特殊三角形中的分类讨论.
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类型二 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形.
分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分三种情况讨论，即三角形的 三条边两两为腰. 已知△ABP为等腰三角形，则有①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况.
微专题 特殊三角形中的分类讨论
第4题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论
类型三 直角三角形的直角顶点不确定而产生的分类讨论 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形.
分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝ 90°；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°.
作图找点： ①过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为 所求.
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针对训练
2. 在等腰△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的周长为( B )
A. 8
B. 10
wk.baidu.comC. 8或10 D. 6或10
3. 在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，连接AD，若 △ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是45°或36°.
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2 ②若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为45°； ③若α为锐角，当α为顶角时，底角为 1 (180°－α)；当α为底角时，顶角为
2 180°－2α.
满分技分
无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角
必须满足三角形三个内角之和等于180°.
微专题 特殊三角形中的分类讨论
针对训练 1. 已知等腰三角形中一个角的度数为40°，则底角的度数为_4_0_°__或__7_0_°_.
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代数法求解： 1. 分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB、AP和BP的长，由① BP2＝AB2＋AP2，②AP2＝AB2＋BP2，③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解，若方 程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在. 2. 找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加 辅助线构造相似三角形； 3. 特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解.
4. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0， 3)，直线y＝－ 1 x＋3经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上
2
方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，当△CPE 是等腰三角形时，点P的坐标为 （54，1663）或（_32，_14_5）__或_（_5_-2_5_，_3 _52__1）__.
作图找点：①情况一：以AB为腰.分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与 已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求.
②情况二：以AB为底.作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求.
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代数法求解： 1. “万能法”：分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的 长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP列方程求解即可. 2. 作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系求解. 满分技分 无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边.若两边之和等于第三边，则此时三点共线，不能构成 三角形.
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满分技法 优选几何法去求解要求的量，因为根据勾股定理列式计算时，可能会产生高次 方，导致计算比较复杂，尽量避免.
针对训练 5. 如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数 为 90°或40_°_时，△AOP为直角三角形.
第5题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论
6. 如图，抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).在x轴上 存在一点D，使得△ACD是直角三角形，则点D的坐标为 (0，0)_或__(_－__9_，__0_)_.
第6题图
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(10年7考，常在几何图形的折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为α，确定顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为 1 (180°－α)；
分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分三种情况讨论，即三角形的 三条边两两为腰. 已知△ABP为等腰三角形，则有①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况.
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类型三 直角三角形的直角顶点不确定而产生的分类讨论 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形.
分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝ 90°；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°.
作图找点： ①过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为 所求.
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针对训练
2. 在等腰△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的周长为( B )
A. 8
B. 10
wk.baidu.comC. 8或10 D. 6或10
3. 在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，连接AD，若 △ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是45°或36°.
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2 ②若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为45°； ③若α为锐角，当α为顶角时，底角为 1 (180°－α)；当α为底角时，顶角为
2 180°－2α.
满分技分
无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角
必须满足三角形三个内角之和等于180°.
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针对训练 1. 已知等腰三角形中一个角的度数为40°，则底角的度数为_4_0_°__或__7_0_°_.
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代数法求解： 1. 分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB、AP和BP的长，由① BP2＝AB2＋AP2，②AP2＝AB2＋BP2，③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解，若方 程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在. 2. 找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加 辅助线构造相似三角形； 3. 特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解.
4. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0， 3)，直线y＝－ 1 x＋3经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上
2
方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，当△CPE 是等腰三角形时，点P的坐标为 （54，1663）或（_32，_14_5）__或_（_5_-2_5_，_3 _52__1）__.
作图找点：①情况一：以AB为腰.分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与 已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求.
②情况二：以AB为底.作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求.
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代数法求解： 1. “万能法”：分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的 长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP列方程求解即可. 2. 作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系求解. 满分技分 无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边.若两边之和等于第三边，则此时三点共线，不能构成 三角形.
微专题 特殊三角形中的分类讨论
满分技法 优选几何法去求解要求的量，因为根据勾股定理列式计算时，可能会产生高次 方，导致计算比较复杂，尽量避免.
针对训练 5. 如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数 为 90°或40_°_时，△AOP为直角三角形.
第5题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论
6. 如图，抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).在x轴上 存在一点D，使得△ACD是直角三角形，则点D的坐标为 (0，0)_或__(_－__9_，__0_)_.
第6题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论
微专题 特殊三角形中的分类讨论
(10年7考，常在几何图形的折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为α，确定顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为 1 (180°－α)；