是增函数且最大值为1B ．在其定义域上是减函数且最小值为0C ．在其定义域上是减函数且最大值为1D ．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．9．已知函数是R 上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则A ．B ．C ．D ．10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种二、填空题 11．的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .13．已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称，直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为 .14．如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ，则=⋅AC AD .15．已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .16．设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为.三、解答题17．（本小题满分12分）已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 19．如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知.（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小.20．已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 21．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.22．在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设.证明.参考答案【答案】A【解析】()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ． 2．D 【解析】如图，由图象可知目标函数过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．3．B【解析】()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ． 4．C 【解析】A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ． 5．B 【解析】由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒==所以2d =，选B ． 6．A 【解析】{|15}S x x x =-或，所以1{3185a a a <-⇒-<<-+>，选A ． 7．D【解析】1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以()1f x -单调递增，排除B 、C ；又()1f x -的值域为()f x 的定义域，所以()1f x -最小值为0．视频 8．C 【解析】 依题意得1010{{(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥++-≤++≤或所以11{{111111x x x x x x Rx ≥-<-⇒<--≤≤⇒≤∈≤≤或或，选C ．9．A【解析】52(cos)(cos )77b f f ππ=-=，52(tan )(tan )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以2220cos sin 1tan 777πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．10．B【解析】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有43121248⨯=种不同的排法，选B ．视频 11．40 【解析】3552155((2)r r rr r rr T C xC x --+==-，所以2r，系数为225(2)40C -=.12．24 【解析】试题分析：设正方体的外接球的半径为R ,由：343R π=，解得：R 设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以答案为24.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.13．22(1)10x y +-=【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，2222(032)3105r --=+=，圆C 的方程为22(1)10x y +-=. 14．3【解析】令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=. 15．76【解析】22111211111()13())33(n n n n n n n a a a a a a a a ----+-+=+++=-++++所以2173lim 11613n n a →∞=+=-.16．{}2 【解析】由已知得ca y x=，单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，所以1122log 2{{23c a c a a aa a a --≥+≥⇒≤≤，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以的取值的集合为{}2.17．（Ⅰ）4sin 5x =（Ⅱ）sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）因为，所以，于是（Ⅱ）因为，故所以18．（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为的数学期望2E ξ= 【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p ；对于问题（II ），首先列出两人共命中的次数ξ的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出ξ取各个值时所对应的概率，就可得到ξ的分布列．试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得221(1())(1)16P B p -=-=解得34p =或54（舍去），所以乙投球的命中率为34.（II ）由题设知（I ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =， ξ可能取值为0,1,2,3故2111(0)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117()22444232=⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ的分布列为171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.19．（Ⅰ）证明见解析． （Ⅱ）（Ⅲ）【解析】 （Ⅰ）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.（Ⅱ）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，，从而是二面角的平面角．由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为．20．（Ⅰ）8()9f x xx=-+（Ⅱ）见详解（Ⅲ）7(,]4【详解】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）解：2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2,(2))P f 在直线31yx 上可得27b -+=，解得9b =．所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x '=-． 当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，内是减函数． 综上，当0a ≤时，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数；当0a >时，()f x 在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当1()104(1)10f f ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，即39449b a b a⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是7(,]4． 21．（Ⅰ）22145x y -=（Ⅱ）55(,)((0,(,)4224-∞-⋃-⋃⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1（一3,0)，一条渐近线的方程是，两个条件即可求出双曲线的方程.(2)依题意可得通过假设直线l 的方程，联立双曲线方程消去y ，即可得到一个关于x 的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN 的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论.试题解析：（1）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b，-=>>，由题设得229{a b b a +==，解得224{ 5.a b ==，，所以双曲线C 的方程为22145x y -=； （2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组22 { 1. 45y kx m x y =+-=，①②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=，此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-，从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k⎛⎫⎪-⎝⎭，， 由题设可得2219981·254542km m k k =--，整理得222(54)k m k-=，0k ≠， 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<54k >， 所以k 的取值范围是55004224⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，． 考点：1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.韦达定理.5.代数的运算能力.22．（Ⅰ）23a =，29b = （Ⅱ）(1)2n n n a +=，2(1)n b n =+ （Ⅲ）证明见解析. 【解析】本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分（Ⅰ）解：由题设有，，解得14b =．由题设又有，，解得11a =． （Ⅱ）解法一：由题设，，，及14b =，11a =，进一步可得，425b =，，，猜想，，*n N ∈．先证，*n N ∈．当2n ≥时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：（1当n k =时，，等式成立．（2）假设2k ≥时等式成立，即，．由题设，①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立． 综上所述，等式对任何的*n N ∈都成立再用数学归纳法证明，*n N ∈． （1）当2n ≥时，，等式成立．（2）假设当2k ≥时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的*n N ∈都成立．解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+1(1)(2)n n n S n S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，．所以3224a a =， 4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥．将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥． 止式对1,2n =也成立．由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)nb n =+，即，1n ≥．解法三：由题设有1(3)n n nS n S +=+，*n N ∈，所以214S S =， 3225S S =，……1(1)(2)n n n S n S --=+，．将以上各式左右两端分别相乘，得112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+，化简得1(1)(2)(1)(2)236n n n n n n n S a ++++==⨯，3n ≥．由（Ⅰ），上式对1,2n =也成立．所以1(1)2n n n n n a S S -+=-=，． 上式对2n ≥时也成立． 以下同解法二，可得，1n ≥．（Ⅲ）证明：12(1)222212(1)(1)(1)23(1)(1)nn n a a a n n T b b b n +=-+-++-=--++-+．当4n k =，*k N ∈时，222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++．注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故(1)32(12)43242n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+．当41n k =-，*k N ∈时，2222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+= 当42n k =-，*k N ∈时，22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---．当43n k =-，*k N ∈时，222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--．所以．从而3n ≥时，有222132,5,9,13,3312,6,10,14,{12,3,7,11,312,4,8,12,n n n n n T n nnn n n n+<=++<==<=+<=总之，当3n ≥时有22n T n <，即22n T n <．。
2008年高考理科综合试题(天津卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共300分，考试用时150分钟。
第Ⅰ卷l 至5页，第Ⅱ卷6至15页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考兮、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共21题，每题6分．共126分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质最：H 1C12O 16 S 32 Cl 35.5 K 39 Br 801.下列关于蛋白质和氨基酸的叙述，正确的是A.具有生物催化作用的酶都是由氨基酸组成的B.高等动物能合成生命活动所需的20种氨基酸C.细胞中氨基酸种类和数量相同的蛋白质是同一种蛋白质D.在胚胎发育过程中，基因选择性表达，细胞会产生新的蛋白质2.下列有关生物膜的叙述．正确的是A.大鼠脾细胞与免造血千细胞的细胞膜能够发生融合B.用蛋白酶处理生物膜可改变其组成，不改变其通透性C.在生长激素的合成和分泌过程中，生物膜只发生结构上的联系D.兴奋在神经纤维上传导和在神经元间传递时，生物膜发生的变化是相同的3.下列有关特异性免疫的叙述，正确的是A.当抗原侵入宿主细胞时．细胞免疫才开始发挥作用B.效应B细胞的产生，需要T细胞和抗原的共同刺激C.在体液免疫过程中．每个效应B细胞只分泌一种特异性抗体D.当同一种抗原再次进入机体时．产生的效应B细胞均来自记忆细胞4.为获得纯合高蔓抗病番茄植株，采用了下图所示的方法；图中两对相对性状独立遗传。
据图分析，不正确．．．的是 A .过程①的自交代数越多，纯合高蔓抗病植株的比例越高 B .过程②可以取任一植株的适宜花药作培养材料 C .过程③包括脱分化和再分化两个过程 D .图中筛选过程不改变抗病基因频率5.为研究人工生态系统中大草履虫和栉毛虫间捕食关系的影响因素，设计两组实验： 实验一：在培养液中依次加入草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见甲图）； 实验二：在培养液中先加入沉渣作隐蔽场所，再同时加入大草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见乙图）。
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)(理科)
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）（理科） 测试题 2019.91,i 是虚数单位，()=-+113i i i(A) 1-(B) 1 (C) i - (D) i2,设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 53,设函数()Rx x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是(A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 4,设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a5,设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C) 21(D) 7726,设集合{}{}RT S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a (C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 7,设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1(D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为08,已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是 (A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x9,已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b <<(B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<10,有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种(B) 1248种(C) 1056种 (D) 960种测试题答案1, 解析：，选A2,解析：如图，由图象可知目标函数y x z +=5过点时取得最大值，，选D ．3, 解析：是周期为的偶函数，选B ．()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----(1,0)A z max 5z =()cos 2f x x =-π4, 解析：A 、B 、D 直线可能平行，选C ．5, 解析：由椭圆第一定义知，所以，椭圆方程为所以，选B ．6, 解析：，所以，选A ．7, 解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调递增，排除B 、C ；又的值域为的定义域，所以最小值为0．8, 解析：依题意得 所以，选C ．9, 解析：，因为，所以，所以，选A ．10, 解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法.所以此时余下的这4个数字共有种方法．由乘法原理可知共有种不同的排法，选B ．,a b 2a =24m =22111432x y e d +=⇒==2d ={|15}S x x x =<->或13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩1y =()f x 1()f x -1()f x -()f x 1()f x -11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-=2472πππ<<220cos sin 1tan 7772πππ<<<<b a c <<12224C A =46360A =2412A =360412312-⨯=31248412⨯=。
2008年高考数学试卷(天津.理)含详解
由切点 在直线 上可得 ，解得 ．
所以函数 的解析式为 ．
（Ⅱ）解： ．
当 时，显然 （ ）．这时 在 ， 上内是增函数．
当 时，令 ，解得 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
＋
0
－
－
0
＋
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．
(A) 1344种(B) 1248种(C) 1056种(D) 960种
解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有 种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数 去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有 种排法.所以此时余下的这4个数字共有 种方法．由乘法原理可知共有 种不同的排法，选B．
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
（19）
解：（Ⅰ）证明：在 中，由题设 可得
于是 .在矩形 中， .又 ，
所以 平面 .
（Ⅱ）证明：由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
在 中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知 平面 ， 平面 ，
所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，故
所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
综上所述，等式 对任何的 都成立
再用数学归纳法证明 ， ．
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设当 时等式成立，即 ，那么
．
这就是说，当 时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的 都成立．
解法二：由题设
①的两边分别减去②的两边，整理得 ， ．所以
天津历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数
天津历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数（2008-2018）试题1、7．（5分）（2008天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为02、8．（5分）（2008天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1} C．D．3、9．（5分）（2008天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c4、16．（4分）（2008天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为．5、4．（5分）（2009天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点6、8．（5分）（2009天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（1、7．（5分）（2008天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为02、8．（5分）（2008天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1} C．D．3、9．（5分）（2008天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c4、16．（4分）（2008天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为．5、4．（5分）（2009天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点6、8．（5分）（2009天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7、10．（5分）（2009天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜38、2．（5分）（2010天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9、8．（5分）（2010天津）若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）10、16．（4分）（2010天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f （x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．11、7．（5分）（2011天津）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b12、8．（5分）（2011天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．x3A．0B．1C．2D．314、14．（3分）（2012天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．x0.5A．1B．2C．3D．4（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．B．．D．17、14．（5分）（2013天津）设a+b=2，b＞0，则当a= 时，取得最小值．18、4．（5分）（2014天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．20、7．（5分）（2015天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，21、8．（5分）（2015天津）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f． （，+∞） B ． （﹣∞，） C ． （0，） D ．（，2） 所围成的封闭图形的面积为 ．23、8．（5分）（2016天津）已知函数f （x ）=（a ＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．[，]C ．[，]∪{}D ．[，）∪{}24、13．（5分）（2016天津）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f （2|a ﹣1|）＞f （﹣），则a 的取值范围是 ． 25、6．（5分）（2017天津）已知奇函数f （x ）在R 上是增函数，g （x ）=xf （x ）．若a=g （﹣log 25.1），b=g （20.8），c=g （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a26、8．（5分）（2017天津）已知函数f （x ）=，设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥|+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，2] B ．[﹣，] C ．[﹣2，2] D ．[﹣2，]27、12．（5分）（2017天津）若a ，b ∈R ，ab ＞0，则的最小值为 ．28、(5) （5分）（2018天津）已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为(A) a b c >>(B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>29、(13) （5分）（2018天津）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 .30、(14) （5分）（2018天津）已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 解答题1、20．（12分）（2008天津）已知函数，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅲ）若对于任意的，不等式f （x ）≤10在上恒成立，求b 的取值范围．2、20．（12分）（2009天津）已知函数f （x ）=（x 2+ax ﹣2a 2+3a ）e x（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数f （x ）的单调区间和极值．3、21．（14分）（2010天津）已知函数f （x ）=xe ﹣x（x ∈R ） （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，证明：当x ＞1时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明x 1+x 2＞2．4、19．（14分）（2011天津）已知a ＞0，函数f （x ）=lnx ﹣ax 2，x ＞0．（f （x ）的图象连续不断）（Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）当时，证明：存在x 0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f （α）=f （β），证明．5、20．（2012天津）已知函数f （x ）=x ﹣ln （x+a ）的最小值为0，其中a ＞0．（1）求a 的值；（2）若对任意的x ∈[0，+∞），有f （x ）≤kx 2成立，求实数k 的最小值； （3）证明：（n ∈N *）．6、20．（14分）（2013天津）已知函数f （x ）=x 2lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t=f （s ）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为s=g （t ），证明：当t ＞e 2时，有．7、20．（14分）（2014天津）设f （x ）=x ﹣ae x（a ∈R ），x ∈R ，已知函数y=f （x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明x 1+x 2随着a 的减小而增大．8、20．（14分）（2015天津）已知函数f （x ）=nx ﹣x n ，x ∈R ，其中n ∈N •，且n≥2． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≤g（x ）； （Ⅲ）若关于x 的方程f （x ）=a （a 为实数）有两个正实数根x 1，x 2，求证：|x 2﹣x 1|＜+2．9、20．（14分）（2016天津）设函数f （x ）=（x ﹣1）3﹣ax ﹣b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （3）设a ＞0，函数g （x ）=|f （x ）|，求证：g （x ）在区间[0，2]上的最大值不小于． 10、20．（14分）（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x 0，g （x ）为f （x ）的导函数． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证：h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足|﹣x 0|≥．11、(20)(14分) （2018天津）已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()lnh x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.答案1、解：∵为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，∴f﹣1（x）最小值为0故选D2、解：依题意得所以故选：C．3、解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A4、解：∵log a x+log a y=c，∴=c∴xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}5、解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选C．6、解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f （a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C7、解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，不等式的解集为或（舍去）．不等式的解集为，又由0＜b＜1+a得，故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，02（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a＜3（a﹣1），即2＜a＜3即可，则b＞2a﹣2b＜3a﹣3又0＜b＜1+a故 1+a＞2a﹣23a﹣3＞0解得1＜a＜3，综上2＜a＜3．故选：D．8、解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，故选B．9、解：由题意．故选C．10、解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．11、解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故选C．12、解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．13、解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．14、解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）15、解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选B．16、解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．17、解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．18、解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．19、解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）20、解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．21、解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．22、解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．23、解：y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．24、解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）25、解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．26、解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．27、解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案：4．28、解：a=＞1，0＜b=ln2＜1，c= =＞=a，则 a，b，c 的大小关系 c＞a＞b，故选：D．29、解：a，b∈R，且 a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则128ab= =≥2 =，当且仅当 =．即 a=﹣3 时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．30、解：当 x≤0 时，由 f（x）=ax 得 +2ax+a=ax，得 +ax+a=0，得 a（x+1）=﹣，得 a=﹣，设 g（x）=﹣，则 g′（x）=﹣ =﹣，由 g（x）＞0 得﹣2＜x＜﹣1 或﹣1＜x＜0，此时递增，由 g（x）＜0 得 x＜﹣2，此时递减，即当 x=﹣2 时，g（x）取得极小值为 g（﹣2）=4，当 x＞0 时，由 f（x）=ax 得﹣x 2 +2ax﹣2a=ax，得﹣ax+2a=0，得 a（x﹣2）=x 2 ，当 x=2 时，方程不成立，当 x≠2 时，a=设 h（x）= ，则 h′（x）= =，由 h（x）＞0 得 x＞4，此时递增，由 h（x）＜0 得 0＜x＜2 或 2＜x＜4，此时递减，即当 x=4 时，h（x）取得极小值为 h （4）=8，要使 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则由图象知 4＜a＜8，故答案为：（4，8）解答题1、解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．所以函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）解：．当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．当a＞0时，令f'（x）=0，解得．0 ﹣0 +值所以f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数；当a＞0时，f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的b的取值范围是．2、（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2e x，f'（x）=（x2+2x）e x，故f'（1）=3e，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），整理得：3ex﹣y﹣2e=0．（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]e x令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论．①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2，函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．3、解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表）+0 ﹣所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）e x﹣2令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），则g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）．因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．4、解：（I），令．（0，）（，+∞））+0 ﹣f（x）增极大值减所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II）证明：当．由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．由于f（x）在（0，2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（2，x'），使g（x0）=0，即存在．（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故从而．5、（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n6、解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，（0，）（，+∞）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e2t lne t﹣t=t （e2t﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使成立，只需，即2＜，即2＜2+，只需，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有成立．7、解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；x）、f（x）的变化情况如下表：，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．8、（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）﹣+ ﹣（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．9、解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b=﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．10、（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：（﹣1，）（，+∞）所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g （x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x 0，2]时，H′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 2（x ）＞H 2（x 0）=0，可得得H 2（m ）＜0即h （x 0）＜0，． 所以，h （m ）h （x 0）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p ，q ，且，令m=，函数h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当m ∈[1，x 0）时，h （x ）在区间（m ，x 0）内有零点； 当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点． 所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h （x 1）=g （x 1）（﹣x 0）﹣f （）=0．由（Ⅰ）知g （x ）在[1，2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2），于是|﹣x 0|=≥=．因为当x ∈[1，2]时，g （x ）＞0，故f （x ）在[1，2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1，2]上除x 0外没有其他的零点，而≠x 0，故f （）≠0． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数， 从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1． 所以|﹣x 0|≥．所以，只要取A=g （2），就有|﹣x 0|≥．11、（I ）解：由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a. 因为这两条切线平行，故有121ln ln x a a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-. 曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.学*科网即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于x 1的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点.2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，1(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥.下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln x a x a ≥+， 当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.。
2008年高考试题——数学理(天津卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i(A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数（4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a（5）设椭圆()1112222>=-+m m ymx 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21 (D)772（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a (C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a （7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
08高考数学天津卷含答案
天津卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是(A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 （4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a(C) βαβα//,,⊥⊂b a(D) βαβα⊥⊂,//,b a（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)21(D)772（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S=+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D)()x f 1-在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是 (A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=75tan ,75cos,72sinπππf c f b f a ，则(A) c a b<< (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2008天津高考数学理科试卷及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，3i (i 1)i 1+=-（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，5．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．12D6．设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ）A ．31a -<<-B ．31a --≤≤C ．3a -≤或1a -≥D ．3a <-或1a >-7．设函数()1)f x x =<≤的反函数为1()f x -，则（ D ）A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0 8．已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{}11x x -≤B ．{}1x x ≤C．{}1x xD．{}11x x ≤9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+，∞上是增函数．令2sin 7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．5x ⎛- ⎝的二项展开式中2x 的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．13．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，(12)AC =，，(32)BD =-，，。
天津历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列
天津历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列（2008-2018）试题1、15．（4分）（2008天津）已知数列{a n}中，，则= ．2、6．（5分）（2009天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．3、6．（5分）（2010天津）已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．4、4．（5分）（2011天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1105、11．（5分）（2014天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．解答题1、22．（14分）（2008天津）在数列{a n}与{b n}中，a1=1，b1=4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，2a n+1为b n与b n+1的等比中项，n∈N*．（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅲ）设．证明|T n|＜2n2，n≥3．2、22．（14分）（2009天津）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞1）．设s n=a1b1+a2b2+…+a n b n，T n=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，k n和l1，l2，…，l n是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=a k1b1+a k2b2+…+a kn b n，c2=a l1b1+a l2b2+…+a ln b n证明c1≠c2．3、22．（14分）（2010天津）在数列{a n}中，a1=0，且对任意k∈N*．a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为d k．（Ⅰ）若d k=2k，证明a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列（k∈N*）（Ⅱ）若对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，其公比为q k．4、20．（14分）（2011天津）已知数列{a n}与{b n}满足：，n∈N*，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设c n=a2n﹣1+a2n+1，n∈N*，证明：{c n}是等比数列；（Ⅲ）设S k=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：．5、18．（2012天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．6、19．（14分）（2013天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．7、19．（14分）（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．8、18．（13分）（2015天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．9、18．（13分）（2016天津）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b﹣b，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：．10、18．（13分）（2017天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．11、(18)(13分) （2018天津）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .答案1、解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为2、解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．3、解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．故选：C4、解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D5、解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得 a1=﹣，故答案为：﹣．解答题1、解：（Ⅰ）解：由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．（Ⅱ）解：由题设nS n+1﹣（n+3）S n=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．先证，n∈N*．当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，，等式成立．（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．由题设，kS k+1=（k+3）S k（k﹣1）S k=（k+2）S k﹣1①的两边分别减去②的两边，整理得ka k+1=（k+2）a k，从而．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．综上所述，等式对任何的n∈N*都成立再用数学归纳法证明b n=（n+1）2，n∈N*．（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即b k=（k+1）2，那么．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．当n=4k﹣1，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n当n=4k﹣2，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．当n=4k﹣3，k∈N*时，T n=3×4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n ﹣3．所以．从而n≥3时，有总之，当n≥3时有，即|T n|＜2n2．2、（Ⅰ）解：由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2n q2n﹣1，①T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2n q2n﹣1，S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2n q2n﹣1）1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）=2d（q+q3+…+q2n﹣1）=（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（a k1﹣a l1）b1+（a k2﹣a l2）b2+…+（a kn﹣a ln）b n=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（k n﹣l n）db1q n﹣1因为d≠0，b1≠0，所以若k n≠l n，取i=n若k n=l n，取i满足k i≠l i且k j=l j，i+1≤j≤n，由题设知，1＜i≤n且当k i＜l i2时，得k i﹣l i≤﹣1，由q≥n，得k i﹣l i≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（k i﹣1﹣l i﹣1）q i﹣2≤q i﹣2（q﹣1）又（k i﹣l i）q i﹣1≤﹣q i﹣1，所以因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2当k i＞l i，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．3、（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）++（a3﹣a1）=4k+4（k﹣1）++4×1=2k（k+1）由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2．于是．所以d k=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．（Ⅱ）证明：a1=0，a2=2，可得a3=4，从而，=1．由（Ⅰ）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*（2））若m=1，则．若m≥2，则+=所以（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）=所以，从而综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有4、（I）解：由，可得又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0，（II）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③②﹣③，得a2n=a2n+3．④将④代入①，可得a2n+1+a2n+3=﹣（a2n﹣1+a2n+1）即c n+1=﹣c n（n∈N*）又c1=a1+a3=﹣1，故c n≠0，因此是等比数列．（III）证明：由（II）可得a2k﹣1+a2k+1=（﹣1）k，于是，对任意k∈N*且k≥2，有将以上各式相加，得a1+（﹣1）k a2k﹣1=﹣（k﹣1），即a2k﹣1=（﹣1）k+1（k+1），此式当k=1时也成立．由④式得a2k=（﹣1）k+1（k+3）．从而S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k﹣2+a4k）=﹣k，S2k﹣1=S2k﹣a4k=k+3．所以，对任意n∈N*，n≥2，====对于n=1，不等式显然成立．5、解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．6、解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为∴q=﹣∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=综上，对于n∈N*，总有≤≤故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为7、（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．8、解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．9、证明：（1）∵{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．∴c n=b﹣b=a n+1a n+2﹣a n a n+1=2da n+1，∴c n+1﹣c n=2d（a n+2﹣a n+1）=2d2为定值；∴数列{c n}是等差数列；（2）T n=（﹣1）k b k2=c1+c3+…+c2n﹣1=nc1+•4d2=nc1+2n（n﹣1）d2，①n∈N*，由已知c1=b22﹣b12=a2a3﹣a1a2=2da2=2d（a1+d）=4d2，将c1=4d2，代入①得T n=n（n+1）d2，∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．10、解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n =．所以，数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和为．11、（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n n n k kn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑. （ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++， 所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑.。
2008年高考试题——数学理(天津卷)学生
英语第I卷第一部分：英语知识运用(共两节，满分45分)1. We’ll have a picnic in the park this Sunday _____ it rains or it’s very cold.A. sinceB. ifC. unlessD. until2. My brother is really ____. He often works in his office far into the night.A. open-mindedB. hard-workingC. self-confidentD. warm-hearted3. ---- I just can’t stop worrying about the result of the job interview.----_____. There’s nothing you can do now but wait.A. RelaxB. Go aheadC. Go for itD. Good luck4. _____ their hats into the air, the fans of the winning team let out loud shouts of victory.A. To throwB. ThrownC. ThrowingD. Being thrown5. To know more about the British Museum, you can use the Internet to go to the library, or _______.A. neitherB. someC. allD. both6. She ______ have left school, for her bike is still here.A. can’tB. wouldn’tC. shouldn’tD. needn’t7. The meal over, the managers went back to the meeting room to ______ their discussion.A. put awayB. take downC. look overD. carry on8. It was along the Mississippi River _______ Mark Twain spent much of his childhood.A. howB. whichC. thatD. where9. ----How much do I owe you for lunch?----______. It’s nothing.A. You’re welcomeB. Forget itC. With pleasureD. That’s right10. Many Chinese universities provided scholarships for students ______ financial aid.A. in favour ofB. in honour ofC. in face ofD. in need of11. Most air pollution is caused by the burning of ____ like coal, gas and oil.A. fuelsB. articlesC. goodsD. products12. The last time we had great fun was _____ we were visiting the Water Park.A. whereB. howC. whenD. why13. Her shoes ______ her dress; they look very well together.A. suitB. fitC. compareD. match14. He _____ football regularly for many years when he was young.A. was playingB. playedC. has playedD. had played15. At the railway station, the mother waved goodbye to her daughter until the train was _______.A. out f sightB. out f reachC. out f orderD. out f place第二节：完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30分）Jenna, a popular girl from Westwood Middle School, had graduated first in her class and was ready for new 16 in high school.17, high school was different. In the first week, Jenna went to tryouts(选拔赛)for cheerleaders(拉拉队队员). She was competing against very talented girls, and she knew it would be 18 for her to be selected. Two hours later, the 19 read a list of the girls for a second tryout. Her heart 20 as the list ended without her name. Feeling 21 , she walked home carrying her schoolbag full of homework.Arriving home, she started with math. She had always been a good math student, but now she was 22 . Shemoved on to English and history, and was 23 to find that she didn’t have any trouble with those subjects. Feeling better, she decided not to 24 math for the time being.The nest day Jenna went to see Mrs. Biden about being on the school 25 . Mrs. Biden wasn’t as 26 as Jenna. “I’m sorry, but we have enough 27 for the newspaper already. Co me back next year and we’ll talk then.” Jenna smiled 28 and left. “Why is high school so29 ?” she sighed.Later in 30 class, Jenna devoted herself to figuring out the problems that had given her so much 31 . By the end of class, she understood how t o get them right. As she gathered her books, Jenna decided she’d continue to try to 32 at her new school. She wasn’t sure if she’d succeed, but she knew she had to33 . High school was just as her mom had said: “You will feel like a small fish in a big pond 34 a big fish in a small pond. The challenge is to become the 35 fish you can be.”16. A. processes B. decision C. challenges D. exercises17. A. Therefore B. However C. Otherwise D. Besides18. A. difficult B. easy C. boring D. interesting19. A. editor B. boss C. candidate D. judge20. A. jumped B. sank C. stopped D. raced21. A. strange B. happy C. awful D. lonely22. A. struggling B. improving C. working D. complaining23. A. ashamed B. disappointed C. shocked D. relieved24. A. put up B. prepare for C. worry about D. give up25. A. committee B. newspaper C. radio D. team26. A. enthusiastic B. artistic C. sympathetic D. realistic27. A. speakers B. readers C. cheerleaders D. writers28. A. widely B. weakly C. excitedly D. brightly29. A. similar B. ordinary C. different D. familiar30. A. physics B. history C. English D. math31. A. pleasure B. hope C. trouble D. sorrow32. A. fit in B. look out C. stay up D. get around33. A. swim B. try C. ask D. escape34. A. in return for B. in case of C. in terms of D. instead of35. A. slimmest B. smallest C. best D. gentlest第二部分：阅读理解（共20小题;每小题2分，满分40分）ASandra Cisneros was born in Chicago in 1954 to a Mexican American family. As the only girl in a family of seven children, she often felt like she had “seven fathers,” because her six brothers, as well as her father, tried to control her. Feeling shy and unimportant, she retreated(躲避) into books. Despite her love of reading, she did not do well in elementary school because she was too shy to participate.In high school, with the encouragement of one particular teacher, Cisneros improved her grades and worked for the school literary magazine. Her father encouraged her to go to college because her thought it would be a good way for her to find a husband. Cisneros did attend college, but instead of searching for a husband, she found a teacher who helped her join the famous graduate writing program at the University of Iowa. At the university’s Writers’ Workshop, however, she felt lonely----a Mexican American from a poor neighborhood among students from wealthy families. The feeling of being so different helped Cisneros find her “Creative voice.”“It was not until this moment when I considered myself truly different that my writing acquired a voice. I knew I was a Mexican woman, but I didn’t think it had anything to do with why I felt so much imbalance in my life, but it hadeverything to do with it! That’s when I decided I would write about something my classmates couldn’t write about.”Cisneros published her first work, The House on Mango Street, when she was twenty-nine. The book tells about a young Mexican American girl growing up in a Spanish-speaking area in Chicago, much like the neighborhoods in which Cisneros lived as a child. The book won an award in 1985 and has been used in classes from high school through graduate school le vel. Since then, Cisneros has published several books of poetry, a children’s book, and a short-story collection.36. Which of the following is TRUE about Cisneros in her childhood?A. She had seven brothers.B. She felt herself a nobody.C. She was too shy to go to school.D. She did not have any good teachers.37. The graduate program gave Cisneros a chance to _____.A. work for a school magazineB. run away from her familyC. make a lot of friendsD. develop her writing style38. According to Cisneros, what played the decisive role in her success?A. Her early years in college.B. Her training in the Workshop.C. Her feeling of being different.D. Her childhood experience.39. What do we learn about The House on Mango Street?A. It is quite popular among students.B. It is the only book ever written by Cisneros.C. It wasn’t success as it was written in Spanish.D. It won an award when Cisneros was twenty-nine.BI love charity(慈善) shops and so do lots of other people in Britain because you find quite a few of them on every high street. The charity shop is a British institution, selling everything from clothes to electric goods, all at very good prices. You can get things you won’t find in the shops anymore. The thing I like best about them is that your money is going to a good cause and not into the pockets of profit-driven companies, and you are not damaging the planet, but finding a new home for unwanted goods.The first charity shop was opened in 1947 by Oxfam. The famous charity’s appeal to aid postwar Greece had been so successful it had been flooded with donations(捐赠物). They decided to set up a shop to sell some of these donations to raise money for that appeal. Now there are over 7,000 charity shops in the UK. My favourite charity shop in my hometown is the Red Cross shop, where I always find children’s books, all 10 or 20 pence each.Most of the people working in the charity shops are volunteers, although there is often a manager who gets paid. Over 90% of the goods in the charity shops are donated by the public. Every morning you see bags of unwanted items outside the front of shops, although they don’t encourage this, rather ask people to bring things in when the shop is open.The shops have very low running costs: all profits go to charity work. Charity shops raise more than ￡110 million a year, funding（资助）medical research, overseas aid, supporting sick and poor children, homeless and disabled people, and much more. What better place to spend your money? You get something special for a very good price and a good moral sense. You provide funds to a good cause and tread lightly on the environment.40. The author loves the charity shop mainly because of _______.A. its convenient locationB. its great variety of goodsC. its spirit of goodwillD. its nice shopping environment41. The first charity shop in the UK was set up to ____.A. sell cheap productsB. deal with unwanted thingsC. raise money for patientsD. help a foreign country42. Which of the following is TRUE about charity shops?A. The operating costs are very low.B. The staff are usually well paid.C. 90% of the donations are second-hand.D. They are open twenty-four hours a day.43. Which of the following may be the best title for the passage?A. What to Buy a Charity Shops.B. Charity Shop: Its Origin & Development.C. Charity Shop: Where You Buy to Donate.D. The Public’s Concern about Charity Shops.CMichael Fish may soon be replaced as a weather forecaster by something truly fishier---the shark(鲨鱼).Research by a British biology student suggests that sharks could be used to predict storms.Lauren Smith, 24, is close to completing her study on shark’s ability to sense pressure.If her studies prove the theory, scientists may be able to monitor the behaviour of sharks to predict bad weather.Miss Smith had previously studied the behaviour of lemon sharks in the Bahamas.She then used their close relatives, lesser spotted dogfish, for further research at Aberdeen University.Her work---thought to be the first of its kind to test the pressure theory ---- resulted from the observation that juvenile blacktip sharks off Florida moved into deeper water ahead of a violent storm in 2001.Miss Smith said: “I’ve always been crazy about traveling and diving and this led me to an interest in sharks.”“I was delighted to have been able to research in the area for my degree. I know there’s so much more we need to understand ---- but it certainly opens the way to more research.”It has been discovered that a shark senses pressure using hair cells in its balance system.At the Bimini Shark Lab in the Bahamas, Miss Smith fixed hi-tech sensors to sharks to record pressure and temperature, while also tracking them using GPS (Global Positioning System) technology.In Aberdeen, she was able to study the effects of tidal(潮汐的) and temperature changes on dogfish----none of which were harmed. She also used a special lab which can mimic(模拟) oceanic pressure changes caused by weather fronts.She is due to complete her study and graduate later this year. She says she will be looking for a job which will give her the chance to enrich her experience of shark research.44.The passage is most probably taken from _____.A. a short-story collectionB. a popular science magazineC. a research paperD. a personal diary45. What do we learn from the first four paragraph of the passage?A. Sharks may be used to predict bad weather.B. Sharks’ behaviour can be controlled.C. Michael Fish is not qualified for his job.D. Lauren Smith will become a weather forecaster.46. Lauren Smith conducted her research by _______.A. removing hair cells from a shark’s balance systemB. measuring the air pressure of weather frontsC. recording sharks’ body temperatureD. monitoring sharks’ reaction to weather changes47. What is the passage mainly about?A. A popular way of forecasting weather.B. A new research effort in predicting storms.C. Biologists’ interest in the secrets of sharks.D. Lauren Smith’s devotion to scientific resear ch.DWe can achieve knowledge either actively or passively（被动地）. We achieve it actively by direct experience, by testing and proving an idea, or by reasoning.We achieve knowledge passively by being told by someone else. Most of the learning that takes place in the classroom and the kind that happens when we watch TV or read newspapers or magazines is passive. Conditioned as we are to passive learning, it’s not surprising that we depend on it in our everyday communication with friends and co-workers.Unfortunately, passive learning has a serious problem. It makes us tend to accept what we are told even when it is little more than hearsay and rumor(谣言).Did you ever play the game Rumor? It begins when one person writes down a message but doesn’t show it to anyone. Then the person whispers it, word for word, to another person. That person, in turn, whispers it to still another, and so on, through all the people playing the game. The last person writes down the message word for word as he or she hears it. Then the two written statements are compared. Typically, the original message has changed.That’s what happens in daily life. The simple fact that peo ple repeat a story in their own words changes the story. Then, too, most people listen imperfectly. And many enjoy adding their own creative touch to a story, trying to improve on it, stamping（打上标记）it with their own personal style. Yet those who hear it think they know.This process is also found among scholars and authors: A statement of opinion by one writer may be re-stated as fact by another, who may in turn be quoted by yet another; and this process may continue, unless it occurs to someone to question the facts on which the original writer based his opinion or to challenge the interpretation he placed upon those facts.48. According to the passage, passive learning may occur in _______.A. doing a medical experimentB. solving a math problemC. visiting an exhibitionD. doing scientific reasoning49. The underlined word “it” in Paragraph 2 refers to _____.A. active learningB. knowledgeC. communicationD. passive learning50. The author mentions the game Rumor to show that _____.A. a message may be changed when being passed onB. a message should be delivered in different waysC. people may have problems with their sense of hearingD. people tend not to believe in what they know as rumor51. What can we infer from the passage?A. Active learning is less important.B. Passive learning may not be reliable.C. Active learning occurs more frequently.D. Passive learning is not found among scholars.EAs kids, my friends and I spent a lot of time out in the woods. “The woods” was our part-time address, destination, purpose, and excuse. If I went to a friend’s house and found him not at home, his mother might say, “Oh, he’s out in the woods, ” with a tone(语气) of airy acceptance. It’s similar to the tone people sometimes use nowadays to tell me that someone I’m looking for is on the golf course or at the gym, or even “away from his desk.” For us ten-year-olds, “being out in the woods” was just an excuse to d o whatever we feel like for a while.We sometimes told ourselves that what we were doing in the woods was exploring(探索). Exploring was a more popular idea back then than it is today. History seemed to be mostly about explorers. Our explorations, though, seemed to have less system than the historic kind: something usually came up along the way. Say we stayed in the woods, throwing rocks, shooting frogs, picking blackberries, digging in what we were briefly persuaded was an Italian burial mound.Often we got “lost” and had to climb a tree to find out where we were. If you read a story in which someone does that successfully, be skeptical: the topmost branches are usually too skinny to hold weight, and we could never climb high enough to see anything except other trees. There were four or five trees that we visited regularly----tall beeches, easy to climb and comfortable to sit in.It was in a tree, too, that our days of fooling around in the woods came to an end. By then some of us has reached seventh grade and had begun the rough ride of adolescence（青春期）. In March, the month when we usually took to the woods again after winter, two friends and I set out to go exploring. We climbed a tree, and all of a sudden it occurred to all three of us at the same time that were really were rather big to be up in a tree. Soon there would be the spring dances on Friday evenings in the high school cafeteria.52. The author and his fiends were often out in the woods to _______.A. spend their free timeB. play gold and other sportsC. avoid doing their schoolworkD. keep away from their parents53. What can we infer from Paragraph 2?A. The activities in the woods were well planned.B. Human history is not the result of exploration.C. Exploration should be a systematic activity.D. The author explored in the woods aimlessly.54. The underlined word “skeptical” in Paragraph 3 is closest in meaning to ______.A. calmB. doubtfulC. seriousD. optimistic55. How does the author feel about his childhood?A. Happy but short.B. Lonely but memorable.C. Boring and meaningless.D. Long and unforgettable.第三部分：写作第一节：短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）Last summer I go to America and studied at a language 56.school. I had many wonderful experience, but I also 57.had a sad one. One day, the school held party, where 58.I invited to talk about Tianjin. After that they asked me a lot of 59.Things about China. But I couldn’t explain them with English 60.Clearly. I felt sadly. I learnt a lesson from this experience. I 61.have already studied English for eight years, I can’t use it 62.very good. I must work hard to improve my spoken English 63.so that I will not be able to communicate freely with foreigners. 64.I hope I can be a bridge between China and others countries 65.in the future.第二节：书面表达（满分25分）66.假设2008年2月12日是你父亲的生日，下面三幅图描绘的是你给父亲买完礼物后乘坐地铁回家时经历的一件事。
2008高考天津数学理科试卷含详细解答(全word版)
绝密 ★ 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i解析：()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ． （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5解析：如图，由图象可知目标函数y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．（3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ．（4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 解析：A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772解析：由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒== 所以2d =，选B ．（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 解析：{|15}S x x x =<->或，所以13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩，选A ．（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0(C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以1()f x -单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，所以1()f x -最小值为0．（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x解析：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或，选C ． （9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． （10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有31248412⨯=种不同的排法，选B ．第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2008年高考—理科综合(天津卷)Word版含答案
（2）更多氨基酸分解，含氮部分转变成尿素的量增加
（3）②
增加
血糖含量过高，在排出糖的同时，带走更多的水，导致多尿
31.（16分）
（1）NADPH
叶绿体基质
（2）细胞质中
（3）①自然选择
②初步选择能降解莠去津的细菌（目的菌）并提高其密度
培养液中缺少甲类细菌可利用的氮源或（和）有氧条件抑制了甲类细菌的生长
d＝(2k＋1) 或λ= (k∈N)①
（3）由于满足第（2）问条件，则MN、PQ边所在处的磁感就强度大小均为B0且方向总相反，经短暂时间Δt，磁场沿Ox方向平移，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt。
因为v0＞v，所以在Δt时间内MN边扫过的磁场面积
S＝(v0－v)lΔt
在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通移进金属框而引起框内磁通量变化
＝B0l(v0－v)Δt②
同理，该Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁场引起框内磁通量变化
＝B0l(v0－v)Δt③
故在内金属框所围面积的磁通时变化
＝ ＋ ④
根据法拉第电磁感应定律，金属框中感应电动势大小
E＝ ⑤
根据闭合电路欧姆定律有
I＝ ⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力
FMN＝B0Il
PQ边所受的安培力
（1）1.880（1.878～1.882均正确）
（2）
（3）
相同
23.（16分）
（1）设粒子过N点时速度v，有
＝cosθ①
v＝2v0②
粒子从M点运动到N点的过程，有
qUMN＝ mv2－ mv ③
UMN＝ ④
（2）粒子在磁场中以O/为圆做匀速圆周运动，半径为O/N，有
qvB＝ ⑤
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)(理科)2070
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）（理科） 测试题 2019.91,已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值.2,甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.3,如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小.4,已知函数()()0≠++=x b x ax x f ，其中R b a ∈,.（Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f的解析式；（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性；（Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.5,已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x .（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围.6,在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.（Ⅰ）求22,b a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设()()()*,1112121N n b b b T n a a a n n∈-++-+-= .证明3,22≥<n n T n .7,52⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 （用数字作答）. 8,一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 .9,已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .10,如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==， 则=⋅AC AD .测试题答案1, 解：（Ⅰ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是 10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x 54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x（Ⅱ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫⎝⎛--=--=x x 2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππx x x2, 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得()()()1611122=-=-p B P解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()()()41,43,21,21====B P B P A P A Pξ可能的取值为0，1，2，3，故()()()321412102=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ()()()()()()32721414324121321412112212=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅==A P B P B P C B B P A P P ξ()()()329432132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ()()()()321531012==-=-=-==ξξξξP P P Pξ的分布列为ξ的数学期望232933215232713210=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE3,解：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥.在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ， 所以⊥AD 平面PAB .（Ⅱ）证明：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角.在PAB ∆中，由余弦定理得由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ，所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故27tan ==BC PB PCB所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan. （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ，因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科综合
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科综合能力测试第Ⅰ卷（本卷共21题，每题6分，共126分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H—1 C—12 O—16 S—32 Cl—35.5 K—39 Br—80一、选择题1．下列关于蛋白质和氨基酸的叙述，正确的是（）A．具有生物催化作用的酶都是由氨基酸组成的B．高等动物能合成生命活动所需的20种氨基酸C．细胞中氨基酸种类和数量相同的蛋白质是同一种蛋白质D．在胚胎发育过程中，基因选择性表达，细胞会产生新的蛋白质2．下列有关生物膜的叙述，正确的是（）A．大鼠脾细胞与兔造血干细胞的细胞膜能够发生融合B．用蛋白酶处理生物膜可改变其组成，不改变其通透性C．在生长激素的合成和分泌过程中，生物膜只发生结构上的联系D．兴奋在神经纤维上传导和在神经元间传递时，生物膜发生的变化是相同的3．下列有关特异性免疫的叙述，正确的是（）A．当抗原侵入宿主细胞时，细胞免疫才开始发挥作用B．效应B细胞的产生，需要T细胞和抗原的共同刺激C．在体液免疫过程中，每个效应B细胞只分泌一种特异性抗体D．当同一种抗原再次进入机体时，产生的效应B细胞均来自记忆细胞4．为获得纯合高蔓抗病番茄植株，采用了下图所示的方法：图中两对相对性状独立遗传。
据图分析，不正确的是（）A．过程①的自交代数越多，纯合高蔓抗病植株的比例越高B．过程②可以取任一植株的适宜花药作培养材料C．过程③包括脱分化和再分化两个过程D．图中筛选过程不改变抗病基因频率5．为研究人工生态系统中大草履虫和栉毛虫间捕食关系的影响因素，设计两组实验：实验一：在培养液中依次加入草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见甲图）；实验二：在培养液中先加入沉渣作隐蔽场所，再同时加入大草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见乙图）。
据实验判断，正确的是（）A．沉渣对栉毛虫的种群数量变化无影响B．大草履虫以栉毛虫为食C．培养液为上述生态系统提供能量D．大草履虫的能量除用于自身代谢外，其余部分流入栉毛虫6．下列有关ATP 的叙述，正确的是（）①人长时间剧烈运动时，骨骼肌细胞中每摩尔葡萄糖生成ATP 的量与安静时相等②若细胞内Na+浓度偏高，为维持Na+浓度的稳定，细胞消耗ATP 的量增加③人在寒冷时，肾上腺素和甲状腺激素分泌增多，细胞产生式ATP 的量增加④人在饥饿时，细胞中ATP与ADP的含量难以达到动态平衡A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．二十世纪化学合成技术的发展对人类健康水平和生活质量的提高做出了巨大贡献。
2008年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y 的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx 的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6 B．2 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故选A．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0【考点】反函数．【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：∵为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，∴f﹣1（x）最小值为0故选D【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1} C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】偶函数；不等式比较大小．【专题】压轴题．【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．【解答】解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．（2）培养数形结合的思想方法．10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x2的系数是40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．故答案为40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10．【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=10【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题．14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则∴．故答案为：3【点评】用基底表示向量，然后进行运算，比较困难．要启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．15．（4分）（2008•天津）已知数列{a n}中，，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由求a n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2}．【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由log a x+log a y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：∵log a x+log a y=c，∴=c∴xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2008•天津）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．18．（12分）（2008•天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），∴乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知ξ可能的取值为0，1，2，3，P（ξ=1）=P（A）P（）+•P（B）P（）P（）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，是近几年高考题目中经常出现的一个问题．19．（12分）（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题．【分析】（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD 及线面垂直的判定定理及、此问得证；（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=．所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB﹣AH=2，BD=，HE=于是在RT△PHE中，tanPEH=所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan．【点评】本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，还考查了利用反三角函数的知识求出角的大小．20．（12分）（2008•天津）已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．所以函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）解：．当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．当a＞0时，令f'（x）=0，解得．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：xf′（x）+ 0 ﹣﹣0 +↗f（x）↗极大值↘↘极小值所以f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数；当a＞0时，f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的b的取值范围是．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．21．（14分）（2008•天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C 的方程．（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5﹣4k2＞0．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，k≠0．将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．解得或．所以k的取值范围是．【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．22．（14分）（2008•天津）在数列{a n}与{b n}中，a1=1，b1=4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，2a n+1为b n与b n+1的等比中项，n∈N*．（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅲ）设．证明|T n|＜2n2，n≥3．【考点】数列的应用；数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）解：题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．（Ⅱ）由题设条件猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|T n|＜2n2．【解答】解：（Ⅰ）解：由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．（Ⅱ）解：由题设nS n+1﹣（n+3）S n=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．先证，n∈N*．当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，，等式成立．（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．由题设，kS k+1=（k+3）S k（k﹣1）S k=（k+2）S k﹣1①的两边分别减去②的两边，整理得ka k+1=（k+2）a k，从而．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．综上所述，等式对任何的n∈N*都成立再用数学归纳法证明b n=（n+1）2，n∈N*．（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即b k=（k+1）2，那么．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．当n=4k﹣1，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n当n=4k﹣2，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．当n=4k﹣3，k∈N*时，T n=3×4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n﹣3．所以．从而n≥3时，有总之，当n≥3时有，即|T n|＜2n2．【点评】本题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．。
高考天津数学理科试卷含详细解答全word版
高考天津数学理科试卷含详细解答全word版绝密 ★ 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么 ·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，()=-+113i i i(A) 1- (B) 1 (C)i- (D)i解析：()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ．（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5解析：如图，由图象可知目标函数y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值，max5z=，选D ．（3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ． （4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 (A)βαβα⊥⊥,//,b a (B)βαβα//,,⊥⊥b a (C)βαβα//,,⊥⊂b a (D)βαβα⊥⊂,//,b a解析：A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ． （5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C) 21 (D) 772解析：由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒==所以2d =，选B ．（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是 (A)13-<<-a (B)13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D)3-<a 或1->a解析：{|15}S x x x =<->或，所以13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩，选A ．（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为解析：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以1()fx -单调递增，排除B 、C ；又1()fx -的值域为()f x 的定义域，所以1()fx -最小值为0．（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D){}1212|-≤≤--x x解析：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或，选C ．（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 (A) ca b << (B)ab c << (C)ac b <<(D)cb a <<解析：5(cos )(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，所以b a c<<，选A ．（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A=种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A=去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A=种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有31248412⨯=种不同的排法，选B ．第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
数学试卷201908年普通高等国统一考试数学(天津卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，3i (i 1)i 1+=-（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，5．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．12D．76．设集合{}23S x x =->，{}8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ）A ．31a -<<-B ．31a --≤≤C ．3a -≤或1a -≥D ．3a <-或1a >-7．设函数()1)f x x =<≤的反函数为1()f x -，则（ ）A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1 B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0 C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1 D ．1()fx -在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{}11x x -≤B ．{}1x x ≤C．{}1x xD．{}11x x ≤9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+，∞上是增函数．令2sin7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．5x ⎛ ⎝的二项展开式中2x 的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．13．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，(12)AC =，，(32)BD =-，， 则AD AC = ．15．已知数列{}n a 中，11a =，111()3n n n a a n ++-=∈*N ，则lim n n a →∞= ． 16．设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB =∠．（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数()(0)af x x b x x=++≠，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))P f ，处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求b 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．A BCDP22．（本小题满分14分）在数列{}n a 与{}n b 中，11a =，14b =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，12n a +为n b 与1n b +的等比中项，n ∈*N ． （Ⅰ）求2a ，2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设1212(1)(1)(1)n aaan n T b b b n =-+-++-∈*N …，，证明223n T n n <，≥．2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．40 12．24 13．22(1)10x y +-=14．315．7616．{}2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，于是sin 410x π⎛⎫-==⎪⎝⎭． sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭41021025=+⨯=．解法二：由题设得2210x x +=，即1cos sin 5x x +=． 又22sin cos 1x x +=，从而225sin 5sin 120x x --=，解得4sin 5x =或3sin 5x =-． 因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以4sin 5x =．（Ⅱ）解：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故3cos 5x ===-．24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-． 所以，sin 2sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ， 由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34． （Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =．ξ可能的取值为0，1，2，3，故2111(0)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==+211311722444232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 2139(3)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯=⎪⎝⎭， 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为ξ的数学期望0123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角． 在PAB △中，由余弦定理得 PB ==由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，AB CDPHE所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，故tan 2PB PCB BC ==．所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan2． （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，2BH AB AH =-=，BD =，13AD HE BH BD ==．于是在Rt PHE △中，tan 4PH PEH HE ==．所以二面角P BD A --的大小为 20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x '=-． 当0a ≤时，显然()0(0)f x x '>≠，这时()f x 在(0)-∞，，(0)+，∞内是增函数．当0a >时，令()0f x '=，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在-，+∞内是增函数，在(，(0内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为14f ⎛⎫⎪⎝⎭与(1)f 中的较大者，对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，当且仅当1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩≤，≤， 即39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤ 对任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，成立． 从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是74⎛⎤- ⎥⎝⎦∞，．21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，由题设得2292a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ② 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =--．整理得222(54)k m k-=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得0k <<或54k >． 所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞． 22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有22214a b b =，14b =，解得29b =．（Ⅱ）解法一：由题设1(3)0n n nS n S +-+=，11a =，14b =，及23a =，29b =， 进一步可得36a =，316b =，410a =，425b =，猜想(1)2n n n a +=，2(1)n b n =+，n ∈*N ． 先证(1)2n n n a +=，n ∈*N ． 当1n =时，11(11)2a ⨯+=，等式成立．当2n ≥时用数学归纳法证明如下： （1）当2n =时，22(21)2a ⨯+=，等式成立． （2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a +=，2k ≥． 由题设，1(3)k k kS k S +=+， ①1(1)(2)k k k S k S --=+． ②①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)k k ka k a +=+，从而 []1(1)(1)122(1)22k k k k k k k k a a k k +++++++===． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a +=对任何的2n ≥成立．综上所述，等式(1)2n n n a +=对任何的n ∈*N 都成立． 再用数学归纳法证明2(1)n b n =+，n ∈*N ．（1）当1n =时，21(11)b =+，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2(1)k b k =+，那么[]22221124(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k ++++===+++． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式2(1)n b n =+对任何的n ∈*N都成立．解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+， ①1(1)(2)n n n S n S --=+． ②①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥，所以 3224a a =，4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a --=+，3n ≥．将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥． 上式对1n =，2也成立． 由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即 1221(1)(2)n n b b n n +=++，n ∈*N ． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以 21(1)n b n =+．即 2(1)n b n =+，1n ≥．解法三：由题设有1(3)n n nS n S +=+，n ∈*N ，所以214S S =，3225S S =，……1(1)(2)n n n S n S --=+，2n ≥．将以上各式左右两端分别相乘，得112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+……，化简得1(1)(2)(1)(2)236n n n n n n n S a ++++==⨯，3n ≥． 由（Ⅰ），上式对1n =，2也成立．所以1(1)2n n n n n a S S -+=-=，2n ≥． 上式对1n =也成立． 以下同解法二，可得2(1)n b n =+，1n ≥．（Ⅲ）证明：1212(1)(1)(1)n aa a n n Tb b b =-+-++-… (1)222223(1)(1)n n n +=--++-+…． 当4n k =，k ∈*N 时，222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++…． 注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故 (1)32(12)43242n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-… 224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+．当41n k =-，k ∈*N 时， 22222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+=． 当42n k =-，k ∈*N 时， 22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---． 当43n k =-，k ∈*N 时， 222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--． 所以，2234333424134n n n k n n n k T k n n k n n n k --=-⎧⎪---=-⎪=∈⎨=-⎪⎪+=⎩*N ，，， ，，，， ， 从而3n ≥时，有22213259133312610141237113124812n n n n n T n n n n n n n⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩，，，，…，， ，，，…，， ，，，…，， ，，，…． 总之，当3n ≥时有22n T n<，即22n T n <．。
2008年高考天津理综试卷及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共300分，考试用时150分钟。
第Ⅰ卷l 至5页，第Ⅱ卷6至15页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考兮、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共21题，每题6分．共126分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质最：H 1C12O 16 S 32 Cl 35.5 K 39 Br 801.下列关于蛋白质和氨基酸的叙述，正确的是A.具有生物催化作用的酶都是由氨基酸组成的B.高等动物能合成生命活动所需的20种氨基酸C.细胞中氨基酸种类和数量相同的蛋白质是同一种蛋白质D.在胚胎发育过程中，基因选择性表达，细胞会产生新的蛋白质2.下列有关生物膜的叙述．正确的是A.大鼠脾细胞与免造血千细胞的细胞膜能够发生融合B.用蛋白酶处理生物膜可改变其组成，不改变其通透性C.在生长激素的合成和分泌过程中，生物膜只发生结构上的联系D.兴奋在神经纤维上传导和在神经元间传递时，生物膜发生的变化是相同的3.下列有关特异性免疫的叙述，正确的是A.当抗原侵入宿主细胞时．细胞免疫才开始发挥作用B.效应B细胞的产生，需要T细胞和抗原的共同刺激C.在体液免疫过程中．每个效应B细胞只分泌一种特异性抗体D .当同一种抗原再次进入机体时．产生的效应B 细胞均来自记忆细胞4.为获得纯合高蔓抗病番茄植株，采用了下图所示的方法；图中两对相对性状独立遗传。
据图分析，不正确．．．的是 A .过程①的自交代数越多，纯合高蔓抗病植株的比例越高B .过程②可以取任一植株的适宜花药作培养材料C .过程③包括脱分化和再分化两个过程D .图中筛选过程不改变抗病基因频率5.为研究人工生态系统中大草履虫和栉毛虫间捕食关系的影响因素，设计两组实验：实验一：在培养液中依次加入草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见甲图）；实验二：在培养液中先加入沉渣作隐蔽场所，再同时加入大草履虫和栉毛虫，得到种群数量变化曲线（见乙图）。
2008-2015年天津市高考理科函数及导数
数学（理工类）7．设函数的反函数为，则（ ）A ．在其定义域上是增函数且最大值为1B ．在其定义域上是减函数且最小值为0C ．在其定义域上是减函数且最大值为1D ．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为．20．（本小题满分12分） 已知函数，其中． （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．()1)f x x =<≤1()f x -1()f x -1()f x -1()f x -1()fx -10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，(1)(1)1x x f x +++≤{}11x x -≤{}1x x≤{}1x x{}11x x -≤()f x R [)0+，∞2sin 7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b a c <<c b a <<b c a <<a b c <<1a >c []2x a a ∈，2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，log log a a x y c +=a ()(0)af x x b x x=++≠a b ∈R ，()y f x =(2(2))P f ，31y x =+()f x ()f x 122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()10f x ≤114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b数学（理工类）（8）已知函数若则实数的取值范围是A B C D （10）.0＜b ＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（A ）-1＜a ＜0 （B ）0＜a ＜1 （C ）1＜a ＜3 （D ）3＜a ＜6 （20）（满分12分）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率； （2） 当时，求函数的单调区间与极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i是虚数单位，=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β5．（5分）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6 B．2 C．D．6．（5分）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a ＞﹣17．（5分）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为08．（5分）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1}C．D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c10．（5分）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为（用数字作答）．12．（4分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为．13．（4分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，则=．15．（4分）已知数列{a n}中，，则=．16．（4分）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b 的取值范围．21．（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．22．（14分）在数列{a n}与{b n}中，a1=1，b1=4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，2a n+1为b n与b n+1的等比中项，n∈N*．（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅲ）设．证明|T n|＜2n2，n≥3．2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=As inωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6 B．2 C．D．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a ＞﹣1【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故选A．7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：∵为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，∴f﹣1（x）最小值为0故选D8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1}C．D．【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．【解答】解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选B．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为40（用数字作答）．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．故答案为4012．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：2413．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+．（y﹣1）2=10【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=1014．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则∴．故答案为：315．（4分）（2008•天津）已知数列{a n}中，，则=．【分析】首先由求a n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2} ．【分析】由log a x+log a y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：∵log a x+log a y=c，∴=c∴xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2008•天津）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．【分析】（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx 的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．18．（12分）（2008•天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），∴乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知ξ可能的取值为0，1，2，3，P（ξ=1）=P（A）P（）+•P（B）P（）P（）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．19．（12分）（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．【分析】（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理及、此问得证；（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=．所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB﹣AH=2，BD=，HE=于是在RT△PHE中，tanPEH=所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan．20．（12分）（2008•天津）已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f （2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．所以函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）解：．当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．当a＞0时，令f'（x）=0，解得．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f （x ）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．综上，当a ≤0时，f （x ）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数； 当a ＞0时，f （x ）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f （x ）在上的最大值为与f （1）的较大者，对于任意的，不等式f （x ）≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的b 的取值范围是．21．（14分）（2008•天津）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以k （k ≠0）为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k 的取值范围．【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C 的方程．（2）设出直线l 的方程，代入双曲线C 的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN 的中点坐标，从而得到线段MN 的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5﹣4k2＞0．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，k≠0．将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．解得或．所以k的取值范围是．22．（14分）（2008•天津）在数列{a n}与{b n}中，a1=1，b1=4，数列{a n}的前n ﹣（n+3）S n=0，2a n+1为b n与b n+1的等比中项，n∈N*．项和S n满足nS n+1（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅲ）设．证明|T n|＜2n2，n≥3．【分析】（Ⅰ）解：题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．（Ⅱ）由题设条件猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|T n|＜2n2．【解答】解：（Ⅰ）解：由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．﹣（n+3）S n=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可（Ⅱ）解：由题设nS n+1得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．先证，n∈N*．当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，，等式成立．（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．=（k+3）S k（k﹣1）S k=（k+2）S k﹣1由题设，kS k+1①的两边分别减去②的两边，整理得ka k=（k+2）a k，从而+1．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．综上所述，等式对任何的n∈N*都成立再用数学归纳法证明b n=（n+1）2，n∈N*．（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即b k=（k+1）2，那么．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．当n=4k﹣1，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n当n=4k﹣2，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．当n=4k﹣3，k∈N*时，T n=3×4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n﹣3．所以．从而n≥3时，有总之，当n≥3时有，即|T n|＜2n2．。