同济第三版-高数-(2.4) 第四节 高阶导数同济第三版-高数-

用归纳法寻求任意阶导函数表达式 y = ( cos x ) = - sin x ， y = ( cos x ) = ( - sin x ) = - cos x，
y = ( cos x ) = [( cos x )] =(- cos x )= sin x ， y ( 4) = ( cos x )( 4) = [( cos x )]=( sin x ) = cos x ， y ( 5) = ( cos x )( 5) = [( cos x )( 4)]=( cos x ) = - sin x ，
sin x n sin
x
n
2
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这 使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。
由本题结果可方便地求出 sin k ax ,cos l bx 及其线 性式 sin k ax ±cos l bx 的 n 阶导数。
于是对于三角式的n 阶导数的计算常可考虑将其 转化为sin k ax ,cos l bx的线性式进行计算。
x
2
,
y cos x cos x cos x 2 , 2
y cos x sin x cos x 3 , 2
y4 cos x 4 sin x cos x 3 , 2
由此可见，cos x 的 n 阶导数可一般地写成：
cos x n cos
x
n
2
类似地可求得
的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导
数叫做 n 阶导数，即 f ( n)( x )=[ f ( n-1)( x )]. 分别记作
f x , f 4 x , L , f n x 或
d3y dx3
,
d4y dx4
,L
,
dny dxn
.
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
(2) 高阶可导的递推关系 函数 y = f( x )具有 n 阶导数，也常说成函数 f( x )
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上 的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上 的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运 算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法 是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是 任意阶导数的计算方法。
从实际问题考虑，有必要研究函数导函数的导数。 例如，变速直线运动的速度函数 V = V( t )是位置 函数 S( t )对时间 t 的导数，即 V = S ( t ). 加速度 a = a( t )又是速度函数 V( t )对时间 t 的导数, 即 a = V ( t )=[ S ( t )]. 这种导数的导数称为 S( t )对 t 的二阶导数，记作: S ( t ). 由此可抽象出二阶导数的 及一般高阶的概念。
d
dx
d dx
1
f y
d dy
1
f y
dy dx
f y
f y2
1
f y
f y
f y3
.
d 3
dx3
d dx
d 2
dx2
d f y
f y3
dy dx
f y f y 3 3 f y f y 2 f y 6
f y
f x
1 4
cos x 3cos 3 x 7cos7 x 9cos9 x
1 sin x 9sin 3 x 49sin7 x 81sin9 x ,
4 于是求得: f ( 0 )= 0 .
利用导数的奇偶性计算
由于所求的是高阶导数在原点处的值，故又可考虑 利用导函数的奇偶性进行分析计算。
[ u( x )·v( x )] = u ( x )·v( x )+ u( x )·v ( x )， [ u( x )·v( x )]= [ u ( x )·v( x )+ u( x )·v ( x )] =[ u ( x )·v( x )]+[ u( x )·v ( x )] =[ u ( x )·v( x )+ u ( x )·v ( x )] + [ u ( x )·v ( x )+ u( x )·v ( x )]
(1) 高阶导数的定义
函数 y = f( x )的导数 y = f ( x )仍是 x 的函数，通 常把导函数 y = f ( x )的导数叫做函数 y = f( x )的二阶 导数，记作: f ( x )，y 即
f x f x , 或
d2 y dx2
d dx
dy dx
.
类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数
= u ·v + 3 u ·v + 3 u ·v + u ·v . 可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其
间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，记： u( x )= u( 0)( x )，v( x )= v( 0)( x )， u ( x )= u( 1)( x )，v ( x )= v( 1)( x )，依此类推。 于是上述计算结果可写成：
[ u·v ] = u( 1 )·v( 0 ) + u( 0 )·v( 1 )， [ u·v ] = u( 2 )·v( 0 ) + 2u( 1 )·v( 1 )+ u( 0 )·v( 2 )， [ u·v ] = u( 3 )·v( 0 ) + 3u( 2 )·v( 1 )+ 3u( 1 )·v( 2 )+ u( 0 )·v( 3 ).
f( x ) = sin x sin 3x sin 5x
1 sin x cos 2 x cos8 x
2
1 4
sin x sin 3x sin7x sin9x
,
由此便容易求得：
f x
1 4
sin x sin 3 x sin 7 x sin 9 x
1 cos x 3cos 3 x 7cos7 x 9cos9 x , 4
1
f y
3 f y 2 f y f y
.
f y 5
例：已知 f( x ) = sin x sin 3x sin 5x，求: f ( 0 ) .
对此连乘积形式的函数求二阶导数，直接按乘 乘积求导法则求导显然比较繁杂，故可考虑将乘积化为
和差再按和的求导法则计算。
积化和差再求导
连续两次应用和差化积公式有
然而在一些特别情形下，应用莱布尼兹公式却很 便利。例如，乘积中有一因子的高阶导数大多为零， 如幂函数因子，则用莱布尼兹公式 计算较为方便。又如，对于某些高 阶导数值的计算，利用莱布尼兹公 式可直接建立某种递推关系，这对 问题的分析和讨论都很有用。
例：设 y = x 2 f( cos x )，f ( x )存在，求：y .
= u ( x )·v( x )+ 2u ( x )·v ( x )+ u( x )·v ( x )，
[ u( x )·v( x )]= [ u ·v + 2u ·v + u ·v ]
=[ u ·v ]+[ 2u ·v ]+ [ u ·v ]
=[ u ·v ]+[ 2u ·v ]+ [ u ·v ] =[ u ·v + u ·v ]+ 2[ u ·v + u ·v ]+ [ u ·v + u ·v ]
这是半抽象复合函数求二阶导数问题。由于已 知 f ( x )存在，故只需按导数规则逐阶求导即可。
按导数规则逐阶计算导数 y =[ x 2 f( cos x )]= 2 x f( cos x )- x 2 f ( cos x )sin x，
y =( y )=[ 2x f( cos x )- x 2 f ( cos x )sin x ] =[ 2x f( cos x )]-[ x 2 f ( cos x )sin x ]， = 2[ f( cos x )- x f ( cos x )sin x ]-[ 2x f ( cos x )sin x - x 2 f ( cos x )sin 2 x + x 2 f ( cos x )cos x ]
• u( x ), v( x )和的 n 阶导数 设函数 u( x ), v( x )在点 x 都具有 n 阶导数，则有
[ u( x ) v( x )](n) = u( x )(n) v( x )(n).
• u( x ), v( x )积的 n 阶导数 ─ 莱布尼兹公式
设函数 u( x ), v( x )在点 x 都具有 n 阶导数，则由 一阶导数乘积的运算法则有
由此可见，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变
化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。于是由归
纳法可求得：
u x v x n
n
C
k n
u
nk
x
v
k
x
k 0
这一结果称为莱布尼兹公式。
莱布尼兹公式虽然指出了乘积的高阶导数的规律 性，但一般而言，按莱布尼兹公式求乘积高阶导数是 较繁杂的，不适合于作为一般方法。
所谓 n 阶导数的计算实际就是要 设法求出以 n 为参数的导函数表达式。 求 n 阶导数的参数表达式并没有 一般的方法，最常用的方法是， 先按导数计算法求出若干阶导数， 再设法找出其间的规律性，并导出 n 的参数关系式。
例：设 y = cos x ，求：y( n) .
这是基本初等函数求任意阶导数的问题，其求 导任务实际是寻求导函数表达式与导数阶数 n 的关系。 为找出其间的规律性，可先具体计算若干阶导数，再设 法确定一般规律。
通过若干阶导数的计算可看出，cos x 的高阶导数
具有一种循环性，其循环规律涉及两个因素，一是总在
sin x 和 cos x 之间交互转换，二是符号交互变化。
由于涉及两个变化因素，使得确定导数规律相对困