五点法画正弦交流电波形图
正弦交流电相关数学知识讲解浅析
Science &Technology Vision科技视界0引言正弦交流电是电工基础课程中的一个重要的章节，涉及三角函数、复数等大量数学知识。
技工院校的学生大多数学基础薄弱，而电工老师不可能拿出大量时间讲授相关数学知识，导致学生无法真正掌握其中原理。
作为电工相关专业的数学老师，有必要将数学的有关知识和原理渗透于正弦交流电的学习中，在数学和正弦交流电之间搭起一座桥梁。
这需要数学老师掌握相关的电工知识，科学系统地设计出一套行之有效的教学方案。
只要在三角函数和复数的教学中把握以下三条主线，就能为正弦交流电铺平道路。
本文浅析正弦交流电相关数学知识的讲解。
1在线段“旋转”中阐释两个“为什么”“为什么线圈切割磁感线形成的交流电可以用一个正弦型函数来表示？”“为什么正弦量可以用复数来表示？”很多学生被这两个问题困扰着。
要从本质上认识正弦交流电及掌握有关计算，就绕不开这两个核心问题。
从数学的角度来看，问题的本质都是研究线段“旋转”过程中在垂直方向或水平方向产生的投影值的变化规律。
1.1在“旋转”中阐释“为什么正弦量可以用复数来表示?”正弦量用复数表示的推理过程与正弦函数图像的形成过程是相通的，运用相似的“旋转”原理。
如图1所示，在动态演示中，设有正弦电压u=U m sin （ω+φ），其波形如图1b 所示，在左边直角坐标系中取长度为U m有向线段，初始位置与x 轴正方向的夹角为φ，并以角频率ω作逆时针旋转。
根据三角函数计算，同时结合动态图可见，旋转有向线段任一时刻t 在纵轴上的投影值刚好对应正弦量在该时刻的瞬时值u （t ）=U m sin（ωt+φ）。
因为旋转的有向线段里面包含了正弦量的三个特征量，长度是正弦量的振幅U m ，初始位置是正弦量的初相φ，而旋转的角频率是ω，可见一个旋转的有向线段可以表示一个正弦量。
图1如果有两个正弦量，就可以在坐标里画出两个有向线段，如图2所示。
由于在同一正弦稳态性电路中，正弦量频率都是相同的，所以同频率的旋转有向线段的相对位置是不变的，可以把频率隐含起来，让旋转的有向线段固定在初始位置，如图3所示。
第5章 正弦交流电路
j I2 I
I1 +1
O
例2 相量图（三角形） 相量图（三角形）
j I I2
I1 +1
O
§5 – 3 单一参数的正弦交流电路
一、电阻元件 1. u – i 关系 R u i ωt u
i
相量表示
U=RI
I
U
2. 功率关系 p
P i ωt
p 始终 ，R——耗能元件 始终>0， 耗能元件 P = UI = RI2 = U2/R
导纳角 φY = tg－1 (BC –XL )/G ——阻抗角 阻抗角 当 BC >BL 时，φY > 0 ，i 超前于 u ——容性 容性 当 BC <BL 时， φY < 0 ，u 超前于 i ——感性 感性 当 BC= BL 时， φY = 0 ，u 、i 同相 ——纯电导 纯电导
二、相量图——两个三角形 相量图 两个三角形 I= IG + IL + IC I U IG G IL L IC C
G
பைடு நூலகம்
φY
U IG IB I IL IC
φY
y
B
例题
R=30
XL=40
U=120V
求各电流及Y 求各电流及 设U = 120
I
0o V
U
R
IR
IL
L
IR = U/R= 4 A IL = U/jXL = – j3A I = IR+ IL =4 – j3A=5 – 37oA Y=1/R – j/XL=1/30 – j1/40(S) I IR IL U
2. 频率特性 XL=ωL ω U 相量表示 U = j(ωL) I I
3. 功率关系 p ωt
《电工基础》第5章 正弦交流电路ppt课件
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11
三、正弦交流电的变化范围
1. 最大值 ：正弦交流电在一个周期所能达到的 最大瞬时值，又称峰值、幅值。
用大写字母加下标m表示，如Em、Um、 Im。
2.有效值 ：加在同样阻值的电阻上，在相同的 时间内产生与交流电作用下相等的热量的直 流电的大小。
用大写字母表示，如E、U、I。
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12
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14
• 用数字万用表测量正弦交流电压时要选择交流
挡，测量的结果是电压有效值；若不慎错用直 流挡，则显示为零。
用直流挡测量市电显示为零
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15
• 用数字万用表测量直流电压时要选择直流挡， 测量的结果是电压平均值；若不慎错用交流挡， 则显示为零 。
用交流挡测量最叠新层课电件池显示为零
16
（1）同一相量图中，相同单位的相量应按相 同比例画出。
（2）一般取直角坐标轴的水平正方向为参考 方向，逆时针转动的角度为正，反之为负。
（3）用相量图表示正弦交流电后，它们的加、 减运算可按平行四边形法则或三角形法则进行。
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27
§5-3 单一参数的交流电路
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28
一、纯电阻电路
• 只含有电阻元件的交流电路称为纯电 阻交流电路。
QCUCICIC 2XCU XC C 2
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50
§5-4 LC谐振电路
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51
一、RLC串联电路
• 1．电压三角形 如图所示为RLC串
联电路，为正弦交流 电压，这三个元件流 过同一电流，电流与 各元件电压参考方向 如图所示。
最新课件
52
• 设电流的解析式为
iImsint
• 电阻、电感和电容两端的电压分别为
正弦交流电路(1)
U 4
U 2 U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U1
U 5
U 6
例： i1 6 2 sin(t 30)
i2 8 2 sin(t 60)
求i=i1+i2
i
解： I1 630 5.196 j3
i1 i2
I2 8 60 4 j6.928
I I1 I2 (5.196 j3) (4 j6.928) 9.296 j3.928 10 23.1A
２、旋转矢量 Aej ωt
设A＝ρej θ 则： Aej ωt＝ ρej θej ωt＝ρej（θ＋ ωt）
二、正弦量的几种表示方法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
u １、三角函数表示法：
一、电压电流关系
1 、L中的瞬时电流与电压
基本关系式： u L di dt
i uL
设 i 2 I sin t
则 u L di 2 I L cos t
dt
2 U sin( t 90 )
结论（a） 电感电压、电流有效值的关系为：
UL =ωLIL （b） 电感电压超前电流90°即Ψu =Ψi+90°
反映交变快慢的量
角频率
反映大小的量 X m 正弦量的幅值
反映初始值的量
0 初相位
四、正弦量的三要素
１、周期 T (s) 正弦量完整变化一周所需要的时间
频率 f (Hz) 正弦量在单位时间内变化的周数
角频率 (Rad s ) 正弦量单位时间内变化的弧度数
周期与频率的关系： f 1
T
正弦交流电的三种表示法
u1 U m sin(t ) 250sin (100 t )
3
)V
小结：
i I m sin
最大值
t 0
初相位
角频率
周期
i
最大值
Im
T
t
初相位 0
I m 最大值
0
初相位
作业：
0
。
例
已知：某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz，
初相角为
解：已知
6
, 请写出瞬时值表达式。
i
6
I m 2A
f 50Hz
2f 2 50 100 rad / s
i I m sin t 0 2sin (100
6
习题册：P80
u Um
u Um sin（ t -/2）
t
-/2 /2 3/2 2 5/2
小规律： 若起点在坐标原点（或纵轴）的左侧， 0 >0； 若起点在坐标原点（或纵轴）的右侧， 0 <0。
几种不同起点的正弦电流波的初相位：
i
Im
i1
i
i
Im
0
i2
Im
t
0
i3
0
t
3
3
小技巧： i I m sin t 0 sin前面的值为最大值；
)
t前面的值为角频率ω ；
t后面的值为初相位
。
找到问题了吗？
I 5 sin100t A 6
11 12正弦交流电基本概念与表示方法
ω = 2π f π
二、有效值
在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值， 在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而 规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交 有效值， 规定一个能够表征其大小的特定值 有效值 流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应) 流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
2．有效值相量表示法 ．
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模( 有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长 是用正弦量的有效值做为相量的模 度大小) 仍用初相角做为相量的幅角， 度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
u = 220 2 sin(ωt + 53°) V，i = 0.41 2 sin ωt A
二、交流电的表示法
1．解析式表示法 ． 2．波形图表示法 ．
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) () ( u(t) = Umsin ( ωt + ϕu0 ) () e (t) = Emsin ( ωt + ϕe0 ) ) 波形图表示法即用正弦量解析 式的函数图形表示正弦量的方法。 式的函数图形表示正弦量的方法。
时间内， 设正弦交流电流 i( t ) 在一个周期 T 时间内，使一电 ( 阻R 消耗的电能为 QR ，另有一相应的直流电流 I 在时间 T 消耗相同的电能， 内也使该电阻 R 消耗相同的电能，即 QR = I2RT 。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流( 就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与 I)是等效 ) 的，则该直流电流 I 的数值可以表示交流电流 i(t) 的大小，于 ( ) 的大小， 称为交流电流的有效值。 是把这一特定的数值 I 称为交流电流的有效值。理论与实验均 可证明，正弦交流电流 i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 可证明， 等于其振幅(最大值) 0.707 倍，即
正弦交流电路的相量表示法
解析式 波形图
1、相量图
相
量
法
2、相量式
（复数
符号法）
正弦交流电的3大类表示方法
iImsi nt
i
Im
t
T
U
.
I a jb
I (cos j sin )
I
具体见下页内容：
1.复数的实部、虚部和模
1
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j =
3. 复数的运算 1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部 虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3 A2=4+j4
则 A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
u(t)200sint V
解：
I1＝ 1 0－ 60 (A)
I2＝ 1 514(7 V)
U＝100 20(V )
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
对应
u(t)2Usin(tθ)
•
U U θ
例1. 已知
i 141.4sin(314t 30o)A u311.1sin(314t60o)V
试用相量表示i, u .
u22 si(0 ω nt4)5 I 4ej30 复数
• 220
？
U 45
42si(n ωt30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
U m22e0 45 ？
第2章 正流交流电路
正弦量的波形图表示：求和： i i1 i2
三者间的关系示为：
f =1/ T ω =2 /T=2 f 我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标 准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
2.1.2
振幅和有效值
i
描述正弦量数值大小的参数： 瞬时值:正弦量任意瞬间的值 0 称为瞬时值，用小字母表示: i、u、e 振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
振幅 Im
Ｔ
t
有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的 直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交 流电流的有效值。用大写字母表示： I、U、E
有效值与幅值的关系推导如下： 以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入 周期电流 i 和直流电流 I 。
i
I
R
T
0
pdt=
T
同一时间T 内消耗的 能量
2
0
-1
． π ． ． ． ． 2π x ． 0 -1 ．
1
2
3 2
y
五点法
i
2.1.1 频率与周期
描述正弦量变化快慢的参数：
0
T T/2 2
t
t
Ｔ
周期(T): 变化一个循环所需要 的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数 单位(Hz)。
角频率(ω ): 每秒钟变化的弧度数，单位(rad/s)。
i i 1
i2
t
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例：已知： i 幅度：
sin1000 t 30A
I 1 0.707 A 2
第二章正弦交流电的表示方法讲述案例
电工电子技术
参数 见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。
1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε，电 容极板的正对面积S，电容极板的距离d有关。
即： C S （k为静电力常量） 4 kd
电工电子技术
（3）电容器极板上储存的电量q与外加电压 u和电容C成正比。
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量图
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
U
RRR
I
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i Im sin ( t) 则 p u i Um sin t • Im sin t
成正比，与感抗成反比 I U U U
X L L 2 fL
电工电子技术
2 电路的功率
p
i
p ui
ωt
u
说明：（1） p>0，电感线圈吸取电能，并以磁能的方式 储存起来 （2） p<0，电感线圈把储存的磁能转换为电能， 还给电路
电工电子技术
2）平均功率 P
P 0 电感元件不耗能！
3）无功功率 Q
+ 负极，使电容器带电的过程称为
US －
充电。
结果：把从电源获得的电能储存 在电容器中，两极板之间有电压
电工电子技术
b 放电
+q E -q
正弦交流电路的稳态分析(课件)
02
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的定义
正弦交流电
正弦交流电的产生
大小和方向随时间作正弦函数周期性 变化的电流。
通过交流发电机产生，当磁场和导体 线圈发生相对运动时，导体线圈中就 会产生正弦交流电。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的波形图呈现正弦函数的 形状，随着时间的推移，电流值在正 弦波的最高点和最低点之间变化。
线性时不变正弦交流电路具有 叠加性、比例性和线性特性。
相量法分析正弦交流电路
相量法是一种分析正弦交流电 路的方法，通过引入复数和相 量，将时域的电压和电流表示
为复数形式的相量。
相量法的优点在于可以将正 弦交流电路中的复杂数学问 题简化为复数代数问题，从
而方便求解。
通过相量法，可以得出正弦交 流电路的阻抗、功率和相位等
未来研究的方向和展望
研究方向一
研究方向二
针对复杂正弦交流电路的稳态分析，深入 研究不同元件之间的相互影响，提高分析 精度。
结合新型材料在正弦交流电路中的应用， 研究其对电路性能的影响，探索新型材料 在优化电路性能方面的潜力。
研究方向三
研究方向四
结合现代计算技术和仿真软件，开发高效 、精确的正弦交流电路稳态分析方法和工 具。
正弦交流电路的稳态分析 (课件)
• 引言 • 正弦交流电的基本概念 • 正弦交流电路的稳态分析 • 实例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
正弦交流电路
正弦交流电路是指电流和电压随时间按正弦规律变化的电路 。在日常生活和工业生产中，许多电源和负荷都是以正弦交 流电的形式存在。
稳态分析
稳态分析是电路分析的一个重要方面，主要研究电路在稳定 状态下各元件的电压、电流和功率等参数。对于正弦交流电 路，稳态分析涉及对电路中各元件的电压和电流进行傅里叶 变换，以得到各次谐波的幅值和相位。
正弦交流电的相量图表示法ppt课件
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
7
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctg b a
或： a r cos b r sin
3
5.2 正弦交流电的相量图表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
正弦交流电的相量图表示法矢量长度矢量与横轴夹角初相位矢量以角速度按逆时针方向旋转homehome描述正弦量的有向线段称为相量phasor幅度用最大值表示则用符号
5.2 正弦交流电的相量图表示法
1
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
包含幅度与相位信息。
HOME
5
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用
设： 幅度：相量大小 U2 U1
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
《电工基础》(劳动版第四版)43 §5—1 单相交流电的基本概念(产生、解析式、图像)
文化理论课教案7.5.1-10-j-01：【组织教学】1. 起立，师生互相问好2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题【导入新课】我们已经学习了直流电和直流电路的有关计算，现在我们来学习交流电及交流电路的有关计算。
什么是交流电，它与直流电有什么不同呢？学了本课，我们回答这些问题。
【讲授新课】第五章 单相交流电路 §5－1 交流电的基本概念一、什么交流电恒稳直流电：大小和方向不随时间变化的电流、电压、电动势的总称，常简称为直流电。
脉动直流电：大小随时间有些变化而方向不变的电流、电压、电动势的总称。
交流电：大小和方向都随时间作周期性变化的电流、电压、电动势的总称。
正弦交流电：按正弦函数规律变化的交流电。
交流电流、电压、电动势的其数学表达式分别为：0sin()sin()sin()m i m u m i I t u E t e E t ωϕωϕωϕ=+=+=+ 通过交流电的电路叫交流电路，通过正弦交流电的电路正弦交流电路。
电路中的电源如果只有单个交流电动势，这样的电路叫单相交流电路；电路中的电源如果有三个交流电动势，这样的电路叫三相交流电路。
二、正弦交流电的产生正弦交流电是正弦交流发电机产生的，图5—1是正弦交流发电机原理图。
正弦交流发电机的主要部分是线圈和磁极线圈：多用铜线绕成矩形，有许多匝，匝数越多，产生的感应电动势越大。
磁极：至少一对，多的达40对以上。
磁极对数越多的发电机，产生的交流电的变化速度越快。
图示发电机的磁极对数为一对。
磁极特制成：①磁极中线面的磁感应强度最强，为m B ；电枢表面上其他位置的磁感应强度按正弦函数规律变化：若线圈平面与磁极中性面的夹角为α，则线圈导体所处的磁感应强度为sin m B B α=。
②磁感应强度方向与导体的运动方向垂直，即v B ⊥。
设线圈的有效长度为l ，线圈平面以角速度为ω逆时针方向旋转，与磁极中性面夹角为α，从a 指向d 的电动电动势为正，从d 指向a 的电动电动势为负，则线圈产生的感应电动势的大小为：sin()sin sin90sin sin m m m e Blv v B B l v B lv E ααα==== ，式中，m m E B lv =，表示交流电动势的最大值。
正弦交流电路PPT课件
阻抗 Z R2X2
阻抗角
arcU L t a U C narcX L t aX C n
U R
R
三、电路的电感性、电容性和电阻性
四、功率
视在功率——电压与电流有效值的乘积，用S 表示，单位为伏·安（VA）。
视在功率并不代表电路中消耗的功率，它常用 于表示电源设备的容量。
解题过程
常用电子仪器的使用
§3－2 正弦交流电的相量图表示法
旋转矢量与波形图的关系
有效值相量图
应用相量图时注意以下几点：
同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 同一相量图中，相同单位的相量应按相同比
例画出。
一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向， 逆时针转动的角度为正，反之为负。
用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运 算可按平行四边形法则进行。
视在功率S与有功功率P和无功功率Q的关系：
S P2 Q2
PSc os QSsin
cos P 称为功率因数。
S
五、电压三角形、阻抗三角形和功率三角形
阻抗三角形
电压相量图
电压三角形
功率三角形
§3－7 提高功率因数的意义和方法
计算电感性负载的有功功率，除考虑电压、
电流的大小外，还要考虑电压、电流之间的相位
QCUII2XCU XC 2
【例3－5 】 容量为40μF的电容接在的电源上，试求： （1）电容的容抗；（2）电流的有效值；（3）电流瞬时值 表达式；（4）电路的无功功率。
解题过程
§3－6 RLC串联电路
一、电容对交流电的阻碍作用
开关SA闭合后接交流 电压，灯泡微亮。再断开 SA，灯泡突然变亮。测量 R、L、C两端电压 UR 、UL、 UC ，发现：
第5章正弦交流电路的基本概念图文模板
《电路分析基础》
5.1.1 正弦交流电量的三要素
1. 最大值(也称振幅或峰值) 最大值：指正弦量在一个周期内振荡的正向最高点。 u
Um
t 0
最大值用大写字母带下标“m” 表示, 如Um、Im 、Em等。
u(t) U m sin(t u ) i(t) Im sin(t i )
《电路分析基础》
u、i
u、i
t
t
0
0
交流电的变化是多种多样的，但最常见的正弦交流电。
《电路分析基础》
正弦交流电
（1）定义：正弦交流电是指大小和方向都随时间作正弦规律变 化的电压和电流。 （2）正弦交流电解析式（瞬时值表达式）：
u(t) U m sin(t u ) i(t) Im sin(t i )
（3）正弦交流电波形图： u、i
u(t) U m sin(t u ) 相位
结论：任何一个正弦量的最大值、角频率和初相位确定后，就 可以写出解析式，计算出任一时刻的瞬时值。
u(t) U m sin( t u )
《电路分析基础》
【例5-4】已知一个正弦电u压 220 2 sin(314 t )V
2 （1）计算其三要素和周期、频率；（2）画出波形图； （3）计算t = 0.01s时的瞬时值。
（ 《电路分析基础》
a ） 3. 初相
初相位指t =0时所对应的相位角φ0，它反映了计时 起点的状态。取值范围在－180°~＋180°
初相
u u(t) U m sin(t u )
φi>0 tφ0φi=0φ Nhomakorabea<0
《电路分析基础》
正弦量三要素的延伸
相位：正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)称为相位， 相位是时间的函数，反应了正弦量随时间变化的整个进程。
正弦型函数
ω
例
求下列函数的最大值、最小值、 求下列函数的最大值、最小值、周期
1、 y =Asin(ωx )+ 的最值 周期的方法 的最值、 求函数、 y = 2+sin(k4 x + 、)
π
1 1 π sin( x ) 由A、k 确定 函数的最大值、最小值： 、 2、 y =函数的最大值、最小值： 、 3 2 4 y最大值=A+k， y最小值= -A+k 3、 y = 0 . 5 sin( π x ) + 0 . 12 、
y最小值= -A期： 由ω确定函数的周期： T = 2π 确定函数的周期
练习：求下列函数的最大值、最小值、 练习：求下列函数的最大值、最小值、 周期 1、y = sin( x 、
π
8 2、y = 4 sin( 2 x 3 ) 、 )
ymax = 1
ymin = 1
T = 2π T =π T = 2π
ω
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + ) 性质： 性质：
定义域： 定义域： D=R 周 期： T =
2π
， 值 域： [-A，A]
ω
应用： 求函数 =Asin(ωx + ) +k 应用： 求函数y y最大值=A +k
的最值、周期 的最值、
确定函数的最大值 最小值 最大值、 由 A 、k 确定函数的最大值、最小值：
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + )的图象和性质 的图象和性质
学习目标
1、了解正弦型函数的定义域、值域、周期 、了解正弦型函数的定义域、值域、 2、由正弦型函数的表达式， 、由正弦型函数的表达式， 可以求出函数的定义域、值域、周期 可以求出函数的定义域、值域、 3、知道 、ω、 的作用 、知道A、 4、会利用五点法，作正弦型函数的图象 、会利用五点法， 5、通过正弦型函数 的学习，提高数形结 、 的学习， 合意识和数学思想
电工学第二章 正弦交流电
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
【中职教案】正弦型函数(二)
【中职教案】 1.2 正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：了解正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，会利用“五点法”作出正弦型函数的图像． 能力目标：通过正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，学生数形结合的能力得到强化．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像．【教学难点】正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系．【教学设计】正弦型函数的图像叫做正弦型曲线．作图的基本方法是“描点法”.例2是由作正弦曲线出发，每次增加一个系数，利用“描点法”作出各函数的图像．列表的过程中蕴含着变量替换的思想．将这四条曲线放到同一个坐标系中，可以看到它们之间的相互关联，从而，推广得到结论。
这种变换的介绍，对提高学生的数学思维能力和培养数形结合的习惯是大有帮助的．熟练之后，如果要求做出一个周期内的正弦曲线，可以直接描出五个点： (,0)ϕω-，(,)4TA ϕω-+，(,0)2T ϕω-+，3(,)4T A ϕω-+-，(,0)T ϕω-+．用光滑的曲线连接得到曲线．例3的作图就采用了这样的方法．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*巩固知识 典型例题例2 利用“五点法”作出下列各函数一个周期内的图像．（1）sin y x =；（2）sin 2y x =；（3）πsin(2)4y x =+；（4）π2sin(2)4y x =+． 解 （1）函数sin y x =的周期为2πT =．列表x 0 π2π3π22π x sin1-1以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数sin y x =在一个周期内的图像（如图1－2）．图1－2（2）函数sin 2y x =的周期为πT =．列表 x0 π4 π23π4 π 2x 0 π2π3π22π sin 2y x =1－1以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数sin 2y x =在一个周期内的图像（如图1－3）．图1－3（3）函数πsin(2)4y x =+的周期为πT =．列表xπ8- π8 3π8 5π87π8 π24x +0 π2π3π22ππsin(2)4y x =+1－10 以表中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数πsin(2)4y x =+在一个周期内的图像（如图1－4）．图1－4（4）函数π2sin(2)4y x =+的周期为πT =．列表xπ8- π8 3π8 5π87π8π24x +0 π2π3π22πsin 2y x = 0 1 0 －1 0 π2sin(2)4y x =+2－2以表中每组对应的x ，y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数πsin(2)4y x =+在一个周期内的图像（如图1－5）．图1－5将例2中的四条曲线，放到同一个坐标系中（如图1－6），可以看到将正弦曲线y = sin x ([02π])x ∈，上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可以得到正弦型曲线y = sin2x ；将正弦型曲线y = sin2x 向左平移π8个单位，可以得到正弦型曲线πsin(2)4y x =+；将正弦型曲线πsin(2)4y x =+的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，可以得到正弦型曲线π2sin(2)4y x =+．图1－6*巩固知识 典型例题例3 利用“五点法”作出正弦型曲线3πsin(3)26y x =-，并指出曲线经过怎样的步骤可以由正弦曲线得到．解 正弦型函数3πsin(3)26y x =-的周期为2π3T =，3ω=，π6ϕ=-．故五个关键点的坐标为π(0)18，，2π3()92，，7π(0)18，，5π3()92-，，13π(0)18，． 用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数3πsin(3)26y x =-在一个周期内的图像（如图1－8）．图1－8函数3πsin(3)26y x =-可以看作由下面的方法得到：首先将正弦曲线y =sin x 上的所有点的坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）；然后把所得的曲线向右平行移动π18个单位；最后把所得曲线上的所有点的纵坐标伸长到原来的1.5倍（横坐标不变）．*运用知识 强化练习【教师教学后记】。
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五点法画正弦交流电波
形图
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
“五点法”画正弦交流电波形图
叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002）
摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。
“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t值得出波形图。
无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。
关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图
“五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。
《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。
教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。
会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。
正弦交流电解析式的一般表达式为：
i=Ims in(ωt+i)
u=Umsin(ωt+u)
e=Emsin(ωt+e)
在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。
一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图
1、u-ωt波形图？
（1）u=Umsinωt的波形图（初相位0）
①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。
②由五点画出波形图为：
？
上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。
（2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图
①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。
②画出五点，描绘出波形图为:
？
（3）初相小于0，u=Umsin（ωt-）的波形图
①由u=Umsinωt波形图向右平移角，五点横坐标为、+、π+、+、2π＋，即五点坐标均加上；纵坐标不变。
②画出五点，描绘出波形图。
？
例
一，画出正弦电压为u=2202sin(100πt+60°)的波形图。
解：=60°，Um=2202v，五点横坐标为-60°、90°-60°=30°、180°-
60°=120°、270°-60°=210°、360°-60°=300°；纵坐标为0、2202、0、-220 2、0。
在直角坐标系下画出五点，绘出波形图：
？
2、u-t波形
图
（1）u=Umsinωt的波形图
①由解析式求出T=。
②五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（、0）、（T、-Um）、（T、0）。
③画出五点，绘出波形图。
？
（2）u=Umsin(ωt+)的波形图(初相大于0)。
①由u=Umsinωt波形图向左平移t0，t0=。
②五点横坐标为-t0、-t0、-t0、T-t0、T-t0；纵坐标不变。
（T=）
③画出五点，绘出波形图
？
（3）u=Umsin（ωt+）的波形图（初相小于0）
同理可得波形图为:
？
小结：以u=Umsinωt的波形图为参考，1、五点横坐标，初相大于0，向左平移（或t0=）；初相小于0，向右平移（或t0=）。
2、纵坐标任何情况下都是0、Um、0、-Um、0。
二、由u=Umsinωt确定值得出波形图
设u=Umsin(ωt+)，（包括大于0、小于0、等于0三种情况）。
1、求五点坐标，按下列表格进行：
？
画u-t波形图，求五对u、t值，画u-ωt波形图求五对u、ωt值，本身带符号。
2、在直角坐标系下画出五点，描绘出波形图。
例二，画出u=3802sin（100πt-60°）v的波形图。
解：（1）求五点坐标，ω=100π，=60°=-，Um=3802v
？
（2）画出五点，描绘出波形图。
①u-ωt波形图
？
②u-t波形图
？
小结：无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、-Um、0不变。