乘法公式培优
(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。
a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。
(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。
(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。
7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。
（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。
9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。
【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。
人教版 八年级数学上册 14.2 乘法公式 培优训练(含答案)
人教版八年级数学14.2乘法公式培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列各式中，运算结果是9m2－16n2的是()A.(3m＋2n)(3m－8n)B.(－4n＋3m)(－4n－3m)C.(－3m＋4n)(－3m－4n)D.(4n＋3m)(4n－3m)2. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是()A．(x－y)(x＋y) B．(x－y)(x－y)C．(x－y)(－x－y) D．－(x＋y)(x－y)3. 若M·(2x－y2)＝y4－4x2，则M应为()A.－(2x＋y2)B.－y2＋2xC.2x＋y2D.－2x ＋y24. 化简(－2x－3)(3－2x)的结果是()A．4x2－9 B．9－4x2C．－4x2－9 D．4x2－6x＋95. 为了运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是()A.[x－(2y＋1)]2B.[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]C.[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]D.[x＋(2y－1)]26. 计算(x＋1)(x2＋1)·(x－1)的结果是()A．x4＋1 B．(x＋1)4C．x4－1 D．(x－1)47. 如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为()A.a2－4b2B.(a＋b)(a－b)C .(a ＋2b )(a －b )D .(a ＋b )(a －2b )8. 若n 为正整数，则(2n ＋1)2－(2n －1)2的值( )A ．一定能被6整除B ．一定能被8整除C ．一定能被10整除D ．一定能被12整除9. 若(x ＋a )2＝x 2＋bx ＋25，则()A ．a ＝3，b ＝6B ．a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝－10C ．a ＝5，b ＝10D ．a ＝－5，b ＝－10或a ＝5，b ＝1010. 如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A. 等边三角形．B. 直角三角形．C. 钝角三角形．D. 形状不确定．二、填空题（本大题共6道小题）11. 多项式x 2＋1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是________(任写一个符合条件的即可)．12. 填空：()()22552516a a a b +-=-13. 如果(x ＋my )(x －my )＝x 2－9y 2，那么m ＝________．14. 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.15. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.a bb a16.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是____________________.三、解答题（本大题共4道小题）17. 运用完全平方公式计算：(1)(2a ＋3b )2； (2)(12m ＋4)2；(3)(－x －14)2； (4)(－13＋3b )2.18. 王红同学计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)的过程如下：解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1.请根据王红的方法求(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．19. 认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应地，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a ＋b )1＝a ＋b ，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…. 下面我们依次对(a ＋b )n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成如图所示的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”．仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)(a ＋b )n 展开式中共有多少项？ (2)请写出多项式(a ＋b )5的展开式．20. 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析] 因为结果是9m 2－16n 2，9m 2应是相同的项的平方，所以相同项应为3m 或－3m ，16n 2应是相反项的平方，相反项应为－4n 和4n.2. 【答案】B3. 【答案】A[解析] M 与2x －y 2的相同项应为－y 2，相反项应为－2x 与2x ，所以M 为－2x －y 2，即－(2x ＋y 2).4. 【答案】A[解析] 原式＝(－2x －3)(－2x ＋3)＝(－2x)2－32＝4x 2－9.5. 【答案】B6. 【答案】C[解析] (x ＋1)(x 2＋1)(x －1)＝(x ＋1)(x －1)(x 2＋1) ＝(x 2－1)(x 2＋1) ＝x 4－1.7. 【答案】A[解析] 根据题意得(a ＋2b )(a －2b )＝a 2－4b 2.8. 【答案】B[解析] 原式＝(4n 2＋4n ＋1)－(4n 2－4n ＋1)＝8n ，则原式的值一定能被8整除．9. 【答案】D[解析] 因为(x ＋a)2＝x 2＋bx ＋25，所以x 2＋2ax ＋a 2＝x 2＋bx ＋25.所以⎩⎨⎧2a ＝b ，a 2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－10.10. 【答案】A【解析】已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】2x (或－2x 或14x 4) 【解析】x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2；x 2－2x ＋1＝(x －1)2；14x 4＋x 2＋1＝(12x 2＋1)2.12. 【答案】()()2254542516a b a b a b +-=- 【解析】()()2254542516a b a b a b +-=-13. 【答案】±3[解析] (x ＋my)(x －my)＝x 2－m 2y 2＝x 2－9y 2，所以m 2＝9.所以m＝±3.14. 【答案】22()()a b a b a b +-=-【解析】左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2b a a b a b a b +-=+-，故验证了公式22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)15. 【答案】224()()ab a b a b =+--【解析】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--16. 【答案】(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)原式＝4a 2＋12ab ＋9b 2. (2)原式＝14m 2＋4m ＋16. (3)原式＝x 2＋12x ＋116. (4)原式＝19－2b ＋9b 2.18. 【答案】解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 ＝… ＝264－1＋1 ＝264.因为264的个位数字是6，所以(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字是6.19. 【答案】解：(1)由已知可得：(a ＋b)1展开式中共有2项， (a ＋b)2展开式中共有3项， (a ＋b)3展开式中共有4项， ……则(a ＋b)n 展开式中共有(n ＋1)项． (2)(a ＋b)1＝a ＋b ， (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，…则(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.20. 【答案】41122n --【解析】原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．。
沪教版 培优 七年级数学 暑假同步讲义 第8讲 乘法公式(一)(解析版)
平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用．1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．()()22a b a b a b+-=-．（1）a．b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：如：()()()()()22a b c b a c b a c b a c b a c+--+=+---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差．乘法公式（一）知识结构模块一：平方差公式内容分析知识精讲2/ 13【例1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()()a b a b -+- D ．()()x y x y --+【答案】B【解析】A :完全平方公式； C ：原式2()a b =--； D ：原式2()x y =-+． 【总结】对平方差公式概念的考查．【例2】 计算： （1）()()3535x x +-；（2）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22x y x y +-．【答案】（1）2925x -；（2）21149x -；（3）224x y -．【解析】（1）()()2223535(3)5925x x x x +-=-=-；（2）22211111111()()23232349x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222222(2)4x y x y x y x y +-=-=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【例3】 计算：（1）2211112525x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()2323x y x y -+--； （3）()()2323a b a b ---．【答案】（1）411425x -；（2）2249x y -；（3）2294b a -【解析】（1）22222411111111()()252525425x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()22222323(2)(3)49x y x y x y x y -+--=--=-； （3）()()22222323(3)(2)94a b a b b a b a ---=--=-．【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例4】 计算：（1）()()()2232349a a a -++；（2）22111224a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例题解析【答案】（1）41681a -； （2）42116a b -． 【解析】（1）原式224(49)(49)1681a a a =-+=-；（2）原式222242111()()4416a b a b a b =-+=-．【总结】平方差公式的连续运用．【例5】 计算：111111253253x y z x y z ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】222111145259x xy y z -+-+．【解析】原式22222111111()()253253111111[()][()]2532531111111[()]25945259x y z x y z x y z x y z x y z x xy y z=----+=----+=---=-+-+【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a ”，相反的项看作“b ”．【例6】 计算：（1）()()()()33a b a b a b a b +--+-； （2）()()()()2222y x y x x y x y -+++---+； （3）22111133222233x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）28b ；（2）2255x y -；（3）4211549x x --【解析】 （1）原式 2222298a b a b b =--+=；（2）原式2222224455x y x y x y =-+-=-； （3）原式424211119454949x x x x =--+=--． 【总结】平方差公式以及合并同类项的运用．【例7】 计算：()()()()()2221212245a a a a a a ⎡⎤-+++--+⎣⎦．【答案】425a -【解析】原式2222224(4144)(5)(5)(5)25a a a a a a a =-+--+=-+=-4/ 13【总结】平方差公式的连续运用．【例8】 简便运算： （1）10298⨯；（2）30.229.8⨯；（3）12252433⨯．【答案】（1）9996；（2）899.96；（3）86249【解析】 （1）原式2(1002)(1002)10049996=+-=-=；（2）原式(300.2)(300.2)9000.04899.96=+-=-=（3）原式1118(25)(25)6256243399=+-=-=【总结】平方差公式在简便运算中的运用．【例9】 计算：（1）2200920072008⨯-；（2）22007200720082006-⨯； （3）22007200820061⨯+．【答案】 （1）-1；（2）2007；（3）1【解析】 （1）222(20081)(20081)20082008120081=+--=--=-；（2）2222007200720072007(20071)(20071)200720071===-+--+（3）222200720071(20071)(20071)1200711===+-+-+【总结】平方差公式在计算题中的运用． 【例10】 计算：()()()()242121212121n+++++（n 是正整数）． 【答案】42n【解析】原式24244244(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)12112n n n n=-+++++=-+++=-+=【总结】平方差公式的提高性运用，关键在于如何启发学生添加“（2-1）”这一项．1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．()2222a b a ab b +=++、()2222a b a ab b -=-+． 2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．【例11】 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．()()4774x y y x ---B ．()()4774x y x y --+C ．()()4774x y y x --+D ．()()4747x y x y -+【答案】C【解析】A ：(47)(47)x y x y --+；B ：()()4774x y x y -++；D ：()()4747x y x y -+ 【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别． 【例12】 下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()2222x y x xy y -=--C ．()2225225420a b a b ab +=++D ．2221111132364m n m mn n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】A ：正确答案为：222a ab b ++； B ：正确答案为：222x xy y -+；D ：正确答案为：22111934m mn n ++．【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用．例题解析模块二：完全平方公式知识精讲6/ 13【例13】 计算： （1）()239x +；（2）223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()22xyz --．【答案】（1）295481x x ++；（2）22111439x xy y -+；（3）22244x y z xyz ++；【解析】（1）()222239(3)239995481x x x x x +=+⋅⋅+=++： （2）22222111()2()232233439x y x x y y x xy y ⎛⎫-=-⋅⋅+=-+ ⎪⎝⎭；（3）()222222(2)44xyz xyz x y z xyz --=+=++． 【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算．【例14】 计算：（1）()()()2343x x x -+-+；（2）()()()2232222x x x +----+；（3）()()()2212121a a a +-+-．【答案】（1）521x --； （2）1213x +；（3）42a +；【解析】 （1）原式221269521x x x x x =+----=--；（2）原式224129441213x x x x =+++-=+； （3）原式224414142a a a a =++-+=+．【总结】完全平方公式与合并同类项的运用．【例15】 计算：（1）2211113232x y x y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2213133434a b a b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）23xy -；（2）0．【解析】 （1）原式222211111129349343x xy y x xy y xy =-+---=-；（2）原式222211111909249216a ab b a ab b =++---=．【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”．【例16】 计算：（1）()()()229163434a b a b a b --+；（2）22111111323294a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）422481288256a a b b -+；（2）4224111811816a ab b -+． 【解析】（1）原式22224224(916)(916)81288256a b a b a a b b =--=-+；（2）原式222242*********()()9494811816a b a b a a b b =--=-+．【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别．【例17】 计算： （1）()22a b c --+；（2）()2324x y ++；（3）()()22x y x y +---．【答案】（1）2224424a ab b ac bc c ++--+；（2）229124241616x xy y x y +++++；（3）222444x xy y x y ---++-．【解析】（1）原式222[(2)](2)2(2)a b c a b c a b c =--+=--+⋅--+2224424a ab b ac bc c =++--+；（2）原式2(32)8(32)16x y x y =++++229124241616x xy y x y =+++++； （3）原式22(2)()4()4x y x y x y =-+-=-+++-222444x xy y x y =---++-． 【总结】三项完全平方的综合运用，注：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．【例18】 简便计算： （1）299.8；（2）22005．8/ 13【答案】（1）9960.04；（2）4020025．【解析】 （1）2299.8(1000.2)10000400.049960.04=-=-+=；（2）222005(20005)400000020000254020025=+=++=．【总结】完全平方公式在简便运算中的运用．【例19】 设8,15m n mn +==，求（1）22m n + ；（2）m n -． 【答案】（1）34；（2）±2．【解析】 （1）222()2643034m n m n mn +=+-=-=；（2）222()22m n m n m n mn -=±-=±+-=±．【总结】完全平方公式的变形及其应用．常用的变形还有：①2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+；②22()()4a b a b ab +=-+等．【例20】 已知16x x -=，求221x x+的值． 【答案】38 【解析】222111()236238x x x x x x+=-+⋅=+=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a +=-+【例21】 已知：2221440x y x xy y --+++=，则2x y +=___________． 【答案】34【解析】 ∵2221440x y x xy y --+++=，221(2)0x y x y --++=，∴21020x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得：1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴324x y +=． 【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零．【例22】 已知26x x k -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】9k =【解析】解：∵22222623(3)(3)(3)9x x k x x k x k -+=-⋅+-+=--+，且26x x k -+是完全平方式， ∴9k =． 【总结】考察如何配方成完全平方式．【例23】 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 都是有理数，求y x 的值． 【答案】-8【解析】∵2244690x x y y +++-+=，22(2)(3)0x y ++-=，∴可得2030x y +=⎧⎨-=⎩，解得：23x y =-⎧⎨=⎩．∴8y x =-．【总结】考察如何配方及非负性的运用．【例24】 已知2416x kx -+是完全平方式，求k 的值． 【答案】±16【解析】解：∵2221416(2)2244x kx x x k-+=-⋅⋅+ ∴可得：221()44k=， ∴16k =±．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解．【例25】 已知2310x x ++=，求：（1）221x x +；（2）441x x+．【答案】（1）7； （2）47． 【解析】由2310x x ++=可得130(0)x x x++=≠ （1）22211()2927x x x x +=+-=-=； （2）4224211()249247x x x x+=+-=-=． 【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：22211()2a a a a +=+-或22211()2a a a a+=-+．10/ 13【习题1】 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A ．()()2a b a b -- B ．()()22a b a b -+-C ．()()22a b a b +--D ．()()22a b a b ---+【答案】D【解析】D 选项为(2)(2)a b b a -+-． 【总结】对平方差公式概念的考查．【习题2】 计算： （1）()()2525x x +-；（2）()()1212a a -+；（3）11113232a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）2425x -；（2）214a -；（3）221194a b -．【解析】（1）原式=222(2)5425x x -=-；（2）原式=2221(2)14a a -=-；（3）原式=22221111()()3294a b a b -=-．【总结】直接利用平方差公式进行计算．【习题3】 计算： （1）10496⨯；（2）30.729.3⨯；（3）1610977⨯．随堂检测师生总结1、基本乘法公式有几个？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么？【答案】（1）9984；（2）899.51；（3）489949． 【解析】 （1）(1004)(1004)10000169984=+-=-=；（2）原式(300.7)(300.7)9000.49899.51=+-=-=；（3）原式11148(10)(10)10099774949=+-=-=． 【总结】平方差公在简便运算中的运用．【习题4】 计算：（1）()()3434x y x y --++-； （2）()()2332x y x y ++--．【答案】（1）226982416x xy y x y ---++-；（2）229444x xy y ---．【解析】 （1）原式22(34)[(3)8(3)16]x y x y x y =-+-=-+-++ 226982416x xy y x y =---++-；（2）原式222[3(2)][3(2)]9(2)9444x y x y x y x xy y =++-+=-+=---．【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别．【习题5】 求值：（1）已知：3a b +=，1ab =，求代数式的值：（1）22a b +；（2）44a b +．（2）已知：5a b -=，4ab =，求22a b +的值．【答案】（1）7和47；（2）33．【解析】 （1）222()2927a b a b ab +=+-=-=；4422222()247a b a b a b +=+-=．（2）222()225833a b a b ab +=-+=+=．【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【习题6】 求值：（1）已知：()28a b -=，()22a b +=，求ab 的值；（2）已知：()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值． 【答案】（1）32-；（2）5． 【解析】（1）∵22()()4a b a b ab --+=-； ∴46ab -=， ∴32ab =-．12/ 13 （2）∵()()222315x x -++=，又22[(2)(3)]525x x -++==， ∴()()22232(3)(2)25x x x x -++++-=，∴(2)(3)5x x -+=． 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．【作业1】 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y -+B ．()()a b a b ---C ．()()2222c d d c --+D ．()()22x y x y -+【答案】B【解析】B 选项可以变为()()a b a b -+-．【总结】本题主要考查对平方差公式的理解．【作业2】 计算：（1）211510x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）212cd ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）221112525100x xy y ++； （2）2214c d cd -+． 【解析】直接使用完全平方公式进行计算．【作业3】 用简便方法计算：（1）403397⨯；（2）31293044⨯； （3）9910110001⨯⨯；（4）224952+．【答案】（1）159991；（2）1589916；（3）9999999；（4）5105． 【解析】（1）403397(4003)(4003)1600009159991⨯=+-=-=；（2）31111152930(30)(30)90089944441616⨯=-+=-=； （3）999910001(100001)(100001)9999999⨯=-+=；（4）22224952(501)(502)5105+=-++=．【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用．【作业4】 计算：课后作业（1）()()()2222x y x y x y +-+-；（2）()()()2x y x y x y ---++； （3）()()()()22253x y x y x y x y +-+-+-．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式2222244442x xy y x y xy y =++-+=+；（2）原式22222()222x y x xy y xy y =--+++=+；（3）原式222222224255363102x xy y x y x xy y y xy =++-++-+=-．【总结】平方差公式和完全平方公式的综合运用．【作业5】 计算：（1）()()2323x y z x y z +--+；（2）()()2121a b a b -+--．【答案】（1）222469x y yz z -+-；（2）22441a ab b -+-．【解析】 （1）22222[2(3)][2(3)]4(3)469x y z x y z x y z x y yz z =+---=--=-+-；（2）222[(2)1][(2)1](2)1441a b a b a b a ab b =-+--=--=-+-．【总结】完全平方公式的多次运用，注意在运用的过程中符号的确定．【作业6】 求值：（1）已知6x y +=-，2xy =，求代数式()2x y -的值．（2）已知4x y +=-，8x y -=，求代数式22x y -的值．（3）已知3a b +=，225a b +=，求ab 的值．【答案】（1）28；（2）-32；（3）2．【解析】 （1）22()()428x y x y xy -=+-=；（2）22()()32x y x y x y -=+-=-；（3）2222()4ab a b a b =+--=，2ab =．。
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷【含答案】
苏科版七年级数学下册《乘法公式》综合培优测试卷一．选择题1．下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）A．（﹣m+n）（m﹣n）B．（﹣m﹣n）（﹣m+n）C．（x+2）（x﹣2）D．（﹣2x+y）（2x+y）2．已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）A．﹣8B．8C．﹣4D．43．若x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，则常数k的值为（ ）A．5B．5或3C．﹣3D．5或﹣34．已知x﹣y＝3，xy＝2，则（x+y）2的值等于（ ）A．12B．13C．14D．175．一个正方形的边长为a，若边长增加3，则其面积增加了（ ）A．9B．（a+3）2C．6a+9D．a2+326．从前，一位农场主把一块边长为a米（a＞4）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定7．若，则下列a，b，c的大小关系正确的是（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张（边长如图）．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（ ）A．1B．2C．3D．4二．填空题9．＝ ．10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，那么S阴＝ ．11．当m﹣n＝﹣5，mn＝2时，则代数式（m﹣n）2﹣4mn＝ ．12．已知a＝﹣2+3b，则代数式a2﹣6ab+9b2的值为 ．13．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为 ．14．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是6cm2和2cm2，那么两个长方形的周长和为 cm．15．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝ ．三．解答题16．计算：．17．已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．18．计算（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．19．计算：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）．20．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ 都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．21．如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是 ．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为 ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12参考答案一．选择题1．解：A、（﹣m+n）（m﹣n）不能用平方差公式计算，故选项符合题意；B、（﹣m﹣n）（﹣m+n）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；C、（x+2）（x﹣2）能用平方差公式计算，故选项不符合题意；D、（﹣2x+y）（2x+y）能用平方差公式计算，故选项不符合题意．故选：A．2．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故选：C．3．解：∵x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，∴k﹣1＝±4，解得：k＝5或﹣3，故选：D．4．解：∵x﹣y＝3，xy＝2，∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝9+8＝17，故选：D．5．解：根据题意可得，（a+3）2﹣a2＝a2+6a+9﹣a2＝6a+9．故选：C．6．解：原来租的土地面积：a2（平方米）．现在租的土地面积：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．7．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．8．解：∵取甲纸片1张，取乙纸片4张，∴面积为a2+4b2，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为ab，∴还需4张丙纸片，即a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，故选：D．二．填空题9．解：＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：设正方形ABCD的边长分别为a和b，由题意得：b2﹣a2＝6．由图形可得：S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）＝ab﹣a2+b2﹣ab＝（b2﹣a2）＝×6＝3．故答案为：311．解：原式＝（﹣5）2﹣4×2＝25﹣8＝17，故答案为：17．12．解：∵a＝﹣2+3b，∴a﹣3b＝﹣2，∴a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2＝（﹣2）2＝4，故答案为：4．13．解：设这个正方形的边长为xcm，根据题意得：（x+3）2＝x2+99，∴x2+6x+9＝x2+99，∴6x＝90∴x＝15．故答案为：15cm．14．解：根据题意可得，面积分别是6cm2和2cm2的小正方形边长为cm和cm，则两个长方形的周长为（4+4）cm．故答案为：4+4．15．解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×2＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：原式＝＝＝．17．解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．18．解：原式＝4m2﹣4mn+n2﹣（m2﹣4n2）＝4m2﹣4mn+n2﹣m2+4n2＝3m2﹣4mn+5n2．19．解：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）＝[2x﹣（3y﹣z）][2x+（3y﹣z）]＝（2x）2﹣（3y﹣z）2＝4x2﹣9y2+6yz﹣z2．20．解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab＝＝，即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．21．解：（1）根据阴影部分的面积相等得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①∵x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，∴x+2y＝（x2﹣4y2）÷（x﹣2y）＝18÷3＝6；②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×……×（1﹣）×（1+）＝××××……××＝×＝．22．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）∴（2m﹣n）＝12÷4＝3故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16故答案为：6．②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050。
乘法公式 培优
第三讲 乘法公式【易错点剖析】1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式.2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-〞要注意变号⑤()()2222x y x y +-⑥()()()()24832124515151...51+++++⑦221.2340.766 2.4680.766++⨯⑧2222211111111...11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【能力提高】整体思想1、 假设()223m -=，求246m m -+的值.2、 22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2a b +的值.3、 5,4a b ab ++=，求〔1〕22a b +；〔2〕44a b +；〔3〕44a b -的值4A 、2510x x -+=，求〔1〕221x x+〔2〕322143x x x --+的值4B 、0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求〔1〕221a a +〔2〕24255a a a ++的值.5、 ()()22201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值配方法1、()22116x m x --+是一个完全平方式，那么m = .2、264A x x +-+是一个完全平方式，那么A = .1B 、()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，那么m = .2B 、()()()()222210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，那么k = . 3、把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，那么m k += .4、假设2228170x y x y ++-+=，求y x 的值.5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少？5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值.6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数.7、111100,99,101100100100a xb xc x =+=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值8、22234,52M x x N x x =++=++，试比拟M ，N 的大小.【课后练习】1、 225a b =+，那么()()33a b a b +-= . 2、 2210x x --=，那么221x x += ，441x x += 4、 假设()()2212x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，那么m = ，n = . 5、6224b a ==，那么23a b -= .6、()()()()241612121212++++的个位数是 .7、计算①()()223131x x +- ②()()2212a a +--8、4821-能被60和70之间的某两个整数整除，求这两个数.9、2220a b c ab bc ac ++---=，求,,a b c 之间的关系.10 、2781,1515P m Q m m =-=-〔x 任意实数〕，试比拟P ，Q 的大小.11、()()20172015100a a --=，求()()22201720156a a -+-+的值。
人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优
第1讲 整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项 新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。
mnnm a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（3）积的乘方：nnnb a ab =)(（n 是正整数） 注意公式逆用。
（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例如：)3(2322bc a ab -⋅=3336c b a -②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即mb ma b a m +=+)(③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。
即nb na mb ma b a n m +++=++))((经典例题例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23（4）31++••m m ma a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅例2．计算： ①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅例3.计算：⑴()33x - ⑵()25ab - ⑶()22xy ⑷()4322xy z-（5）()()4234242a a a a a ⋅⋅++- （6）()()()2323337235xx xx x ⋅-+⋅例4.计算：⑴()()2353a b a -⋅- ⑵()()3225x x y ⋅-（3）()()152n a b a +-- （4）()()()232236ab a cab c --⋅（5）()()24231x x x -⋅+- （6）221232ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（7）()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭（8）()()32x y x y +-（9）()()22m n m n +- （10）2)2(b a +例5．若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为 。
七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿
七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。
而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
初一-第03讲-整式的乘法与平方差公式(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；②理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。
2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()(,,,m a b c ma mb mc m a b c++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b++=+++都是单项式）（二）平方差公式体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。
平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练28 利用乘法公式和因式分解简便计算
专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-． （3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）． （4）1952+195×10+52． 1191010⨯⨯⨯195×5+521．用简便方法计算2008﹣4016×2007+2007的结果是_____．2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．4．利用因式分解计算2221000252248=-__________． 5．计算：2222020200119=200119--⨯__． 6．利用因式分解计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-=______.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯(2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152；（2）20212﹣4042×2019+20192．13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯； （2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯； （3）20.9990.9990.001+⨯；（4）已知2004+=a b ，1003=ab ，求22222-+a b a b ab 的值．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯；（3）2200820081664-⨯+．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()232021⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦17．简便计算（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-19．用简便方法计算：（1）22429171-（2）2220220219698⨯++20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162（2）38.92-2×38.9×48.9+48.9222．计算：①2032﹣203×206+1032②20192﹣2018×2020．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）44134 23.7 1.35555 -⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：3232 2018320182015 201820182019-⨯-+-25．利用因式分解简便计算：11 1009922⨯26．利用因式分解计算：（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯. 27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-． （3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）． 221191010⨯⨯⨯195×5+52，1．用简便方法计算2008【答案】1．【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【解答】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【点评】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键. 2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．【答案】8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【解答】原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点评】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【解答】原式＝()()52.847.252.847.2+⨯-＝100 5.6⨯＝560．故答案为：560．【点评】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．4．利用因式分解计算2221000=__________．5．计算：2020200119=--__．6．利用因式分解计算：______.【答案】29.4【分析】根据提取公因式法，提取公因数14.7，进行简便计算，即可. 【解答】原式=(3.46+0.542)14.7-⨯=214.7⨯=29.4故答案为：29.4.【点评】本题主要考查提取公因式法分解因式，提取公因数14.7，进行简便计算，是解题的关键.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．【答案】90000．【分析】将式子改写为完全平方公式的形式进行计算.【解答】原式2220222029898=+⨯⨯+2(20298)=+2300=90000=．故答案为90000．【点评】本题考查利用完全平方公式计算，熟练掌握公式的形式是关键.8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．【答案】(1)25(2)-1【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据平方差公式计算即可【解答】（1）4.3212＋8.642×0.679＋0.6792224.3212 4.3210.6790.679=+⨯⨯+()24.3210.679=+ 25=25=（2）2020×2022－20212()()220211202112021=-+-222=202112021--1=-【点评】本题考查了利用乘法公式简便计算，掌握乘法公式是解题的关键．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯ (2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将894906⨯变形为()()a b a b +-的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式15.7，再进行计算即可．【解答】（1）解：2900894906-⨯222222290090(9006)(9006)(9006)9609000630--⨯+=--=-+==（2）解：2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯15.7(2.682 1.32)15.7231.4=⨯-+=⨯= 【点评】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．【答案】（1）314；（2）508000【分析】（1）利用提取公因式法计算；（2）应用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 3.14(216217)314=⨯++=；（2）原式(758258)(758258)1016500508000=+-=⨯=．【点评】本题考查因式分解的应用，属于基础题型．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+【答案】（1）2021；（2）40000【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．【解答】（1）解：原式()20.2129721=⨯+-20.21100=⨯2021=．（2）解：原式2210129910199=+⨯⨯+()210199=+ 2200=40000=【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152； （2）20212﹣4042×2019+20192．【答案】（1）21000；（2）4【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可；（2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可．【解答】解：（1）3×852﹣3×152=3×（852-152）=3×（85+15）×（85-15）=3×100×70=21000；（2）20212﹣4042×2019+20192=20212-2×2021×2019+20192=（2021-2019）2=22=4．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．【答案】3120000【分析】先提取24，再利用平方差公式即可求解．【解答】225652443524⨯-⨯=()2224565435⨯-=()()24565435565435⨯+⨯-=241000130⨯⨯=3120000．【点评】此题主要考查因式分解的运用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯； （2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯；（3）20.9990.9990.001+⨯； 2222）a (a -原式()1003200420062006=⨯-=-．【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯； （3）2200820081664-⨯+．【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000【分析】（1）利用平方差公式即可求解；（2）提取8，故可求解；（3）利用完全平方公式即可求解．【解答】（1）227.29 2.71-=()()7.29 2.717.29 2.71+⨯-=10×4.58=45.8；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯=()8 2.87.60.4⨯+-=8×10=80（3）2200820081664-⨯+=2220082200888-⨯⨯+=()220088-=20002=4000000．【点评】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 112021⎛⨯⨯+ ⎝20222021⨯⨯⨯20202021⨯⨯⨯【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++【答案】（1）6.332；（2）90000【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算；（2）利用完全平方公式变形计算．【解答】解：（1）221.2229 1.3334⨯-⨯=22221.2223 1.3332⨯-⨯=()()221.2223 1.3332⨯-⨯=223.666 2.666-=()()3.666 2.666 3.666 2.666+-=6.332；（2）2220220219698+⨯++=2220222029898+⨯⨯+=()220298+=90000【点评】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用．18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-（1）22429171-（2）2220220219698⨯++【答案】（1）154800；（2）90000.【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得到答案；（2）把原式化为：2220222029898+⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）22429171-()()429171429171=+-600258154800=⨯=（2）2220220219698⨯++2220222029898=+⨯⨯+()220298=+ 230090000.==【点评】本题考查的是利用平方差公式与完全平方公式进行简便计算，掌握两个公式的特点是解题的关键．20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯【答案】0【分析】先提取公因数2015进行分解，然后再进行计算即可．【解答】22015201520152016+-⨯=()2015120152016⨯+-=20150⨯0=．【点评】本题考查了利用因式分解进行计算，熟练掌握提公因式法是解此题的关键．21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92【答案】（1）2500；（2）100．【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．【点评】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键．22．计算：①2032﹣203×206+1032 ②20192﹣2018×2020．【答案】①10000；②1．【分析】①根据完全平方公式计算即可；②根据平方差公式计算即可．【解答】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032＝（203﹣103）2＝1002＝10000； ②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．【点评】本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）4413423.7 1.3-⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：322018320182015-⨯-25．利用因式分解简便计算：10099⨯（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯.【答案】（1）97800；（2）0.0386【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算.【解答】(1)原式()9788578=⨯++97800=.(2)原式()3.86 3.86 3.85=⨯-0.0386=.【点评】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.【答案】（1）1（2）9960.04【分析】(1)观察算式，把2018和2020分别用2019-1和2019+1表示，利用平方差公式对这一部分进行运算，然后再去括号相加减即可；(2)将99.8表示成100-0.2，然后利用完全平方公式展开运算即可.【解答】（1）原式22019(20191)(20191)=--⨯+()2222019201911=--=（2）原式2(1000.2)=-2210021000.20.2=-⨯⨯+9960.04=【点评】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式并运用是解题的关键.。
(最新)北师大七年级下册数学 整式乘法综合培优 练习题【精编 含解析】
七下整式乘法综合培优1．若(x 2+mx-8) (x 2-3x+n)的展开式中不含x 2和x 3项,求m 和n 的值2．化简求值:2223[()()6](2)a b a b a b ab +--+÷-,其中a=11()2--,b=01.3．化简求值：[34322223111()()3]()262x y xy xy xy -+-⋅÷-，其中x ＝﹣1，y ＝1．4．先化简，再求值：（1）()()()()3123654a a a a +----，其中2a =．（2）()()()2221331x x x x x x +---+-，其中15x =．5．下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x （x+2y ）﹣（x+1）2+2x=x 2+2xy ﹣x 2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误；（2）对此整式进行化简．6．王老师家买了一套新房，其结构如图所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板，其余部份铺上地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x 元，木地板的价格为每平方米3x 元，那么王老师需要花多少钱？7．将多项式(x－2)(x2＋ax－b)展开后不含x2项和x项．求2a2－b的值．8．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.图1图2(1)如图1是由边长分别为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝；(2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a＋b＋c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为；②已知a ＋b ＋c ＝11，ab ＋bc ＋ac ＝38，利用①中所得到的等式，求代数式a 2＋b 2＋c 2的值.9．先阅读，再填空解题：（x +5）（x +6）=x 2+11x +30；（x －5）（x －6）=x 2－11x +30；（x －5）（x +6）=x 2+x －30；（x +5）（x －6）=x 2－x －30．观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：_________________________________________________________________________________根据以上的规律，用公式表示出来：____________________________________根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．10．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到222)2a b a ab b +=++（，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，222++= .a b c(3) 小明同学用图中x 张边长为a 的正方形，y张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+y+z=（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．11．小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）⑴请用代数式表示装饰物的面积：________，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是______（结果保留π）⑵当a=32，b=1时，求窗户能射进阳光的面积是多少?（取π≈3 ）⑶小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？12．（1）填空：)(a b a b-+=（）______ ；22)(a b a ab b-++=（）______ ；3223)(a b a a b ab b-+++=（）______ ；（2）猜想：（a-b）（a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1）= ______ （其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．13．将一张如图①所示的长方形铁皮四个角都剪去边长为30cm 的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②.铁盒底面长方形的长是4acm ，宽是3acm.(1)请用含有a 的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；(2)若要在铁盒的外表面涂上某种油漆，每1元钱可涂油漆的面积为50a cm 2，则在这个铁盒的外表面涂上油漆需要多少钱(用含有a 的代数式表示)?14．若()222833x px x x q ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭的积中不含2x 与3x 项. (1)求p 、q 的值；(2)求代数式()()3122016201823p qpq p q --++的值.15．若2x+3·3x+3=36x-2,则x 的值是多少?16．阅读：已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入. 解：2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！(1)已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值；(2)已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2018的值．17．欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题:(2x+a)(3x+b),由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2-13x+6;乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数,得到的结果为2x2-x-6.(1)你能否知道式子中的a,b的值各是多少?(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.18．(1)你发现了吗？2222()333=⨯，22211133()222322()333-==⨯=⨯，由上述计算，我们发现2223()___()32--； (2)请你通过计算，判断35()4与34()5-之间的关系； (3)我们可以发现：()m b a -____()m ab(0)ab ≠ (4)利用以上的发现计算：3477()()155-⨯.参考答案1．解：原式=x 4+（m-3）x 3+（n-3m-8）x 2+（mn+24）x-8n ， 根据展开式中不含x 2和x 3项得：30380m n m -=⎧⎨--=⎩， 解得：317m n =⎧⎨=⎩. 2．解：原式=222223[226](2)a ab b a ab b a b ab ++-+-+÷-=（4ab +6a 2b 3）÷（﹣2ab ）=﹣2﹣3ab 2当a =112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=﹣2，b =01=1时，原式=﹣2﹣3×（﹣2）×12=﹣2+6=4． 3．解：[34322223111()()3]()262x y xy xy xy -+-⋅÷- ＝[（﹣91218x y ）+2421336x y xy ⋅]361()8x y ÷- ＝（91218x y -+36112x y ）361()8x y ÷- ＝x 6y 6﹣23， 当x ＝﹣1，y ＝1时，原式＝（﹣1）6×16﹣23＝1﹣23＝13． 4．解：（1）()()()()3123654a a a a +----22673629202223a a a a a =---+-=- 将2a =代入得值为21；（2）()()()2221331x x x x x x +---+-3322333323x x x x x x x =+-+--+=-+ 将15x =代入得值为1355．解：（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，故答案为一；（2）x （x+2y ）﹣（x+1）2+2x=x 2+2xy ﹣x 2﹣2x ﹣1+2x =2xy ﹣1．6．解：（1）卧室的面积是2b (4a －2a )＝4ab (平方米)，厨房、卫生间、客厅的面积和是b ·(4a －2a －a )＋a ·(4b －2b )＋2a ·4b ＝ab ＋2ab ＋8ab ＝11ab (平方米)， 即木地板需要4ab 平方米，地砖需要11ab 平方米；（2）11ab ·x ＋4ab ·3x ＝11abx ＋12abx ＝23abx (元)， 即王老师需要花23abx 元．7．解：原式=3x +ax²−bx −2x²−2ax +2b=3x +(a −2)x²−(2a +b )x +2b ，由展开后不含x 2项和x 项，则有a −2=0，−(2a +b )=0，∴a =2，b =−4，∴2a²−b =2×2²+4=12.8．解：(1)a 2＋3ab ＋2b 2；(2)① (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ；②解：由①，得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac ).因为a ＋b ＋c ＝11，ab ＋bc ＋ac ＝38.所以112＝a 2＋b 2＋c 2＋2×38. 所以a 2＋b 2＋c 2＝45.故答案为：(1)a 2＋3ab ＋2b 2；(2)① (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ；②45.9． 解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系是：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a-100）=a 2-a-9900； （y-80）（y-81）=y 2-161y+6480．故填：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积； （a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ； a 2-a-9900，y 2-161y+6480．10．解：（1）（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（2）∵a +b +c =10，ab +bc +ac =35，∴a 2+b 2+c 2=（a +b +c ）2﹣2（ab +ac +bc ）=100﹣70=30； （3）根据题意得：（2a +b ）（a +2b ）=22252a ab b ++，∴x =2，y =5，z =2，∴x +y +z =9；（4）第一个图形的体积=3x x -，第二个图形的体积为：(1)(1)x x x +-．∵两个图形的体积相等，∴3x x -=(1)(1)x x x +-．11．解：试题解析：（1）12π（2b -）2=8πb 2, ab -8πb 2. （2）ab -8πb 2=32×1-8π×1 =32-38=98.（3）更大了，窗帘的面积：π（4b ）2=16πb 2 ， （ ab -16πb 2）-（ab -8πb 2）=8πb 2-16πb 2=16πb 2.故答案为： (1). 8πb 2， ab -8πb 2 (2). 98， （3）. 更大了，16πb 2. 12．解：（1）(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2；；；（2）由（1）可得，(a －b )(a n －1＋a n －2b ＋a n －3b 2＋…＋ab n －2＋b n －1)＝a n －b n ；(3)①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.②210－29＋28－…－23＋22－2＝13×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝13×[211－(－1)11]－13×3×1＝682.13．解：(1)原长方形铁皮的面积是(4a ＋60)(3a ＋60)＝(12a 2＋420a ＋3600)(cm 2)．(2)这个铁盒的表面积是12a 2＋420a ＋3600－4×30×30＝(12a 2＋420a)(cm 2)，则在这个铁盒的外表面涂上油漆需要的钱数是(12a 2＋420a)÷50a ＝(600a ＋21000)(元)． 14．解：（1）()222833x px x x q ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ =x 4-3x 3+qx 2+px 3-3px 2+pqx+283x 2-28x+283q=x 4+（p-3）x 3+（q-3p+283）x 2+（pq-28）x+283q ， 因为它的积中不含有x 2与x 3项，则有，p-3=0，q-3p+283=0 解得，p=3，q=13-； （2）()()3122016201823p q pq p q --++ =632016218()3p q pq q pq-++⋅ =332016218()()3p pq pq q pq -⋅++⋅ =-8×332016211113[3()][3()]()133333()3⋅⨯-++⨯-⨯-⨯⨯- =-8×1127(1)39⨯--+ =2161139-+ =72159． 15．解：因为36x-2=(62)x-2=62(x-2)，所以2x+3·3x+3=(2×3)x+3=6x+3， 所以x+3=2(x-2)，解得x=7.16．解：(1)(2a 3b 2-3a 2b+4a)·(-2b)=-4a 3b 3+6a 2b 2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab将ab=3代入上式，得−4×33+6×32−8×3=-78所以(2a 3b 2-3a 2b+4a)·(-2b)=−78 (2)∵a 2＋a=1，∴a 3＋2a 2＋2018=a 3＋a 2＋a 2＋2018=a(a 2＋a)＋a 2＋2018=a ＋a 2＋2018=1＋2018=2019.17．解：(1)根据题意可知(2x －a)(3x ＋b)＝6x 2＋2bx －3ax －ab ＝6x 2－13x ＋6 可得2b －3a ＝－13①.可知(2x ＋a)(x ＋b)＝2x 2－x －6，即2x 2＋2bx ＋ax ＋ab ＝2x 2－x －6 可得2b ＋a ＝－1②，由①②可得a ＝3，b ＝－2.(2)(2x ＋3)(3x －2)＝6x 2＋5x －6.18．解：（1）我们发现223（） = （23)2- （2）计算得35125464⎛⎫= ⎪⎝⎭， -34125564⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴3-35445⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）我们可以发现：mba-⎛⎫⎪⎝⎭=mab⎛⎫⎪⎝⎭（0ab≠）.（4）利用以上的发现计算：-3477155⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3415775⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3315771897555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或多个数的乘积。
在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌握的知识点。
掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高计算能力。
在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。
乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。
乘法交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。
乘法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。
这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。
比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。
此外，在解决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。
例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各个边长相乘。
在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进行计算。
比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。
此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。
这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。
总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。
因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。
培优专题整式的乘法
整式的乘法培优训练教师寄语：任何的限制，都是从自己的内心开始的。
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
【知识精要】1、幂的运算性质（m、n为正整数）（m为正整数）（m、n为正整数）（m、n为正整数，且a≠0，m＞n）（a≠0）（a≠0，p为正整数）2、整式的乘法公式：3、科学记数法其中（1≤|a|＜10）4、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
5、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
7、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
例1．已知1582=+xx，求2)12()1(4)2)(2(++---+xxxxx的值.练习：1．若0422=--aa, 求代数式2]3)2()1)(1[(2÷--+-+aaa的值. 2．已知012=--xx，求)5()3()2)(2(2---+-+xxxxx的值．3. 已知)1()3)(3(1,09322---+++=-+xxxxxxx）求（的值.4．已知222x x-=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x-++-+--的值．5. 已知132=-xx，求)1)(4()2()2(22--+-+-+xxxxx）（的值.例2：已知012=-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
练习：1. 已知0332=-+x x ，求代数式103523-++x x x 的值。
2. 已知012=-+a a ，求代数式3432234+--+a a a a 的值。
3. 已知0132=+-x x ，求代数式200973223+--x x x 的值。
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册一、夯实基础1．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（y+2x）（2x﹣y）B．（﹣x﹣3y）（x+3y）C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）D．（4a+b）（4a﹣b）2．在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（）A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3]B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）]D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 3．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（）A．10B．15C．20D．254．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于．5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为6．若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（）A．21B．19C．21或﹣19D．﹣21或19 7．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（）A．65B．105C．115D．20258．已知关于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某个关于x的整式的平方，求k的值．二、能力提升（一）利用乘法公式计算1．计算：（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）．2．计算：（x+2y﹣3z）（2y+3z+x）．3．求不等式（3x﹣4）（3x+4）＜9（x+2）2+21的负整数解．4．计算：（a+1）2（a﹣1）2（a2+1）2．5．计算．6．用简便算法计算．（1）20242﹣2025×2023；（2）4+4×196+982．（二）乘法公式的变形1．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）a4+b4．2．若m﹣2n＝﹣1，求代数式m2﹣4n2+4n的值．3．已知a2﹣4a﹣1＝0．（1）求的值；（2）求的值．4．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．5．已知，求xy的值．6．已知：m，n为非负整数，且m2﹣n2＝11，求m，n的值．7．已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值．8．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝．9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝．（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．（3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值．10．我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．三、乘法公式与几何图形结合1．我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝．（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣12n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n ﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t 的值．2．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上，（1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是．（用m、n的代数式表示）（2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？（3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是．（4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？3．在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式：．②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式：．（2）【类比应用】根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn 和（m﹣n）2的值．（3）【拓展升华】如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC 上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE 外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和：．4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．5．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．（1）图1中空白面积为S1，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；（2）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；（3）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．6．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝．（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．7．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值；（2）若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝；（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC +S△BOD＝60，求一块三角板的面积．。
专题1简便计算(六年级培优系列)
1999 2000 2001
1999 2000 2001 2002
＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）×（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）
1999 2000 2001 2002
1999 2000 2001
（3）
1
1 2
1 3
1 4
1 2
1 3
1 4
1 2
1 3
1 4
2
1
【例题 4】有一串数 1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的， 那么其中第 2000 个数与 2001 个数相差多少？
（2） 1988+1989×1987 1988×1989－1
【例题 12】计算：（92 ＋72 ）÷（5 ＋5 ）
79
79
【练习 12】计算下面各题：
（1）（8 ＋13 ＋ 6 ）÷（ 3 ＋5 ＋4 ）
9 7 11
11 7 9
（2）（3 7 ＋112 ）÷（1 5 ＋10 ）
11 13
11 13
（3）（9663 ＋3624 ）÷（3221 ＋12 8 ）
73 25
73 25
7
慧·数学
简便计算专题
【例题 13】计算： 2003 2003 2004 2004 2004
2006
2005
【练习 13】计算； 2016 1 2017 2017 1
2017
2016
四、裂项法
裂差，形如 1 的分数可以拆成 1 1 ，形如 1 的分数可以拆
a (a+1)
【例题 7】（ 1 1 ）1319 13 19
【练习 7】计算： （1）（ 2 4 ） 1517
15 17
【例题 8】计算： 333387.5 79+790 66661.25
乘法公式培优训练
乘法公式培优训练一、填空1、(m －2)（m+2）= ，（2x+3y ）（－3y+2x ）= ， （x －2y ）（2y －x ）=2、（x+y ）（x －y ）（ ）=x 4－2x 2y 2+y 4，（x 2+2x －1）（－2x+1+x 2）= ，3、4m 2+ +9=（ 2m+ ）2 ，9x 2－ +81=（3x － ）2－16x 2＋ －9y 2=－（4x+ ）2，3x 2+ +12y 2=3（ ）2( )－24a 2c 2+( )＝( －4c 2)2，（ +5n ）2=9m 2+ + ，4、已知a+b=4，a 2－b 2=20，则a －b= 。
若x+y=6，x 2－y 2=24，则x －y= ； 5、若（x+y ）2=9，（x －y ）2=5，则xy= 。
若（3x+2y ）2=（3x －2y ）2+A ，则A= 。
6、已知：x+y=10，xy=13，则x 2+y 2= 。
若x+y=5，xy=4，则x －y= 。
7、(3x+2y)2－(3x －2y)2＝ ，(3a 2－2a+1)(3a 2+2a+1)＝8、多项式4x 2+1加上一个单项式后，它会成为一个完全平方式，则可以加上的单项式是 。
9、已知，4x 2+M+9y 2是一个完全平方式，则M= 。
10、已知4a 2+16b 2+12a －8b+10=0，则a+b= 。
若m+n=3，mn=2，则3m 2－5mn+3n 2= 。
11、观察下列各式：1×3=22－1，3×5=42－1，5×7=62－1，7×9=82－1，… 请你把发现的规律用含n （n 为正整数）的等式表示为 。
二、选择题1、计算（x －y ）（－x －y ）的结果为（ ）A 、－x 2+y 2B 、－x 2－y 2C 、x 2－y 2D 、x 2+y 22、(-5)101+(-5)100所得的结果是（ ）A ．－5B ．－4×5100C ．－1D ．－51003. 计算（2x －3y ）2－（2x+3y ）2的结果是 （ ）A ．28y -B ．xy 12-C ．xy 24-D ．04、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b －a)C.(-a+b)(a-b)D.(x 2－y)(x+y 2)5、用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x 2+1)的结果正确的是( )A.x 4－1B.x 4+1C.(x-1)4D.(x+1)46、如果x 2+ax+81是一个完全平方式，那么a 的值是( ).A.9B.－9C.9或－9D.18或－187. 若4x2+axy+9y2是一个完全平方式,则a=( )A、±12B、12C、－12D、±68. 若4x2－20x+m2是一个完全平方式，则m=（）A、5B、－5C、±5D、259、下列各式成立的是（）A、a2+b2=（a+b）2+2abB、a2－b2=（b+a）（a－b）C、a2+b2=（a+b）2－abD、a2－b2=（a－b）2+2ab10、若一个单项式与（x－y）2的和是（x+y）2，则这个单项式是（）A、－2y2B、2y2C、2xyD、4xy11、（3a2－4b2）（－3a2+4b2）的运算结果是（）A、－9a4－4b4B、－9a4+24a2b2－16b4C、9a4－16b4D、9a4－24a2b2＋16b412、已知：（a+b）2=11，（a－b）2=19，则2ab的值为（）A、2B、4C、8D、－413、若要使x2+xy+y2=（x－y）2+m，则m的值为（）A、xyB、3xyC、－xyD、－3xy14、有理数a、b满足a2b2+a2+b2－4ab+1=0，则a、b的值分别为（）A、a=1，b=1B、a=－1，b=－1C、a=b=1或a=b=－1D、不能确定三、计算1、用简便方法计算（1）99.8×100.2 （2）－1.92（3）3.76542+0.4692×3.7654+0.234622、用适当的方法计算（1）(3x m+2y n+4)(3x m+2y n－4)（2）（3x+2）2－（3x－2）2+（3x+2）2（3x－2）2（3）(2a2-1)(a-4)-(a+3)(a2-1) （4）（m+n）（m－n）（m2－n2）（5）（－a－2b）2（6）（－a+3b）（a－3b）（8）(x2+x+6)(x2-x+6) （9） (9-a2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（10）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)3.证明：不论x、y为何值，x2+y2－2x＋4y＋5总为非负数。
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乘法公式培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式
【易错点剖析】
1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式.
2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号
⑤()()22
22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++
⑦221.2340.766 2.4680.766++⨯ ⑧2222211111111...11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【能力提高】
整体思想
1、 若()2
23m -=，求246m m -+的值.
2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2
a b +的值.
3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值
4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x
+
（2）322143x x x --+的值
4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2
21a a +（2）24255a a a ++的值.
5、 已知()()22
201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法
1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = .
2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = .
1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = .
2B 、已知()()()()22
2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = .
3、把代数式223x x --化为()2
x m k -+的形式，则m k += .
4、若22
28170x y x y ++-+=，求y x 的值.
5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少
5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值.
6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数.
7、已知111100,99,101100100100
a x
b x
c x =
+=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
8、已知22234,52M x x N x x =++=++，试比较M ，N 的大小.
【课后练习】
1、 已知225a b =+，则()()33
a b a b +-= . 2、 已知2210x x --=，则2
21x x += ，44
1x x += 4、 若()()2212x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，则m = ，n = . 5、已知6224b a ==，则23a b -= .
6、()()()()241612121212++++的个位数是 .
7、计算
①()
()223131x x +- ②()()22
12a a +--
8、4821-能被60和70之间的某两个整数整除，求这两个数.
9、已知2220a b c ab bc ac ++---=，求,,a b c 之间的关系.
10 、已知2781,1515
P m Q m m =
-=-（x 任意实数），试比较P ，Q 的大小.
11、已知()()20172015100a a --=，求()()22201720156a a -+-+的值。