关于房价问题的数学模型建立与分析

一、问题的重述与分析1.1问题的重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。

我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。

请根据中国国情，对如下几个方面进行探讨：收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。

1.2问题分析通过对题目的研读探讨，我们有如下分析：1．针房价的合理性问题对中国房价的影响因素进行相关性分析，对不同类型城市的不同有效的影响因素建立起合理恰当的房价形成的数学模型，得到合理或接近合理的房价影响因素；基于人均年可支配收入、房产商可支付银行贷款年限、建筑成本等对房价有显著影响的因素建立房价合理性模型，并结合近几年具有代表性的城市的房价建立模型对未来走势进行预测。

2．分析对比依据模型计算得到的相对合理的房价与实际房价来判断房价的合理性，并且对相关的变量进行对比讨论，得出对针对目前时期影响中国房价是否合理的主要因素，并试图通过调解这些因素（即采取相应的措施）按照建立的模型来使房价趋于合理；结合相关经济学知识阐述对经济发展可能产生的影响：房价的高低、增长快慢与否是否会影响我国经济的发展。

二、模型建立及求解2.1关于模型的基本假设由于计划生育政策，考虑对房屋的刚性需求户型都为两室一厅，面积为90平方米;1．其中低收入家庭的住房问题视为由国家和地方政府补贴的廉价租赁房和经济适用房解决，不再纳入模型的讨论范畴;2．购房居民均为贷款买房，首付比例在可承担的合理的范围，取为30%;3．不考虑人民币汇率对普通居民购买力影响;4．取一年为基准,房地产产品具有一定的生产周期,记为五年；5．房价的计算只考虑生产成本和市场供求；6．成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变；7．楼面地价又称单位建筑面积地价，是平均到每单位建筑面积上的土地价格，所对应的是地面地价。

楼面地价＝土地总价÷总建筑面积＝地面地价÷容积；8．供需平衡指在合理的房价前提下，符合宏观经济因素的增长规律及保证开发商在合理的盈利范围之内；10.忽略楼盘地理位置及周围交通、社区成熟程度的影响（利用修正系数加以修订），在房价合理性模型中不考虑商家炒作对房地产价格的影响。

2.2模型中符号的说明I还款月利率X每月换贷款数N还款年限β贷款成数cＣＰＩ指数k j 第j年,指数φ年供占输入比重理论比重φ在还款时间段内实际年供占输入比重平均α首付工作年限比（即为达到首付储蓄时的实际工作年限比上理论应该的工作时间）η贷款还付能力权重，则（1-η）为首付能力权重P 总房价，单位为万元I 年人均可支配收入S0 建成批售的商品住宅房面积S1 商品房销售建筑面积S2 商品房竣工面积B 商品房均价2.3问题的细化与模型的建立房价合理性模型为：将居民贷款买房时承受能力量化为购房承受能力系数，标准合理是假定为1，当系数大于1时即为超出合理能力，购房将使家庭负担增加，小于1时相反。

2.3.1对影响房价的因素考虑及处理因素指标代码与房价关系商品住宅价格商品房均价=商品房销售额/商品房销售建筑面积P1供需关系供给=商品房竣工面积供需差需求=商品房销售建筑面积SD-+影响需求因素供给影响因素宏观经济因素城镇居民人均可支配收入Y+个人购房贷款L1+对房屋购买力预期的影响B-房地产投资的贷款成本L+商品房住宅的竣工价值G+开发商合理利润修订系数C+经济发展水平=国内生产总值GDP+物价水平=居民消费价格指数CPI+利率水平=5年以上贷款利率I不定宏观经济影响因素：通过对目前以及过去的房价走势来看，银行储蓄利率，人民币汇率等对房价影响不大，在经济相对稳定的大环境下，对居民购买力水平影响有限，因而在对房价的影响因素中不与考虑；但如GPD，物价水平，贷款利率水平，居民收入对人民购买力以及房价走势影响巨大，因而给予重点考虑。

2.3.2模型分析与系数推导（一）对购房承受能力系数的推导房价收入比指数的意义。

房价收入比是指家庭购房总价与居民家庭年收入的比值，用于考察居民的购房能力。

尽管房价收入比是一个全球通用指标，但其合理范围却没有国际惯例。

世界银行对全球96个国家(地区)1998年的统计资料显示，各国(地区)房价收入比的数值是高度离散的，这96个国家(地区)房价收入比最高的为30，最低的为0．8，平均值为8．4，中位数为6．4。

根据目前国情来看，大多数对商品住房有刚性需求的家庭多以贷款方式买房，一般贷款年限在20年左右，所以在I min = x =φ年时可支配收入为 I j = I 0 (1+ t ) j，但于此同时因为物价上涨等因素会导致购买 为 I 0 (1+ t ) j ⨯(1+θ ) jI 0 (1+ t ) j ⨯(1+θ ) j目前中国国情下，我组认为取20为符合国情且大部分居民能接受的合适值。

以P 表示总房价，I 表示家庭年均可支配收入。

以f 0=7为例，表示此类家庭7个月的 可支配收入可以购买当时1m 2的商品住宅房，大概15年的可支配收入可以买下 90m 2的房子，视为承受能力的衡量单位。

房价 p 一定时，I 与月均可支配收入 m 成反比。

所以，I 越小，表示收入越 高，购房能力越强；I 越大，则表示收入越低，购房能力越弱。

1 百姓购房承受能力系数的推导。

由于我国目前收入差距较大，平均收入水平往往不能代表消费主体的收入 状况。

据此国际通用的房价合理性评价标准房价月收入比（HI ）作为一主要影 响因素。

其中低收入家庭的住房问题视为由国家和地方政府补贴的廉价租赁房 和经济适用房解决，不再纳入模型的讨论范畴。

购房后每月实际应还款数： x = i (1+ i )12n(1+ i )12n-1⨯ β ⨯ P每年为： x = i (1+ i )12n(1+ i )12n-1⨯ β ⨯ P ⨯12 还款占可支配收入理论比例：φ = x I ;实际比例φ = xI则每月还款数合理区间为： x ≤ φ I取合适区间内最大合理月还款 x ，此时对应合理负担时最小的可支配收入：12ni (1+ i )12nβ ⨯ P ⨯12由于经济发展水平对收入影响大，关联性强，尤其是 GDP 增长与年人均可支配收入增长成明显的正相关，因而考虑在一目前的经济发展趋势，预测第 kk力下降，对居民实际购买力产生不可忽略的影响，因此考虑第 k 年实际购买力 k 1 k，通过对以上因素的探讨和对模型的修正，则第 k 年实际还款负担系数φ =k x 1k从而得出在 n 年的还款过程中，购房者年平均还款负担系数为下式所示：41 ⎢ x x x x⎥ φ = ⎢ + + + L + ⎥n ⎢ I (1+ t )k 1 ⨯ ⎥I 0 (1+ t )k 2 ⨯ I 0 (1+ t )k 3 ⨯ I 0 (1+ t )k n ⨯ ⎢ (1+θ ) (1+θ ) (1+θ ) (1+θ )k n ⎥k 3 k 1 k 2 12 ⨯β Pi (1+ i )12n 1+θnI 0 ⎡⎣(1+ i )n -1⎤⎦ ∑j =1 ( 1+ t )⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤1 1 1 1 0将上式带入整理化简，实际还款负担系数为：φ = j =20 kj进而得到百姓承受能力系数 CSL = φ φ(1) ，合理的φ 为 0.5。

当CSL=1时，即为在此房价下贷款买房对于购买者造成的负担是合理的且能 接受的，当CSL<1时，对购房者造成的负担小于理论合理负担，即为房价较低；当CSL>1时，对购房者造成的负担超出合理负担，是过重的；当φ =2时，即为购房者需要拿出所有收入购房才行；当φ >2时，购房者没有购房能力。

另一方面，我们从维持房地产业可持续发展的角度出发，通过对房地产企 业的盈利与亏损预测分析，来预测房地产是否是良性发展。

（二）房地产业可持续发展比例的推导目前房地产的定价没有形成一个稳定的价格估算体系，开发商一般采用成 本加利润的方法来确定商品房定价，出于盈利的目的，一些不合理的费用统统 计人了成本，比如说税费和非建筑面积的计算：而且，目前房地产资金流投机 现象严重，从而抬高了房价。

为了简化模型得到合理房价，在房价的合理性中 不涉及房地产开发中各项成本的细节讨论，以简化模型中不确定因素。

以下讨 论选定地区一定时期的房价水平住宅房的开发和销售情况：即建房周期内建成商品住宅房的竣工价值为G ， 银行在房地产业的贷款总额为L(假设贷款L 全部用于房地产投资，即L 包含于G ， 由于无法直接获得L 的相关数据，我们假设房地产开发商前期投入自筹资金60% 的条件下，剩余40%的资金均来自于银行贷款，即L=0.4G)，此建房周期开始时 的五年期贷款利率为y ，由此得到投资商贷款成本计算公式为G 1 = L ⎡(1 + y )5+T-1⎤ 。

根据我国的具体国情，一个建房周期取为5年。

为了提高银行资产的安全性，规定建房周期结束后开发商的还款年限为T 年，则开发商的总成本近似为 C = G + L ⎡(1+ y )5+T-1⎤ ，基于对实际的考虑，认为开发商在竣工一年后即可获利来支付贷款，所以取T=1。

(1)商品住宅房具有刚性需求，根据理性预期假设，消费者还会根据对未来 经济形势和住宅价格水平的预期做出决策。

基于理性预期，消费者主要根据上 一个售房周期的房价和销售情况来判断当时的房价是否合理，从而决定购房与 否。

S 1≤ S时, S(P)= S ;⎣ ⎦ ⎣ ⎦基于以上分析，建立刚性需求面积模型，即：-S = * S 0S 2，其中，S0为当前建房年份的建成商品房竣工面积，S1商品房销售建筑面积。

，S2 为上一建房年份商品房竣工面积__S 为刚性需求面积；P 为本周期批售时的平均单位房价； P 为上一周期成交的平均单位房价:_S* e_ (1-P /P )则表示在刚性需求的基础上,由于相邻两个售房周期的价格比对实际购房量的影响。

据此定义预期成交面积为，当 _S *e _ (1-P /P ) 〈 S 0_时， S(P)= S * e_ (1-P /P ); 当 _S *e _ (1-P /P )相应的，预期收益为Y=s(p)*p ，据此定义房地产业可持续发展比为：S=(s(p)*p-G)/ L ⎡(1+ γ )5+T -1⎤ （2）其意义如下：当S<O 时，表示投资方亏损，完全无力按期还贷，表明房地产业的不可持续 发展；O=<S<l 表示投资方能够偿还贷款本金，但尚不足以支付全部的贷款利息， 处于亏损状态。