滚球法计算多支不等高避雷针联合保护范围的新算法-国核电力规划

滚球法计算多支不等高避雷针联合保护范围的新算法马蕾王丽路平（国核电力规划设计研究院北京市 100094）摘要：目前，滚球法计算位置不规则且高度不等的多支避雷针的联合保护范围，该领域仍属空白。

笔者根据滚球法的计算原理，结合多个工程实例，研究出一整套用于计算多支不等高避雷针联合保护范围的通用算法，并利用计算机编程将该算法在软件上得以实现。

本文首先以工程中的防雷设计实例介绍该算法的具体步骤，然后给出适用于任意情况的通用算法，最后提供了利用计算机编程的算法流程图。

关键词：滚球法；联合保护范围；有效球面；防雷设计软件依据DL/T 620-1997《交流电气装置的过电压保护和绝缘配合》，折线法计算多支避雷针联合保护范围是基于其确定双支避雷针联合保护范围的算法。

四支及以上等高避雷针所形成的四角形或多角形，可先将其分成两个或数个三角形，然后分别按照三支等高避雷针的方法b ，则全部面积即受到保护。

计算。

如各边的保护范围一侧最小宽度0x与折线法相比，滚球法对多支避雷针内部保护范围的计算方法则完全不同，《建筑物防雷设计规范》GB50057-94在附录四中介绍了用滚球法确定矩形布置的四支等高避雷针保护范围的具体算法。

然而，实际工程中的避雷针位置不规则且高度不统一，笔者查阅大量的规程和文献，尚未发现解决位置不规则且高度不等的多支避雷针联合保护范围的通用算法。

笔者根据滚球法的计算原理，结合多个工程实例，研究出一整套用于计算多支不等高避雷针联合保护范围的通用算法，并利用计算机编程将该算法通过软件得以实现。

本文首先以工程中的防雷设计实例介绍该算法的具体步骤，然后给出适用于任意情况的通用算法，最后提供了计算机编程的算法流程图。

1. 算法说明图1 空间直角坐标系中三支不等高避雷针的保护范围为方便对算法进行说明，首先需要建立空间直角坐标系（x，y，z），如图1所示。

平面xoy为基准地平面，z 轴垂直于基准地平面并指向上方。

在地平面上某一点（x ，y ）设置一支高度为z 的避雷针，则避雷针顶点的坐标为（x ，y ，z ）。

下面说明“有效球面”的概念，根据滚球法的原理，滚球法是半径为r h 的球体，沿着所有避雷针的针尖及大地滚动时，所形成的整个曲面的内部即为被保护范围。

由此可见，计算多支避雷针保护范围的问题，实质上是确定多支避雷针针尖所“托起”的多个球面的问题。

若设置n 支避雷针，则存在很多种球面组合方式，如图2所示。

但是，实际情况中由滚球法所构成的若干个球面是唯一且确定的，我们称之为“有效球面”，问题就转化为在多种球面组合方式中，寻找并确定所有的“有效球面”。

图2 多种球面组合方式几何法中，当确定一个球面时，已知球面上的三点可以确定球面上的一个圆，又已知球面的半径，则可以确定以该圆所在平面为轴相互对称的两个球面。

对于滚球法而言，对任意三角形布置的三支不等高避雷针，当任意两支避雷针间的距离i j i j D r r ≤+（i r 为第i 号避雷针在地面上的保护半径），三支避雷针内侧保护范围，按照滚球法的定义，由三针顶点所在的滚球球面所确定。

假设滚球球面的球面方程为：()()()2222000r x x y y z z h -+-+-=将三支避雷针顶点坐标依次代入方程中，构成一个三元二次方程组：()()()()()()()()()222210101022222020202222303030r r r x x y y z z h x x y y z z h x x y y z z h ⎧-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎪⎩对于由三个球面方程所建立的三元二次方程组的求解，由于是一个非线性方程组，在数学上会出现求解发散而得不出方程解的情况。

我们用几何法给出该三方元二次方程组有解的条件：假设三个点同时存在于以r h 为半径的球面上，则这三点所确定的唯一圆的半径一定小于等于r h ，否则方程组无解。

由此得到该三元二次方程组有解的条件为：r R h ≤，其中R =， a =，b =，c =。

解此方程组可得到两个球面的球心坐标，分别为（x 0，y 0，z 0）和（x 0’，y 0’，z 0’），这两个球面以三支避雷针顶点所确定的圆为轴相互对称。

由于我们所求的滚球球面位于避雷针顶点的上方，故选取（x 0，y 0，z 0）和（x 0’，y 0’，z 0’）中z 坐标较大者，作为滚球球面的球心坐标。

滚球球面上的最低点位于球心正下方，距离基准地平面的高度为00r h z h =-，其中z 0为滚球球心坐标z 分量。

若0x h h >，则说明三支避雷针内部全部在保护范围之内。

若0x h h <，则说明三支避雷针内部有部分区域不在保护范围之内，未保护到的区域为圆形，其半径为x R =，其中h 0为滚球球面最低点的高度。

2. 实例算法5支不等高避雷针坐标分别为#A （15,50,40）、#B （65,50,35）、#C （0,20,35）、#D （70,20,30）、#E （40,0,25），如图3所示。

图3 本算例的5支不等高避雷针的坐标第1步：确定最高的有效球面，记做球面1。

找出其中最高针#A （15,50,40），取剩余4个点中的任意两点作为球面1上另外2个点，有△ABC 、△ACD 、△ABE 、△ACE 、△ADE 、△ABD 共6种组合，按照算法说明可以构成6个球面，其中只有一个球面是我们要求的“有效球面”。

根据滚球法的原理，当一个半径为r h 的球体落到多支避雷针上时，会先被较高的避雷针针尖所托起，然后依次滚向较低的避雷针。

因此，计算这6个球面的球心坐标，分别为△ABC （41.45，15.62，51.97）、△ACD （36.99，16.44，60.38）、△ABE （42.59，23.27，63.43）、△ACE （32.77，17.66，65.75）、△ADE （40.79，22.15，64.17）、△ABD （42.79，25.39，65.44）。

选取其中最高的球面△ACE （即球心坐标z 分量最大者）作为最高的有效球面。

第2步：确定与最高球面1相邻的次高的有效球面，记做球面2。

5个点中已有A 、C 、E 确定了最高球面△ACE ，还剩余2个点等待确定球面。

分别以△ACE 的三条边线AC 、AE 、CE 向外侧寻找与球面△ACE 相邻的有效球面。

边线AE 外侧有2个点B 和D ，以A 和E 作为球面2上已确定的两点，边线AE 外侧2个点中的任意一点作为球面2上的第三点，共有△AEB 和△AED 2种组合方式，按照算法说明可以构成2个球面，其中只有一个球面是我们要求的“有效球面”。

计算2个球面的球心坐标，分别为△AEB （42.59，23.27，63.43）、△AED （40.79，22.15，64.17），选取其中最高的球面△AED （即球心坐标z 分量最大者）作为与最高球面相邻的次高的有效球面。

按照同样的方法，依次确定边线AC 、CE 外侧的与最高球面相邻的其他有效球面。

在本算例中，边线AC 、CE 外侧没有点，故无需计算。

第3步：按上述方法继续确定与球面2相邻的其他有效球面，直到所有的点都包含在有效球面中为止。

确定了与最高球面1相邻的次高球面2之后，再将球面2作为研究对象，按照第2步的方法依次确定与之相邻的其他有效球面，直到所有点都包含在已确定的有效球面中为止。

本算例中，在确定了最高球面△ACE 、与之相邻的次高球面△AED 之后，只剩下球面△ABD 即为第三个有效球面。

最终求得所有有效球面如图4所示。

设被保护高度为10x h 米，计算三个有效球面最低点的高度，分别为△ACE（0h =20.75）、△AED （0h =19.17）、△ABD （0h =20.44）。

由计算结果可知，本算例中5支避雷针内部区域全部在保护范围之内。

图4 本算例的保护范围和有效球面3. 通用算法假设有n 支避雷针坐标分别为（x 1，y 1，z 1），（x 2，y 2，z 2）…（x n ，y n ，z n ），如图5所示。

图5 滚球法计算n 支避雷针联合保护范围的通用算法第1步：确定第一个即最高的有效球面，记做球面1。

找出其中最高针M （x M ，y M ，z M ），其中12max(,,,)M n z z z z = ，则M 为球面1上已确定的一点。

取剩余n -1个点中的任意两点作为球面1上另外两点P 和Q ，共有21n C -种组合方式，按照算法说明可以构成21n C -个球面，其中只有一个球面是我们要求的“有效球面”。

根据滚球法的原理，当一个半径为r h 的球体落到多支避雷针上时，会先被较高的避雷针针尖所托起，然后依次滚向较低的避雷针。

因此，分别计算21n C -个球面的球心坐标，选取其中最高的球面（即球心坐标z 分量最大者）作为第一个即最高的有效球面1。

第2步：确定与最高球面1相邻的次高的有效球面，记做球面2、球面3、球面4。

n 个点中已有点M 、P 、Q 确定了有效球面1，还剩余n -3个点等待确定有效球面。

分别以△MPQ 的三条边线MP 、MQ 、PQ 向外侧寻找与球面1相邻的有效球面。

以边线PQ 为例进行说明，假设边线PQ 外侧有i 个点，以P 和Q 作为所求球面2上已确定的两点，选取边线PQ 外侧i 个点中的任意一点作为球面2上的第三点，共有i 种组合方式，按照算法说明可以构成i 个球面，其中只有一个球面是我们要求的“有效球面”。

分别计算i 个球面的球心坐标，选取其中最高的球面（即球心坐标z 分量最大者）作为与球面1相邻的次高的有效球面2。

按照同样的方法，可以得到边线MP 、MQ 外侧的与球面1相邻的有效球面3和4。

第3步：按上述方法继续确定与球面2、3、4相邻的其他有效球面，直到所有的点都包含在有效球面中为止。

确定了与最高球面1相邻的次高球面2、3、4之后，再将球面2、3、4作为研究对象，按照第2步的方法依次确定与之相邻的其他有效球面，直到所有的n 个点都包含在已确定的有效球面中为止。

需要注意的是，若某条边线的外侧只有一个点，则有效球面即包含该点；若某条边线的外侧没有任何点，则无需继续求解。

4. 计算机算法流程图以VC++作为编程语言，以Object ARX 作为AutoCAD 二次开发工具，研究并开发了滚球法防雷计算软件。

本软件成功解决了现有防雷设计软件在计算多支不等高避雷针联合保护范围时可能出现计算错误的弊端，形成一套科学而完善的计算算法和制图过程。

该防雷设计软件在确保防雷计算准确性的同时，将设计人员从繁重的计算与制图工作中解脱出来，对今后的防雷设计具有重要的实用价值和经济效益。

本软件在计算多支避雷针内部联合保护范围时，所依据的理论基础即为本文中所介绍的新算法，其算法流程图如图6所示。