上海市华师大二附中2019届高三综合练习数学5试题
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]
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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[3]一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡}，那么M N = ． 2．在ABC ∆中，“3A π=”是“sin A =”的 条件．3．若函数xy a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ． 4．设函数2211()()log 221x x x f x x x--=++++的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ．5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32nn S t =-⋅，那么t = ．6．若sin()242x ππ+=，(2,2)x ∈-，则x = ． 7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ．8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ．9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =，()sin()2g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，则||MN 的最大值是 ． 12．已知函数131()log (31)2xf x abx =++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++= ．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）一.填空题1.若复数z满足1zi i=--1+2i，则z等于_____．【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵1zi i=-iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题2.计算：3381nnClimn→∞=+_____【答案】1 48【解析】分析】由二项式定理得()()323123266nn n n n n nC---+==，再求极限即可【详解】()()323123266nn n n n n nC---+==；∴33223333213216814864848nn n nC n n n n nlim lim limn nn→∞→∞→∞-+-+===+++．故答案为：148． 【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2+y 2＝_____． 【答案】4 【解析】试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x 、y 的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t ，y=10-t ，求解即可。
解：由题意可得： x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t ，y=10-t ，则2t 2=8，解得t=±2，∴|x -y|=2|t|=4，故答案为4. 考点：平均值点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．4.关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为32111m ⎛⎫ ⎪⎝⎭．若D x ＝5，则实数m ＝_____．【答案】-2 【解析】 【分析】由题意，D x 1232m-==-5，即可求出m 的值． 【详解】由题意，D x 1232m-==-5，∴m ＝-2， 故答案为-2．【点睛】本题考查x ，y 的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．5.已知实数x、y满足不等式组220x yx yy--≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则11ywx-=+的取值范围是_____【答案】1,12⎡-⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．11ywx-=+的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴AP的斜率k12=-又OB的斜率k＝1∴12-≤w<1．则11ywx-=+的取值范围是：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.在101()2xx展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．【答案】4【分析】先写出展开式的通项：103211012rrr r T C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由0≤r ≤10及532r -为负整数，可求r 的值，即可求解【详解】1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r ＝0，1，2…10 要使x 的指数为负整数有r ＝4，6，8，10 故含x 的负整数指数幂的项共有4项 故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r 的范围确定r 的值7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____． 【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为2122ππ⋅⋅=，则球的表面积为4π，故球的半径为1；球的体积为43π，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423ππ=，故填考点：本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手8.连续投骰子两次得到的点数分别为m ，n ，作向量a =r （m ，n ），则a r与b =r（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_____． 【答案】712【解析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件数6×6， ∵m ＞0，n ＞0，∴a =r（m ，n ）与b =r（1，﹣1）不可能同向． ∴夹角θ≠0． ∵θ∈（0，2π] a r •b r≥0，∴m ﹣n ≥0， 即m ≥n ．当m ＝6时，n ＝6，5，4，3，2，1； 当m ＝5时，n ＝5，4，3，2，1； 当m ＝4时，n ＝4，3，2，1； 当m ＝3时，n ＝3，2，1； 当m ＝2时，n ＝2，1； 当m ＝1时，n ＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P 65432176612+++++==⨯．故答案为：712【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键9.已知集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为_____． 【答案】[﹣1，3] 【解析】 【分析】先分别画出集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或B 点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A ＝{（x ，y ）||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{（x ，y ）|（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．如图所示． 其中A （a +1，1），B （a ﹣1，1），欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴（a +1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a ﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1， 解得：﹣1≤a ≤1或1≤a ≤3， 即﹣1≤a ≤3． 故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10.在ABC ∆中，2,1BC AC ==，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C D 、两点在直线AB两侧），当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为__________．【答案】3 【解析】试题分析：设CBA α∠=，AB BD a ==，则在三角形BCD 中，由余弦定理可知22222sin CD a α=++，在三角形ABC 中，由余弦定理可知2cos 22aα=，可得4261sin 22a a aα-+-=，所以2242261CD a a a =++-+-，令22t a =+，则2221017(5)8CD t t t t t =+-+-=+--+222(5)[(5)8]59t t ≤⋅-+--++=，当2(5)4t -=时等号成立．考点：解三角形11.如图，B 是AC 的中点，2BE OB =u u u r u u u r，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，．有以下结论：①当x ＝0时，y ∈[2，3]；②当P 是线段CE 的中点时，1522x y =-=，； ③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出OP uuu r，求出x ，y 判断出②对,利用三点共线解得④对【详解】对于①当OP yOB u u u r u u u r=，据共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错对于②当P 是线段CE 的中点时，()132OP OE EP OB EB BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=++()11532222OB OB AB OA OB =+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 故②对对于③x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对对④，()OP xOA yOB xOA y OB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，令OB OF -=u u u r u u u r，则()xOA y OF OP =-u u u r u u u r u u u r ，当,,P A F 共线，则1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题12.对任意实数x 和任意02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，恒有221(32)()8x sin cos x asin acos θθθθ+++++≥，则实数a 的取值范围为_____． 【答案】a 6≤a 72≥【解析】 【分析】原不等式等价于（3+2sin θcos θ﹣a sin θ﹣a cos θ）214≥，θ∈[0，2π]，从而可得a1322sin cos sin cos θθθθ++≥+，或a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值． 【详解】原不等式等价于（3+2sin θcos θ﹣a sin θ﹣a cos θ）214≥，θ∈[0，2π]①， 由①得a1322sin cos sin cos θθθθ++≥+②，或a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+③，在②中，1sin cos θθ≤+≤1322sin cos sin cos θθθθ++=+（sin θ+cos θ）()52sin cos θθ++， 显然当1≤x ≤f （x ）＝x 52x +为减函数，从而上式最大值为f （1）＝15722+=， 由此可得a 72≥； 在③中，1322sin cos sin cos θθθθ+-=+（sin θ+cos θ）()32sin cos θθ+≥=+ 当且仅当sin θ+cosθ=时取等号， 所以1322sin cos sin cos θθθθ+-+，由此可得a ≤综上，a ≤a 72≥． 故答案为：a ≤a 72≥．【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x ，变为关于θ的恒等式处理．二.选择题13.设集合{}2=540A x x x -+<{}B=1x x a -<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()()1,4,1,1A B a a ==-+，若B A ⊆，则1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得[]2,3a ∈，所以()2,3a ∈是[]2,3a ∈的充分不必要条件，故选A 。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[9]
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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[9]一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、方程018379=-⋅-xx 的解是 。
2、已知集合{})2lg(-==x y x A ,{}x y y B 2==,则=B A 。
3、若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则=5a 。
4、从5名候选同学中选出3名，分别保送北大小语种（每个语种各一名同学）：俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语，其中甲、乙二人不愿学希伯莱语，则不同的选法共有 种。
5、复数ii -++111（i 是虚数单位）是方程022=+-c x x 的一个根，则实数=c 。
6、在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = 。
7、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角为 。
8、（理）若322sin )cos(cos )sin(=---αβααβα，β在第三象限， 则=+)4tan(πβ 。
（文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan =+)4(πα 。
9、（理）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n = 。
（文）若y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤231010y x y x 下，则目标函数y x u +=2的最大值为__________。
10、已知函数xx f 2)(=的反函数为)(1x f-,若4)()(11=+--b fa f,则ba 11+的最小值为 。
11、若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 。
12、为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题。
2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月信心考三模数学试题
绝密★启用前 2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月信心考三模数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π≈判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．d ≈B ．d ≈C ．d ≈D ．d ≈（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．已知集合{}{}|13,|1A x x B x x=-≤=≤-，则()R A C B =__________。
6．若615nC =，则n =_________。
7．抛物线2y x =的准线方程为_______.8．已知方程220x x b -+=的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =_____。
9．已知数列{}n b 的通项公式是2112nn b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()12lim n n b b b →+∞+++=_________。
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题(解析版)
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的极限是A ,如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞那么数列{}n b 的极限是（ ） A ．3A B ．2AC ．AD ．不存在【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可． 【详解】解：数列{a n }的极限是A ，如果数列{b n }满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞， 那么数列{b n }的极限是：3A ． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力． 2．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】 若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件； 则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2． 【详解】解：当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ，A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个． 故选：B ．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．4．函数()()0y f x x R m =∈，＞，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，则称()()y f x x D =∈“有界”，设()()1y f x x R =∈是增函数，()()2y f x x R =∈是周期函数，且对所有()()1200x R f x f x ∈，＞，＞，已知()()()12h x f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A ．若()h x 是周期函数,则()1f x “有界”B ．若()h x 是周期函数,则()2f x “有界”C ．若()1f x “有界”,则()h x 不是周期函数D ．若()2f x “有界”,则()h x 不是周期函数 【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可. 【详解】解： 设()2y f x =的周期为2T ，()h x 的周期为1T ，()22x max f M =，()11x max f M =，若()h x 是周期函数,则()()()()()1112112T T T h x n f x n f x n f x f x +=++=， ∵()()1y f x x R =∈是增函数，即()()111T f x n f x +>, ∴()()212T f x n f x +＜，若21T T =，则()()2121T T f x n f x n ++＜，显然不成立， 若21T T ＜，给定S ，则存在S N +∈使得()()()()21222122T T T f x n f x n f x n f x n s T ⎧++⎪⎨⎡⎤+++⎪⎣⎦⎩＜＜, ∵()2f x 为周期函数，∴()()2222T f x n f x n s T ⎡⎤+++⎣⎦＜，又∵()()1f x x R ∈是增函数，∴()21T f x n +的值越来越小，无法判定； 对于C ，D 选项，()()()()()21222122T T T T h x n f x n f x n f x n f x +=++=+ 若()1f x “有界”,即()()212T h x n M f x +≤ ∵()2f x 为周期函数，∴()h x 也是周期函数， 若()2f x “有界”,则()2m f x M ≤≤，()()()()()()21222122212T T T T T h x n f x n f x n f x n f x M f x n +=++=+≤+，又()()1y f x x R =∈是增函数， ∴()h x 不是周期函数故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题．二、填空题 5．行列式1598的值为________.【答案】﹣37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 【详解】 解：1598＝1×8﹣9×5＝﹣37． 故答案为：﹣37 【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．6．设集合{}{}1234202A B ==-，，，，，，，则AB =________.【答案】{}2【解析】利用交集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵{}{}1234202A B ==-，，，，，，，∴{}2A B ⋂= 故答案为：{}2 【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7．已知向量()()157215a b =-=，，，，，，则a b +=_______.【答案】13【解析】利用向量加法坐标公式可得a b +的坐标，进而求模即可. 【详解】∵()()157215a b =-=，，，，，，∴()3412a b +=-，， ∴91613a b +=+=， 故答案为：13 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题. 8．如果复数z 满足2220z z-+=，那么z =______. 【解析】设z ＝a +bi ，利用待定系数法建立方程组求出a ，b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可． 【详解】 解：设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0， 即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ， 则|z |， 【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键． 9．椭圆2221x y +=的焦距是______. 【解析】把椭圆x 2+2y 2＝1转化为标准方程，然后求出其焦距． 【详解】解：把椭圆x 2+2y 2＝1转化为：22112y x +=，a ＝1，b ＝2得c=∴2c．椭圆x2+2y2＝1．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．10．掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】1 2【解析】掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，根据概率公式即可求出【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，故所得点数为质数的概率是31 62 =，故答案为：1 2【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．11．若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.【答案】30°【解析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积＝12×2πRl＝πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l＝2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有cosθ＝12， ∴θ＝60°，∴该圆锥的轴与母线的夹角大小为30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键． 12．从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________. 【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从5名男教师和4名女教师选出4人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从5名男教师和4名女教师选出4人，有C 94＝126种， 其中只有男教师的选法有C 54＝5种， 只有女教师的选法有C 44＝1种，则男女教师都有的选法有126﹣5﹣1＝120种； 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 13．若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1【解析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 【详解】解：两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩，k ≠﹣2，22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则2026402kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k ＜2， 所以正整数k ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．14．若321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______. 【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．再根据常数项为正数，求得正整数n 的最小值． 【详解】解：∵321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项公式为T r +1＝rn C •（﹣1）r •x 3n ﹣5r ，令3n ﹣5r＝0，因为常数项为正数 求得最小的r ＝6，故常数项为6n C ,为正数，则正整数n 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知()122x x ay a b R b++=∈+，既是奇函数,又是减函数,则a b +=_______.【答案】1-【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x ab --++＝﹣122x xab+++，分析可得a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2，将a 、b 的值代入函数的解析式，分析其单调性可得a 、b 的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()122x x ay a b R b ++=∈+，是奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x a b --++＝﹣122x x ab+++，变形可得：a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2；当a ＝﹣1，b ＝2时，f （x ）＝12122x x +-+＝11221x --，为增函数，不符合题意；当a ＝1，b ＝﹣2时，f （x ）＝12122x x ++-＝11221x +-，为减函数，符合题意；故a ＝1，b ＝﹣2，则a +b ＝﹣1； 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．16．已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中：arcsin y x =①；3y x =②；2111y y x x x==-+③；④，没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号). 【答案】②④【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果. 【详解】作出arcsin y x =的图象，显然y 2π=适合题意；作出3y x =的图象，显然不存在基线；函数211y x =+为偶函数，在x 0=处取到最大值1， 所以y 1=适合题意； 作出1y x x=-的图象，显然不存在基线；综上可知：②④不存在基线. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．如图,正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3.(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求异面直线1A C 与AB 所成角的大小. 【答案】（1）23（2）24【解析】（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解； （2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】解：（1）∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB 边上的高为3， ∴12332ABCS=⨯⨯=， 又侧棱长AA 1长为3，则正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝123ABCSAA ⋅=；（2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A()31,0-，，B()310，，，A 1()312-，，，()()10,2,031,2AB CA ==-，，，∴cos 1CA AB ，＝11CA AB CA AB⋅⋅＝224222-=-⨯． ∴异面直线A 1C 与AB 所成角的大小为24．【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．已知函数()2sin cos sin .f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）π（2【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）根据f （A ）＝0，求得A 的值，再利用正弦定理求得B ，可得C 的值，利用△ABC 的面积为 12•ab •sin C ，计算求得结果． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x ＝12sin2x ﹣122cos x -＝2sin （2x +4π）﹣12， 故它的最小正周期为22π＝π．（2）∵△ABC 为锐角三角形，角A B若f （A ）＝2sin （2A +4π）﹣12＝0，∴sin （2A +4π）＝2，∴2A +4π＝34π，∴A ＝4π．再由正弦定理可得4sinBsinπ=，∴sin B ＝2， ∴B ＝3π，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝512π，∴sin C ＝sin （6π+4π）＝sin 6πcos 4π+cos 6πsin 4π故△ABC 的面积为 12•ab •sin C ＝124＝34+． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()0.65544502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()0t P t =，的单位是干人，设()P t 的反函数为()T x ，求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.【答案】（1）见解析，（2）T （2400）＝5.5，见解析.【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 【详解】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385﹣2082＝303千人， 3135﹣2082＝53，2203﹣2135＝68，2276﹣2203＝73，2339﹣2276＝63，2385﹣2339＝46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由()0.65544502000 4.48781tP t e -=++， ∵P （t ）的反函数为T （x ），∴2400＝20000.66544504.48781t e -++，∴4.4878e ﹣0.6554t +1450400=，∴4.4878e ﹣0.6554t 18=，两边取对数可得ln 4.4878﹣0.6554t ＝﹣ln 8， ∴t 4.4878835.90240.65540.6554ln ln ln +==≈5.5，∴T （2400）＝5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人．【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题20．设常数m≥在平面直角坐标系xOy中,已知点(0F，直线:l y m=，曲线)x y m lΓ=≤≤：，与y轴交于点A与Γ交于点,,B P Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用m表示点B到点F的距离；(2)若0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，求m的值；(3)设m=且存在点P、Q,使得FPQ∆是等边三角形,求FPQ∆的边长.【答案】（1）1BF=-（2）m1=（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ为正方形，转化为边长相等，即可得到m的解；（3）设出P，Q坐标利用|PF|＝|FQ|求出t，即可求出两点坐标，进而求出边长．【详解】解：（1）由y mx=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得Bm），又F（0，∴|BF|===﹣1，（2）由0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，则四边形AFPQ为正方形，∵F（0，A（0，m），P（1），∴|AF|＝m，|FP|＝1，∴m=1，即m=1，（3）由yx⎧=⎪⎨=⎪⎩可得B，），设点Q （t ，22），则||FQ |22t =+，（0≤t 7≤）， 设P （x 0，y 0），则|PF |021y =-，∵△FPQ 是等边三角形，∴|PF |＝|FQ |，即20212y t -=+，即20212t y ++=，代入曲线方程得22200(21)112t x y ++=+=-， ∵|QF |2＝|QP |2，t 2+2＝（22(21)12t t ++--）2+（221222t ++-）2， 解得t 2＝7， |FQ |72=+=3△FPQ 的边长为3．【点睛】考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．已知*n N ∈和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋯≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 3n 个数()11211k k k n k k n k a a a a a a k n +++++---≤≤，，两两不同；②当1k n ≤≤时，2111k n k k n k k k a a a a a a +++++---＞＞都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个“友数列”.(1)若12341123n x x x x =====，，，，写出的{}k x 全部“友数列”；(2)已知{}k a 是通项公式为()131k x k k n =≤≤+的数列{}k x 的一个“友数列”，且131n a x +=，求31n a +(用n 表示)；(3)设2n ≥，求所有使得通项公式为()131kk a q k n =≤≤+的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的“友数列”的正实数q 的个数(用n 表示). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）对1a 分类讨论即可得到结果；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，分类讨论即可得到结果；（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果. 【详解】解：（1）若11,a ≠ 则234,,a a a 中存在两个1，不妨设(),24i j a a i j ≤<≤， 则有11i j a a a a -=- 与②矛盾， 故有11,a =则234111a a a -<-<-， ∴234111,a a a -<-<- ∴2341,2,3a a a ===即好数列{}{}1234,,,1,1,2,3a a a a = ；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，而令k 取1时，由131a n =+，2222313131n n n a n a n a +++-<+-<+- ，若221n a +≠，则22313n n a n ++-<，而1k ≠时，1121k k k k n k k n a a a a a a +++++-<-<- 故只可能为某个j 且1j ≠ 使213j j n a a n ++-=， 则{}2121max ,3j j n j j n a a a a n ++++-<<，矛盾， ∴必有1k =则有22313n n a n ++-=，即221n a += ， 其次，若1231,n a a n +-≠+则此时差值中31n -除3n 外最大，则有2131j j n a a n ++-=-，1j ≠，又2122,j j n n a a a +++≠， ∴21,2j j n a a ++≥，而21,3j j n a a n ++≤， 则213231j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1231,n a a n +-=-即22n a += 同理，若1232,a a n -≠-则有1j ≠使2132j j n a a n ++-=-，且21,3j j n a a ++≥，且21,3j j n a a n ++≤，∴213332j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1232,n a a n +-=-即23a =，接着考虑：223n a a +- ，2323,n a a a a +--， 若22333n a a n +-≠-，则有()1,2j j ≠，使得2333j j n a a n ++-=-， 又234,4j j n a a ++≥≥ ，23,3j j n a a n ++≤矛盾， ∴22333n a a n +-=- 依次类推即可.故对于21n k =+ ()0,1,2,n =时，313,n n a a +-=且122323a a n a -=-⇒=，3233532a a n a n -=-⇒=-，11n n a a --=，联立，得322n n a +=， ∴31352n n a ++=，对于2n k = ()0,1,2,n =时，1232a a n -=-，()3235a a n -=--，11n n a a --=-， 联立，得32n n a =， ∴31362n n a ++=，（3）233112331,,,,n n a q a q a q a q ++==== ，若()0131kk a q k n =≤≤+ 为一个数列{}k x 的“友数列”，则()01131kk a k n q ⎛⎫=≤≤+ ⎪⎝⎭亦为一个数列{}k x '的友数列，故不妨设1q ≥ ，则所有差排列如下：01 ：1q =时，易知与条件①②矛盾； 02 ：1q >时，()()2121121111n n n n q q q q q ++-+-<-<<- ， ()()1111111n n n n q q q q q ++-+-<-<<-，()()1111n q q q q q --<-<<-观察上面式子，若不存在{}k x ，则先比较：211n q+-与()111n n qq-+-()()21221111n n n q q q q q +--=-++++，()()()1111111n n n n n q q q q q q q -+---=-++++()()212212111n n n n q q q q q ---+=-+++<-，在比较11n q+-与()11n qq --大小，()()11111n n n q q q q q +--=-++++()1111n n q q q -+-<-，综上，不存在满足题意的q 值. 【点睛】本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．。
上海市华二附中高三三模数学学科考试试卷(含答案)(2019.05)
华二附中高三三模数学试卷2019.05一. 填空题1. 已知集合{||1|3}A x x =-≤，{|1}B x x =≤-，则()AB =R ð2. 若615n C =，则n =3. 抛物线2y x =的准线方程是4. 已知方程220x x b -+=的一个根是2i a +（其中a ∈R ，i 是虚数单位），则实数b =5. 已知数列{}n b 的通项公式是211()2n n b -=，则12lim()n n b b b →∞++⋅⋅⋅+= 6. 线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组无解，则实数m =7. 18(x 的展开式中含15x 的项的系数为 （结果用数值表示）8. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+的最小正周期为π，则()f x 在区间[0,]2π上单调 递减区间是 9. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是 “每大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是11. 已知函数31()x x f x x e e=+-，其中e 是自然对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤， 则实数a 的取值范围是12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是二. 选择题13. 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，则“1k =”是“△OAB 的 面积为12”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的 原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ） A. 3310 B. 5310 C. 7310 D. 931015. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而已， 所得开立方除之，即立圆经，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的3.14159π≈⋅⋅⋅判断，下列 近似公式中最精确的一个是（ ）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈16. 若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关三. 解答题17. 如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PB AC ====， O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 是棱BC 的中点，求PC 与平面PAM所成角的大小.（用反三角函数表示）18. 已知函数()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求实数x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数.19. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG 、11E G 的长分别为14cm 和62cm ，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ，现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.20. 椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦距是长轴长是短轴长3倍，任作斜率为13的直线l 与椭圆C 交于A 、B两点（如图所示），且点P 在直线l 的左上方.（1）求椭圆C 的方程；（2）若||AB =PAB 的面积；（3）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.21. 若无穷数列{}n x 满足1211n n n n n n x x x x x x +++-+=+对所有正整数2n ≥成立，则称{}n x 为“Q 数列”， 现已知数列{}n a 是“Q 数列”.（1）若12a =，23a =，418a =，求3a 的值；（2）若0n a >对所有*n ∈N 成立，且存在*k ∈N 使得1k a =，12k a +=，23k a +=，求k 的 所有可能值，并求出相应的{}n a 的通项公式；（3）数列{}n q 满足1n n na q a +=（1n ≥），证明：{}n a 是等比数列当且仅当{}n q 是等差数列.参考答案一. 填空题1. (1,4]-2. 2或43. 14y =-4. 55. 236. 2±7. 178. [,]82ππ 9. 4 10.115 11. 1[1,]2- 12. 440二. 选择题 13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）证明略；（2）18.（1）2133x -<<；（2）310x y =-，[0,lg 2]x ∈. 19.（1）16cm ；（2）20cm .20.（1）221364x y +=；（2）123y x =-，6PAB S =；（3）证明略. 21.（1）37a =或9-；（2）1k =，n a n =；（3）证明略.。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学期开学考数学试卷(简略答案)
华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
写在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将答题卡上交。
一、填空题： 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z = 5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x-的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12. 已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号）二、选择题：13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3A B. 2A C. A D. 不存在14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12 B. 24 C. 48 D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数 三、 解答题：17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1AC 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A B 的对边长()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷参考答案2019.03 一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 2021 9. 1 10. 10 11.1- 12. ②④二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C 三. 解答题17.（1）（2）18.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年 人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3. 21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
!华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)
上海市华师大二附中高三综合练习试卷（共十套）上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点 。
2．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=。
3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 。
4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1。
5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = 。
6．（文）若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 。
（理）若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 项。
7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 。
8．某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 。
（结果用分数表示） 9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学期开学考数学试卷(简略答案)
华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷2019.03时间：120分钟；满分150分一、填空题： 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z = 5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x -的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号） 二、选择题：13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3A B. 2A C. A D. 不存在14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12 B. 24 C. 48 D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数 三、 解答题：17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A B 的对边长()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ≥xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷参考答案2019.03 一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 20219. 1 10. 10 11. 1- 12. ②④ 二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C 三. 解答题17.（1）（2）1318.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年 人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3.21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
华二附中高三三模(2019.05)
华二附中高三三模数学试卷2019.05一. 填空题1. 已知集合{||1|3}A x x =-≤，{|1}B x x =≤-，则()A B =R I ð2. 若615n C =，则n = 3. 抛物线2y x =的准线方程是4. 已知方程220x x b -+=的一个根是2i a +（其中a ∈R ，i 是虚数单位），则实数b =5. 已知数列{}n b 的通项公式是211()2n n b -=，则12lim()n n b b b →∞++⋅⋅⋅+= 6. 线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组无解，则实数m =7. 18(x 的展开式中含15x 的项的系数为 （结果用数值表示）8. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+的最小正周期为π，则()f x 在区间[0,]2π上单调 递减区间是 9. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r 的最大值为10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是 “每大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是11. 已知函数31()x x f x x e e=+-，其中e 是自然对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤， 则实数a 的取值范围是12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是二. 选择题13. 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，则“1k =”是“△OAB 的 面积为12”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的 原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ） A. 3310 B. 5310 C. 7310 D. 931015. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而已， 所得开立方除之，即立圆经，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的 一个近似公式3169V ，人们还用过一些类似地近似公式，根据 3.14159π≈⋅⋅⋅判断，下列 近似公式中最精确的一个是（ ）A. 3169d V ≈B. 32d V ≈C. 3300157d V ≈D. 32111d V ≈ 16. 若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关三. 解答题17. 如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PB AC ====， O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 是棱BC 的中点，求PC 与平面PAM所成角的大小.（用反三角函数表示）18. 已知函数()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求实数x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数.19. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG 、11E G 的长分别为14cm 和62cm ，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ，现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.20. 椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦距是82，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为13的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点（如图所示），且点(32,2)P 在直线l 的左上方.（1）求椭圆C 的方程；（2）若||210AB =，求△PAB 的面积；（3）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.21. 若无穷数列{}n x 满足1211n n n n n n x x x x x x +++-+=+对所有正整数2n ≥成立，则称{}n x 为“Q 数列”， 现已知数列{}n a 是“Q 数列”.（1）若12a =，23a =，418a =，求3a 的值；（2）若0n a >对所有*n ∈N 成立，且存在*k ∈N 使得1k a =，12k a +=，23k a +=，求k 的 所有可能值，并求出相应的{}n a 的通项公式；（3）数列{}n q 满足1n n na q a +=（1n ≥），证明：{}n a 是等比数列当且仅当{}n q 是等差数列.参考答案一. 填空题1. (1,4]-2. 2或43. 14y =-4. 55. 236. 2±7. 178. [,]82ππ 9. 4 10.115 11. 1[1,]2- 12. 440二. 选择题13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）证明略；（2）18.（1）2133x -<<；（2）310x y =-，[0,lg 2]x ∈. 19.（1）16cm ；（2）20cm .20.（1）221364x y +=；（2）123y x =-，6PAB S =V ；（3）证明略. 21.（1）37a =或9-；（2）1k =，n a n =；（3）证明略.。
2019届上海华东师范大学第二附属中学高三10月月考数学试题
华东师大二附中2019届高三数学考试试卷（10月）本试卷满分150分，考试时间为120分钟一、填空题（本大题共12小题，1到6题每题4分，7到12题每题6分，共54分） 1、设函数 ( )是奇函数，当x < 0时， f (x ) = 3x+ x ，则当x > 0时， ( ) = .2、已知函数 f (x ) = 2x+ m ，其反函数 y = f -1 (x )图ۿ㓿过点( )，则实数m 的值为 .3、设集合 A B =R ”是“a = 1”的 .条件（填空：充要条件、充分不= { } { }，则“ A ∪必要条件、必要不充分条件、既非充分也非必要条件之一）4、若关于x , y 的二元一次方程组⎧mx + 4y = m + 2有无穷多组解，则m 的取值为.C 1B 15、如图在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中∠ACB = 90︒, AA 1 = 2，AC = BC =1，则异面直线A 1B 与AC 所A 1 成角的余弦值是 .C2 2B-1=1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是.A7、如果数列{a }为递增数列，且a n = n 2+ λn ()，则实数λ的取值范围为 .8、从2位女生，4为男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）9、已知F 是椭圆x 2 2 10、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cos B - b cos A = 12 c，则 tan n A 的值为 .11、若二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a > 0)在区间[1 2]上有两个不同的零点，则 ( )的取值范围为.12、已知集合M = ⎧ 25 ,1,4⎫⎬，集合M 的所有非空子集依次记为：一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m 1 + m 2 +⋯+ m 1s = .二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、函数 y = a x - 1 ( )的图ۿ可能是（）y 1O y 11xO y 11xO y11 xO 1 xA. B.C.D.14、等差数列{ }的前n 项和为S n ，若公差 ( )( ) < 0，则（）A. a 7 > a 8B. a 7 < a 8C. a 7 = a 8D. a 7 = 0f x f x 3,1 | 1 , | x x B x x a ≤ = ≥ + = ⎩ ⎨x my my n 6、方程2x m - m ∈ * n N 20 4C : + =1的右焦点，P 是C 上一点，A (-2,1)，当 APF 周长最小时，其面积为 y ∆ ta B 2 ， 1 f a , ⎩ ⎨- 3 4 , , , , , ⎭ M 1 M 2 ⋯ M 15 ，设m 1,m 2 ⋯ m 15 分别是上述⇿ 0, 1 a a n a 8 5 9 5 0, d S S S S > - -15、已知D 为∆ABC 的边 AB 上的一点，且CD = 13 AC + λ ⋅ BC ，则实数λ的值为（）A . 2 3B. - 2C.34 3D . 4 - 3⎧x 2- x + 3, x ≤ 116、已知函数 f (x ) = ⎨x + 2 , x ，设a ∈ R ，若关于x 的不等式 f (x ) ≥ ⎩ x是（ ） x+ a 在R 上恒成立，则a 的取值范围⎡- ⎣47 16 ,2⎤⎥ ⎡- 47 39⎤ ⎡ ⎦39⎤三、解答题（本大题有5个小题，共76分，解答题要写出解题步骤）17、（本题满分14分）如图所示，在边长为5+ 2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N 、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.B MCFKO NAE D18、（本题满分14分，分别为6+8分）已知函数 f (x ) = 2x -1 - x - a ,a ≤ 0 （1）当a = 0时，求不等式 f (x ) < 1的解集；（2）若 f (x )的图ۿ与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围.19、（本题满分14分，分别为6+8分）已知函数 f (x ) = cos () + m (m ∈ R )，将 y = f (x )的图ۿ向左平π移 6个单位后得到g ( x )的图ۿ，且 y = g (x )在区间⎡⎢ （1）求m 的值； π π ⎤内的最小值为3⎛ c ⎫ = 1⎝ 2 ⎭ 2⎪ ⎪ > 12 ⎢ A. , ⎢ ⎡- ⎣ ⎣ B. ⎣ 16 16 ⎥⎦ C. 2 3,2⎤⎦ D. ⎢-2 3, 16 ⎥⎦ 3sin cos x x- 2⎣ 4 , 3 ⎥⎦ ⎪ （2）在锐角∆ABC 中，若g + 3 ，求sin A + cos B 的取值范围.20、（本题满分16分，分别为4+6+6分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C : x 2= 2 py ( p > 0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M , F ,O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34 过定点D (0, p )作直线与抛物线C 相交于A B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点N 是点D 关于坐标原点O 的对称点，求∆ANB 面积的最小值； （3）是否存在垂直于 y 轴的直线l ，使得l 被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不 存在，说明理由.a n +1密数列”；（1）已知数列{a }是“紧密数列”，其前5项依次为1 a n3，9 x , 81，求x 的取值范围；（2）若数列{a }的前n 项和为S n =1( )( )，判断{ }是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设{a }是公比为q 的等比数列，若{a }与{S }都是“紧密数列”，求q 的取值范围.、 n S 21、（本题满分 18分，分别为4+6+8 分）设数列{a }的前n 项和为 n ，若12 ≤ * n N ∈ n a ≤ 2( )，则称{ }是“紧nn ，2 4，2*3 4n n n N + ∈ na n n n参考答案一、填空题 二、选择题：13-16 DBDA 三、解答题 17、S =10π ,V =π . 18、（1）(0 2)；（2）(- ∞，-1)19、（1） 23；（2）⎝⎛ 3 2 ，2 ⎪⎭⎫ .20、（1）抛物线C 的方程x = 2y ;（2）2 2；（3） y =p2.21、（1）x 的取值范围是⎢⎣⎡321 81 8⎥⎦⎤；（2）是；（3）q 的取值范围是⎢ ⎥⎦⎤63302 ，3 2 8 ， ⎣ ⎡ 1 21，。
2019届上海市华东师范大学第二附属高三下学期质量调研数学试题
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的极限是A ,如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞那么数列{}n b 的极限是（ ） A ．3A B ．2AC ．AD ．不存在【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可． 【详解】解：数列{a n }的极限是A ，如果数列{b n }满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞， 那么数列{b n }的极限是：3A ． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力． 2．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】 若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件； 则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2． 【详解】解：当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ，A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个． 故选：B ．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．4．函数()()0y f x x R m =∈，＞，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，则称()()y f x x D =∈“有界”，设()()1y f x x R =∈是增函数，()()2y f x x R =∈是周期函数，且对所有()()1200x R f x f x ∈，＞，＞，已知()()()12h x f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A ．若()h x 是周期函数,则()1f x “有界”B ．若()h x 是周期函数,则()2f x “有界”C ．若()1f x “有界”,则()h x 不是周期函数D ．若()2f x “有界”,则()h x 不是周期函数 【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可. 【详解】解： 设()2y f x =的周期为2T ，()h x 的周期为1T ，()22x max f M =，()11x max f M =，若()h x 是周期函数,则()()()()()1112112T T T h x n f x n f x n f x f x +=++=， ∵()()1y f x x R =∈是增函数，即()()111T f x n f x +>, ∴()()212T f x n f x +＜，若21T T =，则()()2121T T f x n f x n ++＜，显然不成立， 若21T T ＜，给定S ，则存在S N +∈使得()()()()21222122T T T f x n f x n f x n f x n s T ⎧++⎪⎨⎡⎤+++⎪⎣⎦⎩＜＜, ∵()2f x 为周期函数，∴()()2222T f x n f x n s T ⎡⎤+++⎣⎦＜，又∵()()1f x x R ∈是增函数，∴()21T f x n +的值越来越小，无法判定； 对于C ，D 选项，()()()()()21222122T T T T h x n f x n f x n f x n f x +=++=+ 若()1f x “有界”,即()()212T h x n M f x +≤ ∵()2f x 为周期函数，∴()h x 也是周期函数， 若()2f x “有界”,则()2m f x M ≤≤，()()()()()()21222122212T T T T T h x n f x n f x n f x n f x M f x n +=++=+≤+，又()()1y f x x R =∈是增函数， ∴()h x 不是周期函数故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题．二、填空题 5．行列式1598的值为________.【答案】﹣37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 【详解】 解：1598＝1×8﹣9×5＝﹣37． 故答案为：﹣37 【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．6．设集合{}{}1234202A B ==-，，，，，，，则AB =________.【答案】{}2【解析】利用交集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵{}{}1234202A B ==-，，，，，，，∴{}2A B ⋂= 故答案为：{}2 【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7．已知向量()()157215a b =-=，，，，，，则a b +=_______.【答案】13【解析】利用向量加法坐标公式可得a b +的坐标，进而求模即可. 【详解】∵()()157215a b =-=，，，，，， ∴()3412a b +=-，， ∴91614413a b +=++=， 故答案为：13 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题. 8．如果复数z 满足2220z z -+=，那么z =______.【解析】设z ＝a +bi ，利用待定系数法建立方程组求出a ，b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可． 【详解】 解：设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0， 即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ，则|z |，【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键． 9．椭圆2221x y +=的焦距是______.【解析】把椭圆x 2+2y 2＝1转化为标准方程，然后求出其焦距． 【详解】解：把椭圆x2+2y2＝1转化为：22112yx+=，a＝1，b＝2得c2 =，∴2c．椭圆x2+2y2＝1．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．10．掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】1 2【解析】掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，根据概率公式即可求出【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，故所得点数为质数的概率是31 62 =，故答案为：1 2【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．11．若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.【答案】30°【解析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积＝12×2πRl＝πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l ＝2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有cosθ＝12， ∴θ＝60°，∴该圆锥的轴与母线的夹角大小为30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键． 12．从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________. 【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从5名男教师和4名女教师选出4人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从5名男教师和4名女教师选出4人，有C 94＝126种， 其中只有男教师的选法有C 54＝5种， 只有女教师的选法有C 44＝1种，则男女教师都有的选法有126﹣5﹣1＝120种； 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 13．若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1【解析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 【详解】解：两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩，k ≠﹣2，22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则2026402kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k ＜2， 所以正整数k ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．14．若321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______. 【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．再根据常数项为正数，求得正整数n 的最小值． 【详解】解：∵321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项公式为T r +1＝rn C •（﹣1）r •x 3n ﹣5r ，令3n ﹣5r＝0，因为常数项为正数 求得最小的r ＝6，故常数项为6n C ,为正数，则正整数n 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知()122x x ay a b R b++=∈+，既是奇函数,又是减函数,则a b +=_______.【答案】1-【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x ab --++＝﹣122x xab+++，分析可得a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2，将a 、b 的值代入函数的解析式，分析其单调性可得a 、b 的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()122x x ay a b R b ++=∈+，是奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x a b --++＝﹣122x x ab+++，变形可得：a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2；当a ＝﹣1，b ＝2时，f （x ）＝12122x x +-+＝11221x --，为增函数，不符合题意；当a ＝1，b ＝﹣2时，f （x ）＝12122x x ++-＝11221x +-，为减函数，符合题意；故a ＝1，b ＝﹣2，则a +b ＝﹣1； 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．16．已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中：arcsin y x =①；3y x =②；2111y y x x x==-+③；④，没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号). 【答案】②④【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果. 【详解】作出arcsin y x =的图象，显然y 2π=适合题意；作出3y x =的图象，显然不存在基线；函数211y x =+为偶函数，在x 0=处取到最大值1， 所以y 1=适合题意； 作出1y x x=-的图象，显然不存在基线；综上可知：②④不存在基线. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．如图,正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3.(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求异面直线1A C 与AB 所成角的大小. 【答案】（1）23（2）24【解析】（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解； （2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】解：（1）∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB 边上的高为3， ∴12332ABCS=⨯⨯=， 又侧棱长AA 1长为3，则正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝123ABCSAA ⋅=；（2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A()31,0-，，B()310，，，A 1()312-，，，()()10,2,031,2AB CA ==-，，，∴cos 1CA AB ，＝11CA AB CA AB⋅⋅＝24222=-⨯． ∴异面直线A 1C 与AB 所成角的大小为24．【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．已知函数()2sin cos sin .f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）π（2【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）根据f （A ）＝0，求得A 的值，再利用正弦定理求得B ，可得C 的值，利用△ABC 的面积为 12•ab •sin C ，计算求得结果． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x ＝12sin2x ﹣122cos x -＝2sin （2x +4π）﹣12， 故它的最小正周期为22π＝π．（2）∵△ABC 为锐角三角形，角A B若f （A ）＝2sin （2A +4π）﹣12＝0，∴sin （2A +4π）＝2，∴2A +4π＝34π，∴A ＝4π．再由正弦定理可得4sinBsinπ=，∴sin B ＝2， ∴B ＝3π，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝512π，∴sin C ＝sin （6π+4π）＝sin 6πcos 4π+cos 6πsin 4π故△ABC 的面积为 12•ab •sin C ＝124＝34+． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()0.65544502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()0t P t =，的单位是干人，设()P t 的反函数为()T x ，求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.【答案】（1）见解析，（2）T （2400）＝5.5，见解析.【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 【详解】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385﹣2082＝303千人， 3135﹣2082＝53，2203﹣2135＝68，2276﹣2203＝73，2339﹣2276＝63，2385﹣2339＝46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由()0.65544502000 4.48781tP t e -=++， ∵P （t ）的反函数为T （x ），∴2400＝20000.66544504.48781t e -++，∴4.4878e ﹣0.6554t +1450400=，∴4.4878e ﹣0.6554t 18=，两边取对数可得ln 4.4878﹣0.6554t ＝﹣ln 8， ∴t 4.4878835.90240.65540.6554ln ln ln +==≈5.5，∴T （2400）＝5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人． 【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题 20．设常数m ≥在平面直角坐标系xOy 中,已知点(0F ，直线:l y m =，曲线)0x y m l Γ=≤≤：，与y 轴交于点A 与Γ交于点,,B P Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用m 表示点B 到点F 的距离；(2)若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；(3)设m =且存在点P 、Q ,使得FPQ ∆是等边三角形,求FPQ ∆的边长. 【答案】（1）21BF m =-（2）m 1=（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ 为正方形，转化为边长相等，即可得到m 的解；（3）设出P ，Q 坐标利用|PF |＝|FQ |求出t ，即可求出两点坐标，进而求出边长． 【详解】解：（1）由y m x =⎧⎪⎨=⎪⎩，可得Bm ）， 又F （0， ∴|BF|===﹣1，（2）由0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=， 则四边形AFPQ 为正方形，∵F （0，A （0，m ），P （1）， ∴|AF |＝m ，|FP |＝1， ∴m =1， 即m =1，（3）由y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得B，），设点Q （t ，22），则||FQ |22t =+，（0≤t 7≤）， 设P （x 0，y 0），则|PF |021y =-，∵△FPQ 是等边三角形，∴|PF |＝|FQ |，即20212y t -=+，即20212t y ++=，代入曲线方程得22200(21)112t x y ++=+=-， ∵|QF |2＝|QP |2，t 2+2＝（22(21)12t t ++--）2+（221222t ++-）2， 解得t 2＝7， |FQ |72=+=3△FPQ 的边长为3．【点睛】考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．已知*n N ∈和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋯≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 3n 个数()11211k k k n k k n k a a a a a a k n +++++---≤≤，，两两不同；②当1k n ≤≤时，2111k n k k n k k k a a a a a a +++++---＞＞都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个“友数列”.(1)若12341123n x x x x =====，，，，写出的{}k x 全部“友数列”；(2)已知{}k a 是通项公式为()131k x k k n =≤≤+的数列{}k x 的一个“友数列”，且131n a x +=，求31n a +(用n 表示)；(3)设2n ≥，求所有使得通项公式为()131kk a q k n =≤≤+的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的“友数列”的正实数q 的个数(用n 表示). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）对1a 分类讨论即可得到结果；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，分类讨论即可得到结果；（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果. 【详解】解：（1）若11,a ≠ 则234,,a a a 中存在两个1，不妨设(),24i j a a i j ≤<≤， 则有11i j a a a a -=- 与②矛盾， 故有11,a =则234111a a a -<-<-， ∴234111,a a a -<-<- ∴2341,2,3a a a ===即好数列{}{}1234,,,1,1,2,3a a a a = ；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，而令k 取1时，由131a n =+，2222313131n n n a n a n a +++-<+-<+- ，若221n a +≠，则22313n n a n ++-<，而1k ≠时，1121k k k k n k k n a a a a a a +++++-<-<- 故只可能为某个j 且1j ≠ 使213j j n a a n ++-=， 则{}2121max ,3j j n j j n a a a a n ++++-<<，矛盾， ∴必有1k =则有22313n n a n ++-=，即221n a += ， 其次，若1231,n a a n +-≠+则此时差值中31n -除3n 外最大，则有2131j j n a a n ++-=-，1j ≠，又2122,j j n n a a a +++≠， ∴21,2j j n a a ++≥，而21,3j j n a a n ++≤， 则213231j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1231,n a a n +-=-即22n a += 同理，若1232,a a n -≠-则有1j ≠使2132j j n a a n ++-=-，且21,3j j n a a ++≥，且21,3j j n a a n ++≤，∴213332j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1232,n a a n +-=-即23a =，接着考虑：223n a a +- ，2323,n a a a a +--， 若22333n a a n +-≠-，则有()1,2j j ≠，使得2333j j n a a n ++-=-， 又234,4j j n a a ++≥≥ ，23,3j j n a a n ++≤矛盾， ∴22333n a a n +-=- 依次类推即可.故对于21n k =+ ()0,1,2,n =时，313,n n a a +-=且122323a a n a -=-⇒=，3233532a a n a n -=-⇒=-，11n n a a --=，联立，得322n n a +=， ∴31352n n a ++=，对于2n k = ()0,1,2,n =时，1232a a n -=-，()3235a a n -=--，11n n a a --=-， 联立，得32n n a =， ∴31362n n a ++=，（3）233112331,,,,n n a q a q a q a q ++==== ，若()0131kk a q k n =≤≤+ 为一个数列{}k x 的“友数列”，则()01131kk a k n q ⎛⎫=≤≤+ ⎪⎝⎭亦为一个数列{}k x '的友数列，故不妨设1q ≥ ，则所有差排列如下：01 ：1q =时，易知与条件①②矛盾； 02 ：1q >时，()()2121121111n n n n q q q q q ++-+-<-<<- ， ()()1111111n n n n q q q q q ++-+-<-<<-，()()1111n q q q q q --<-<<-观察上面式子，若不存在{}k x ，则先比较：211n q+-与()111n n qq-+-()()21221111n n n q q q q q +--=-++++，()()()1111111n n n n n q q q q q q q -+---=-++++()()212212111n n n n q q q q q ---+=-+++<-，在比较11n q+-与()11n qq --大小，()()11111n n n q q q q q +--=-++++()1111n n q q q -+-<-，综上，不存在满足题意的q 值. 【点睛】本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．。
详解及答案：2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月三模数学试题
0 ≤ x ≤ 2
9.区域 D 由不等式组 y ≤ 2
uuuur uuur 给定，若 M (x, y) 为 D 上的动点，点 A( 2,1) ， O 为坐标原点，则 OM ⋅ OA 的
x ≤ 2 y
最大值为__________．
【答案】 4
【解析】
uuuuv uuuv 分析：先作可行域，再根据向量数量积得 z = DM ⋅ DA =
即
a
−
1
=0
，即 a = 1 ，
即实数 b = 5 ，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数相等，属基础题.
{ } 5.已知数列
bn
( 的通项公式是 bn
=
1 2
2n
−1
，则
lim
n→+∞
b1 + b2 +L
+ bn ) =_________。
2
【答案】
3
【解析】
【分析】
由数列{bn}的通项公式可得：数列{bn} 是首项为
4.已知方程 x2 − 2x + b =0 的一个根是 a + 2i （其中 a ∈ R ， i 是虚数单位），则实数 b = _____。
【答案】 5
【解析】
【分析】
a2 − 2a + b − 4 =0
由 a + 2i 是方程 x2 − 2x + b =0 的一个根，将 a + 2i 代入方程，结合复数相等列方程组可得
即 2a2 + a −1 ≤ 0 ，解得 −1 ≤ a ≤ 1 ， 2
即实数 a 的取值范围是 −1 ≤ a ≤ 1 ， 2
华二附中高三模拟(2019.05)
华二附中高三模拟数学试卷2019.05一. 填空题1. 若复数z 满足112i i i z =-+-，则z =2. 计算：33lim 81n n C n →∞=+ 3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x 、y 、9、10、11，已知这组数据 的平均数为10，方差为2，则22x y +的值为4. 若关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为32111m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若5x D =，则实数m = 5. 已知实数x 、y 满足不等式组22000x y x y y --≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则11y w x -=+的取值范围是 6. 在101()2x x-展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有 项 7. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积 与这个球的体积之比为8. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ，作向量(,)a m n =r ，则向量a r 与向量(1,1)b =-r 的夹角成为直角三角形内角的概率是9. 已知集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤，若A B ≠∅I ，则a 的取值范围是10. 在△ABC 中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角 顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧），当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为11. 如图，B 是AC 的中点，2BE OB =u u u r u u u r ，P 是BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r （,x y ∈R ），有以下结论：（1）当0x =时，[2,3]y ∈；（2）当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =； （3）若x y +为定值，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； （4）x y -的最大值是1-；其中你认为正确的所有结论的序号为12. 对任意x 和[0,]2πθ∈，恒有221(2sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ++++≥，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件14. 实数a 、b 满足0ab >，a b ≠，由a 、b 、2a b + （ ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 15. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若223b a =，△AOB p =（ ）A. 1B. 32C. 2D. 3 16. 若函数()f x 满足：(||)|()|f x f x =，则称()f x 为“对等函数”，给出以下三个命题： ① 定义域为R 的“对等函数”，其图像一定过原点；② 两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③ 若定义域是D 的函数()y f x =是“对等函数”，则{|(),}{|0}y y f x x D y y =∈⊆≥； 在上述命题中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4b =，8BA BC ⋅=u u u r u u u r .（1）求22a b +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域.18. 如图，三棱锥P ABC -中，2PC AC ==，AB BC =，D 是PB 上的一点，且CD ⊥平面PAB .（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求二面角C PA B --的余弦值.19. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）.（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度）；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应投入几列列车运行？20. 已知抛物线G 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线G 上的点(,4)P m 到其准线的距离等于5.（1）求抛物线G 的方程；（2）如图，过抛物线G 的焦点的直线依次与抛物线G 及圆22(1)1x y +-=交于A 、B 、C 、D 四点，试证明||||AC BD ⋅为定值；（3）过（2）中的A 、B 两点作抛物线G 的切线1l 、2l ，且1l 、2l 交于点M ，试求△ACM 与△BDM 面积之和的最小值.21. 已知数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以q 为公比的等比数列.（1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112a b d ===，31003252010S a b <+-，求整数q 的值；（2）若*,p q ∈N ，3p ≥，2q ≥，试问数列{}n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续p 项的和？请说明理由；（3）若1r b a =，2s r b a a =≠，3t b a =（其中t s r >>，且()s r -是()t r -的约数），求证：数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项.参考答案一. 填空题1. 1i +2. 148 3. 208 4. 2- 5. 1[,1)2- 6. 4 7. 32 8. 7129. [1,3]- 10. 3 11.（2）（3）（4） 12. a ≤72a ≥二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）32；（2）3[1,]2.18.（1）证明略；（2）3.19.（1）20/km h ；（2）内环线投入10列，外环线投入8列.20.（1）24x y =；（2）证明略；（3）2.21.（1）2q =；（2）不存在，理由略；（3）证明略.。
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上海市华师大二附中高三综合练习高三年级数学 [5]编辑：胡泊 审核：王静一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合A={})2lg(-=x y x,B={}x y y 2=,则A I B= 。
2、若sin α= -55,则cos 2α= 。
3、方程03-2lgx -x lg 2=的解是 。
4、已知函数f(x)的图象与函数x3y =的图象关于直线y=x 对称，则f(9)= 。
5、复数4i35z -=的共轭复数z ＝ 。
6、在数列{}n a 中a 1= -13,且3a n =3a 1+n -2,则当前n 项和s n 取最小值时n 的值是 。
7．集合{}{}2,4,6,8,10,1,3,5,7,9A B ==，在A 中任取一元素m 和在B 中任取一元素 n,则 所取两数m>n 的概率是_ 。
8、在△ABC 中三边之比a:b:c=2:3:19,则△ABC 中最大角= 。
9、（理）在7)ax 1(+的展开式中，3x 的系数是2x 和4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么=a 。
（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天。
10、试在无穷等比数列81,41,21，…中找出一个无穷等比的子数列（由原数列中部分项按原来次序排列的数列），使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为 。
11、在R 上定义运算△：x △y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 。
12、已知数列{}n a ，nna )(231⋅=，把数列{}n a 的各项排成三角形状，如 图所示．记)n ,m (A 表示第m 行，第n 列的项，则)8,10(A = 。
二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
13、若复数θθsin cos i z -=所对应的点在第四象限，则θ所在的象限是（ ）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 14、函数y=cos 2x 的图象的一个对称中心是（ ）1a 2a 3a4a 5a 6a7a 8a 9a 10a．．． ．．． ．．． ．．． ．．(A)(02，π) (B) (04，π) (C) (-02，π) (D) (0,0)15、函数y=22-x （ ）(A)在(-∞,+∞)上单调递增。
(B)在(]1,∞-上是减函数，在[)∞+，1上是增函数。
(C)在(]1,∞-上是增函数，在[)∞+1上是减函数。
(D)在(]0,∞-上是减函数，在上[)∞+，0是增函数。
16、某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（)a b <，再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题 (本大题满分86分) 本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17、（本题满分12分）设z 为虚数，且满足1-≤z1z +≤2，求z 。
18、（本题满分13分）已知向量{}x x cos ,sin 2=，{}x x cos 2,cos 3=，定义函数f(x)=1-⋅。
（1）求函数f(x)的最小正周期。
（2）x ∈R 时求函数f(x)的最大值及此时的x 值。
19、（本题满分13分）在不等边△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A 2sin ，B 2sin ，C 2sin 依次成等差数列，给定数列a A cos ，b B cos ，cCcos ． （1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ ）．A ．是等比数列而不是等差数列B ．是等差数列而不是等比数列C ．既是等比数列也是等差数列D ．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断． 20、（本题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为t 6120吨，（240≤≤t ）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象。
21、（本题满分16分）设有x x f x a xx f =+=)(,)2()(方程唯一解,已知10041)(),()(1*1=∈=+x f N n x x f n n 且.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）若)(2,40134*1221N n a a a a b x x a nn nn n n n n ∈+=-=++且，求和：S n =b 1+b 2+…+b n ；（3）是否存在最小整数m ，使得对任意n ∈N *，有2008)(m x f n <成立，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.22、(本题满分18分)设函数f(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎩⎨⎧<->)0()()0()(x x f x x f（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5]参考答案1、{}2>x x 2、53 3、10001.0或 4、2 5、i 5453- 6、20 7、0.6 8、32π9、（理）1021+（文） 10、18n n a = 11、)23,21(- 12、53)31(2⋅13、A 14、B 15、B 16、C17、解：设)0b ,0a R b ,a (,bi a z ≠≠∈+=且，则i )b a bb (b a a a z 1z 2222+-+++=+， 由已知得R z 1z ∈+，∴22ba b b +-=0，∴ 1b a 22=+，∴z =1。
18、解：f(x)=⋅-1=23sinx ×cosx+2cos 2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6π)， （1）T=ωπ2=π ，（2）f(x)=2sin(2x+6π)，∴当2x+6π=2π+2k π (k ∈Z)，即x=6π+k π (k ∈Z)时，f(x)取最大值为2，∴当x=6π+k π (k ∈Z)时f(x)m ax =2 。
19、解：（1）B （2）因为A 2sin 、B 3sin 、C 2sin 成等差数列，所以C A B 222sin sin sin 2+=，所以2222c a b +=．又abc b c a b B 2cos 222-+=，abc a c b a A 2cos 222-+=，abcc b a c C 2cos 222-+=． 显然c C a A b B cos cos cos 2+=，即a A cos 、b B cos 、cCcos 成等差数列．若其为等比数列，有c Cb B a A cos cos cos ==，所以C B A tan tan tan ==，C B A ==，与题设矛盾 20、解：（1）设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则t t y 612060400-+=；令t 6＝x ；则t x 62=，即x x y 120104002-+=40)6(102+-=x ；∴当6=x ，即6=t 时，40min =y ，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。
（2）依题意80120104002<-+x x ，得032122<+-x x ，解得，84<<x ，即864<<t ，33238<<t ；由838332=-，所以每天约有8小时供水紧张。
21、解：（1）因方程f(x)=x 有唯一解，可求a=21从而得到22)(+=x xx f .2111022;1)(200721004122,10041)(111111+=⇒≠=+-==⋅=+=+-n n n n n nn n x x x x x x x x f x x x x f 又由已知即数列{n x 1}是首项为11x ，公差为21的等差数列， 故n x 1=1112)1(221)1(1x x n n x -+=⋅-+,所以数列{x n }的通项公式为200622)1(211+=+-=n x n x x n .（2）将x n 代入a n 可求得a n =2n －1，所以)121121(1+--+=n n b n . 1211+-+=∴n n S n （3）*12008)(N n mx x f n n ∈<=-对Θ恒成立，.20082200711)20072(,)20072(2008max max =+=++>∴n n m 而即可只要即要2,200822008>∴>m m ,故存在最小的正整数m=3.22、解：（1）Θf(-1)=0 ∴1+=a b 由f(x)≥0恒成立 知△=b 2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)≤2∴a=1从而f(x)=x 2+2x+1 ∴F(x)=⎩⎨⎧<+->+)0()1()0()1(2x x x x ， （2）由（1）可知f(x)=x 2+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x 2+(2-k)x+1，由于g(x)在[]2,2-上是单调函数,知-222-≤-k 或-222≥-k ，得k ≤-2或k ≥6 ，（3）Θf(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴)(x f 在[]+∞,0上为增函数对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)， ∴F(x)是奇函数且F(x)在[]∞+，0上为增函数， Θm>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。