人教版九年级数学讲义二次函数与一元二次方程(含解析)(2020年最新)
22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y＝x2－2x＋1 (1,0)
x2－2x＋1＝0 x1＝x2 ＝1
y＝x2－2x＋2 图像与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
没有实数根．
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
归纳总结
y
43 2 1 -3-2--110 1 2 3 x -2 -3
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况：
?
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
随堂练习
1. 方程 x2＋4 x－5＝0的根是 －5，1 ；则函数 y＝x2＋4 x－5 的图像与x轴的交点有 2 个，其坐标
是（-5，0）、（1，0） ．
2. 方程 x2＋10x－25＝0 的根是 x1＝x2＝5 ；
则函数 y＝－x2＋10 x－25 的图像与x轴的交点有_1 个，其坐标是 （5，0） ．
图像与x轴没有交点．
22.2二次函数与一元二次方程(1)
观察思考
二次函数与一元二次方程
y
y=x2－2x －3
4
3
2
1
-3-2 -1-10 1 2 3 x -2 -3
y=x2−2x −3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋2
图像与x轴有2个交点．图像与x轴有1个交点．图像与x轴没有交点．
x2−2x −3 ＝0
初中数学 九年级(上册)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用 函数图像研究方程问题的方法； 2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方 程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实 根的函数图像特征； 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h （h是实数）图像交点的横坐标．
二次函数与一元二次方程(优质课件)九年级数学上册(人教版)
中考链接
中考链接
当堂检测
当堂检测 4、根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
基础达标作业
作业设计
能力提升作业
作业设计
能力提升作业
归纳小结 知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
解方程：
20.5 h h=20t-5t2
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0,
O
t
因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
你能结合图形指出为什么 球不能达到20.5m的高度?
新知探究
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
x1 =x2 =3.
有两个相等的实根
无公共点
0 x2 x 1
方程无解 没有实数根
新知探究 知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程
抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
第22章 二次函数(二)二次函数与一元二次方程 讲义 人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数（二）二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系要点1.一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0，求ax2+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程.要点2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数；二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况，它们的关系如下表：要点3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点的个数由∆=b2-4ac的值来确定的.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，∆=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，∆=b2-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，∆=b2-4ac＜0，方程没有实根.课堂练习1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-4x的图象与x轴的交点坐标是（）A.(0，0)B.(4，0)C.(4，0)、(0，0)D.(2，0)、(-2，0)2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠04.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）A.-1，3B.-2，3C.1，3D.3，45.二次函数y=x2-6x-7的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根是.7.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行与y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D. x1=-1，x2=58.已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3，求k为何值时，抛物线与x轴有两个交点、有唯一交点、没有交点.9.已知关于x 的一元二次方程：x 2-(t -1)x +t -2=0. （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，二次函数y =x 2-(t -1)x +t -2的图象与x 轴的两个交点的横坐标互为相反数？请说明理由.知识点二 抛物线与x 轴两交点之间的距离 要点1.抛物线与x 轴两交点之间的距离公式：若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)由于x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，.有2121acx x a b x x =-=+，则结合两点之间的距离公式：22)()(B A B A x x y y AB -+-=（勾股定理）.a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444)()(222122122121.课堂练习1.已知抛物线y =43x 2415-x +3经过与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，顶点为D 点，分别求出△ABC 和△ABD 的面积.知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解要点1.我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.由于作图或观察可能有误差，由图象求得的解一般是近似的.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的一般步骤如下：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，由图象确定与x轴交点的个数，即方程解的个数；（2）观察图象与x轴的交点在哪两个数之间，即确定交点的横坐标的取值范围；（3）在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似解近似解出现在对应y值正负交替的地方.当x由x1到x2，对应的y值出现y1>0，y2<0(或y1<0<y2)时，则x1，x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|，若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似解；若|y1|>|y2|则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的常用方法如下表：方法步骤结论方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法二先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a≠0)，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根方法三先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(a≠0)移项后得再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根课堂练习1.已知二次函数y=x2-2x-3.（1）请你将函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示x2-2x-1=0的根，要求保留作图痕迹，指出方程的图形意义.2.如图，点A （2.18，-0.51），B （2.68，0.54），在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个近似值可能是（ ） A.2.18 B.2.68C.-0.51D.2.453.根据下列表格的对应值，判断ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是 .知识点四 二次函数与一元二次不等式的关系要点1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)及ax 2+bx +c <0(a ≠0)之间的关系如下(x 1<x 2)： （1）a ＜0时：判别式a >0抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点不等式ax 2+bx +c >0 的解集 不等式ax 2+bx +c <0的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx +c-0.06-0.020.030.09（2）a＜0时：利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象解不等式：不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的所有点的横坐标.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的所有点的横坐标；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y>0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y<0时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.要点2.利用二次函数图象解一元二次不等等式的步骤：（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的草图；（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.课堂练习1.解不等式-x2+5x+3>7.2.已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）在坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象直接写出不等式x2-4x+3>0的解集.3.已知二次函数y=-x2+2x+3.（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当-2＜x＜2 时，函数值y的取值范围．4.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是（）A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2。
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一、预学
问题（1）: 1．已知二次函数 y ax2 bx c
(a≠0）的图象如右图所示，则下列结论：
①a、b同号； ②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0； ④当y=－2时，x的值只能取2．
⑤当-1＜x＜5时，y＜0.其中正确的个数是（ ）
A．2个
B．3个 C．4个 D．5个
一、预学
2、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，
与平均年增长率x之间的函数关系式是 y 20(1 x)2 。
3、从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（m）与小 球的运动时间t（s）之间的关系式是 ，小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？
10
（探究2）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为 ４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成 本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ Ｐ与x的关系式分 别为R=500+30X，P=170—2X。
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？ （2）当每日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多 少? 分析：总销售额-销售总成本=销售总利润
一星期卖出 (300-10x)
件,
每件商品的利润为 (60+x-40) 元，
每星期的总利润为 (60+x-40)(300-10x) 元。
即 y (60 x 40)(300 10 x) (0≤X≤30) 10 x2 100 x 6000
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
4
问题2：
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版初中数学九年级上册 二次函数与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是________．
应用
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 0.5x2 经过平移得到抛物线y=0.5x2-2x ，其对称轴与两段 抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有一个交点 方程有两个⑯ 相的等实数根
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴无交点，
方程⑰无解.
考点三：二次函数与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集
函数图象位于x轴上方对应的点
的横坐标的范围
ax2+bx+c<0的解集
函数ห้องสมุดไป่ตู้象位于x轴下方对应的点 的横坐标的范围
考点清单
重难点突破
精练习题
二次函数与一元二次方程
学习目标：
1掌握抛物线的平移规律； 2利用数形结合灵活解决 二次函数与二次方程（不 等式）间的关系
考点一：
二次函数的平移
数）
考点二 与一元二次方程的关系
一元二次方程 ax2 bx c 0的解是二次函数
与x轴的交点的横坐标值
当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有两个交点 方程有两个⑮不相等的实数根
A 2 B 4 C 8 D 16
2．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴 交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为 A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分） 的面积为_______________．
考点清单
重难点突破
精练习题
谢谢
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
2．小组合作，类比探究
归纳 一般地，从二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
123456 x
2．小组合作，类比探究
问题4 由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程 的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？
y
y = x2- x + 1 6
5
4
3
y = x2+ x - 2
2
1
-3 -2 --1O1 -2
y = x2 - 6x + 9
123456 x
x2+ x - 2 = 0 x2 - 6x + 9 = 0 x2- x + 1 = 0
九年级 上册
22.2 二次函数与一元二次方程
课件说明
• 二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方 程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识， 另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有 关问题．
课件说明
• 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系.
• 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
(名师整理)最新人教版数学九年级上册第22章第2节《二次函数与一元二次方程》精品课件
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究一：二次函数与一元二次方程之间的联系
重点、难点知识★▲
活动1 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系
问题1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气 阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（单位：s） 之间具有函数关系：
的坐标ax和2 b一x 元c 二0 次方程
的根有什
么 总关 结系：？ 一般地，从二y次a函x2 数bx c
的图象
•可得抛如物y下线 结ax2 论bx：c
与x轴的交点有三种情况：
有两个交点，有一个交点，没有a交x2 点bx。c 这0 对应
着一元二次方程
的根的三种情况：
有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结 探究三： 例题讲解 学以致用
根据E、D的坐标求得直线ED1 的斜率为 ，根 据E、A的坐标求13 得直线EA的斜率3 为 。 ∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN为底边的等腰三角形， ∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐 标轴的距离， EF 3 或 5
线段的长。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究三： 例题讲解 学以致用
例2.（1）已知二次y 函kx2数7x 7
的图
象和x轴有交点B，则k的取值范围为（ ）
A.k 7 kB . 7 且k 0
4
4
【解题过程】
k 7 C. k＞ 7 且k D .0
4
4
解：∵二次函y 数kx2 7x 7
k 0， 和4x9轴 有28k交点0。
2020学年九年级数学上学期同步讲解二次函数与一元二次方程含解析新版新人教版
二次函数与一元二次方程一、知识点二、标准例题：例1：如图，已知二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可估计关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是1 1.6x=，2x=A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【解析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．例2：如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，则方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为（）A ．122,3x x =-=-B ．121,0x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-= 【答案】C【解析】解：∵2(1)10ax b x c +-++=，∴21ax bx c x ++=-.∴方程2(1)10ax b x c +-++=的根即为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，∵二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，∴方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为122,1x x =-=.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程2(1)10ax b x c +-++=变形为21ax bx c x ++=-，进一步将所求转化为求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数y ＝x 2+bx ﹣t 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝2， ∴b ＝﹣4，则方程x 2+bx ﹣t ＝0，即x 2﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣12＝﹣3，又∵y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中，m =__________．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．（3）观察函数图象，写出一条性质__________．（4）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=有__________个实数根．②关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是__________．【答案】（1）0（2）（3）当1x >时，y 随x 的增大而增大（4）①3②10a -<<．【解析】（1）x=-2时，m=x 2-2l-2l=0；．（2）如图所示（3）由函数图象知：1x >时y 随x 的增大而增大；函数图像关于y 轴对称;（4）如图：①22||=0x x -时即0y =，∴令x 轴有3个交点，分别是2-、0、2；即答案为3;②由函数图象知：关于x 的方程22||x x a -=有4个交点，∴a 的取值范围是10a -<<．总结：本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点， 22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <， 抛物线的对称轴为直线22a x a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．2．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a =-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=，∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有2个，故选B.3．已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．1212x x <-<<B ．1212x x -<<<C ．1212x x -<<<D ．1212x x <-<<【答案】A【解析】解：关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为12,x x ，可以看作二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标，∵二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点坐标为()()1,0,2,0-，如图：当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <∴121,2x x =-=；∴1212x x <-<<，故选：A ．4．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，所以x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，③a﹣b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（4，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，正确；③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C．6．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<【答案】D【解析】∵23y x bx =++的对称轴为直线1x =，∴2b =-，∴223y x x =-+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的有交点， ∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =，当4x =时，11y =，函数223y x x =-+在1x =时有最小值2，∴26t ≤<，故选D ．7．若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3 【答案】C【解析】解：当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x +32是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点， 当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m ﹣1）×32m ＝0， 解得，m ＝﹣2或3，故选：C ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b + 13）x +c ＝0（a ≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a 0＞，0b a∴-<． 设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a++=-=-- 010300a a b am m >∴-<-<∴+<. 故选：C ．9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是直线x ＝1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（0，12-）B ．（12-，0）C ．（0，﹣1）D ．（﹣1，0）【答案】D【解析】解：∵点A 的坐标为（3，0），∴点A 关于x ＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．故选：D ．10．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】92m >【解析】∵二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点， ∴△＜0，∴（-6）2-4×2×m ＜0， 解得：92m >； 故答案为：92m >．11．抛物线2243y x x =--，当14x -≤≤时，y 的取值范围是__________． 【答案】513y -≤≤【解析】解：根据二次函数的解析式2243y x x =--可得 由a=2>0，可得抛物线的开口向上 对称轴为：41222b x a -=-=-=⨯ 所以可得在14x -≤≤范围内，二次函数在11x -≤≤，y 随x 的增大而减小，在14x <≤上y 随x 的增大而增大.所以当1x =取得最小值，最小值为：2435y =--=- 当4x =取得最大值，最大值为：22444313y =⨯-⨯-= 所以513y -≤≤ 故答案为：513y -≤≤12．抛物线223y x x =--与x 轴的交点坐标是_____【答案】(10)-，，(3,0) 【解析】令y=0，则x 2-2x-3=0， 解得x=3或x=-1．则抛物线y=x 2-2x-3与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）． 故答案为（3，0），（-1，0）．13．已知函数y ={−x 2+2x(x >0)x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y =x +m 与该图象恰有两个不同的交点，则m 的取值范围为_____．【答案】0<m <14【解析】解：直线y =x +m 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y =x 有一个交点， ∴m >0，∵与y =−x 2+2x 有两个交点， ∴x +m =−x 2+2x ， Δ=1−4m >0， ∴m <14， ∴0<m <14； 故答案为0<m <14．14．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx-+=-的解是___________ 【答案】12x =-，25x =.【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b ac a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x －1)2＋c ＝b －bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+， 即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =，故答案为：12x =-，25x =.15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____． 【答案】m ＜a ＜b ＜n【解析】∵函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴的交点坐标的横坐标为a 与b ， 二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1相当于y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）向下平移一个单位， 又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m ＜a ＜b ＜n ． 故答案为：m ＜a ＜b ＜n ．16．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >． 故答案为：3x <-或1x >．17．如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．【答案】﹣1＜x ＜4．【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x ＜4时，直线y ＝mx+n 在抛物线y ＝ax 2+bx+c 的下方， ∴不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集为﹣1＜x ＜4． 故答案为：﹣1＜x ＜4．18．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【解析】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0， 解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去， 当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).19．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】(1)2323y x x =-++；(2)13≤；(3)103k <. 【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3， 由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有6323a b a b =-+⎧⎨=++⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有2121a b a b -=--⎧⎨=+-⎩，∴12a b =⎧⎨=⎩，∴a=1，b=2， ∴y=x 2+2x+3；（2）y=x 2+2x+3的对称轴为直线x=-1， 抛物线开口向上，∴当-1x ≥时，y 的值随x 的值增大而增大； 故答案为-1≥；(3)方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，即x 2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根， ∴()4-430k ∆=->， ∴2k >；20．已知抛物线232y ax bx c =++.（1）若1a b ==，1c =-，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1a b ==，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围.【答案】（1）()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）13c =或51c -<≤-【解析】（1）当1a b ==，1c =-时，抛物线为2321y x x =+-，方程23210x x +-=的两个根为11x =-，213x =.所以该抛物线与x 轴公共点的坐标是()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当1a b ==时，抛物线为232y x x c =++，且与x 轴有公共点.对于方程2320x x c ++=，判别式4120c ∆=-≥，有13c ≤.①当13c =时，由方程213203x x ++=，解得1213x x ==-，此时抛物线为21323y x x =++与x 轴只有一个公共点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当13c <时，11x =-时，1321y c c =-+=+，21x =时，2325y c c =++=+.由已知11x -<<时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为13x =-，应有1200y y ≤⎧⎨>⎩，即1050c c +≤⎧⎨+>⎩，解得51c -<≤-.综上，13c =或51c -<≤-. 21．已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数）. （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D （2）详见解析；（3）当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤. 【解析】（1）因为()()()2214110m m m ∆=--⋅-⋅=+≥，故选D.（2）配方得()2221(1)124m m y x m x m x -+⎛⎫=-+-+=--+⎪⎝⎭， 所以该函数的图象的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 把12m x -=代入()21y x =+，得221(1)124m m y -+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标()214m z +=.当1m =-时，z 有最小值0.当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()23144z +==.因此，当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤.。
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
复习引入
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。 当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？
一元二次方程与二 次函数有什么关系？
我们学习了的“一元二次方程”
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
y x2 x 2
y x2 6x 9
x
交
二 轴次
的函 点
交数 点与
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
6．布置作业
教科书习题 22.2 第 1,2,3 题．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可 以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?
人教版数学九年级上册22.2.1：二次函数与一元二次方程 课件
y＝x2－x－3
y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得，b ＝－4
4、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
2已知抛物线y kx2 2x 1 与X轴有两个
交点，则k的取值范围是 k 1且k 0．
分析：函数与X轴有两个交点 即kx2 2x 1=0有两个不相等的实数根 0且k 0，即22 4k (1) 0且k 0， 则k 1且k 0
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
例题精讲 3.抛物线y＝x2－x－3和直线y＝x＋b只有一
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
由一元二次方程的根的情况，也可以确定相
应的二次函数的图象与 X轴 的位置关系.
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
知识梳理
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
=b2-4ac
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的情况
人教版九年级数学上册二次函数与一元二次方程PPT精品课件
•
9.能准确 、有感 情的朗 读诗歌 ，领会 丰富的 内涵， 体会诗 作蕴涵 的思想 感情。
1．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，当 x＜1或x＞3 时，y＞0.
2．已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二 次方程－x2＋2x＋m＝0 的解为 x1＝－1，x2＝3 .
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( D)
12．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)(x1 ＜x2)两点，与 y 轴交于点 C，x1、x2 是方程 x2＋4x－5＝0 的两根． (1)若抛物线的顶点为 D，求 S△ABD∶S△ABC 的值； (2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
•
7.文学本身就是将自己生命的感动凝 固成文 字，去 唤醒那 沉睡的 情感， 饥渴的 灵魂， 也许已 是跨越 千年， 但那人 间的真 情却亘 古不变 ，故事 仿佛就 在昨日 一般亲 切，光 芒没有 丝毫的 暗淡减 损。
•
8.只要我们用心去聆听，用情去触摸 ，你终 会感受 到生命 的鲜活 ，人性 的光辉 ，智慧 的温暖 。
A．c＞－1 C．2a＋b≠0
B．b＞0 D．9a＋c＞3b
4．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0 的近似解为( B )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 C．x1≈－2.9，x2≈0.9
B．x1≈－2.5，x2≈0.5 D．x1≈－3，x2≈1
④当 x＜12或 x＞6 时，y1＞y2.
其中正确的个数有( C )
A．1
B．2
人教版九年级数学上册二次函数与一元二次方程课件
行高度 达不到 20.5.
（4）解方程 0 20t 5t2
.
解之得： t1=0 ， t2=4 .
结合图形，当小球飞行_0_s_和_4_s__时，它
的高度是__0_m___，即_0_s__时球从地面飞
出，__4_s___时球落回地面.
温馨提示：二次函数与一元二次方程关系，
例如，已知二次函数 y x2 4x 的函数
值为3，求自变量x的值，可以看作解一元
二次方程 x2 4x 3 . 反之，解一元二次方程 x2 4x 3 0
又可以看作已知二次函数 y x2 4x 3 的
函数值为0时自变量x的值.
练一练
1、二次函数 y x2 3x 2 ，当 x 1 时，
y= 0 ;当y=0时，x 1或2 。
知识点一 二次函数与一元二次方程的关
系问题 如图，以40 m/ s 的速度将小球
沿与地面成 300 角的方向击出时，小球 的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）
与飞行时间t（单位：s）之间具有函数
关系： h 20t 5t2
考虑以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能， 需要多少飞行时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能， 需要多少飞行时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什 么？ (4)小球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由小球的飞行高度h与飞行时
间t有 h 20t 5t2 的函数关系，可
以将问题中h的值代入函数解析式 ， 得关于t的一元二次方程.
解:(1)解方程 15 20t 5t2 解之得:t1=1 ,t2=3 .
当球飞行_1_s_和_3_s_时，它的高度是_1_5_m__.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识定位
讲解用时： 3 分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函 数与一元二次方程之间的联系， 能够根据二次函数与 x 轴的交点坐标联系相应方 程的解的情况， 此外了解二次函数与不等式之间的关系， 能够根据图象写出相应 不等式的解集等， 本节课的难点是二次函数与方程、 不等式之间的联系考查， 希 望同学们能够认真学习。
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及一次函数的图象，
①二次函数 y=x2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点， ①① =22﹣4×１（kb+1）＞ 0，解得： kb＜ 0．
当 k＞0，b＜0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；
当 k＜0，b＞0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，故选： A ．
年份： 2018
【例题 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠０）与 x 轴一个交点为（﹣ 2，0），对称轴为直线 x=1，则 y＜0 时 x 的范围是（ ）。 A． x＞ 4 或 x ＜﹣ 2 B．﹣ 2＜x＜4 C．﹣ 2＜x＜3 D．0＜x＜3
【答案】 ﹣ 2＜ x＜ 4
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
讲解用时： 3 分钟 解题思路： 直接利用二次函数图象得出方程 x2+ x+1=0 的根的情况，即抛物线
与 x 轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议： 利用数形结合分析。 难度： 3 适应场景： 当堂例题
例题来源： 朝阳区模拟 年份： 2018
【练习 1】
抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程﹣ x2+bx+c=0 的解为 。
知识梳理
讲解用时： 10 分钟
二次函数与一元二次方程之间的关联
求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠０）与 x 轴的交点坐标， 令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标。 （ 1）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠）０的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：
① y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为（﹣ 2，0），
①抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），
①ｙ＜0 时 x 的范围是﹣ 2＜x＜4。
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称性确定抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），然
后观察函数图象，找出抛物线在 x 轴下方的部分所对应的自变量的范围即可。
年份： 2018
【练习 2】
已知一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1，x2，则抛物线 y=
（ x﹣ x1）（x﹣x2）+5 与 x 轴的交点坐标为
。
【答案】（1，0）、（3，0）
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
①一元二次方程（ x﹣1）（x﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，
【答案】 x1=1，x2=﹣3
【解析】 本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法，
由图象可知，抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1，0），对称轴为 x=﹣1， ①抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（﹣ 3，0）， ①一元二次方程 2x2﹣ 4x+m=0 的解为 x1=1，x 2=﹣ 3． 讲解用时： 2 分钟 解题思路： 直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x= ﹣1，所以根据抛
【例题 2】
一元二次方程（ x+1）（ x﹣2）=10 根的情况是（
）。
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣ 1
D．有两个根，其中一根大于 2
【答案】 D
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象与几何变换，
将抛物线 y=（ x+1）（ x﹣ 2）往下平移 10 个单位长度可得出新抛物线 y=（x+1）
课堂精讲精练
【例题 1】
在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，则方程 x2+
x+1=0 的根的情况是（
）。
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】 B
【解析】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，
二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，图象与 x 轴有两个交点， 则方程 x2+ x+1=0 的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选： B．
①① =2b﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数； ①① =2b﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； ①① =2b﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； ①① =2b﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． （ 2）二次函数的交点式： y=a（x﹣ x1）（x﹣x2）（a， b， c 是常数， a≠０）， 可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ x1，0），（ x2，0），相应一元二次方 程的根就是 x1 和 x2.
教学建议： 根据函数图象结合二次函数的性质解题。 难度： 3 适应场景： 当堂练习 例题来源： 江都区模拟
年份： 2018
【例题 4】
如图，关于 x 的二次函数 y=2x2﹣ 4x+c 的图象交 x 轴的正半轴于 A ，
B 两点，交 y 轴的正半轴于 C 点，如果 x=a 时， y＜ 0，那么关于 x 的
2 讲解用时： 3 分钟 解题思路： 根据方程的两根即可得出抛物线与 x 轴的两个交点坐标， 再利用抛物 线的对称性即可得出抛物线的对称轴。
教学建议： 根据抛物线与 x 轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴。 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 宁晋县模拟 年份： 2018
【练习 3】
已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的方
程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为
。
【答案】 2
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质以及根与系数的关
系，
方法一：设 ax2+bx+c=0 的两个根分别为 x1，x2，则二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴
交点坐标为 (x1,0)、 (x2,0) ，由图像可知，二次函数的对称轴为直线
①关于 x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，故选： D．
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称轴为直线 x=1 可得出点 B 的横坐标小于 2、c＞0，
进而可得出 2﹣a＞0、﹣ c＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于
x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，此题得解。
B．x=2
C． x= 3 2
D． x=﹣ 3 2
【答案】 C
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，
①方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1、 x2=2， ①抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（2，0）， ①抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x= 3 ，故选： C．
x=1 ，则
x1 x2 1，即 x1+x2=2. 2
方法二： ①二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，①﹣ =1，① b=﹣ 2a，
①关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为﹣ =2．
讲解用时： 3 分钟
解题思路： 由抛物线的对称轴为 x=1，可得出 b=﹣2a，再根据根与系数的关系即 可得出关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和。
①抛物线 y=（x﹣1）（x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1， 0）、（x2，0），
① y=（x ﹣1）（ x﹣ 3）﹣ 5=（ x﹣ x1）（ x﹣ x2），
① y=（x ﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），
①抛物线 y=（x﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（ 3， 0）． 讲解用时： 5 分钟 解题思路： 由一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，可
得出抛物线 y=（x﹣ 1）（ x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1，0）、（ x2，0），即 y=（x
﹣ 1）（x﹣3）﹣5=（x﹣ x1）（ x﹣ x2），变形后可得出 y=（ x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x
﹣ 1）（x﹣3），即抛物线 y=（x ﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1， 0）、
教学建议： 利用数形结合解决问题。 难度： 4 适应场景： 当堂例题 例题来源： 桂平市一模
年份： 2017 秋
【练习 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠０）与 x 轴的一个交点坐标为 （3，0），
与 y 轴交点坐标为（ 0，3），顶点坐标为（ 2，1），当 0＜x＜3 时， y
的取值范围是
解题思路：由抛物线的开口方向及顶点坐标， 可得出 a＞0 且对称轴为直线 x=2，
。
【答案】 ﹣ 1≤ｙ＜3