蒙特卡罗随机模拟投点法
1_随机模拟与蒙特卡洛方法
1_随机模拟与蒙特卡洛方法随机模拟是一种通过生成随机数来模拟现实世界情况的方法。
它广泛应用于各个领域，包括金融、工程、物理学等。
蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，它通过大量的随机抽样来估计复杂系统的行为，并求解数值上难以解析的问题。
在本文中，我们将介绍随机模拟与蒙特卡洛方法的原理和应用，以及如何使用Python来实现这些方法。
一、随机模拟的原理随机模拟是一种通过生成随机数来模拟现实世界情况的方法。
在进行随机模拟时，我们可以通过选择不同的概率分布来生成随机数，然后根据这些随机数的取值来模拟不同的情况。
例如，在金融领域，可以使用正态分布来模拟股票价格的波动；在物理学中，可以使用均匀分布来模拟粒子的运动。
二、蒙特卡洛方法的原理蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，它通过大量的随机抽样来估计复杂系统的行为，并求解数值上难以解析的问题。
在蒙特卡洛方法中，我们首先根据所要求解的问题，选择合适的概率分布来生成随机数，然后通过大量的随机抽样来获取系统的行为特征，最终得出数值解。
三、随机模拟与蒙特卡洛方法的应用随机模拟与蒙特卡洛方法在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，它可以用来模拟股票价格的波动，计算期权的价格；在工程领域，可以用来分析结构的稳定性，设计新的材料；在生物学领域，可以用来模拟蛋白质的折叠结构，预测分子的相互作用等。
Python是一种流行的编程语言，它提供了丰富的数学计算库和随机数生成函数，非常适合实现蒙特卡洛方法。
下面我们以计算π的近似值为例，介绍如何使用Python实现蒙特卡洛方法。
首先，我们可以使用random模块中的random(函数来生成[0,1)之间的随机数。
通过这个随机数，我们可以模拟在[0,1)之间均匀分布的点在单位正方形内的分布情况。
```pythonimport randominside_circle = 0for _ in range(num_points):x = random.randomy = random.randomif x**2 + y**2 <= 1:inside_circle += 1pi = 4 * inside_circle / num_pointsprint(pi)```通过运行上述代码，我们可以得到π的一个近似值。
蒙特卡洛模型方法
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。
蒙特卡洛方法与定积分计算
蒙特卡洛方法与定积分计算-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1蒙特卡洛方法与定积分计算By 邓一硕 @ 2010/03/08关键词：Monte-Carlo, 定积分, 模拟, 蒙特卡洛分类：统计计算作者信息：来自中央财经大学;统计学专业。
版权声明：本文版权归原作者所有，未经许可不得转载。
原文可能随时需要修改纰漏，全文复制转载会带来不必要的误导，若您想推荐给朋友阅读，敬请以负责的态度提供原文链接；点此查看如何在学术刊物中引用本文本文讲述一下蒙特卡洛模拟方法与定积分计算，首先从一个题目开始：设，用蒙特卡洛模拟法求定积分的值。
随机投点法设服从正方形上的均匀分布，则可知分别服从[0,1]上的均匀分布，且相互独立。
记事件，则的概率为即定积分的值就是事件出现的频率。
同时，由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中出现的频率作为的估计值。
即将看成是正方形内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。
这种方法就叫随机投点法，具体做法如下：图1 随机投点法示意图1、首先产生服从上的均匀分布的个随机数（为随机投点个数，可以取很大，如）并将其配对。
2、对这对数据，记录满足不等式的个数，这就是事件发生的频数，由此可得事件发生的频率，则。
举一实例，譬如要计算，模拟次数时，R代码如下：n=10^4;x=runif(n);y=runif(n);f=function(x){exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)}mu_n=sum(y<f(x));J=mu_n/n;J模拟次数时，令,其余不变。
定积分的精确值和模拟值如下：表1精确值注：精确值用integrate(f,0,1)求得扩展如果你很细心，你会发现这个方法目前只适用于积分区间，且积分函数在区间上的取值也位于内的情况。
那么，对于一般区间上的定积分呢一个很明显的思路，如果我们可以将与建立代数关系就可以了。
首先，做线性变换，令，此时，,。
[自然科学]蒙特卡洛方法
![[自然科学]蒙特卡洛方法](https://img.taocdn.com/s3/m/aca366274a7302768e99397a.png)
热辐射传输中的蒙特卡洛方法航空航天热物理所2007 年9 月21日1 蒙特卡洛方法概述1 蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法。
将其用于辐射传热计算时，其基本思想：将辐射能量看成由大量独立的光束（光子）组成将复杂的辐射传递问题分解为发射、反射、吸收、散射等独立过程。
每一光束在系统内的传递过程，由一系列随机数确定跟踪一定量的光束，可得较为稳定的统计结果1.1 辐射传递因子辐射传递因子RDij的定义为：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量被单元j 吸收的份额。
比较角系数Xij的定义：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量到达单元j的份额。
===+∑∑4414144N a i i a j j jij M k k k kik V T V T RD F T RD σκσκσε辐射传递因子用于能量方程由N 个介质单元、M 个表面单元组成的热辐射系统中，介质单元i 的能量方程为辐射传递因子用于能量方程壁面单元i 的能量方程为===+∑∑441414N i i i a j j jij M k k k kik F T V T RD F T RD εσσκσε,,x y zR R R ,R R θφ如何求辐射传递因子（蒙特卡洛M-C法）首先确定光子的发射点。
需要3个参数再确定2个方向参数已知发射点和2 个方向，就能确定空间的一条直线。
在一个封闭系统内，确定光子与某一个面相交即为求直线与平面相交的空间解析几何问题。
再确定1 个吸收、反射参数，判断光子被壁面Rρ吸收或反射。
如果光子被壁面吸收，则停止跟踪，在该壁面上存入一个光子。
再进行下一个光子的模拟。
若光子被壁面反射，则再确定2个方向参数再确定空间的一条直线…，即重复上述过程。
,R R θφ如果壁面1 发射10000个光子，则当所有模拟结束后，统计每个壁面上吸收的光子数。
若壁面5 吸收了4300个光子，则4300/10000=0.43，即辐射传递因子RD15 =0.43蒙特卡洛法求辐射传递因子通常灰体表面和灰体介质的辐射特性参数随温度变化很小，即辐射传递因子与温度无关。
蒙特卡洛随机模拟
蒙特卡洛随机模拟蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(Monte Carlo)方法是一种应用随机数来进行计算机摸你的方法。
此方法对研究对象进行随机抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。
作为随机模拟方法，起源可追溯到18世纪下半叶蒲峰实验。
蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛模拟法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，可以通过随机模拟估算系统和零件的可靠度，也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。
一. 预备知识:1．随机数的产生提示：均匀分布(0, 1)U 的随机数可由C 语言或Matlab 自动产生，在此基础上可产生其他分布的随机数. 2．逆变换法：设随机变量U 服从(0，1)上的均匀分布，则)(1U F X -=的分布函数为)(x F . 步骤：(1) 产生)1,0(U 的随机数U ；(2) 计算)(1U F X -=， 则X 服从)(x F 分布. 问题：练习用此方法产生常见分布随机数.例如“指数分布，均匀分布),(b a U ”.还有其它哪种常见分布的随机数可用此方法方便产生？ 3．产生离散分布随机数已知离散随机变量X 的概率分布:)2,1(,)( ===K P x X P k k ，产生随机变量X 的随机数可采用如下算法：a) 将区间[0.1]依次分为长度为 ,,21p p 的小区间 ,,21I I ；b) 产生[0，1]均匀分布随机数R ，若k I R ∈则令k x X =，重复(b)，即得离散随机变量X 的随机数序列.问题：(1) 下表给出了离散分布X 的概率分布表，试产生100个随机数.X 的概率分布表(2) 用此方法给出100个二项分布(20, 0.1)B 的随机数及10个泊松分布P(1)的随机数. 4. 正态分布的抽样提示：设21,U U 是独立同分布的)1,0(U 变量，令)2sin()ln 2()2cos()ln 2(22/11222/111U U X U U X ππ-=-=则1X 与2X 独立 ，均服从标准正态分布. 步骤：(1) 由)1,0(U 独立抽取1122,U u U u ==(2) 用(*)式计算21,x x .用此方法可同时产生两个标准正态分布的随机数.问题： 有关随机数产生方法很多，查阅相关材料进行系统总结.二. 随机决策问题1．某小贩每天以一元的价格购进一种鲜花，卖出价为b 元/束，当天卖不出去的花全部损失，顾客一天内对花的需求量是随机变量， 服从泊松分布，(),0, 1, 2,,!kP X k ek k λλ-=== .其中常数λ由多日销售量的平均值来估计， 问小贩每天应购进多少束鲜花?(准则:期望收入S(u)最高) 问题：(1) 在给定 1.25, 50b λ==的值后， 画出目标函数S(u)连线散点图， 观察单调性，给出最优决策*u ；(2) 选取其他的λ,b ，再观察S(u)的单调性；(3) 用计算机模拟方法来求出最优决策*u .对固定的u ，例如，u=40，对随机变量X 模拟100次，每次模拟得到一个收入，求出100个收入的平均值，即得到在决策u=40情况下的可能收入；(4) 对所有的可能的u ，重复(3)，从中找最大的，并与(1)的结果相比较. 3.一重定积分的蒙特卡罗算法问题描述：假设函数()f x 在[,]a b 内有界连续，且()0f x ≥，求解定积分()baI f x dx =⎰.为计算出其值，可构造概率模型如下：取一个边长分别为b a -和c 的矩形D ，使曲边梯形在矩形域之内，如图2，并在矩形内随机投点，假设随机点均匀地落在整个矩形之内，则落在图中灰色区域内的随机点数k 与投点总数N 之比k/N 就近似地等于曲线下方面积（即阴影面积）与矩形面积之比，从而得出近似积分()kI b a c N≈-.图2例 求211x e--⎰由于2x e -是非初等函数，我们很难求出其原函数，所以用牛顿-莱布尼茨公式无法求解，但可以运用蒙特卡罗方法求出其近似值.将上述方法推广到一般情况：假设函数()f x 在[a ，b]内有界连续，对于定积分()baI f x dx =⎰，为计算出其值，可构造如下概率模型：取一个边长分别为b a -和c d -的矩形D ，使曲线[,]a b 段的值在矩形域之内，如图3，并在矩形内随机投点，假设随机点均匀地落在整个矩形之内，则落在图中x 轴上下灰色区域内的随机点数m 与n 的差与投点总数p 之比(m-n)/P 就近似地等于曲线上下方面积之差（即阴影面积之差）与矩形面积之比，从而得出近似积分()()m nI b a c d P-≈--.图34. 二重积分的蒙特卡罗算法问题描述：实际计算中常常要遇到如(,)Df x y dxdy ⎰⎰的二重积分，发现被积函数的原函数往往很难求出，或者原函数根本就不是初等函数，对于这样的重积分，蒙特卡罗方法也有成熟的计算方法. 方法1： 步骤：1，取一个包含D 的矩形区域Ω：,a x b c y d ≤≤≤≤，面积()()A b a d c =--；2，(,), 1,2,,i i x y i n = ，为Ω上的均匀分布随机数列，不妨设(,),1,2,i i x y i n = （）为落在D 中的n 个随机数，则n 充分大时，有1(,)(,)ki i i DA f x y dxdy f x y n =≈∑⎰⎰.方法2： 对二重积分(,)AI f x y dxdy =⎰⎰，假设(,)f x y 为区域A 上的有界函数，且(,)0f x y ≥，几何意义对应的是以(,)f x y 为曲面顶， A 为底的曲顶柱体C 的体积.因此，用均匀随机数计算二重积分的蒙特卡罗方法基本思路为：假设曲顶柱体C 包含在己知体积为DV的几何体D 的内部，在D 内产生N 个均匀随机点，统计出在C 内部的随机点数目C N ，则DC V I N N=.例：计算(1Adxdy +⎰⎰，其中22{(,)|1}A x y x y =+≤.分析：该二重积分可以看作以1+曲顶柱体在一个边长为2的立方体内，用数学分析方法可计算出其精确值为π.。
蒙特卡罗算法
蒙特卡洛算法算法简介：蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
背景知识：蒙特卡洛是摩纳哥公国第一大城市，与澳门、美国拉斯维加斯并称世界三大赌城。
位于地中海沿岸，首都摩纳哥之北，建于阿尔卑斯山脉突出地中海的悬崖之上。
景色优美，是地中海地区旅游胜地。
市内建有豪华的旅馆、俱乐部、歌剧院、商店、游泳池、温泉浴室、运动场等娱乐设施。
城内开设有蒙特卡洛大赌场。
赌场建于1865年，为双层楼建筑，上有钟楼、塔厅和拱形亭阁，还饰以若干人物雕塑，庭前棕榈树成行，还辟有花园，旁边有大酒店和酒吧间。
整个城市在旺季时，约有赌场70多个，约有赌室3500间左右。
蒙特卡罗赌场由国家经营。
当地的其他活动，许多也带有赌博色彩。
游客住的旅店房间，有抽奖的号码，中奖的免付部分房费。
早餐的牛奶麦片粥里，如遇上金属牌子，亦可领奖。
该城只有1万人口，但每天报纸销量可达100万份，因为报纸上都印有可能得奖的号码。
游客最后离境，购买的车票上也印有彩票号码，于离境前开彩。
经营赌业是摩纳哥的主要经济来源，每年都从赌业中收取高额外汇利润。
蒙特卡洛算法简单描述：以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
比如，给定x=a，和x=b，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线y=c 其中c>=f(a) and c>=f(b)，很简单的，你可以求出y=c,x=a,x=b,及x轴围成的矩形面积，然后利用随机参生生大量在这个矩形范围之类的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：doteUpCount,nodeDownCount,然后所要求的面积可以近似为doteDownCounts所占比例*矩形面积。
蒙特卡洛随机模拟方法
蒙特卡洛随机模拟方法摘要：蒙特卡洛随机模拟方法是一种通过随机采样和统计分析来解决数学问题的方法。
本文将从蒙特卡洛方法的起源、原理、应用以及优缺点等方面进行全面、详细、完整且深入地探讨。
1. 引言蒙特卡洛随机模拟方法是20世纪40年代由于法国科学家Stanislaw Ulam和美国科学家John von Neumann等人共同发展起来的一种重要的计算方法。
该方法通过随机数生成和统计分析的过程，模拟复杂的随机现象，解决各种数学问题，应用于各个领域。
2. 原理蒙特卡洛随机模拟方法基于大数定律和中心极限定理，通过生成大量的随机样本，对概率分布进行模拟和逼近，从而得到所求问题的近似解。
其基本原理可以归纳为以下几个步骤：1.建立数学模型：确定问题的数学模型，并将其转化为可计算的形式。
2.生成随机数：根据概率分布和随机数生成器，产生满足要求的随机数。
3.模拟实验：根据生成的随机数，进行模拟实验，并记录相应的结果。
4.统计分析：对模拟实验的结果进行统计分析，得到所求问题的近似解。
3. 应用蒙特卡洛随机模拟方法在各个领域有着广泛的应用，以下列举了部分典型的应用场景：3.1 金融领域蒙特卡洛方法在金融领域中被广泛应用于风险评估、期权定价、投资组合优化等问题。
通过模拟股价的随机波动，可以对不同的金融产品进行风险评估，提供决策支持。
3.2 物理学领域在物理学领域，蒙特卡洛方法被用于模拟粒子的运动轨迹、计算量子态的性质等问题。
通过生成大量的随机数，可以模拟复杂的物理过程，得到实验无法观测到的信息。
3.3 生物学领域生物学中的蒙特卡洛方法主要应用于蛋白质结构预测、基因表达调控网络的建模等问题。
通过随机模拟分子的运动，可以预测蛋白质的折叠结构，并推断其功能和相互作用关系。
3.4 工程领域在工程领域，蒙特卡洛方法通常用于模拟复杂系统的可靠性和优化设计。
通过对系统的不确定性进行随机抽样和模拟，可以评估系统的可靠性，并进行可靠性设计和优化。
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛方法是一类随机化的计算方法，主要应用于求出高维度空间中的定积分或概率分布的特性。
该方法以随机样本为基础，通过大量生成且符合某种分布律的随机数，从中抽取样本，利用样本的统计性质来计算近似解。
常见的蒙特卡洛方法包括：
1.随机模拟法
在数学建模、广告投放、经济预测等领域，随机模拟（也称蒙特卡罗方法）已经成为了一个重要的工具。
其基本思想是，系统表现出的某些规律和性质可以用随机过程进行模拟和预测。
2.随机游走算法
随机游走是一种基于随机过程的数值计算算法，通过简单的偏随机移动来解决复杂问题，被广泛应用于物理、化学、生物学、金融等领域。
随机游走算法的核心思想是通过随机漫步遍历所有可能的状态，找到最终解。
3.马尔可夫链蒙特卡罗方法
马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）是一种近似随机模拟算法，用于计算高维空间中的积分和概率分布。
这种方法通过构造一个马尔可夫链来模拟复杂的概率
分布，并通过观察链的过程来获得所求的统计量。
4.重要性采样
重要性采样是一种通过迭代抽样来估算积分值或概率分布的方法。
它的基本思想是利用不同的概率分布来采样目标分布中的样本，从而增加目标分布中采样到重要样本的概率，从而提高采样的效率。
总之，蒙特卡洛方法在物理学、统计学、金融学、计算机科学、生物科学等众多领域都有广泛的应用，是一种很实用的工具。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，常用于解决复杂的数学和物理问题。
它的原理是通过随机抽样来估计数学模型中的未知量，从而得到近似解。
该方法非常灵活，可以应用于各种领域，例如金融学、物理学、计算机科学等。
蒙特卡洛方法的命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为这种方法采用了赌场中使用的随机抽样技术。
20世纪40年代，由于原子弹的研制需求，蒙特卡洛方法开始应用于物理学领域。
当时，美国科学家在洛斯阿拉莫斯国家实验室利用蒙特卡洛方法模拟了中子输运过程，为原子弹的研发提供了重要支持。
蒙特卡洛方法最简单的例子是估算圆周率π的值。
我们可以在一个正方形内随机投放一些点，然后统计落入圆内的点的比例。
根据概率理论，圆的面积与正方形的面积之比等于落入圆内的点的数量与总点数之比。
通过这种方法，可以得到一个逼近π的值，随着投放点数的增加，逼近结果将越来越精确。
除了估算圆周率，蒙特卡洛方法还可以用于解决更为复杂的问题。
例如，在金融学中，蒙特卡洛方法常用于计算期权的价格。
期权是一种金融衍生品，它的价格与未来股票价格的波动性有关。
利用蒙特卡洛方法，可以通过随机模拟股票价格的变化来估计期权的价值。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟复杂的粒子系统。
例如，科学家可以通过模拟蒙特卡洛抽样来研究原子、分子的运动方式，从而揭示它们的行为规律。
这对于理解材料的性质、开发新的药物等具有重要意义。
在计算机科学领域，蒙特卡洛方法也有着广泛的应用。
例如，在人工智能中，蒙特卡洛树搜索算法常用于决策过程的优化。
通过模拟随机抽样，可以得到各种决策结果的估计值，并选择给出最佳决策的路径。
尽管蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但它并不是解决所有问题的万能方法。
在实际应用中，蒙特卡洛方法往往需要耗费大量的计算资源和时间。
此外，它也依赖于随机抽样过程，因此可能会引入一定的误差。
因此，在使用蒙特卡洛方法时，需要在效率和精确性之间做出权衡。
总之，蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过随机抽样来估计数学模型中的未知量。
蒙特卡洛投点法计算pi( π )的值
蒙特卡洛投点法计算pi( π )的值
蒙特卡洛投点法是一种常用的数值计算方法，用于计算复杂问题的数值解，特别是在物理学、工程学和统计学等领域中。
该方法的主要思想是，通过在随机数生成器中生成大量随机数，并利用这些随机数模拟真实数据，从而得到问题的数值解。
对于计算π(π) 的值，可以使用蒙特卡洛投点法进行计算。
具体步骤如下:
1. 构造一个π(π) 的模拟模型，该模型应该能够模拟π(π) 的真实特性，例如可以通过构造一个包含π(π) 的方程组来进行模拟。
2. 在模拟模型中生成大量随机数，这些随机数应该足够多地覆盖π(π) 的真实值。
3. 计算π(π) 的模拟值，可以使用任何π(π) 的估计方法来进行计算，例如可以使用三角函数估计法、指数估计法或对数估计法等。
4. 对模拟值进行统计分析，例如可以使用平均值、标准差或其他统计量来进行计算。
5. 根据模拟值和统计分析结果，计算π(π) 的真实值。
蒙特卡洛投点法是一种高效的数值计算方法，可以用于计算π(π) 的真实值。
但由于π(π) 的值非常小，因此需要生成大量的随机数才能得到可靠的计算结果。
概率实验报告_蒙特卡洛积分
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法也称为统计模拟法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
在很多科学领域都有广泛应用。
基本思想就是通过事物发生的频数估算事件的概率，例如：平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N
蒙特卡洛方法可以分为直接蒙特卡洛方法和间接蒙特卡洛方法两种：
1.直接蒙特卡洛方法：求解问题本身就具有概率和统计性的情况，该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样试验，然后计算其感兴趣的统计参数
2.间接蒙特卡洛方法：人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量统计实验，使它的某些统计量正好是待求问题的解。
由此可见，蒙特卡洛方法的实现需要大量的实验计算，在计算机不发达的时代是非常困难的，但是随着计算机时代的到来，计算速度越来越快，蒙特卡洛方法也发展成为一种非常重要的计算方法。
在SPSS中，很多分析方法例如卡方检验、非参数检验等，都会提供“精确检验”的选项，这些选项就是进行蒙特卡洛计算的地方。
实验十五： MATLAB的蒙特卡洛仿真
实验十五： MATLAB 的蒙特卡洛仿真一、实验目的1. 了解蒙特卡洛仿真的基本概念。
2. 了解蒙特卡洛仿真的某些应用二．实验内容与步骤1． 蒙特卡洛（Monte Carlo ）仿真的简介随机模拟方法，也称为Monte Carlo 方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
冯·诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，Monte Carlo 方法也是他的功劳。
事实上，Monte Carlo 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
18世纪下半叶的法国学者Buffon 提出用投点试验的方法来确定圆周率π的值。
这个著名的Buffon 试验是Monte Carlo 方法的最早的尝试！历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。
不过他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。
然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。
Monte Carlo 方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
圆周率计算过程范文
圆周率计算过程范文蒙特卡洛方法是一种以概率统计为基础的计算方法，它利用随机数来进行数值计算。
在计算圆周率的过程中，我们可以通过模拟随机投点的方式来估计圆的面积和正方形的面积，从而计算出圆周率的近似值。
首先，我们假设有一个边长为2的正方形，以原点为中心，在正方形内切一个半径为1的圆形。
由于正方形的边长为2，所以正方形的面积为4，圆的面积为π*1*1=π。
我们的目标是通过投点的方式估计圆的面积，从而计算出圆周率的近似值。
我们可以利用计算机生成一系列的随机坐标点，将这些点投射到正方形中。
由于生成的随机点是均匀分布的，所以这些点有相等的机会分布在正方形的各个位置。
我们统计投射到正方形内部的点有多少个同时也在圆内部，即点的欧式距离到原点的距离小于等于1、假设投射到正方形内部的点的数量为N，其中在圆内部的点的数量为M，那么我们有以下的近似关系：M/N≈π/4通过上面的近似关系，我们可以得到圆周率的近似值π≈4M/N。
我们可以通过编写程序来模拟随机投点和计数的过程。
以下是一种使用Python编程语言实现蒙特卡洛方法计算圆周率的示例代码：```pythonimport randomdef estimate_pi(n):num_points_inside_circle = 0num_points_inside_square = 0for _ in range(n):x = random.uniform(-1, 1)y = random.uniform(-1, 1)distance = x**2 + y**2if distance <= 1:num_points_inside_circle += 1num_points_inside_square += 1pi_estimate = 4 * num_points_inside_circle /num_points_inside_squarereturn pi_estimate```在上面的代码中，我们传入一个参数n，表示要投射的点的数量。
一文详解蒙特卡洛（MonteCarlo）法及其应用
⼀⽂详解蒙特卡洛（MonteCarlo）法及其应⽤概述蒙特卡罗⽅法是⼀种计算⽅法。
原理是通过⼤量随机样本，去了解⼀个系统，进⽽得到所要计算的值。
它⾮常强⼤和灵活，⼜相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算⽅法，有时甚⾄是唯⼀可⾏的⽅法。
它诞⽣于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
π的计算第⼀个例⼦是，如何⽤蒙特卡罗⽅法计算圆周率π。
正⽅形内部有⼀个相切的圆，它们的⾯积之⽐是π/4。
现在，在这个正⽅形内部，随机产⽣10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中⼼点的距离，从⽽判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个⽐值乘以4，就是π的值。
通过R语⾔脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
⽆意识统计学家法则（Law of the unconscious statistician）这是本⽂后续会⽤到的⼀个定理。
作为⼀个预备知识，我们⾸先来介绍⼀下它。
先来看⼀下维基百科上给出的解释。
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function of a 随机变量 when one knows the probability distribution of but one does not explicitly know the distribution of . The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 随机变量 .If it is a discrete distribution and one knows its PMF function (but not ), then the 期望值 of iswhere the sum is over all possible values of .If it is a continuous distribution and one knows its PDF function (but not ), then the 期望值 of isLOTUS到底表达了⼀件什么事呢？它的意思是：已知随机变量的概率分布，但不知道的分布，此时⽤LOTUS公式能计算出函数的数学期望。
统计方法4 随机模拟2
统计方法4 随机模拟随机模拟(random simulation)方法,又称为蒙特卡洛（Monte Carlo,MC ）方法。
它的基本思想是为了求解实践中问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型的抽样试验获得这些参数的统计特征，最后给出解的近似值。
解的精确度由估计值得标准误差来表示。
其基本数学原理为强大数定律。
Monte Carlo 方法最早产生于二战期间美国研发原子弹的曼哈顿工程。
电子计算机的出现使得模拟随机试验成为了重要的科学方法。
图：赌城Monte CarloMonte Carlo 方法可以处理的问题基本可以可以分为两类：第一类是随机性的问题。
这一类问题往往直接利用概率法则通过随机抽样进行模拟。
如核物理问题，随机服务系统中的排队问题，生物种群的繁衍与竞争，传染病的传播等都属于这一问题。
第二类是确定性的问题。
首先建立一个与所求问题有关的概率模型，使所求解是该概率模型中的概率分布或者数学期望。
然后对这个模型进行随机抽样。
用算术平均值作为所求解的估计值。
如求解多重积分，解线性方程组，解偏微分方程积分方程等复杂数学问题。
第一节 生成随机数 1.生成随机数的基本数学原理较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数)(x g ，使其将整数变换为随机数。
以某种方法选取0x ，并按照)(1k k x g x =+产生下一个随机数。
最一般的方程)(x g 具有如下形式：c ax x g mod)()(+= （8.1）其中0x 初始值或种子（00>x ）=a 乘法器（0≥a ）=c 增值（0≥c ）=m 模数对于t 数位的二进制整数，其模数通常为t 2。
例如，对于31位的计算机m 即可取1312-。
这里a x ,0和c 都是整数，且具有相同的取值范围0,,x m c m a m >>>。
所需的随机数序{}n x 便可由下式得m c ax x n n mod )(1+=+ （8.2） 该序列称为线性同余序列。
计算材料学概述 之 蒙特卡洛方法.详解
随机数产生的办法
关于随机数的几点注意
注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定 的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。 初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正 随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数 成为伪随机数。 但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出 现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真 正的随机数来处理。 注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独 立性检验，分布检验，功率谱检验等等。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规 则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机 地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形” 的面积近似为M/N。
用该方法计算π的基本思路是： 1 、根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时，
11
面积的计算
辛普逊方法
蒙特-卡洛方法
在长方形中均匀投N0组(x,y) 如 y<f(x), 则 N=N+1
I = ΣSn
f (x)
Hale Waihona Puke I =(N/N0)×S0f (x)
S0
S
x x
MC 的优点 MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点，该方
法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容易在计算机 上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难以实现的复杂实验 和社会行为。无污染、无危险、能摆脱实验误差。
Monte Carlo方法之随机数的产生
许多计算机系统都有随机数生成函数 F90: call random_seed
call random_number(a) 2、ISEED=RTC()
随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟与蒙特卡洛方法随机模拟和蒙特卡洛方法是一组用于解决复杂问题的统计模拟方法。
它们可以模拟具有随机因素的过程，并通过重复实验来获取结果的概率分布，从而得到问题的近似解。
本文将介绍随机模拟和蒙特卡洛方法的基本原理、应用范围以及一些实例。
一、随机模拟的基本原理随机模拟是通过在问题的输入空间中随机抽样，使用这些样本数据进行问题求解过程，从而得到问题的近似解。
它的基本原理是通过模拟大量的随机事件，使得这些事件的概率分布足够接近于真实情况下的概率分布，从而获取问题的解或者评估一个系统的性能。
二、蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡洛方法是一种基于统计的模拟方法，它通过在问题的输入空间中随机抽样，使用这些样本数据进行问题求解过程。
与随机模拟不同的是，蒙特卡洛方法更强调对问题的概率分布进行抽样，通过大量的模拟实验来近似得到问题的解。
三、随机模拟与蒙特卡洛方法的应用范围随机模拟和蒙特卡洛方法可以应用于许多领域，包括金融、物理、工程、计算机科学等。
在金融领域，随机模拟和蒙特卡洛方法可以用于期权定价、投资组合管理和风险评估。
在物理领域，蒙特卡洛方法可以用于模拟分子运动、核反应和统计物理等。
在工程领域，随机模拟和蒙特卡洛方法可以用于系统可靠性评估、性能优化和参数优化等。
在计算机科学领域，蒙特卡洛方法可以用于机器学习、数据挖掘和图形渲染等。
四、随机模拟与蒙特卡洛方法的实例1. 随机模拟在交通流量预测中的应用在交通规划中，人们需要预测未来某个地区或者某个道路的交通流量，以便进行交通规划和交通控制。
通过随机模拟和蒙特卡洛方法，可以根据历史交通数据和一些影响因素，如节假日、天气等，模拟未来一段时间内的交通流量。
这种方法可以帮助交通规划者准确预测交通状况，从而合理规划交通路线、提前布置交通设施。
2. 蒙特卡洛方法在投资组合优化中的应用在投资组合优化中，人们需要确定一个最佳的投资组合，以达到最大的收益或最小的风险。
通过蒙特卡洛方法，可以根据历史的股票价格和收益率，模拟不同的投资组合，并通过多次实验评估其预期收益和风险。
蒙特卡洛法
蒙特卡罗方法【蒙特卡罗方法】（Monte Carlo method）蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。
本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
可用民意测验来作一个不严格的比喻。
民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Curse of Dime nsionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。
Monte Carl o方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。
以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。
为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。
随机模拟和蒙特卡洛方法
随机模拟和蒙特卡洛方法随机模拟和蒙特卡洛方法是一种常见的数值计算技术，广泛应用于金融、工程、物理学等领域的问题求解与决策分析。
本文将介绍随机模拟和蒙特卡洛方法的基本原理、常见应用以及优缺点。
一、随机模拟的基本原理随机模拟是通过生成符合特定概率分布的随机数来模拟感兴趣的问题，从而得到问题的近似解。
其基本思想是通过对问题建立数学模型，使用随机数作为模型中的参数，在大量的实验中进行模拟，通过统计分析模拟结果得出问题的解或者近似解。
随机模拟包括两个主要步骤：随机数生成和模拟实验。
随机数生成是产生服从特定概率分布的伪随机数，常见的方法有线性同余法、反余弦法、Box-Muller变换等。
模拟实验是根据问题的数学模型，使用随机数来模拟事件的发生情况，从而获得问题的统计特性，例如期望值、方差等。
二、蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡洛方法是一种以概率统计理论为基础，通过大量的随机数实验来估计问题的解或近似解的方法。
其基本思想是将问题表示为随机实验的形式，通过模拟足够多的实验次数，根据概率统计的规律，得到问题的数值解或者概率分布。
蒙特卡洛方法的核心是随机抽样，通过生成服从特定概率分布的随机数，对问题进行建模和模拟，从而得到问题的解。
蒙特卡洛方法相比于传统的解析方法，能够处理复杂的问题，无需求解复杂的数学方程，因此具有广泛的应用前景。
三、随机模拟和蒙特卡洛方法的应用1. 金融领域的风险评估：随机模拟和蒙特卡洛方法可用于对金融资产的风险进行评估，例如计算投资组合的价值变动情况、评估期权的价格以及估计市场指数的未来波动性等。
2. 工程领域的可靠性分析：随机模拟和蒙特卡洛方法可用于分析工程系统的可靠性，例如估计系统的失效概率、计算可靠性指标，从而进行系统设计和改进。
3. 物理学领域的粒子模拟：随机模拟和蒙特卡洛方法在研究微观粒子的行为和相互作用方面具有重要的应用，例如模拟粒子在高能碰撞实验中的运动轨迹、研究自旋系统的行为等。
4. 统计学中的抽样方法：随机模拟和蒙特卡洛方法在统计学中具有广泛应用，例如用于概率分布的抽样、参数估计和假设检验等。
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蒙特卡罗随机模拟投点法在数字积分中的应用数学与应用数学0901班：张瑞宸指导老师：任明慧摘要：本文首先介绍了蒙特卡罗方法的产生和发展，然后分析了蒙特卡罗方法计算数值积分的理论原理，最后给出了蒙特卡罗方法计算数值积分的MATLAB编程实现，全文主要是讨论了蒙特卡罗方法在定积分计算的应用。
而蒙特卡罗的优点：可以计算被积函数非常复杂的定积分、重积分，并且维数没有限制，这是别的数值积分方法还未达到的。
蒙特卡罗的缺点：收敛速度慢，误差一般较大，且是概率的误差，不是真正的误差。
关键词：蒙特卡罗方法，均值估计法，数值积分，Matlab编程Abstract：This paper first introduces the emergence and development of the Monte Carlo method, and then analyze the theoretical principles of Monte Carlo numerical integration method, Full-text mainly discussed the application of the Monte Carlo method in the definite integral. The advantages of Monte Carlo: can be calculated the integrable functions very complex definite integral, Multiple integrals, and dimension no limit, other numerical integration methods have not yet reached. Monte Carlo Disadvantages: slow convergence speed, error generally higher, and the probability of error, not a real error.Keywords: Monte Carlo method，Mean estimation method，numerical integral，Matlab programming0 引言历史上有记载的蒙特卡罗试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”，后文会给出。
虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为蒙特卡罗则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用蒙特卡罗方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。
出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城 蒙特卡罗（Monte Carlo ） 作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。
蒙特卡罗方法，又名随机模拟法或统计实验法它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值替代总体均值）利用电子计算机数字模拟技术，解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。
本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。
对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。
一般蒙特卡罗法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗随机投点和蒙特卡罗数值积分。
1 蒙特卡罗方法的产生与发展蒙特卡罗方法是在二战期间产生和发展起来的他的奠基者是美籍匈牙利人数学家冯诺伊曼（J.Von Neumann 1903-1957）由于通常计算量相当大而电子计算机在当时还没有出现，所有运算只能用手工进行，故而相当长的时间里蒙特卡罗方法难以推广。
1.1 蒙特卡罗方法的产生作为蒙特卡罗方法的最初应用，是解决蒲丰氏问题1777 年，法国数学家Buffon 提出利用投针实验求解的问题：设平面上有无数多条距离为 1 的等距平行线，现向该平面随机的投掷一根长度为()1l l ≤的针。
随机投针是指针的中心点于最近的平行线间的距离x 均匀分布在[0,1/2]上，针与平行线的夹角ϕ（不管相交与否）均匀分布在[]0,π上，如图一所示，故而，故其1~(0,)2x U ，~(0,)U ϕπ概率密度函数分别为11(),()2p x p ϕπ==。
故我们得到针与线相交的充要条件是2sin lx ≤ϕ图1.1 针与线相交的几种情况则针与线相交的概率是(sin )2lp x ϕ≤=sin sin 2202()()llp x p dxd πϕπϕϕϕπ=⎰⎰⎰⎰=222.sin 2l l d πϕϕππ=⎰所以得到圆周率222(sin )ll lp x pπϕ==≤。
假如我们能做大量的投针实验并记录下针与线的相交次数，则可以根据大数定律估计出针线相交的概率P 。
投针实验N 次可能有n 次使针与任意平行线相交, 那么np N≈，显然，试验次数N 越多，P 的近似程度越好。
历史上曾有几位学者做过这样的投针试验，并用手工计算出π值，结果参见表1。
表 1 实验者 时间（年） 针长l 投针次数 相交次数 π估计值Wolf 1850 0.80 5000 2532 3.15956 Smith 1855 0.60 3024 1218 3.15665 Fox18840.75 1030 489 3.15951 Lazzarini 19250.83340818083.14159292 应该指出，上述试验的精度一般不会很高。
譬如，假设21,p l π==则。
则由中心极限定理，如果试验次数为N ，则p 的估计值ˆp渐进服从(1)(,)p p N p N-，近似为0.2313(0.6366,)N N。
因此，若要以95%的概率保证p 的精确到三位有效数字，即ˆp 与p 的差距小于0.001，则N 必须满足N ≥2251.960.2313/0.0018.8910⨯≈⨯。
重复进行上千次的投针实验和手工计算，要消耗大量的人力、财力，蒙特卡罗方法虽然能解决此类问题，但得不到推广应用。
1.2 蒙特卡罗方法的发展20世纪40年代以后，随着电子计算机的出现和发展，人们有可能用计算机来模拟这类实验和计算。
计算机具有计算速度高和存储容量大的特点，采用数字模拟技术可以代替许多实际上非常庞大而复杂的实验，并迅速将实验结果进行运算处理，于是Monte Carlo 方法重新被提起，引起世人重视，应用日渐广泛。
实际上，采用Monte Carlo 方法在计算机上建立模型来解决Buffon 问题是非常简单的。
我们在计算机上进行模拟试验，给定l ，我们可以在计算机上随机产生x 和φ，然后判断2sin l x ≤ϕ是否成立。
若成立，则针线相交，否则不交。
假如我们在计算机上独立的产生N 对这样的x 和ϕ，并记录下2sin lx ≤ϕ成立的次数,记为n 。
则π估计值可取为22lN ⨯⨯，这就是随机模拟计算的结果。
借助Matlab 在计算机上进行投针实验，（相应程序见附录1） 所取得的计算结果参见表2。
表 2其中π = 3.1416。
不难看出，利用计算机运算不仅结果精确，而且迅速。
随着电子计算机的普及，蒙特卡罗方法作为一种独到的方法得到开发，并首先应用到核武器的试验与研制中。
尤其是各种可是编程方法的不断涌现，更显示出蒙特卡罗方法的最独到的优点，即形象直观地用数学方法在电子计算机上实现数字模拟实验。
2 蒙特卡罗方法计算数值积分的理论原理随机模拟是一种随机试验的方法，也称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo ）]1[。
这种方法利用随机试验，根据频率与概率、平均值与期望值等之间的关系，推断出预期的结果。
2.1 蒙特卡罗算法的理论原理随机模拟法的基本原理非常简单，下面给以直观的说明。
首先构造一个定积分π=-⎰1214dx x ，其中积分⎰-=121dx x S （即1/4单位圆的面积）用随机模拟方法求得。
图2.1中粗线是1/4单位圆，如果向图2.1中边长为1的正方形里随机投n 块小石头，当n 很大时小石头会大致均匀地分布在正方形中，数一下落在1/4单位圆内的小石头，假定有k 个，那么k /n 就可以看作1/4单位圆面积π/4的近似值。
小石头的位置坐标可以用产生均匀分布随机数的程序得到，记为),...,2,1(,n i y x i i =是[0,1]区间均匀分布随机数（i i y x ,相互独立），记录满足),...,2,1(122n i y x i i =≤+的数量k ，即得π=4k /n 。
我们用概率论中的大数定律来说明这个直观认识的原理。
大数定律（伯努利（Bernoull ）定理）]2[ 设k 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 每次试验中发生的概率，则对任意的正数ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n k P n （1） 若规定“向图中正方形随机投一块小石头落在四分之一单位圆里”为事件A 发生，则A 发生的概率p 应该等于四分之一单位圆面积，随机投n 块石头就是独立重复做n 次试验，事件A 发生k 次，由（1）式，n 无限变大时k /n 与p 之差小于任意一个数ε的概率趋于1。
用计算机算一下就会发现，即使n 很大结果也不好，并且很不稳定，远不如常规数值积分的几种方法。
实际上，随机模拟法很少用来做定积分，它的特点是能够方便地推广到计算多重积分，而不少多重积分是其他方法很难或者根本无法计算的。
2.2 蒙特卡罗方法计算定积分的理论原理通常有两类办法计算定积分。
（1）随机投点法在“投石算面积”的例子中，事件A 在每次试验中发生的概率p 是四分之一单位圆面积，即dxx dydx p x ⎰⎰⎰-==-12101012（2）n 次试验由计算机完成，采用[0,1]区间上的均匀分布产生相互独立的随机数。
记这样产生的n 个点的坐标为),...,2,1),(n i y x i i =。
事件A 发生等价于),(i i y x 满足21i i x y -≤，A 发生的次数是满足21i i x y -≤),...,2,1(n i =点的个数k 。
由伯努利定理，p 可以用k /n 近似替代。
这种方法可以推广如下。
对任意区间],[b a 内的连续函数)(x f ，满足d x f c ≤≤)(,(c )0≥d ，为计算定积分⎰ba dx x f )(，先由计算机产生n 个点的坐标),(i i y x ),...,2,1(n i =，其中i i y x ,分别为],[b a 和],[d c 区间上的均匀分布随机数，然后记录n 个点中满足)(i i x f y ≤的数目k ，则c a b nkc d a b dx x f ba)())(()(-+--≈⎰（3）（2）均值估计法这种方法依据概率论的一下两个定理： 大数定理（辛钦定理）]2[ 若随机变量n Y Y Y ,...,,21相互独立，服从同一个分布，且具有数学期望μ=i EY ),...,2,1(n i =,则对任意的正数ε，有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n Y n P （4） 随机变量函数的期望]2[ 若随机变量X 的概率分布密度是))((b x a x p ≤≤，则随机变量的函数)(X f Y =的期望为dx x p x f X f E ba⎰=)()())(( （5）于是，当X 为],[b a 区间均匀分布的随机变量时，)/(1)(a b x p -=)(b x a ≤≤，（5）式给出))(()()(x f E a b dx x f ba-=⎰（6）只要产生],[b a 区间相互独立、均匀分布的随机数i x ),...,2,1(n i =，)(i i x f y =就相互独立。