蒙特卡罗随机模拟投点法

蒙特卡罗随机模拟投点法在数字积分中的

应用

数学与应用数学0901班：张瑞宸

指导老师：任明慧

摘要：本文首先介绍了蒙特卡罗方法的产生和发展，然后分析了蒙特卡罗方法计算数值积分的理论原理，最后给出了蒙特卡罗方法计算数值积分的MATLAB编程实现，全文主要是讨论了蒙特卡罗方法在定积分计算的应用。而蒙特卡罗的优点：可以计算被积函数非常复杂的定积分、重积分，并且维数没有限制，这是别的数值积分方法还未达到的。蒙特卡罗的缺点：收敛速度慢，误差一般较大，且是概率的误差，不是真正的误差。

关键词：蒙特卡罗方法，均值估计法，数值积分，Matlab编程

Abstract：This paper first introduces the emergence and development of the Monte Carlo method, and then analyze the theoretical principles of Monte Carlo numerical integration method, Full-text mainly discussed the application of the Monte Carlo method in the definite integral. The advantages of Monte Carlo: can be calculated the integrable functions very complex definite integral, Multiple integrals, and dimension no limit, other numerical integration methods have not yet reached. Monte Carlo Disadvantages: slow convergence speed, error generally higher, and the probability of error, not a real error.

Keywords: Monte Carlo method，Mean estimation method，numerical integral，Matlab programming

0 引言

历史上有记载的蒙特卡罗试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”，后文会给出。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为蒙特卡罗则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用蒙特卡罗方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之

一von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城 蒙特卡罗（Monte Carlo ） 作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。

蒙特卡罗方法，又名随机模拟法或统计实验法它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值替代总体均值）利用电子计算机数字模拟技术，解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡罗法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗随机投点和蒙特卡罗数值积分。

1 蒙特卡罗方法的产生与发展

蒙特卡罗方法是在二战期间产生和发展起来的他的奠基者是美籍匈牙利人数学家冯诺伊曼（J.Von Neumann 1903-1957）由于通常计算量相当大而电子计算机在当时还没有出现，所有运算只能用手工进行，故而相当长的时间里蒙特卡罗方法难以推广。

1.1 蒙特卡罗方法的产生

作为蒙特卡罗方法的最初应用，是解决蒲丰氏问题1777 年，法国数学家Buffon 提出利用投针实验求解的问题：

设平面上有无数多条距离为 1 的等距平行线，现向该平面随机的投掷一根长度为()1l l ≤的针。随机投针是指针的中心点于最近的平行线间的距离x 均匀分布在[0,1/2]上，针与平行线的夹角ϕ（不管相交与否）均匀分布在[]0,π上，如

图一所示，故而，故其1

~(0,)2

x U ，~(0,)U ϕπ概率密度函数分别为

11(),()2p x p ϕπ

==。

故我们得到针与线相交的充要条件是

2

sin l

x ≤ϕ

图1.1 针与线相交的几种情况

则针与线相交的概率是(sin )2

l

p x ϕ≤

=sin sin 220

2

()()l

l

p x p dxd π

ϕπ

ϕϕϕπ

=⎰⎰

⎰

⎰

=2

22.sin 2l l d π

ϕϕππ

=⎰

所以得到圆周率222(sin )l

l l

p x p

πϕ=

=≤。 假如我们能做大量的投针实验并记录下针与线的相交次数，则可以根据大数定律估计出针线相交的概率P 。投针实验N 次可能有n 次使针与任意平行线相交, 那么n

p N

≈

，显然，试验次数N 越多，P 的近似程度越好。历史上曾有几位学者做过这样的投针试验，并用手工计算出π值，结果参见表1。

表 1 实验者 时间（年） 针长l 投针次数 相交次数 π估计值

Wolf 1850 0.80 5000 2532 3.15956 Smith 1855 0.60 3024 1218 3.15665 Fox

1884

0.75 1030 489 3.15951 Lazzarini 1925

0.83

3408

1808

3.14159292 应该指出，上述试验的精度一般不会很高。譬如，

假设

2

1,p l π

==

则。

则由中心

极限定理，如

果试验次数为N ，则p 的估计值ˆp

渐进服从(1)

(,)p p N p N

-，近似为