2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题获奖论文

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括我2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：基于背包算法的太阳能小屋的研究与设计摘要本文针对太阳能小屋上光伏电池铺设问题,运用贪婪算法,通过局部最优来逼近整体最优.针对三个问题,分别得出了光伏电池的铺设方案和对应的逆变器选择,架空后光伏电池与水平面夹角的最优解以及小屋对太阳辐射的最大化利用的设计方案.对于问题一,首先对光伏电池的性价比K 进行了纵向比较,选出了性价比最高的三种光伏电池312,,A B B .为了使剩余面积达到最少,采用整数背包算法,从而在设计太阳能小屋时,需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池,光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V 交流电才能供家庭使用,并将剩余电量输入电网.不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大,且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响,如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等.因此,在太阳能小屋的设计中,研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题.附件中提供了相关信息.请参考附件提供的数据,对下列三个问题,分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案,使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大,而单位发电量的费用尽可能小,并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh 计算）及投资的回收年限.在求解每个问题时,都要求配有图示,给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图,也要给出电池组件分组阵列容量及本题要求我们,根据题目所提供的大同典型气象年气象数据,选择铺设电池的方案,可见光伏电池的发电量或发电效率只考虑受辐射影响即可,其余如坏境、地区气候等受制因素均可不必考虑.（1）对于问题一,有三个子问题需要解决：第一是要选定光伏电池组件的几种排列方式,利用多重最优化思想,首先要对每种光伏电池的性价比K 进行纵向比较,选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：312,,A B B .用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面积较小的薄膜电池C 进行插空;然后采用整数背包模型,利用Matlab,确定各平面每种光伏电池的最大范围个数;最后对每个平面光伏电池数进行优化,结合实际情况,确定光伏电池数量及平面位置.第二是按照逆变器的选配要求,选配相应的逆变器的容量和数量,同时画出相应的电路连线图;第三是根据计算公式计算出光伏电池在35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限.（2）对于问题二,可以类比考虑为房顶可以以屋檐为轴活动,使得房顶可以最大限度吸收太阳光照辐射最强时的太阳辐射.设太阳辐射强度为w,房顶可吸收太阳辐射强度为wf的关系式.而当房顶“可动”,(θ(θ,当房顶“固定”时,θ不变,可求出)f)9. α：太阳高度角10.H：屋顶最高点距地面高度4.5≤H8.2≤11.h：室内空间净空高度距地面高度4.5≤h8.2≤12.a：东西面墙的宽153≤≤a13.b：南北面墙的长15≤b3≤14.S：屋顶面积4模型假设1. 假设题目所给的数据真实可靠;2. 假设实际影响每峰瓦的实际发电效率或发电量的因素,如环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候等,均不会影响其发电效率或发电量. 3. 假设空气中的尘埃、水汽等等不会对太阳辐射强度产生影响 4. 假设同一时刻阳光照射在房屋同一面的太阳高度角相等 5. 假设铺设的电池的厚度不会对其他电池采光产生影响 6. 假设地球绕太阳公转轨道是正圆形. 7. 假设逆变器不安装在小屋外表面8. 假设周围环境对光伏电池发电量不产生影响5模型的建立与求解4S ,1w ,2w ,…,24w 和1p ,2p ,…,24p 均为正数）建立以下数学模型：∑==241max j j j x p z ,使得 ∑=≤241j k j j S x w ,其中ij N j ∈,j x 0≥,{}4,3,2,1∈k 且j x ,k S , j w , j p 均为正数 采用动态规划算法对整数背包模型进行求解：a.划分阶段K ：将供选择的光伏电池按1,2,…,n 排序,每个阶段可装入一种光伏电池;b.确定决策变量：k x 表示装入第k 种物品的件数;k s 表示背包中允许装入前k 种光伏电池的总面积．c.建立状态转移方程：k k k k x w s s +=-1;决策集合为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤=为整数k x w s x x s D k k k k k ,,0)(,⎤⎢⎡k s k s位置通过对大同气象数据进行处理,我们得到了1S 平面每平米光辐射量总量1Q , 用3,2,1,=i s i 分别表示312,,A B B 的面积;i η表示光伏电池转化率,i v 表示每种光伏电池所带来的年收益;i V 表示使用年限内的总收益; i w 光伏电池的花费; i M 单位面积上第i 种光伏电池的利润.根据上述公式,求解结果如下：由表格可知,3S 面的单位面积利润为负,因此不铺设3S .下面我们仅对1S ,2S ,4S 进行光伏电池的铺设.以1S 为例,由于3A 2B 1B 是按利润与面积比按从大到小排列的,所以我们在保证12个3A 全部被铺后,其次铺2B ,最后铺1B ,从而得到图三：西面4S5.1.2选配相应的逆变器的容量和数量,同时画出相应的电路连线图由于逆变器的花费费用与逆变器的输入电压呈正相关,按照逆变器的选配要求,根据前一步我们算出的光伏电池312,,A B B 在各个平面上的分布个数,对光伏电池进行串、并联分组阵列铺设,铺设方案如下图：图四（顶面S 1） 图五(南面S 2)图六（西面S3）5.1.3计算小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限经计算得,太阳能小屋的发电量为17047.54hkw⋅;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年.5.2 问题二的求解5.2.1确定屋顶与水平面的夹角θ的表达式以小屋所在点做地球的切平面xOy,以O点为垂点做xOy面的法向由O点向任意方向引一射线OM作为太阳射线,为方便计算设其模为1. 分析可得：（１）需先将OM分解为XOY平面内一向量ON与Y轴上一向量OL的合成向量.下图为空间直角坐标系：图九平面直角坐标系（3）过O点做小屋平面的法线OA（4）将OK 与OJ 分解到OA 所在直线上,则OA =θαθαcos sin sin cos cos +-A ,=)(θf θαθαcos sin sin cos cos +-A ,其中θ为架空后光伏电池与水平面倾角.分析可知当θ与太阳直射辐射强度最强时刻太阳高度角互余时, 则第一季度即前三个月的整体平均δ可用matlab 求出（计算代码见附录二）： 计算公式为=第一季度δ2/)sin(45.23365/404365/222πχχππ⎰d =12.15=第二季度δ2/)sin(45.23365/586365/404πχχππ⎰d =89.14又由于δ分别代入上式求和可得将第k季度对)(θf求导取极点即可求出当θ=︒7.51.5.2.3用架空方式对各面的光伏电池进行铺设（1）首先是对于屋顶的铺设,由于屋顶的天窗需要空出,所以对屋顶划分为四个区域分别进行架空,具体的划分方式为：图十五对屋顶进行分片需要说明的是,架空时的屋顶与水平面的夹角为上述所求θ=︒7.51（2）其次,对于南面与西面,我们将继续采用贴附方式对光伏电池进行铺设, 光伏电池的铺设方案与逆变器的选择见问题一.5.2.4小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限经计算得,太阳能小屋的发电量为22161.81hkw⋅;经济效益为92224.93元;回报年限为18.2年.5.3问题三的求解5.3.1求得最大屋顶面积要获得最多的太阳辐射量就要使光伏电池的面积最大和倾角最佳,因此就要有最大的屋顶面积,建立线性规划方程，目标函数为22)S-+b=，(max hHa使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤15,374*4.58.24.58.2b a b a h H . 用Matlab 得出最优解,为计算、画图方便,h b a ,,取整数解： 根据以上数据和附件7中小屋的建设要求,画出各墙面的平面图：图十五 顶面 图十六 北立面图十七 东立面 图十八 南立面注：单位面积为mm,房子的朝向为南偏西 15（即13点钟方向）．6模型评价优点：我们采用了多重最优化的思想,多次选择最优,使得得到的结果更精确,更好的解决了实际问题,背包算法的应用,简化了求解过程;缺点：本文在求太阳能小屋发电量时,没有考虑周围环境遮挡物对其影响.参考文献[1]屈睿瑰,建筑节能中太阳辐射量的分析与确定,广西轻工业,6:81-82,2007. [2]王文波,数学建模及其基础知识详解,武昌：武汉大学出版社,2006[3]高天,翟延慧,王梦光,特殊多维背包问题的约束简化方法--不等式单约束生法 .东北师大学报自然科学版.34(3):21-25,2002.[4]李娟,方平,周明,一种求解背包问题的混合遗传算法.南昌航空工业学院学报, (3):31-35, 1998.附录附表一：product_N=1:3;weight=[1276640 1635150 1938396]; %第i 件物品的单件重量 % W = [200 265 320];% n = [46.1 37.91 45.98];% value = W.*n./100;value = [283.21 132.69 134.17];per_value=value./weight;Total_value=0;oneturn = abs(sum(weight));turn = floor(b/oneturn);if turn >= 1Total_weight = mod(b,oneturn); elseTotal_weight = b;endenddisp('电池总个数')length(product_N)*turn + sum(ii)disp('各类电池个数,按顺序排')zz = turn.*ones(1,length(product_N)); zz = zz + ii附录二：的matlab求法：1.第一季度clc;clear all;close all;LLine = 222*pi/365;Hline = 404*pi/365;func=inline('23.45.*sin(x)','x'); Result=quadl(func,LLine,Hline) syms xF=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline) % Result=vpa(F)δ的matlab求法:第四季度clc;clear all;close all;LLine = 768*pi/365;Hline = 950*pi/365;func=inline('23.45.*sin(x)','x'); Result=quadl(func,LLine,Hline) syms xF=int(23.45.*sin(x),x,LLine,Hline)delta((ii-1)*length(t)+jj) = a_delta(ii); end endphi = 40.1;sind_alpha = sind(phi).*sind(detia)+cosd(phi).*cosd(detia).*cosd(omega); alpha = asind(sind_alpha);cosd_A = (sind(detia)-sind(alpha).*sind(phi))./(cosd(alpha).*cosd(phi)); 面积（2m ）单价（wp /元）性价比K290390 4.80.355556 1171240 4.80.379761。