有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧

有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类

将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：2 3 1 3 2 4 。

解：原式3 1 2 2 3 4

69

3。

二、凑整

将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54 22 82 63.46 。

解：原式36.54 63.46 22 82

100 22 82

122 82

40。

三、对消

将相加得零的数结合计算。

例3 计算：5 4 6 4 3 3 2 。

解：原式4 4 5 3 2 6 3

009

9。

四、组合

25。

将分母相同或易于通分的数结合。

-

- 11 - 例 4 计算：-—25

1011

12-

。 24

9

18 6

7- 131

13 5 - o 24

五、分解

将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

1 1 1 1 例5计算：

2- 5- 4- 3—。

4 2 3 6

解：原式

2 5

4 3

1 1 1 1

4 2 3 6

3 6 ± 2

12 12 12 12

0。

六、转化

将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例7计算:

42

2 3 0.25。

3 4

解：原式

28

3 1

4

4

3

28

— 4

4

28 3

七、变序

11一18

O ^

1

5 - 9

212- 5 —

解：原式

6 24

1 12

丄

12

例 6 计算：2008 200920092009 2009 200820082008。 解：原式

2008 2009 100010001 2009 2008 100010001

运用运算律改变运算顺序。 例8计算：

12.5 31

4 5

0.1

解：原式

4

12.5 — 5

0.1 31

解：原式

8 8 8 15

5 9 15 8

8 15 8 15

8 15 5 8 9 8

15 8

八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

0.125 1.25 0.6 2丄 丄 1丄

2 8 4

正

难

则反，

逆

用

运

算律改变次序。

2

例11计算：-

22

_8_ 3 1 0.25。

5

5

21

4 2

5

8

7

1

解：原式兰

5

12

21

4

4

2 1 8 1 1

3 4 3 4 4

8

一

15

1 3 3-5

^1

例10计算:

2.5 解：原式

九、逆用 2

・5

5

°125 依

1 1 1 0.6 2-

1- 2 8 4

9

例

1 2 8,

1

4 3 3

。

4

十、观察

根据0、1、1在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1的部分优先计算。

1 例

12计算：1 2009 —

6

打 3 2009

解: Q3.75 3 0, 1 1。

4

原式0 1 1。

O

09 200

妙用字母解题

着手•这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果.

例1计算

若直接计算是很繁很难的，本题巧用整体思考，妙用字母代 替数就简单多

了，这充分说明了用字母表示数的作用.

例 2 计算 17.48 37 174.8 1.9 8.74 88.

分析：本题若直接进行计算也未尝不可，但通过观察发现： 17.48, 174.8, 8.74之间

有着特殊的关系，若设

a

1748 a

，则174・

8 10a

，874

2，这样，原式可化为含字母

a

的代数式，我们只需合并同类项，然后将 a 的取值代入进行求值即可，计算量明显减小.

a

解：设17.48 a ，则174.8 10a , 8.74

，则原式可化为

2

37a 19a 44a 37 19 44 a 100a ，将 a 17.48代入，得原式 1748.

评注：通过观察数字特点，运用字母代替数，使计算过程简化，收到了事半功倍的效果.

在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、

关系复杂的计算题， 令人望而生畏, 无从

1 1 1 , 1

L

1 —

2 3

2004 2

2003

L

2004 2003

分析：本题显然不能用常规方法直接计算, 观察式子的 4个小部分, 我们发现各部分的 相同项很多，如果把相同部分用一个字母来代替,

则可使运算大大简化.

1

解：设1 -

2

1 L

2003

a , 1 1 L 丄

b . 2 3 2003

则原式 b

1 a

2004

1 a

b

2004

2004 2004 2004

2004

评注：本题是分数计算题,