结构动力学例题复习题

第十六章结构动力学

【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。

图16-6

【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点：

1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。

2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。

【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。

【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。

设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则

)(R I y P D I P +δ+∆=∆+∆+∆=

式中，)t (q EI 38454P =∆，EI

483

=δ。将它们代入上式，并注意到y

m I -=，y c R -=，得

)(48)(38453

4y c y m EI

t q EI y --+=

图16-7

经整理后可得

)(t P ky y c y m E =++

式中，3EI 481k =δ=

，)(8

5)(t q k t P P E =∆= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和

实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。

【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和

3

m

质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。

【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。

这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本

量，而其它一切位移均可利用它来表示。

图16-8

)t (α以顺时针向为正。则A 点有位移)t (2α 和加速度)t (2α

；D 点有位移)t (2

3α

和加速度)t (23α 及速度)t (2

3α ；C 点约束反力为)t (k Rc α= 。 由

∑=0M

B

，有

04

3)(232323221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

t q R R I I C 将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得

04

3)t (q 23)]t (k [23)]t (c 23[23)]t (3m 23[2)]t (m 2[2=⨯+⨯α-⨯α-⨯α-⨯α-

经整理，运动方程为

)t (q 8

9)t (k )t (c 49)t (m

=α+α+α

小结：

• 例16-2及例16-3讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建立。建立方程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调。一般来说，对于单自由度体系,求11δ和11k 的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可用同一方法求得。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对超静定结构就要根据情况而定。 • 刚度法和柔度法。它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件。

• 所谓结构振动自由度是指：确定体系全部质点位置所需的独立位移分量的个数。 在例16-3中我们选取)t (α为独立位移分量，由此得两质点处的位移、加速度及惯性力的表达式。

• 体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关，又不完全取决于质点数目，自由

度还和体系的可能位移状态有关（如例题16-3），因此要根据具体问题，按自由度定义分析确定。另一方面，自由度是确定质点空间位置的独立坐标（位移分量）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。

• 任何单自由度的振动问题，本质上都可抽象为质点、弹簧、阻尼器体系。从实际结构到抽象模型的关键是求m 和k （或δ）。

【例16-4】试 写 出 图 16-9a 质 点 m 的 运 动 微 分 方 程 ， 并 计 算 各 系 数 。

图16-9 【解】

(1) 列位移方程, )()()(1111t Q t P y m y Q P ∆+∆+-=

δ (2) 计算系数项(图b) ， EI a a a a EI

34232221

1311=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=δ (3) 计算自由项(图c,d )

EI Pa a a a a Pa a a Pa EI

P

1211632/2212123222

1

211

31=

⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∆ 同理， EI

Qa Q

121131=∆ (4) 将 系 数 代 入 位 移 方 程 ，

)(1211)(1211343

3

3

t Q EI

a

t P EI

a

y y

m EI

a

+

=+

或)(16

11)(16

11433

t Q t P y a

EI y m +

=

+

【例16-5】 试 按刚度法列 出 图 16-10a 所示 刚 架 在 给 定 荷 载 作 用 下 的

动 力 平 衡 方 程 。