用函数的对称性与周期性PPT课件
《函数的周期性》课件
对于一些基本的周期函数，如正弦函数、余弦函数等，可以直接使 用其周期公式来求解。
计算法
通过计算函数在两个不同点上的值，然后比较这两个值是否相等来 确定函数的周期。
函数周期性的进一步研究
特征，如振幅、相位等。
周期函数的性质
02
研究周期函数的性质，如对称性、奇偶性等。
周期性理解
周期性是函数的一种特性，它描述了函数值重复出现的规律。周期函数在一个 周期内的变化规律与整个函数的变化规律相同。
周期性的分类
最小正周期
如果存在一个最小的正数$T$，使得 对于函数$f(x)$的定义域内的每一个 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$ 为函数$f(x)$的最小正周期。
函数周期性的扩展知识
最小正周期的概念
最小正周期
对于函数$f(x)$，如果存在一个正数 $T$，使得当$x$取值在$T$的长度 内重复出现时，函数$f(x)$的值也重 复出现，则称$T$为函数$f(x)$的最 小正周期。
周期性
函数在某个固定周期内重复出现的性 质。
函数的最小正周期的求法
观察法
通过观察函数图像或性质，直接判断出函数的周期。
《函数的周期性》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 函数的周期性概述 • 三角函数的周期性 • 函数周期性的判定 • 函数周期性的应用 • 函数周期性的扩展知识
目录
01
函数的周期性概述
周期性的定义
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，非零常数$T$称为这个函数的 周期。
常见周期函数
函数的对称性、周期性及其应用
函数的对称性、周期性及其应用（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦;② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称; （3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦;② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。
备战高考数学复习知识点讲解课件33---三角函数的周期性、奇偶性与对称性
三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象 的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得 x＝ （2k＋21ω）π－2φ，k∈Z，即对称轴方程；令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得 x＝kπω－φ， k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)．对于 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意 y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
解析：因为
y＝2
23sin
2x＋12cos
2x＝2sin2x＋π6，所以
T＝22π＝π.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图， 则 f(x)的最小正周期为( )
10π
7π
A. 9
B. 6
√C.43π
D.32π
解析：由题图知，函数 f(x)的最小正周期 T 满足 0－(－π)<T<π－－49π，即 π<T<139π，即 π<|2ωπ|<139π，即1138<|ω|<2.因为函数 f(x)的图象过点－49π，0， 所以 cos－49πω＋π6＝0，所以－49πω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得 ω＝－94k－34 (k∈Z)，又1138<|ω|<2，所以 k＝－1，ω＝32，所以 T＝2ωπ＝43π.
角度 2 对称性
(1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线 x＝π3
对称，它的最小正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是( )
函数周期性对称性
一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。
3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。
4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。
（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。
（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。
（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。
（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。
二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是f(x)的周期。
2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。
（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。
（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。
（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义
域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×
偶=偶,奇×偶=奇.
所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,f( )=f( -2)=f(- )= .
故选 C.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
2x3-3x+1,则f(-3)=-(-54+9+1)=44.
是奇函数,且单调递增,
故原不等式等价于 f(x)- ≤ -f(a-2x),
即(-) ≤-(--) =(2x-a+1)
,
所以 x-1≤2x-a+1,
所以 x+2≥a 在任意的 x∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在
定义域为 R,g(-x)=ln( + -x),
而 g(-x)+g(x)=ln( + -x)+ln( + +x)=0,符合题意.故选 ABD.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数
函数的周期性和对称性PPT课件
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
定理1：若定义在 上的函数 的图象关于直线 和 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论1：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
定理2：若定义在 上的函数 的图象关于点 和直线 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
推论2：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数.
性质4：设函数 ，如果对于定义域内任意的 ，都有 ，则 的图象关于点 对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式( )
对称性
函数 图象是奇函数
函数 图象是偶函数
或
函数 图象关于直线 对称
或
函数 图象关于点 对称
【注】：这里代数关系式中两个“ ”（对应法则）内的“ ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ ”放在“ ”的两边，则“ ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
7、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
8、若奇函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数.
四函数图象的对称轴和对称中心举例对称轴中心满足五函数周期性对称性与奇偶性的关系1定义在对称即对于任意的实数为周期的周期函数且是偶函数
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
一、函数图象的对称性
(一)一个函数图象自身的对称性
性质1：对于函数 ，若存在常数 使得函数定义域内的任意 ，都有的图象关于直线 对称.
函数的周期性ppt课件
当x∈［2,3］时，f(x)=x，则x∈［-2,0］时，f(x)的解析式
为( )
(A)f(x)=2+|x+1|
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
【创新体验】分段函数的性质判断
【典例】(2012·福建高考)设函数 Dx 10,,xx为为有无理理数数，，则下列
结论错误的是( )
(A)D(x)的值域为{0,1}
(B)D(x)是偶函数
(C)D(x)不是周期函数
(D)D(x)不是单调函数
3.(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+ f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1 2 010 335.
6
而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
个周期.
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】选B.∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)=f(0)=0,故选B.
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
函数的周期性与对称性
【例2】 f (x)满足f (x) f (6 x), f (x) f (2 x),若f (a) f (2000),
a 5,9且f (x)在5,9上是单调函数。求a的值。
【解析】
f (x) f (6 x); f (x)关于点（3,0）对称 又 f (x) f (2 x); f (x)关于x 1对称 T 8; f (2000) f (0) 又 f (a) f (2000); f (a) f (0) 又 f (x) f (6 x); f (0) f (6) f (0) f (6); f (a) f (6) a 6
【例题解析】 例 1.若定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) ，当
x (0,1) 时， f (x) 2x 求 f (5.5) 的值
解：由f x 1 f x 0得f x 1 f x f x 2 f x 11 f x 1 f x f x 是周期为2的周期函数 f 5.5 f 5.5 6 f 0.5 f 0.5
f (a x) f (a x)
f (x) f (2a x)
(a,0)
推广： f (a x) f (b x) f (x)本身关于（ a b ,0)对称 2
2. y f (x) 与 y f (2a x) 关于 (a,0)点对称
推广： y f (a x) 与 y f (b x) 关于 (b a ,0) 点对称 2
推广：
y f a x与y f b x 关于直线x b a 对称.
2
奇 函 数 f (x) 可 以 看 出 关 于 (0,0) 点 对 称 ， 可 以 表 示 为 f (x) f (x) ， 即
f (0 x) f (0 x) ,那么如果函数 f (x) 关于 (a,0)点对称，能写成什么形式呢？
第七讲函数之周期性与对称性
第七讲函数之周期性与对称性函数的周期性与对称性一．定义：假定T 为非零常数，关于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立那么f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，那么()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 假定函数()()f x a f x a +=-，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、假定函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，那么()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，那么()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 假定函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),那么f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 假定函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,那么f(x)为周期函数且2〔b-a 〕是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，那么函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，那么函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、假定偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，那么f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点 关于_y_轴__对称
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy c o s =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。
6、曲线()x f y =关于直线a x =与bx =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y=是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=f(x)1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x)1-,则()x f y =是以 为周期的函数. 4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
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2013年10月
.
1
一、知识要点 函 数 图 象 的 对 称 性
对称轴(中心) 特征表达式
实例
xa
f(ax) f(ax) f(x) f(2ax)
y(xa)21
( a，b )
f(ax)f(ax)2b f(x)f(2ax)2b
y(xa)3b
函 数 的 周 期 性 ： f ( x T ) f ( x ) ( T 0 )
2
二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练
1.根据解析式判断函数图象的对称性
1. 函数f(x)2x3的图像关于点 对称.
2. 函数f(x)的3定x义 1域为R，且f(12x) f(2x)，
则y f(2x)的图象关于
对称；
y f(x)的图象关于
对称.
3. f(x)是偶函数，f(x2)是奇函数，且f(0)2008，
f (2 x) f (2 x)，若f ( x) 0有51个根，求所
有这些根的和.
解题指要：利用函数的对称性解题时关键在
于考查两个函数值，周期性反映了函数值重
复出现的特性.
.
7
6.作业
1 .已 知 f ( x )是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ，又 是 以 2为 周 期 的 周 期 函 数 ，若 f ( x )在 [ 1，0 ]上 是 减 函 数 ， 判 断 f ( x )在 [ 2，3 ]上 的 单 调 性 .
4 .如 果 函 数 f ( x ) b x 5 的 图 象 关 于 点 (1，2 )对 称 ， ax 1
求 函 数 f ( x )的 单 调 区 间 .
5 .若 函 数 f ( x ) 2 sin ( x )的 对 称 轴 和 与 它 最 近
4
的 对 称 中 心 的 距 离 为 ，. 求 该 函 数 的 值 域 . 8
重要结论：
1. 若f(x)有两条(个)对称轴(中心)xa(a，0)，xb(b，0)
(ab)，则f(x)是以2|ab|为周期的周期函数；
2. 若f(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b，0)(ab)，
则f(x)是以4|ab|为周期的周期函数；
3.若f(x)、g(x)都是周期函数，且a0，b0，
则af(x)bg(x)是周期函数..
2 .已 知 f ( x )图 象 关 于 点 ( 1，1 )对 称 ，且 x [ 3，5 ]时 f ( x ) 2 x 2 x . x [ 7， 5 ]时 ，求 f ( x )的 解 析 式 .
3 .函 数 y lo g 2 | 2 x a |的 图 象 关 于 直 线 x 3 对 称 ， 解 关 于 x的 不 等 式 x 2 ax 5 0.
解集是(a 2，b)，g( x) 0的解集是( a 2 ，b )，a 2 b，
22
2
则f ( x) g( x) 0的解集是
.
2.若
函
数
f
(
x
)
a2 2x
x b 2
( a、b
R
)的
图
象
关
于点
(1，0 )对 称 ，求 a、b满 足 的 关 系.
3.若函数f ( x)的定义域为R，且对任意x R，有
2. 已知f (x)的图象关于点(2，0)对称，x(0，1]时，
f (x) x2 1 ，求x[5，4)时，f (x)的解析式. 2x
3. 已知f (x)的图象关于点(1，2)对称，且x(0，1]
时，f (x) x2 1 ，求x[1，2)时，f (x)的解析式.
解题指要：
2x
此类问题的解法通常是在给定的区间内任取一个自变量，
6.若 函 数 y 3sin(2 x )的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 求 的 值 .
7. 若 定 义 在 R上 的 函 数 g ( x )， 满 足 对 任 意 实 数 x都 有
g (1 x ) g (2 x )成 立 ，且 g ( x ) 0有 101个 实 数 根 ， 求所有实根之和.
关于
对称.
3. 已知y f (x)是奇函数，则y f (x1)2的图
象关于
对称.
解题指要： 函数图象经过平移后，对应的函数图象的对称
中心（或对称轴）也进行了相应的平移；
.
4
3.根据函数图象的对称性求函数的解析式
1. 已知f (x)的图象关于直线x 2对称，且x(0，1]
时，f (x) x2 1 ，求x[3，4)时，f (x)的解析式. 2x
8
.若
函
数
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2s
in
(
k
x
3
)的
最
小
正
周
期
为
T
(
1， 2
5 2
)，
求 实 数 k的 取 值 范 围 .
9.函 数 y f ( x )是 定 义 在 R上 周 期 为 4的 周 期 函 数 ，
且 当 x [ 2， 2 )时 ， f ( x ) | x 3 | .
(1)求 f ( x )在 R上 的 解 析 式 ；
求f(2010)的值.
解题指要：常见函数的对称性：
1. f(x)axb(c0)的图像关于点(d，a)对称； 2. f(x)|cxxad|的图象关于xa对称；c c
3. f(x)ax2bxc(a0)的图象关于x b 对称； 4.奇(偶)函数的图象关于原 . 点(y轴)对称. 2a 3
2.平移变换后，函数图象的对称性
1. 已知函数y f (x)是偶函数，f (x2)在[0，2]上
单调递减，则
()
A. f (0) f (1) f (2) B. f (1) f (0) f (2)
C. f (1) f (2) f (0) D. f (2) f (1) f (0)
2. 已知y f (x2)是偶函数，则y f (x)的图象
1. f ( x) Asin( x )( 0)的周期为 2 ； ||
2. f ( x) Acos( x )( 0)的周期为 2 ； ||
3. f ( x) Atg( x )( 0)的周期为 ； ||
4.通常先化简后再求其周. 期.
6
5.函数周期性和图象的对称性的应
用1.已知f ( x)、g( x)都是定义在R奇函数，f ( x) 0的
找到它关于点(或直线)的横坐标对称的相应的自变量，
根据函数奇偶性的定义寻找这两个自变量间的函数值的 关系，进而求得结果. 其本质. 是代入法求轨迹方程. 5
4.求函数的周期
1.y3cos(3x5)；2.y2sin2xcos(2x)
3 3.y|sin2x|； 4.y|sinx||cosx|
解题指要：常见函数的周期性：