北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 尖子生训练题
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案1. 以下条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝45°，∠C＝26°，∠A′＝45°，∠B′＝109°B ．AB ＝2，AC ＝32，BC ＝2，A′B′＝6，A′C′＝9，B′C′＝12 C ．AB ＝1.5，AC ＝1514，∠A＝36°，A′B′＝2.1，A′C′＝1.5，∠A′＝36° D ．AB ＝2，BC ＝1，∠C＝90°，A′B′＝ 2，B′C′＝ 22，∠C′＝90° 2. a b ＝52，那么以上等式中，不一定正确的选项是( ) A ．2a ＝5b B.a 5＝b 2 C ．a ＋b ＝7 D.a ＋b b ＝723. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，假定线段DE ＝5，那么线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．204. 如图，▱ABCD 中，G 是BC 延伸线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，那么图中相似三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5. 如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，那么CF 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在△ABC 中，假设DE 与BC 不平行，那么以下条件中，不能判别△ADE ∽△ABC 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB7. 小刚在打网球时，为使球恰恰能过网(网高为0.9 m)，且落在对方区域离网5 m 的位置上，他击球的高度是2.25 m ，那么他应站在离网的( )A ．15 m 处B ．10 m 处C ．8 m 处D ．7.5 m 处8. 如图，D ，E 区分是△ABC 的边AB ，AC 上的一点，DE ∥BC ，AF ⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，且AD ∶AB ＝5∶12，那么AG AF的值为( ) A.125 B.512 C.712 D.759. 两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6 cm ，那么较大的三角形的周长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P11. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩展到原来的2倍，失掉△A′B′O.假定点A 的坐标是(1，2)，那么点A′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)12. 在比例尺为1∶2 000的地图上测得A ，B 两地间的图上距离为5 cm ，那么A ，B 两地间的实践距离为________m.13. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的值是________． 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金联系点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________．15. 如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，那么旗杆AB 的高为________m.16. △ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，且△ABC 的边AC 上的高为8，那么△DEF 的边DF 上的高为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 区分是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝AB ，△ADE 的周长为6 cm ，那么△ABC 的周长为________cm.18. 小华自制了一个简易的幻灯机，其任务状况如下图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，那么屏幕上小树的高度是________cm.19. 如图，△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，假定△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，那么点P ′的坐标是____________．20. x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求x ＋2y －z x －y ＋3z的值． 21. 如图，是小明设计用手电来测量古城墙高度的表示图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求古城墙的高度CD.22. 如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m 的中央，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰恰遮住电线杆，手臂长约60 cm ，小明能求出电线杆的高度吗？假定能，请你替小明写出求解进程．参考答案：1---11 BCCDB CDBDD C12. 10013. 214. 5－1215. 916. 1617. 1818. 6019. (－2x ，－2y)20. 解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴原式＝2k ＋6k －4k 2k －3k ＋12k ＝4k 11k ＝411. 21. 解：由题意可得△PAB∽△PCD，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8，故古城墙的高度为8 m. 22. 解：可以求出电线杆的高度．过点A 作AN⊥EF 于N ，交BC 于M.∵BC∥EF，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC ∽△AEF ，∴BC EF ＝AM AN，∵AM ＝0.6，AN ＝30，BC ＝0.18，∴EF ＝BC×AN AM ＝0.18×300.6＝9 (m )．故电线杆的高度为9米．。
北师大版九年级数学上第四章图形的相似同步练习含答案解析
第四章图形的相似同步练习(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下面四组线段中,能成比例的是( )A.3,6,7,9B.3,6,9,18C.2,5,6,8D.1,2,3,4【解析】选B.3∶6=9∶18.2.如图,有两个形状相同的星形图案,则x的值为( )A.15cmB.12cmC.10cmD.8cm【解析】选D.根据对应边成比例得:=,解得x=8cm.3.如图,AB∥CD,=,则△AOB的周长与△DOC的周长比是( )A. B. C. D.【解析】选D.由AB∥CD可得△AOB∽△DOC,又=,△AOB的周长与△DOC的周长比是.4.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数为( )A.4对B.3对C.2对D.1对【解析】选 B.∵AB∥CD∥EF,∴△ACD∽△AEF,△ECD∽△EAB,△ADB ∽△FDE.∴图中共有3对相似三角形.5.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( )A.- aB.-(a+1)C.-(a-1)D.-(a+3)【解析】选D.过点B和点B′分别作x轴的垂线,垂足分别是点D和点E,∵点B′的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0).∴EC=a+1,又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍,∴DC=(a+1),∴DO=(a+3),∴B点的横坐标是-(a+3).6.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线交AD于E,点F是AB的中点,连接EF,则S△AEF∶S四边形BDEF为( )A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶3【解析】选D.∵DC=AC,CE平分∠ACB,∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”).∵点F是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD,EF=BD,∴△AFE∽△ABD,则S△AEF∶S△ADB===,∴S△AEF∶S四边形BDEF=1∶3.7.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)【解析】选B.由题意得Rt△ABC的边AB=6,BC=3,AC=3,△CDE中CD=2,若CD的对应边为AB时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,0)或(6,2)或(4,0)或(4,2),不可能为(6,3);若CD的对应边为BC时,C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,5)或(6,-3)或(4,5)或(4,-3);若CD的对应边为AC时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似;也可直接从网格上按上面的对应边来判断四个选项,易得点E的坐标不可能是(6,3),故选B.二、填空题(每小题5分,共25分)8.如图,直线A1A∥BB1∥CC1,若AB=8,BC=4,A1B1=6,则线段B1C1的长【解析】∵A1A∥BB1∥CC1,∴=.∵AB=8,BC=4,A1B1=6,∴B1C1=3.答案:39.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外任选一点C,连接AC,BC分别取【解析】∵M,N分别为AC,BC的三等分点,∴==,又∠C为公共角,∴△CMN∽△CAB,∴=,∴AB=3MN=114m.答案:11410.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则【解析】由于E,F分别是PB,PC的中点,根据中位线性质EF∥BC,EF= BC,易得△PEF∽△PBC,面积的比是1∶4,由S=2,得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质,把S1+S2看作整体,求得S1+S2=△PBC的面积=8.答案:811.已知点D是线段AB的黄金分割点,且线段AD的长为2厘米,则最【解析】当线段BD最短时,由题意得=,解得BD=-1.答案:-112.如图,已知直线l:y=x,过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N,过点N作直线l的垂线交x轴于点M1;过点M1作x轴的垂线交直线l 于N1,过点N1作直线l的垂线交x轴于M2,……按此作法继续下去,则点M10的坐标为.【解析】根据题意可知N的坐标为(2,2),所以OM=2,MN=2,因为△OMN和△NMM1相似,所以=,所以MM1=6.所以OM1=2+6=8,因此M1的坐标为(8,0).同理,可求得M2(32,0),M3(128,0),……,由此可得M n的横坐标满足(22n+1,0),所以当n=10时,代入(22n+1,0)中,得M10的坐标为(221,0).答案:(221,0)三、解答题(共47分)13.(10分)如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),D(6,4),在第一象限内,画出以原点为位似中心,与原四边形ABCD相似比为的位似图形A1B1C1D1,并写出各点坐标.【解析】如图所示:各点的坐标分别为:A1(1,3),B1(2,1),C1(3,1),D1(3,2).14.(12分)(2013·徐州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为;②当AC=3,BC=4时,AD的长为.(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由. 【解析】(1)①;②1.8或2.5.(2)相似.连接CD,与EF交于点O,∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.由折叠知,∠COF=∠DOF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A.又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA.15.(12分)(2014·宁波慈溪实验期中)如图,点E是矩形ABCD中CD 边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE.(2)若△BEF也与△ABF相似,请求出∠BEC的度数.【解析】(1)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.∵△BCE沿BE折叠为△BFE,∴∠BFE=∠C=90°,∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°.又∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2,∴△ABF∽△DFE.(2)∵由(1)知,∠1+∠3=90°,∴△BEF与△ABF相似,分两种情况:△ABF∽△FBE;△ABF∽△FEB.①当△ABF∽△FBE时,∠2=∠4.∵∠4=∠5,∠2+∠4+∠5=90°,∴∠2=∠4=∠5=30°,∴∠BEC=90°-30°=60°.②当△ABF∽△FEB时,∠2=∠6,∵∠4+∠6=90°,∴∠4+∠2=90°,这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾,∴△ABF∽△FEB不成立.综上所述,∠BEC的度数是60°.16.(13分)(2013·永州中考)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP 的长;若不存在,请说明理由.(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问在m,n,l满足什么关系时,存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?【解析】(1)存在P点满足题意.设BP=x,则DP=10-x, 如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-10x+36=0,方程无解;所以BP=.(2)存在两个P点满足题意.设BP=x,则DP=12-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-12x+36=0,解得x=6;所以BP=6或.(3)存在三个P点满足题意.设BP=x,则DP=15-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-15x+36=0,解得x=3或12. 所以BP=,3或12.(4)设BP=x,则DP=x-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=xx-l,解得x=mm n+l.如果是△ABP∽△PDC,则=,即mx-l=,得方程:x2-l x+mn=0,Δ=l2-4mn.当Δ=l2-4mn<0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P点;当Δ=l2-4mn=0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的两个P点;当Δ=l2-4mn>0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的三个P点.。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案(必刷题)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（）A. B. C. D.2、如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.4、小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.45、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A.5B.5C.D.6、如图，△ABC 内接于⊙ O ，AD 是△ABC 边 BC 上的高，D 为垂足.若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）A. B. C. D.7、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长是( )A. B. C. D.8、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.10、如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A. B. C. D.11、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm12、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A.72B.18C.12D.2013、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.314、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，且把三角形ABC分成面积为S1， S2， S3三部分，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：4：9C.1：3：5D.无法确定15、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1， l2， l5， l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为________.17、在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=________．18、已知，则的值为________.19、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为________．20、上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为________米21、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________．22、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.23、将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（ 1 ）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（ 2 ）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是________.24、如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1， S2， S3，若S1+S3＝20，则S1＝________，S2＝________．25、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．28、如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．29、如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC 与△BPD相似吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C4、D5、B6、C7、D8、D9、D10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点E、D，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：33．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．175．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5B．2：3C．3：4D．3：27．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步．A．360B．270C．180D．908．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：89．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为km．12．如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为．13．如图，l1∥l2∥l3，直绒l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知＝，则＝．14．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且∠C＝∠C′＝90°，若AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，则A′C′＝．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D （0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是．16．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝2，AB＝6，AC＝9，则AE的长为．17．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．18．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有个．三．解答题（共8小题）19．若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值．20．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．21．如图，已知在ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？23．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和点D．（1）过点D作△DEF，使得＝＝＝，且点E、F均在格点上；（2）△ABC的面积是个平方单位，△DEF的面积是个平方单位．25．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，，则A，B，D不正确，故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∴＝＝．故选：A．3．解：∵2a＝5b，∴＝或＝或＝．故选：C．4．解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．5．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．7．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选：C．9．解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．10．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：3÷＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．12．解：设EB＝x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴＝，∵四边形AEFD是正方形，∴AD＝BC＝2，∴＝，解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），∴BE＝﹣1+，故AB＝2﹣1+＝1+，故答案为：1+．13．解：∵l1∥l2∥l3，∴AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，故答案为：．14．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∴A'C'＝＝6，故答案为6．15．解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．16．解：∵DE∥BC，∴，即，即，解得：AE＝6．故答案为：617．解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.518．解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝，即PD＝；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．三．解答题（共8小题）19．解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3，∴x＝y，z＝y，∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0．20．解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴＝，即＝，解得DE＝4．21．解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB＝，AC＝2，BC＝3，∴，∴，即，解得MN＝；当△ANM∽△ABC时，∵，即，解得MN＝．22．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB＝＝20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即，解得t＝；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴，∴，∴t＝，∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t ＝．如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t ＝．综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．23．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S＝50，△AOC＝18．∴S△BOD24．解：（1）如图所示，△DEF即为所求：（2）△ABC的面积＝＝4个平方单位，△DEF的面积＝＝8个平方单位，故答案为：4；825．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．。
北师大版数学九年级上册第四章图形相似练习题(含答案)
图形相似练习题1. 在同一时刻，身高1.6m的小强，在太阳光线下影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（）A、22mB、20mC、18mD、16m2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90˚，D，E，F分别是AB，AC，AD的中点，若AB＝8，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．2图1 图23．如图2，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为( )A.94B.214C．4 D．64．如图3，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6图3 图45.如图4所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是________投影。
6.如图5，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是。
图5 图67．如图6，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于．8.如图7，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为。
9.如图8，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB，∠1=30°，则∠A的度数为（）。
图7 图810.如图9，勘探队员朝一座山行走，在前后A、B两处测量山顶的仰角分别是30°和45°，两个测量点之间的距离是100m，则此山的高度CD为m。
图9 图1011.如图10，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于。
12.已知△ABC的周长为16,点D,E,F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为。
13.如图11，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若BC=6，则DE= 。
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习及解析
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )A. 1∶9B. 1∶25C. 9∶25D. 3∶52.如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′=2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）A. 4：9B. 2：5C. 2：： 3.如果32a b = (0ab ≠），那么下列比例式中正确的是（ ）A. 32a b =B. 23b a =C. 23a b =D. 32a b = 4.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =5，BD =10，AE =3，则CE 的长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下面的图形中，相似的一组是( )A. B. C. D. 6.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )A. B. C. D.7.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m第II卷（非选择题）二、解答题（题型注释）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，-2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB 的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标．（3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．10.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．11.如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA 的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.12.如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．13.如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在点B和点D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，且BD=30米，测得视线AC与地面HG的交点为F，视线AE与地面HG的交点为G，且H 、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF=3米，DG=5米，求旗杆AH的高度.14.如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF 绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC ＝120°)的底边中点O 重合，两边DF ，DE 分别与边AB ，BC 相交于点P ，Q .写出图中的相似三角形__ _ (直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF 旋转至两边DF ，DE 分别与边AB 的延长线、边BC 相交于点P ，Q .上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．三、填空题15.如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB =32，AC ＝10，那么EC ＝________．16.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．17.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD ，OB=3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD cm ，则AB 的长为________cm ．18.在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段AB 与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为__．参考答案1.C【解析】1.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可得.∵△ABC ∽△DEF ，BC ＝3，EF ＝5，∴相似比为BC EF =35，∴△ABC 与△DEF 的面积比为32：52，即△ABC 与△DEF 的面积比为9：25，故选C ．2.A【解析】2.∵四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，∴四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′， ∴2ABCD''''S OA =S 'A B C D OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭四边形四边形 ， ∵OA ：OA′=2：3，∴ABCD ''''S 4=S 9A B C D 四边形四边形， 故选A.3.C【解析】3.∵3a=2b ， ∴23a b =或32b a =或23a b =， 所以只有选项C 是正确的，故选C.4.B【解析】4.∵DE ∥BC ，∴AD BD =AE EC ，即510=3EC， 解得：EC=6.故选：B.5.D【解析】5.根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，即可得答案．A 、两图形不是相似图形，故本选项错误；B 、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；C 、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误；D 、∵90°-40°=50°，∴两直角三角形相似，故本选项正确，故选D ．6.B【解析】6.首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A ，B ，C ，D 各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 分别为√10、√2、2，A 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为3、√5、√2，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；B 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√5、1、√2，与△ABC 的三边对应成比例，故符合题意；C 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为√13、2、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意；D 选项中阴影部分的三角形的三边长分别为2√2、1、√5，与△ABC 的三边不对应成比例，故不符合题意，故选B.7.A【解析】7.∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB CD =BE CE . ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴AB =90×6045=120(m )故选A.8.（1）A 1（4，2），B 1（2，-4）； （2）A 2（0，2），B 2（-1，-1）；（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2）为位似中心的位似图形．【解析】8.试题分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．试题解析：（1）如图所示，A 1（4，2），B 1（2，-4） ．（2）如图所示，A 2（0，2），B 2（-1，-1）．（3）△OA 1B 1与△O 2A 2B 2是关于点M （-4，2），为位似中心的位似图形．9.（1）详见解析；（2）BE=32．【解析】9.（1）首先得出∠A ＝∠B ＝90°，再根据已知得到∠ADE=∠CEB ，利用两角对应相等的两个三角形相似即可得证；（2）利用相似三角形的性质得出BE 的长，进而得出答案即可．(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ；(2)∵△ADE ∽△BEC ，∴BE AD =BC AE ，∵AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，∴BE 1=32， ∴BE ＝32， ∴AB ＝AE ＋BE ＝72.10.（1）见解析；（2）4√55.【解析】10.（1）根据正方形的性质得出∠ABE=∠BCG=90°，进而得出∠BAE=∠CBG ，再利用相似三角形的判定证明即可；（2）根据（1）中的相似三角形，利用其性质解答即可．（1）∵在正方形ABCD 中，∴∠ABE=∠BCG=90°，∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，∴∠BAE=∠CBG ，∴△ABF ∽△CBG ；（2）∵△ABF ∽△CBG ，∴AB AF =BG BC ，∵AB=2，G 是CD 的中点，正方形ABCD ，∴BC=2，CG=1，∴BG=√BC 2+CG 2=√5 ， ∴2AF =√52 ，解得：AF=√5=4√55 ． 11.【小题1】 证明：∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.【小题2】 同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .【解析】11.（1）根据题意结合图形，证明△BDG∽△DCG ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． （2）方法同（1）中的解法，证明△BGH ∽△FGC ，列出比例式，化为等积式即可解决问题． 证明：(1)∵BD ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴∠BDC =∠DGC =90∘，∠DBC +∠DCG =∠GDC +∠DCG ，∴∠GDC =∠DBC ，∴△BDG ∽△DCG ，∴BG :DG =DG :CG ，即DG 2=BG ⋅CG.(2)同(1)中的方法,同理可证：△BGH ∽△FGC ，∴BG :GF =GH :CG ，∴BG ⋅CG =GF ⋅GH .12.油面高0.6 m.【解析】12.由于DE ∥BC ，可知△ADE ∽△ABC ，再再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC=AD AB ， 即AE 1.5=1.22，解得AE ＝0.9 m ，∴EC ＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 13.24m【解析】13.试题分析：首先设AH=x ，BH=y ，根据△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ，得出BF GB HF HG =， DG DE HG AH =，然后将各数字代入求出x 的值. 试题解析：由题意知，设AH=x ，BH=y ，△AHF ∽△CBF ，△AHG ∽△EDG ， ∴BF GB HF HG =， DG DE HG AH=， ∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5） 解得x=24m ． 答：旗杆AH 的高度为24m ．14.(1)△APD ∽△CDQ ； (2)成立，图见解析，理由见解析；(3)△APD ∽△DPQ ，理由见解析；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由见解析.【解析】14.（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ ，进而可得出△APD ∽△CQD ；（2）由已知可得∠BAC ＝∠BCA ，再根据已知可推导得出∠APD ＝∠CDQ ，继而可得出△APD ∽△CQD ；（3）△APD ∽△DPQ ，理由如下：由△APD ∽△CDQ ，可得AP CD =DP DQ ，再根据点D 为AC 的中点，继而可得出AP DP =AD DQ ，再根据∠PAD ＝∠PDQ ＝30°，即可证明△APD ∽△DPQ ；（4）△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可.(1)∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，∴∠APD=∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ，故答案为：△APD ∽△CDQ ；(2)成立，如图，理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴∠ADP ＋∠APD ＝180°－30°＝150°，∵∠EDF ＝30°，∴∠ADP ＋∠CDQ ＝150°，∴∠APD ＝∠CDQ ，∴△APD ∽△CDQ ；(3)△APD ∽△DPQ ，理由如下：如图，∵△APD ∽△CDQ ，∴AP CD =DP DQ ，∵点D 为AC 的中点，∴CD ＝AD ，∴AP AD =DP DQ ，即AP DP =AD DQ ，又∵∠PAD ＝∠PDQ ＝30°， ∴△APD ∽△DPQ ；(4)△DEF 满足∠EDF ＝α，△ABC 满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可，理由：∵∠ABC ＝180°－2α， ∴∠A ＝∠C ＝α，∵∠ADP ＋∠APD ＝180°－α，∠ADP ＋∠QDC ＝180°－α， ∴∠APD ＝∠CDQ ，又∵∠A ＝∠C ，∴△APD ∽△CDQ.15.4【解析】15.由DE ∥BC ，推出AD DB =AE EC =32 , 可得EC=25AC , 由此即可解决问题．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB =AE EC =32， ∵AC=10，∴EC=25AC =25×10=4，故答案为4．16.10【解析】16.首先证明△ABP ∽△CDP ，可得AB BP =CD PD ，再代入相应数据可得答案． 如图，由题意可得：∠APE=∠CPE ，∴∠APB=∠CPD ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB BP =CD PD， ∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=CD 15，解得：CD=10米.故答案为：10.17.9.6【解析】17.试题分析：∵OA ＝3OD ，OB ＝3CO ，∴OA ：OD ＝BO ：CO ＝3：1，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴13AO AB OD CD ==， ∴AB ＝3CD ，∵CD ＝3.2cm ，∴AB ＝9.6cm ，故答案为9.6．18.(-2,0)【解析】18.设B ′的坐标为()x y ，，∵线段AB 与线段A′B′是位似图形，且A （﹣1，2），A′（﹣2，4）， ∴位似比k=221-=-， ∵点B 的坐标是（-1，0），∴点B′的坐标为（-2，0）.。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似复习练习
初中数学试卷 第四章图形的相似一、单选题1．如图，l 1，l 2，l 3，l 4是一组平行线，l 5，l 6与这组平行线依次相交于点A ，B ，C ，D和E ，F ，G ，H ．若AB ∶BC ∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH 的长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．202．如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB ＝2a ，则BE 长为（ ）A ．（ +1）aB ．（﹣1）a C ．（3﹣）a D ．（﹣2）a3．如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 交于点O ，则下列比例中成立的是( )A ．O C O A O DO B=B ．OC O B OD O D =C ．O C O D A CO B=D ．B D OC A CO D=4．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （ 0.5m D E B C == ，A ，C ，B 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得 15m C G = ，然后沿直线 C G 后退到点E 处，这时在镜子里恰好看到凉亭的顶端A ，测得 3m E G = ．若小明身高1.6m ，则凉亭的高度AB 约为（ ）A ．8.5mB ．9mC ．9.5mD ．10m5．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是位似中心，若OE=3OB ，A B CS =4，则D E FS=（ ）A ．9B ．12C ．16D ．366．如图，A B C 与D E F 位似，位似中心为点O ，A B C 与D E F 的周长之比为49∶，则A O O D ∶的比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．4：137．如图，在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，连接DE ，那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ）A ．1:16B ．1:9C ．1:4D ．1:28．已知：如图，在△ABC 中，B E A C ⊥于点G ，C D A B ⊥于点F ，B A B E =，C A CD =，以下结论：①DE ∠=∠，②DFG E =，③A F A C A GA B=，④D FE G C FB G=，其中正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④9．如图，△OAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90 ︒，CO=CD．若B(2，0)，则点C的坐标为()A．(2，2)B．(1，2)C．（，2 ）D．(2，1)10．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B'的坐标是（）A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）二、填空题11．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD：A'D'=4：3，△ABC的周长为16，则△A'B'C'的周长是．12．如图，////A C E FB D，若:2:3A E E B=，10C D=，则C F=.13．如图，将矩形O A B C置于平面直角坐标系中，4=，点D在B C边O A=，O C m上，且1D C=，将矩形O A B C沿A D折叠，使点B对应点E落在坐标平面内（1）当3m=时，O E的长度为．（2）若点E恰好落在x轴上，则m的值为．14．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=.15．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为．三、解答题16．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．18．如图（图形不全），等边三角形A B C中，3A B=，点D在直线B C上，点E在直线A C上，且B A DC B E∠=∠，当1B D=时，求A E的长．几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点D在边B C上、点E在边A C上时，2A E=；②当点D在边B C上、点E在A C的延长线上时，92A E=．要求：请针对其它情况，继续求出A E的长，并写出总的正确结论．19．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G。
第四章图形的相似题型专练2021-2022学年数学北师大版九年级上册 (含答案)
2021-2022学年数学北师大版九年级上册第四章图形的相似题型专练1.四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中3b =cm,8c = cm,12d = cm ，则a =( ) A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm2.如图27-2-1-24,在ABC △中,//,932DE BC AD DB CE ===,,, 则AC 的长为（ ）A.6B.7C.8D.93.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上.如果矩形OA B C '''与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA B C '''与矩形OABC 的相似比为12，那么点B '的坐标是( )A.(2,3)-B.(2,3)-C.(3,2)-或(2,3)-D.(2,3)-或(2,3)-4.下列说法中正确的个数为( ) ①凡正方形都相似； ②凡等腰三角形都相似； ③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81. A.1B.2C.3D.45.下列图形中不一定是相似图形的是( ) A.两个含60°角的平行四边形 B.两个含60°角的菱形 C.含60°角的菱形和含120°角的菱形 D.两个正方形6.已知FHB EAD ∽它们的周长分别为30和15，且6FH =，则EA 的长为( )A.3B.2C.4D.57.若线段MN 长为1，点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是( )D.不能确定8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB =m,12.8BC = m ，则建筑物CD 的高是( )A.17.5 mB.17 mC.16.5 mD.18 m9.如图，在ABC 中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠.若ADC 的面积为a ，则ABD 的面积为( )A.2aB.52a C.3aD.72a 10.如图，在ABC 中，ABC C ∠=∠，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到DBE ，点E 在AC 上，若3ED =，1EC =，则EB =( )B.32D.211.如图，直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，ABC 的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2412.如图，在ABC 中，12AB AC ==，8BC =.正方形DEFG 的顶点E ，F 在ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD AG =,4DG =，则点F 到BC 的距离为( )A.1B.2C.4D.413.湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1:6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这幅地图上量得我国南北的距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是___________千米（结果精确到1千米）.14.已知直线//CD EF ，若3,4OC CE ==，则ODOF的值是_________.15.已知111ABC A B C ∽，顶点A 、B 、 C 分别与1A 、1B 、1C 对应，12AC =，118AC =，ABC 的高AD 的长为6，那么111A B C 的高11A D 的长为___________.16.如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2,4AB CD ==，则GH 的长为__________.17.如果两个相似三角形的面积之比是9:25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是________cm .18.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m 的大视力表制作一个测试距离为3 m 的小视力表.如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm ，那么小视力表中相应“E”的高度是_____________.19.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，5AB =，P 为CD 边上的动点.当ADP 与BCP 相似时，DP =__________.20.如图，∆AOB 三个顶点的坐标分别为(8,0)A ，(0,0)O ，(8,6)B -，点M 为OB 的中点，以点O 为位似中心，把∆AOB 各边缩小为原来的12，得到∆A’OB’，点M '为OB '的中点，则MM '的长为____________.21.如果两个相似三角形的相似比为2:3，两个三角形的周长的和是100 cm ，那么较小的三角形的周长为___________cm.22.如图，ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作//EF BC 交AD 于点F ，则FGAG=_______________.23.如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，且点F 与点C 是对对应点，点F 的坐标是(1,1)，点C 的坐标是(4,2)，则它们的位似中心的坐标是_____________.24.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =.有下列结论：① 30BAE ∠=︒，②AE EF ⊥，③ABE AEF ，④ADF ECF .其中正确的结论是_______.（填序号）25.已知线段,,a b c 满足0326a b c==≠，且226a b c ++=. （1）求线段,,a b c 的长；（2）若线段x 是线段,a b 的比例中项，求x .26.如图，ABC 中，D 是AC 的中点，E 在AB 上，BD 、CE 交于O 点.已知：:1:2OB OD =，求BEAE的值.27.已知,如图27-2-1-23,点,C D 在线段AB 上,PCD △是等边三角形,且1,24AC CD DB ===,.求证：.ACP PDB △△~28.如图，在66⨯的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的ABC 是一个格点三角形.（1）在图①中，请判断ABC 与DEF 是否相似，并说明理由；（2）在图②中，以点O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC 的相似比为2:1；（3）在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC 相似，且有一条公共边和一个公共角.29.如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD 依次不断对折，可以得到矩形,,,BCEF AEML GMFH LGPN .(1)判断矩形,,,,ABCD BCFE AEML GMFH LGPN 的长、宽之比是否相等，并说明理由; (2)你认为这些大小不同的矩形相似吗?30.如图，在ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：AFG CMG ∽； （2）求证：GF EFGM EM=. 31.如图，在ABC 中，5,3,4,//,AB BC AC PQ AB ===点P 在AC 上（与点A ，C 不重合），点Q 在BC 上.（1）当PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长. （2）当PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长.32.如图，在ABC 和A B C '''中，D 、D '分别是AB 、''A B 上一点，AD A D AB A B ''=''.（1）当时CD AC ABC D A C A B '''='''=，求证：ABC A B C '''∽. 证明的途径可以用如图所示的框图表示，请填写其中的空格.（2）当CD AC BCC D A C B C '''='''=时，判断ABC 与A B C '''是否相似，并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：四条线段a 、b 、c 、d 成比例，a c b d ∴=，3cm b =，8cm c =12cm d =，8312a ∴=，解得2a =cm.故选A. 2.答案：C解析：//,DE BC AD AE DB EC ∴=即9,32AE=6AE ∴=，628.AC AE EC ∴=+=+= 3.答案：D解析：矩形OA B C '''和OABC 关于点O 位似，相似比为12，且点B 的坐标为(4,6)-. 点B '的坐标为(2,3)-或(2,3)-. 4.答案：B解析：①所有正方形的边成比例，角相等，都相似，故①正确；②等腰三角形形状不一定相同，所以不一定相似，故②错误；③所有等腰直角三角形的边成比例，角分别相等，都相似，故③正确；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为2:3，故④错误.所以说法正确的有①③，共2个.故选B. 5.答案：A解析：对于选项A ，两个平行四边形都含60°角，则角分别相等，但边不一定成比例，故不一定相似，故A 符合题意；对于选项B 、C ，两个菱形的角分别相等，边成比例，一定相似，故B 、C 不合题意；对于选项D ，两个正方形一定相似，故D 不合题意.故选A. 6.答案：A 解析：FHB EAD ∽，且FHB 和EAD 的周长分别为30和15，FHB ∴和EAD 的周长比为2:1，FHB EAD ∽，2FH EA ∴=，即62EA=，解得3EA =，故选A. 7.答案：C解析：设MP x =，则1PN x =-.当MP PN PN MN =时，111x xx -=-，解得x =x =（不合题意，舍去）.MP 的长也可以为1-=. 8.答案：A解析：EB AC ⊥，DC AC ⊥，//EB DC ∴，ABE ACD ∴∽，AB BEAC CD∴=. 1.5BE =m ，1.2AB =m ，12.8BC =m ，14AC AB BC ∴=+=m ，1.2 1.514DC=，解得17.5DC =m.故选A. 9.答案：C解析：在BAC 和ADC 中，C ∠是公共角，CAD B ∠=∠，BAC ADC ∴∽，2()4ABC DACS BC SAC∴==，又ADC 的面积为a ，ABC ∴的面积为4a ，ABD ∴的面积为3a .10.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴=故选A.11.答案：B 12.答案：C解析：如图，作AN BC ⊥于N ，交DG 于M ，交EF 于H .12AB AC ==，AN BC ⊥，8BC =，4BN CN ∴==，AN ∴，AD AG =，AB AC =，ADG AGD ∴∠=∠，B C ∠=∠，2180DAG ADG ∴∠+∠=︒，2180DAG B ∠+∠=︒，ADG B ∴∠=∠，//DG BC ∴，ADG ABC ∴∽，AM DG ⊥，AM DGAN BC ∴=，48=，AM ∴=，MN ∴=，易知四边形MHFG 是矩形，4MH GF DG ∴===，4HN MN MH ∴=-=，点F 到BC 的距离为4.故选C.13.答案：5500解析：设我国南北的实际距离是x 厘米，由题意得82.09:1:6700000x =，解得550003000x =，550003000厘米5500≈千米.14.答案：37解析：//,::CD EF OD OF OC OE ∴=.3,4,::3:7OC CE OD OF OC OE ==∴==.15.答案：4解析：111ABC A B C ∽，12AC =，118AC =，相似比为12382=，ABC 的高AD 的长为6，111A B C ∴的高11A D 的长为2643⨯=. 16.答案：43 解析：////AB GH CD ，,GH CH GH BH AB BC CD BC∴==， 1GH GH CH BH AB CD BC BC∴+=+=， 2,4AB CD ==，124GH GH ∴+=，解得43GH =. 17.答案：20解析：两个相似三角形的面积之比是9:25，大三角形的周长:小三角形的周长5:3=.小三角形一边上的中线长是12cm ，大三角形对应边上的中线长是31220(cm)5÷=. 18.答案：2.1 cm 解析：由题意得//CD AB ，ECD EAB ∴∽，CD DE AB BE ∴=. 3.5AB = cm ，5BE = m ，3DE =m ，33.55CD ∴=， 2. 1CD ∴=（cm ）. 19.答案：1或4或2.5解析：①当APD PBC 时，AD PD PC BC =，即252PD PD =-，解得1PD =或4PD =. ②当PAD PBC 时，AD PD BC PC =，即225PD PD =-，解得 2.5DP =.综上所述，DP 的长度是1或4或2.5.20.答案：2.5或7.5解析：由A ，B ，O 三点坐标知AOB 为直角三角形，由勾股定理得10OB =，因为M 为OB的中点，所以5OM =.根据题意作AOB 的位似图形A OB ''，有两种情况：当位似图形与原图形在位似中心同侧时，点B '与点M 重合，点M '位于OM 的中点， 2.5OM '=，则5 2.5 2.5MM '=-=；当位似图形与原图形在位似中心两侧时，5 2.57.5MM '=+=，所以MM '的长为2.5或7.5.21.答案：40解析：设较小的三角形的周长为x cm ，则较大的三角形的周长为(100)x -cm ，两个相似角形的相似比为2:3，两个相似三角形的周长比为2:3，21003x x ∴=-，解得40x =，即较小的三角形的周长为40 cm.22.答案：14解析：线段AD 、BE 是 ABC 的中线，BD CD ∴=，AE EC =，又//EF BC ， EF 是ACD的中位线， AF FD ∴=，1122EF CD BD ==.//EF BC ，EFG BDG ∴∽，12FG EF DG BD ∴==，2DG FG ∴=，3DF AF FG ∴==，4AG FG ∴=，14FG AG ∴=. 23.答案：(2,0)-解析：连接CF 并延长，交x 轴于点H ，则点H 就是位似中心.(1,1)F ，(4,2)C ，1OE ∴=，4OB =，1EF =，2BC =.由图可知，EF x ⊥轴，BC x ⊥轴，//EF BC ∴，HEF HBC ∴∽，HE EF HB BC ∴=，即1142OH OH +=+，解得2OH =，(2,0)H ∴-，即位似中心的坐标是(2,0)-.24.答案：②③解析：在正方形ABCD 中，AB BC =， E 是BC 的中点，11,22BE BE AB AB ∴==， 30BAE ∴∠≠︒，故①错误；E 是BC 的中点，:1:4CF CD =，2AB BE CE CF ∴==，又,B C ABE ECF ∠=∠∴，BAE CEF ∴∠=∠.又90,90BAE AEB AEB FEC ∠+∠=∴∠+∠=︒︒，90AEF ∴∠=︒，即AE EF ⊥，故②正确；,2,AE AB ABE ECF EF EC ∴== AB CE BE AE EF EF∴==，且90ABE AEF ∠=∠=︒， ABE AEF ∴，③正确；2,3,DA DF AD DF CE CF CE CF==∴≠， ADF ∴和ECF 不相似，④错误.综上可知，正确的为②③.25.答案：（1）解：设(0)326a b c k k ===≠ 3,2,6a k b k c k ∴===226a b c ++=34636k k k ∴++=，2k ∴=6,4,12a b c ∴===（2）线段x 是线段,a b 的比例中项，2x ab ∴=.又6,4a b ==，x ∴=（负值舍去）.26.答案：如图，取AE 的中点F ，连接DF ，D 是AC 的中点，F 为AE 的中点，DF 为AEC 的中位线，//DF CE ∴.//OE DF ，12BE BO EF OD ∴==， 14BE AE ∴=. 27.答案：证明：PCD △是等边三角形，602PCD PDC PC CD PD ∴∠=∠====,，°120PCA PDB ∴∠=∠=°.14AC BD ==,,11,,22AC PD PC BD ∴== ,AC PD PC BD ∴= .ACP PDB ∴△△~28.答案：（l ）如图①所示，ABC 与DEF 相似.理由如下：1,4,AB BC AC DE EF DF ====AB BC AC DE EF DF ∴====ABC ∴与DEF 相似.（2）如图②所示，A B C '''即为所求.（3）如图③所示，ADC 和CEB 即为所求.29.答案：解:(1)矩形, , ,, ABCD BCFE AEML GMFH LGPN 的长、宽之比相等.理由如下: 设矩形纸的宽BC a =，长AB =,则有,,222a BE AE a ME ===，,,24a MF HF a ==,,44a LG LN ==AB BC BC a BE ∴====22AE a ME ==a MF HF ==44LG a LN== ∴五个矩形的长、宽之比相等.(2)这些大小不同的矩形都相似.30.答案：（1）证明：//AD BC ，FAG MCG ∴∠=∠.AGF CGM ∠=∠，AFG CMG ∴∽.（2）证明：AFG CMG ∽，GF AF GM CM∴=.//AD BC ，AEF BEM ∴∽，AF EF BM EM∴=. 又由M 是BC 边的中点知CM BM =， AF EF CM EM∴=， GF EF GM EM ∴=. 31.答案：（1）PABQ PQC S S =四边形，:1:2.//,,,,PQC ABC S S PQ AB CPQ CAB CQP CBA PQC ABC ∴=∴∠=∠∠=∠∴222:1:2,14,2PQC ABCPC S S AC PC PC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭∴=⨯∴= （2）PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等， 1()6,26.PC CQ PA AB QB AB BC AC CQ CP ∴+=++=++=∴=- ,CPQ CAB ,CP CQ CA CB ∴=即6,43CP CP -=解得247CP =. 32.答案：（1）CD AC AD C D A C A D '''='''=；A A ∠=∠'. （2）ABC A B C '''∽.理由：如图，分别过点D ，D '作//DE BC ，//D E B C ''''，DE 交AC 于点E ，DE''交A C ''于点E './/DE BC ，ADE ABC ∴~，AD DE AE AB BC AC∴==. 同理，A D D E A E A B B CA C '''''''''='''=. r AD A D AB A B '=''， DE D E BC B C '''∴'=， DE BC D E B C ∴=''''. 同理，AE A E AC A C ''=''. AC AE A C A E AC A C '''-'∴'='-，即EC E C AC A C ''=''， EC AC E C A C ∴=''''. CD AC BC C D A C B C '''=''='， CD DE EC C D D E E C ''='∴'=''. DCE D C E ∴'''∽，CED C E D ∴∠=∠'''.//DE BC ，180CED ACB ∴∠+∠=.同理，180C E D A C B ''''''∠+∠=， ACB A C B ∴∠=∠'''.AC CB A C C B =''''， ABC A B C ∴'''∽.。
2019北师大版数学九上第四章：图形的相似 测试和答案
北师大版数学九上第四章：图形的相似 测试及答案一．选择题：（每小题3分共36分）1．已知52x y =，则x y y-的值为（ ） A ．35 B ．32C ．23D ．35-【答案】B解设5x k =，2(0)y k k =≠， 则52322x y k k y k --==， 故选：B ．2．若线段 ，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D解：当AC ＜BC 时，BC=AB= ，当AC ＞BC 时，BC= = ， 故选：D ．3．如图，AD AE 2DB EC ==，则ABDB=（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3【答案】D解：∵AD AE2DB EC==， 故设BD ＝k ，AD ＝2k ∴AB ＝3k ，∴AB 3k3DB k== 故选：D ．4．如图，已知一组平行线a//b//c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB=2，BC=3，DE=l.6，则EF=（ ）A ．2.4B ．1.8C ．2.6D ．2.8【答案】A 解：∵a ∥b ∥c ，∴AB DEBC EF=， 即2 1.63EF=， ∴EF=2.4． 故选：A ．5．如图ABC △中，点D 为BC 边上一点，点E 在AD 上，过点E 作//EF BD 交AB 于点F ,过点E 作//EG AC 交CD 于G , 下列结论错误的是（ ）A ．EF CGBD GD= B ．AC ADEG DE= C ．BF DGAF GC= D ．1EG EFAC BD+= 【答案】A解根据三角形的平行线定理，可得A 选项，EF AE CGBD AD CD==，错误； B 选项，AC ADEG DE=，正确； C 选项，BF DGAF GC=，正确； D 选项，1EG EF DE AE DE AE ADAC BD AD AD AD AD++=+===，正确； 故答案为A.6．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，DE =EF =BF ，连接CE 并延长交AD 于点G ，连接CF 并延长交AB 于点H ，连接CH ，设△CDG 的面积为S 1，△CHG 的面积为S 2，则S 1与S 2的关系正确的是（ ）A ．12S S =B ．1213S S =C ．1223S S =D ．1212S S =【答案】C 解∵DE=EF=BF ，∴DF=2BF，BE=2DE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC∴21DC DFHB FB==,DE1BE2DGBC==∴CD=2HB，BC=2DG∴点G，H分别是AD，AB的中点，∴S1=S△CDG=S△BCH=14S▱ABCD，GH∥DB∵GH∥DB∴△AGH∽△ADB∴214 AGHABDS AHS AB⎛⎫==⎪⎝⎭∴S△AGH=14S△ABC=18S▱ABCD，∵S△CHG=S▱ABCD-S△AGH-S△CDG-S△BCH，∴S2=S△CHG=38S▱ABCD，∴S1=23S2，故选：C．7．如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，则（）A. B. C. D.2【答案】B解：∵矩形ABCD与矩形BFEA相似，∴，∴.又∵，∴，∴，故选B.8．在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，E从点A 出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒．若∠AFD=∠AED，则t的值为（）A1B．0.5 C．23D．1【答案】C解如图，根据题意知，AE=5t，BF=3t，∵BC=10cm，DC=6cm，∴53,10262 AE t t BF t t AD AB====，∴AE BF AD AB=，又∵∠DAE=∠ABF=90°，∴△ADE∽△BAF，∴∠2=∠3，∵AD∥BC，∴∠3=∠4，∴∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴DF=DA,即DF²=AD²，∵BF=3t，BC=10，∴CF=10−3t，∴DF²=DC²+CF²,即DF²=6²+(10−3t)²，∴6²+(10−3t)²=10²，解得：t=23或t=6，∵0⩽5t⩽6且0⩽3t⩽10，∴0⩽t⩽65，∴t=23，故选：C.9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25【答案】C解∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=3：2，∴，∴．故选：C．10．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A.2米B.2.5米C.3米D.4米【答案】B解由题意知，可得，∴，∵（米），米，∴，∴米，故选B.11．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，即=，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故②错误；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴=，△DOE∽△COB，∴=，∴=，故③正确；④∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，2DE=BC，∴△DOE∽△COB，∴OC:OD=BC:DE=2，∴DC=3OD，∴3S△BOD=S△BDC，∴＝，故④正确．综上所述：①③④正确．故选C．12．如图，正方形ABCD中，E为BC中点连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD 于点G，下列结论：①CF=CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④，其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D解如图，作CM⊥DF于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴DAB=∠B=∠ADC=90°，∵∠ADF+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCM=90°，∴∠ADF=∠DCM，∵DF⊥AE，CM⊥DF，∴∠AFD=∠CMD=90°，∴△DAF≌△CDM，∴CM=DF，DM=AF，∵∠ADF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，∵BE=CE，∴tan∠BAE=tan∠ADF=，∴，∴DM=MF，∵CM⊥DF，∴CD=CF，故①正确，∴∠CDF=∠CFD，∵∠CDG=∠CFG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴GF=GD，∵∠GDF+∠DAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°，∴∠GAF=∠GFA，∴GF=GA，∴GD=GA，∴G是AD中点，故②正确，∵∠AFD=∠GFC，∴∠AFG=∠CFD，∠GAF=∠CDF，∴△DCF∽△AGF，故③正确，设AF=a，则DF=2a，AB=a，BE=a，∴AE=a，EF=a，∴，故④正确，二、填空题：（每小题3分共18分）13．已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S =5，BC=10，则DE为____.【答案】解过点A作AM⊥BC于M，由于∠B=∠ECD，且∠ADC=∠ACD，得△ABC与△FCD相似，那么 = =4，又S =5,那么S =20，由于S = BC⋅AM，BC=10，得AM=4，此时BD=DC=5，M为DC中点，BM=7.5，由于 ,所以DE= .故答案为：.14．如图，以为位似中心将四边形放大后得到四边形′′′′，若，′，则四边形和四边形′′′′的周长的比为________．【答案】解∵以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，OA=4，OA′=8，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位似比为：OA：OA′=4：8=1：2，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为：1：2．故答案为：1：2．15．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=________．【答案】4：9．解：设大正方形的边长为x，根据图形可得，∵，∴，∴正方形，∴正方形，∴，∵，∴正方形，∴正方形，∴，∴ ： = ： =4：9． 故答案为：4：9．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④3OD =；其中正确的结论是 _____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③解如图，分别过点A 、B 作AN OB ⊥ 于点N ，BM x ⊥ 轴于点M ，在OABC 中，(80)(34)(114)A C B OB ∴=，，，，，D E 、 是线段AB 的三等分点， 12OD BD ∴= ， ,CB OF ODF BDC ∴∆~∆ ， 111222OF OD OF BC OA BC BD ∴==∴==， ， F ∴ 是OA 的中点，故①正确；(34)5C OC OA ∴=≠，， ，OABC ∴不是菱形，,DOF COD EBG ODF COD EBG ∴∠≠∠=∠∠≠∠=∠，(40),F CF CFO COF ∴=∴∠∠，，，DFO EBG ∴∠≠∠，故OFD ∆ 和BEG ∆ 不相似，故②错误；由①得，点G 是AB 的中点，FG ∴ 是OAB ∆ 的中位线，1,2FG OB FG OB ∴==D E 、 是OB 的三等分点，3DE ∴=， 1118416222OAB S OB AN OA BM ∆=⋅=⋅=⨯⨯=， ∴1162AN OB= ， DF FG ，∴四边形DEGH 是梯形，()551202121223DEGF DE FG h S OB h OB AN -∴==⋅=⋅=四边形 ， 故③正确；13OD OB == ,故④错误， 综上：①③正确，故答案为：①③.三、解答题：（共52分）17．如图，将矩形沿折叠，使点恰好落在边的中点′上，点落在′处，′′交于点.若，，求线段的长.【答案】.解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，设BF=x，则FC=FC′=9-x，∵BF2+BC′2=FC′2，∴x2+32=（9-x）2，解得：x=4，即BF=4，∵∠FC′M=90°，∴∠AC′M+∠BC′F=90°，又∵∠BFC′+BC′F=90°，∴∠AC′M=∠BFC′，∵∠A=∠B=90°，∴△AMC′∽△BC′F，′，′∵BC′=AC′=3，∴AM=．18．如图，等腰中，，∠°，，点D在边AC上且BD平分∠，设.（1）求证：.（2）求x的值.【答案】（1）证明见解析；（2）解：（1）∵等腰中，，∠°，∴∠∠°，∵BD平分∠，∴∠∠°，∵∠∠°，∴∠∠，∴；（2）∵∠∠°，∴，∠∠°，∴，∴，设，则有，∵，∴，即，整理得，解得，（负值，舍去），则，经检验为方程的解，∴.19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且，，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，则BM的长为多少？【答案】或3.解：∵∠∠°，即∠∠∠∠，∴∠∠，当时，，得，当时，，得.20．如图，晚上小明由路灯走向路灯，当他行至点P处时，发现他在路灯BC下的影长为，且影子的顶端恰好在A点，接着他又走了至点Q处，此时他在路灯AD下的影子的顶端恰好在B点，已知小明的身高为，路灯BC的高度为.（1）计算小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度；（2）计算路灯AD的高度。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．如图，ABC 的两个顶点B 、C 均在第一象限，以点()0,1A 为位似中心，在y 轴左侧作ABC 的位似图形ADE ，ABC 与ADE 的位似比为1：2若点C 的纵坐标是m ，则其对应点E 的纵坐标是（ ）A ．32m -+B ．23m +C ．()23m -+D ．23m -+ 2．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =，则:DE AB 的值是（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：2 3．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△ADE的是（ ）A ．∠ADE ＝∠B B ．∠AED ＝∠C C ．AD AB AE AC = D ．DE AE BC AC = 4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，以点A 为旋转中心将矩形ABCD 旋转，旋转后的矩形记为AEFG ，如图所示．CD 所在直线与AE 、GF 交于点H 、I ，CH ＝IH ．则线段HI 的长度为（ ）A．32B．22C．5 D．525．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，:4:1DE EC=，连接AE交BD 于点F，则DEF的面积与BAF△的面积之比为（）A．4：1 B．16：5 C．16：25 D．5：46．如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①12 DEAB=；②14CD CE DEAC BC AB++=++；③CD EFCA FA=；④13FDECDESS=△△．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（）A．顶角为30°的等腰三角形B．顶角为40°的等腰三角形C．等边三角形D．顶角为75°的等腰三角形8．如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（）A ．AE EF EC CD =B ．EF EG CD AB =C ．CG AF BC AD = D ．AF BG DF GC= 9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CDEF 的边长为（ ）A ．2517B ．6017C ．10017D ．14417 10．两个相似三角形面积比是4:9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ）A ．12B ．12或24C ．27D ．12或27 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（ ）A ．14B ．9C ．425D ．36512．如图，E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．下列各式：①AE AB ＝AF BC ；②AE AB ＝AF DF ；③AE AB ＝FE FC；④AE BE ＝AF BC ．其中成立的是（ ）A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④二、填空题13．如图，已知点D 是BC 边延长线上的一点，DF 交AC 边于点E ，交AB 边于点F ，且1,3,2AF BC CD AE CE ===，则BF 长为_________．14．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3BC =．点D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作等腰直角三角形CDE ，使90CED ∠=︒，连接BE ．（1）若点E 恰好落在AB 上，则AD 的值为______；（2）线段BE 的最小值为______．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，以点A 为圆心、AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，再分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于M ，N ，作直线MN ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．如图，等边三角形ACD 的边长为8，点B 在AC 边延长线上，且AC ＝（3+1）CB ，连结BD ，点E 是线段BD 上一点，连结AE 交DC 于点F ，若∠AED ＝60°，则DE 的长为_____．17．已知点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE ，CD=6，则BC 的长为_______．18．已知35y x =，那么x y x y -=+________． 19．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =．P 为边BC 上的一个动点，点D 在边AC 上，且始终保持APD B ∠=∠，若PCD 为直角三角形，则线段BP 的长为__________．20．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一点O ，从O 点不经过池塘可以直接到达点A 和点B ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使3AO BO CO DO==，测得36CD m =，则池塘两端AB 的距离为________m ．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）如果AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，求AE 的长．22．已知，AD 为ABC 的中线，AE 是ABD △的中线，AB BD =．（1）判断ABE △与CBA △是否相似，并说明理由；（2）求证：2AC AE =．23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与△A 'B 'C '以点O 为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点．（1）在图中画出点O （要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC 与△A 'B 'C '的位似比是 ．（2）请在此网格中，以点C 为位似中心，再画一个△A 1B 1C ，使它与△ABC 的位似比等于2：1．24．如图，在△ABC 中，DE//AC ，EF//AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ．（2）若23BD AD =，且△BDE 的面积是5，求△EFC 的面积． 25．如图1，在等边ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EDF=60．（1）求证：BDE CFD △∽△；（2）若点D 移至BC 的中点，如图2，求证：FD 平分EFC ∠．26．如图，已知90EOF ∠=︒，A 是EOF ∠内部的一点，过点A 作AB OF ⊥，垂足为点B ，6cm AB =，8cm OB =，动点M ，N 同时从O 点出发，点M 以1.5cm /秒的速度沿OF 方向运动，点N 以2cm /秒的速度沿OE 方向运动，MN 与OA 交于点C ，连接AM ，当点M 到达点B 时，点N 随之停止运动．设运动时间为t 秒(0)t >． （1）当2t =秒时，MON △与ABO 是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，试判断MN 与OA 的位置关系，并说明理由．（3）连接AN ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得2AMN ABON SS =四边形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设点C 的纵坐标为m ，然后表示出AC 、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可；【详解】设点C 的纵坐标为m ，则A 、C 间的纵坐标的长度为()1m -，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△ADE ，∴E 、A 间的纵坐标的长度为()21m -,∴点E 的纵坐标为()()2112323m mm ⎡⎤---=--=-+⎣⎦；故答案选D ．【点睛】 本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 2．A解析：A【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴2:(:)DEF ABF S S DE AB =△△,∵:4:25DEF ABF S S =∴:DE AB =2：5,故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，三角形相似的判定方法和性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、∠ADE=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故A 选项不符合题意； B 、∠AED=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故B 选项不符合题意；C 、AD AB AE AC =，即AD AE AB AC=，且夹角∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故C 选项不符合题意； D 、DE AE BC AC=，缺少条件∠AED 和∠ACB 相等，则不能确定△ABC ∽△ADE ，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 4．D解析：D【分析】由“HL”可证Rt △AGI ≌Rt △ADI ，可得∠GAI=∠DAI ，由余角的性质可得∠IAH=∠AID ，可证IH=AH ，通过证明△ADI ∽△CDA ，可得AD DI DC AD=，可求DI=1，即可求解． 【详解】解：如图，连接AI ，AC ，∵以点A 为旋转中心将矩形ABCD 旋转，旋转后的矩形记为AEFG ，∴AG ＝AD ，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，在Rt △AGI 和Rt △ADI 中，AG AD AI AI=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AGI ≌Rt △ADI （HL ），∴∠GAI ＝∠DAI ，∴90°﹣∠GAI ＝90°﹣∠DAI ，∴∠IAH ＝∠AID ，∴IH ＝AH ，又∵IH ＝HC ，∴IH ＝HC ＝AH ，∴∠IAC ＝90°，∴∠DAI +∠DAC ＝90°，又∵∠DAC +∠DCA ＝90°，∴∠DAI ＝∠DCA ，又∵∠ADI ＝∠ADC ＝90°，∴△ADI ∽△CDA ， ∴AD DI DC AD =， ∴242DI =， ∴DI ＝1，∴CI ＝ID +CD ＝5，∴IH ＝12IC ＝52， 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．C解析：C【分析】设DE ＝4k ，EC ＝k ，则CD ＝5k ，由四边形ABCD 是平行四边形，推出AB ＝CD ＝5k ，DE ∥AB ，推出△DEF ∽△BAF ，推出DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2由此即可解决问题． 【详解】解：设DE ＝4k ，EC ＝k ，则CD ＝5k ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝5k ，DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴DEF ABF S S ∆∆＝（DE AB ）2＝（45k k）2＝1625， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．C解析：C【分析】根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：在△ABC 中，中线AE 、BD 相交于点F ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE AB ＝12，故①正确； ∴△CDE ∽△CAB ， ∴12CD DE CA AB ==，12CD CE DE DE AC BC AB AB ++==++，故②错误； ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴12EF DE AF BA ==， ∴CD EF CA FA=，故③正确； ∵CD ＝DA ，12EF AF =， ∴S △CDE ＝S △ADE ，13DEF ADE S S ∆∆=， ∴FDE CDE S S ∆∆＝13，故④正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可．【详解】解：∵等腰△ABC 的底角为75°，∴等腰△ABC 的三角的度数分别为30°，75°，75°∴一定与△ABC 相似的是顶角为30°的等腰三角形故选：A ．【点睛】本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解答．8．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．【详解】∵EG //AB ，EF //BC ，∴AE AF AC FD=， ∵AC≠EC ∴AE EF EC CD=不成立， ∴选项A 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴EF AE CD AC =，EG EC AB AC=， ∵AE≠EC ， ∴EF EG CD AB=不成立， ∴选项B 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴CG CE CB CA =DF DA=， ∵DF≠AF ∴CG AF BC AD=不成立， ∴选项C 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴AF AE DF EC =，AE BG EC GC =， ∴AF BG DF GC=， ∴选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论．【详解】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=ED ，DE ∥CF ，设ED=x ，则CD=x ，AD=5-x ，∵DE ∥CF ，∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC =， ∴5125x x -=， ∴x=6017， ∴正方形CDEF 的边长为6017． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．10．D解析：D【分析】把面积之比转化为周长之比，后分周长为较大三角形或较小三角形的两种情形求解即可.【详解】∵两个相似三角形面积比是4:9，∴两个相似三角形周长比是2：3，当较大三角形的周长为18时，较小三角形的周长为18×23=12； 当较小三角形的周长为18时，较大三角形的周长为18×32=27； 故选D.【点睛】 本题考查了相似三角形面积之比，周长之比，解答时，熟练将面积之比转化为周长之比，会用分类思想求解是解题的关键.11．C解析：C【分析】连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ∽△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝6，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝6，再根据勾股定理求得AC =，BC =125CJ =，进而可求得CR 的长． 【详解】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =， ∴65a =（舍负） ∴65AC =，125BC =， ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ∴65125125565CJ ⨯==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425， 故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，由△AEF ∽△DCF 得到AE AF EF CD DF FC ==，用AB 等量代换CD ，得到AE AF EF AB DF FC==；再利用AF ∥BC ，由△AEF ∽△BEC 得AE AF BE BC=，由此可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ；∴△AEF ∽△DCF ，∴AE AF EF CD DF FC ==，而AB=CD ， ∴AE AF EF AB DF FC== ∴②③正确；又∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴AE AF BE BC=， ∴④正确，①不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．二、填空题13．2【分析】过点C 作CG ∥AB 交DF 于G 于是得到△CDG ∽△BDF △CEG ∽△AFE 根据相似三角形的性质得结合求得BF ＝4CGAF ＝2CG 即可得到结论【详解】解：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G ∴∴∵∴∴ 解析：2【分析】过点C 作CG ∥AB 交DF 于G ，于是得到△CDG ∽△BDF ，△CEG ∽△AFE ，根据相似三角形的性质得CG CD BF BD =，CG CE AF AE=，结合3BC CD =求得BF ＝4CG ，AF ＝2CG ，即可得到结论．【详解】解：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G ，∴CDG BDF ，CEG AFE ，∴CG CD BF BD =，CG CE AF AE=， ∵3BC CD =，∴14CD BD =，∴14CG BF =， ∴4BF CG =， ∵2AE EC =，∴12CG AF =， ∴2AF CG =，∵1AF =，∴12CG =， ∴1422BF =⨯=． 故答案为：2．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6BE=CE=再根据等腰直角三角形的性质得出CE=DE=最后依据AD=AB-BE-ED 得出结果；（2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等解析：933- 324【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6，BE=32，CE=33，再根据等腰直角三角形的性质得出CE=DE=332，最后依据AD=AB-BE-ED 得出结果； （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，先证明△CDH ∽△CEB ，得出2DH BE=，当DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH 最小，即图中的D H '，根据含30°的直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，∴AB=6，BE=32，CE=33， ∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CE=DE=33， ∴AD=6-32-33=933-； （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，∵△CDE 为等腰直角三角形，∴∠DCE=∠HCB=45°，∠DCH=∠HCB ，∵2CD CH CE CB==， ∴△CDH ∽△CEB ， ∴2DH BE=， ∴当DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH 最小，即图中的D H '，∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠ABC=60°∵∠CBH=90°∴D BH '∠=30°∵BH=BC=3∴32D H '= ∴32=42BE =最小值， 故答案为933-，324．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明△CDH∽△CEB．15．【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质即可得到BE的长再根据△ABC∽△FBE即可得到EF的长【详解】解：∵Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝6BC＝8∴由勾股定理得AB＝由题可得AD＝A解析：32．【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到BE的长，再根据△ABC∽△FBE，即可得到EF的长．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理得，AB10=，由题可得，AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，由题可得，MN垂直平分BD，∴BE＝2，∠BEF＝∠ACB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBE，∴EF BECA BC=，即2 68 EF=，解得EF＝32，故答案为：32．【点睛】题主要考查了勾股定理和相似三角形解的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．16．【分析】作DH⊥AC于点H根据等边三角形的性质和勾股定理可得BD的长利用△ADE∽△BAD对应边成比例即可解决问题【详解】解：如图作DH⊥AC 于点H∵△ADC是等边三角形∴AD＝DC＝AC＝8AH＝【分析】作DH⊥AC于点H，根据等边三角形的性质和勾股定理可得BD的长，利用△ADE∽△BAD，对应边成比例即可解决问题．【详解】解：如图，作DH ⊥AC 于点H ，∵△ADC 是等边三角形，∴AD ＝DC ＝AC ＝8，AH ＝CH ＝12AC ＝4， ∴DH 22228443DC CH -=-=∵AC 3）CB ，∴CB 31+＝431）， ∴BH ＝CB +CH ＝43﹣1）+4＝3，∴BD 22DH BH +()()224343+6，在△ADE 和△BAD 中，∠AED ＝∠BAD ＝60°，∠ADE ＝∠BDA ，∴△ADE ∽△BDA ，∴DE AD ＝AD BD， ∴DE ＝2AD BD 46＝863． 故答案为：863． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，找到相似三角形是解题的关键． 17．3【分析】根据△ADE △DEC △BCD 的面积之比为4：2：3可得出AE ：EC=2：1AD ：BD=2：1则可证明DE ∥BC 利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE 根解析：3【分析】根据△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，可得出AE ：EC=2：1，AD ：BD=2：1，则可证明DE ∥BC ，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD ∽△ABC 与△ACD ∽△ADE ，根据相似三角形的判定可推出BC CD CD DE =，计算后即可得出结论． 【详解】解：如图，∵S △ADE ：S △DEC =4：2，∴AE ：EC=2：1，∵S △ADE ：S △DEC ：S △BCD =4：2：3，∴S △ACD ：S △BCD =6：3，∴AD ：BD=2：1， ∵AE AD EC BD=， ∴DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ， ∵∠ACD=∠ADE ，∴∠ACD=∠B ，∵∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴BC AB AC CD AC AD==， 同理可证：△ACD ∽△ADE ， ∴CD AC AD DE AD AE ==， ∴BC CD CD DE=， ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，， ∴DE AD BC AB=， ∵AD ：BD=2：1， ∴23AD AB =，∴23DE BC =， ∴23DE BC =， ∴223BC BC CD ⋅=， ∵，∴3BC =．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．【分析】由可得设则x=5ky=3k ；然后代入计算即可【详解】解：∵∴设则x=5ky=3k ∴故填：【点睛】本题主要考查了代数式求值根据比例的性质得到x=5ky=3k 成为解答本题的关键 解析：14【分析】 由35y x =可得，53y x =，设531=y x k =，则x=5k ，y=3k ；然后代入x y x y -+计算即可． 【详解】解：∵35y x = ∴53y x = 设531=y x k =，则x=5k ，y=3k ∴531534x y k k x y k k --==++． 故填：14． 【点睛】 本题主要考查了代数式求值，根据比例的性质得到x=5k ，y=3k 成为解答本题的关键． 19．8或【分析】因为∠C 为定角DP 为动点所以△PCD 为直角三角形有两种情况：∠PDC=90°时△PCD 为直角三角形如详解图根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；当∠DPC=90°时△PCD 为直角三角解析：8或252【分析】因为∠C 为定角，D 、P 为动点，所以△PCD 为直角三角形有两种情况：①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，作AF BC ⊥，根据△BFA ∽△BAP 求出BP 的长．【详解】分两种情况:①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图：∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠APD=∠B∴∠APD=∠C∵90C DPC ∠+∠=︒∴90APD DPC ∠+∠=︒AP BC ∴⊥∴点P 为BC 中点 ∴12BP BC = 16BC =11682BP ∴=⨯= ②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图，作AF BC ⊥，10,16AB AC BC ===，AF BC ⊥90AFB ∴∠=︒∴点F 为BC 中点1116822BF BC ∴==⨯= ∵∠APD=∠B ，∠DPC=9090APB APD ∴∠+∠=∠︒90APB B ∴∠+∠=︒90BAP ∴∠=︒BFA BAP ∴△∽△AB BF BP AB∴= 10810BP ∴= 252BP ∴=故答案为：8或252． 【点睛】 本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键．20．108【分析】先证明△AOB ∽△COD 然后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵∠AOB=∠COD ∴△AOB ∽△COD ∴∵∴AB=36×3=108m 故答案为：108【点睛】本题考查了相似三角形的解析：108【分析】先证明△AOB ∽△COD ，然后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵3AO BO CO DO==，∠AOB=∠COD ， ∴△AOB ∽△COD ， ∴3AO BO AB CO DO CD===， ∵36CD m =，∴AB=36×3=108m ．故答案为：108．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由90AED C ∠=∠=︒以及A A ∠=∠，从而求证△ABC ∽△ADE ；（2）由△ABC ∽△ADE ，可知AE DE AC BC =，代入条件求解即可． 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED ＝∠C ＝90°，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）∵△ABC ∽△ADE ，且AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3， ∴AE DE AC BC=， 即：386AE =， ∴AE ＝4．【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，即可求解．22．（1）相似，见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“两边及其夹角法（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）推知△ABE 与△CBA 相似；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例证明该结论．【详解】（1）解：相似，理由如下：∵AD 为ABC 的中线，AE 是ABD △的中线，∴BD CD =，BE DE =， ∴12BE BD =，12BD BC =， 又∵AB BD =， ∴12BE AB =，12AB BC =， ∴12BE AB AB BC ==， 又∵B B ∠=∠，∴ABE △∽CBA △．（2）证明：由（1）知，ABE △∽CBA △， ∴12AE BE AC AB ==， ∴2AC AE =． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答的关键是根据中点的定义和题目已知得出12BE AB AB BC ==，从而证明ABE △∽CBA △． 23．（1）详见解析，1∶2；（2）详见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；（2）直接利用位似比得出对应点位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：点O 即为所求，△ABC 与△A 'B 'C '的位似比是：1；2；故答案为：1：2；（2）如图所示：△A 1B 1C 即为所求．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．24．（1）见解析；（2）454【分析】（1）由平行线的性质可得∠BED=∠ECF ，∠B=∠FEC ，从而可证得△BDE ∽△EFC ； （2）先根据DE ∥AC ，得出23BE BD CE AD ==，进而根据△BDE ∽△EFC ，得出相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等式，然后结合△BDE 的面积是5，可求得△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵ DE ∥AC ，∴ ∠BED=∠C ．∵ EF ∥AB ，∴ ∠B=∠FEC ．∴ △BDE ∽△EFC ．（2）解：∵23BD AD =，∴23BD AD =． ∵ DE ∥AC ∴23BE BD CE AD ==． 由（1）知△BDE ∽△EFC ，且5BDE S ∆=， ∴2224()()39BDE EFC S BE S CE ∆∆===． ∴99455444EFC BDE S S ∆∆==⨯=． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 25．（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF ，于是得到△BDE ∽△CFD ；（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD 平分∠EFC ．【详解】解：（1）∵AB=AC=BC ，∴∠B=∠C=60°，∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE ，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE ，∴∠BED=∠CDF ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）∵△BDE ∽△CFD ， ∴BD DE CF DF=， ∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD ， ∴CD DE CF DF= ∵∠EDF=∠C=60°，∴△DEF ∽△CDF ，∴∠DFE=∠CFD ，∴FD 平分∠EFC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．（1）∽MON ABO △△，见解析；（2）MN OA ⊥，见解析；（3）存在，3t =或83t = 【分析】解：（1）由2t =，求得3cm OM =，4cm ON =，由6cm AB =，8cm OB =，计算比值OM AB =12ON OB =，由夹角相等90MON ABM ∠=∠=︒，可证∽MON ABO △△； （2） 由15OM t =.，2ON t =．6AB =，8OB =．可得OM ON AB OB=．可证Rt MON Rt ABO ∽△△．由性质MNO AOB ∠=∠．由90ONM NMO ∠+∠=︒，可得90AOB NMO ∠+∠=︒，经计算∠OCM=90°即可； （3）如图，连接AN ，由15OM t =.，2ON t =，求出815BM t =-.，求出232NOM S t =△，9242ABM S t =-△，824ABON S t =+梯形由12AMN ABON S S =四边形△，知余下部分面积12NOM ABM ABON S S S +=梯形△△，构造方程()239124824222t t t +-=+，解之即可．【详解】解：（1）∵2t =，∴3cm OM =，4cm ON =，∵6cm AB =，8cm OB =， ∴3162OM AB ==，4182ON OB ==， ∴OM AB =ON OB ， ∵90MON ABM ∠=∠=︒，∴∽MON ABO △△；（2）MN OA ⊥在运动过程中，15OM t =.，2ON t =．∵6AB =，8OB =． ∴4OM ON t AB OB ==． 又∵90MON ABO ∠=∠=︒， ∴Rt MON Rt ABO ∽△△．∴MNO AOB ∠=∠．∵90ONM NMO ∠+∠=︒，∴90AOB NMO ∠+∠=︒，∴∠OCM=90°，∴MN OA ⊥；（3）如图，连接AN ，∵15OM t =.，2ON t =，∴815BM t =-.， ∴2113152222NOM S OM ON t t t =⋅=⨯⨯=．△， ()1981562422ABM S t t =⨯-⨯=-.△， ()12688242ABON S t t =+⨯=+梯形， ∵12AMN ABON S S =四边形△， ∴12NOM ABM ABON S S S +=梯形△△， ∴()239124824222t t t +-=+， 即231712022t t -+=， 解得3t =或83t =． ∴当3t =或83t =时，12AMN ABON S S =四边形△．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，抓住三角形ANM 面积的2倍=四边形ABON 面积构造t 的方程是解题关键．。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习1、如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，过D 的直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F.求证：AEEC ＝AF BF.2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF＝BC AC.3、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F.(1)求证：∠DCP ＝∠DAP ；(2)如果PE ＝3，EF ＝5，求线段PC 的长．4、如图，在△ABC 中，D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.求证：BF ∶FC ＝1∶3.5、已知，如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的中线，AE ⊥AD ，AE 交CB 的延长线于点E.(1)求证：△BAE ∽△ACE ；(2)AF ⊥BD ，垂足为F ，且BE ·CE ＝9，求EF ·DE 的值．6、如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE 的值；7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G.(1)求证：AD 2＝DG ·BD ；(2)连接CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG.8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，作DE ⊥AC 于点E ，F 是AB 中点，连接EF 交AD 于点G.(1)求证：AD 2＝AB ·AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，则ADAG的值为_______．9、如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BD ＝a.(1)当∠APC ＝90°，a ＝14时，求BP 的长度；(2)若∠APC ＝90°时，有两个符合要求的点P 1，P 2，且P 1P 2＝2，求a 的值．10、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.11、如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G.求证：(1)∠DHO ＝12∠BCD ；(2)HG ·AE ＝2DE ·CG.12、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.13、已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．14、如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．15、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.答案1、证明：过B作EF的平行线交AC于点G，则AF∶BF＝AE∶EG，BD∶DC＝GE∶EC.∵BD＝DC，∴GE＝EC.∴AE∶EC＝AF∶BF.2、证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴BCBD＝ACCD，即BCAC＝BDCD.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴DFCF＝BDCD.∴DFCF＝BCAC.3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP.(2)∵CD ∥AB ，∴∠DCP ＝∠F. ∵∠DCP ＝∠DAP ，∴∠DAP ＝∠F. 又∵∠APE ＝∠FPA ， ∴△APE ∽△FPA. ∴AP PF ＝PE AP .∴AP 3＋5＝3AP . ∴AP ＝2 6.∴PC ＝2 6. 4、证明：∵AD ∶DC ＝1∶2， ∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG ∥AF 交BC 于点G ，则AD AC ＝FG FC ＝13，BE ED ＝BFFG .又∵E 是BD 的中点， ∴BE ＝ED. ∴BF ＝FG.∴BF FC ＝13，即BF ∶FC ＝1∶3.5、解：(1)证明：∵AD 是Rt △ABC 斜边上的中线， ∴AD ＝BD ＝CD. ∴∠C ＝∠DAC.∵AE ⊥AD ，∴∠EAD ＝90°＝∠BAC. ∴∠EAB ＝∠DAC.∴∠EAB ＝∠C. 又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE.(2)∵△BAE ∽△ACE ，∴AE EC ＝BEAE.∴AE 2＝BE ·CE ＝9.∵∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△EAF ∽△EDA. ∴AE DE ＝EF AE . ∴EF ·DE ＝AE 2＝9.6、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 7、证明：(1)∵AB ＝AC ，D ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB.∴AD ＝AE.在△BAD 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴∠ABD ＝∠ACE.∵DF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AF ＝CF. ∴∠GAD ＝∠ACE.∴∠GAD ＝∠ABD. ∵∠GDA ＝∠ADB ，∴△GDA ∽△ADB. ∴AD BD ＝DG DA.∴AD 2＝DG ·BD. (2)连接CG ，∵AD DB ＝DG AD ，AD ＝CD ，∴CD DB ＝DGCD .∵∠CDG ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC. ∴∠DBC ＝∠DCG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵∠ABD ＝∠ACE.∴∠ECB ＝∠DBC.∴∠ECB ＝∠DCG.8、证明：∵AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ， ∴∠ADC ＝∠AED ＝90°. ∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD. ∴AD CA ＝AEAD . ∴AD 2＝AC ·AE.∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB ·AE.9、解：(1)∵∠B ＝∠D ＝90°，∠APC ＝90°， ∴∠B ＝∠APC ＝90°，∠A ＋∠B ＝∠APC ＋∠CPD. ∴∠A ＝∠CPD. ∴△ABP ∽△PDC.∴BP CD ＝AB PD ，即BP 4＝614－BP. 解得BP ＝2或12.(2)设BP ＝x ，则PD ＝a －x.∵△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP CD ，即6a －x ＝x 4. ∴x 2－ax ＋24＝0，设方程的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝24，∵P 1P 2＝2，∴|x 1－x 2|＝2.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴a 2－4×24＝4，解得a ＝±10(负值舍去)．∴a ＝10.10、证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF.∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF.∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.11、11、证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝2∠BAO ，∠AOB ＝90°，OB ＝OD.∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°.∴OH ＝OD ，∴∠DHO ＝∠BDH.在Rt △BHD 中，∠BDH ＋∠ABO ＝90°，∵∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠BDH ＝∠BAO.∴∠DHO ＝∠BAO.∴∠BCD ＝2∠DHO.∴∠DHO ＝12∠BCD. (2)∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴OA ＝OC ，∠DAO ＝∠BAO.∵∠DHO ＝∠BAO ，∴∠DHO ＝∠DAO.∵∠AED ＝∠HEO ，∴∠AOH ＝∠ADE.∵∠AOH ＝∠COG ，∴∠ADH ＝∠COG.∵∠DAE ＝∠OCG ，∴△ADE ∽△COG.∴AE CG ＝DE OG. ∴AE ·OG ＝DE ·CG.在△AOH 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOH ＝∠COG ，AO ＝CO ，∠OAH ＝∠OCG ，∴△AOH ≌△COG(SAS)．∴OH ＝OG ，∴OG ＝12HG. ∴AE ·12HG ＝DE ·CG. ∴HG ·AE ＝2DE ·CG.12、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AE⊥BD，∴∠ABC＝∠BGE＝90°. ∵∠AEB＝∠BEG，∴△ABE∽△BGE.∴AEBE＝BEEG.∴BE2＝EG·EA.(2)由(1)得BE2＝EG·EA. ∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.13、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.14、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18. ∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H.∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQ QE. ∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12. 又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10.∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ.又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ.∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10.∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．15、解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10(cm)．∴BP ＝(10－2t)cm.∵PQ ∥AC ，∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011. (2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°.∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC.∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245. 即12·(10－2t)·45t ＝245. 解得t 1＝2，t 2＝3.∵0＜t ＜5，∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245cm 2.。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似尖子生训练题
第四章图形的相似尖子生训练题-•选择题1.下列各组线段能成比例的是（）A. 0. 2c∕77, 0. 1∕7710. 4c∕77, 0. 2cmB・1c∕77, 2 C/77, 3 C/77, 4 C/77C. 4cm、6cm、8cm、3cmD・V6c∕77, ∖fgc∕77, ∖[jcm2.若两个相似三角形的面积之比为1： 4,则它们的周长之比为（）A. 1： 2B. 2： 1C.仁4 D・ 4： 13.如图，在平行四边形力％0中，点F是边肋的中点，FG交对角线少于点F,则FF：FC等于（）4.如图，矩形/IBCQ中，AB=3. BC=4、动点P从0点岀发，在％上移动至点C停止.记12 3 4A・ F=I2”B・ y二二C・ y=∙y龙D・ypχx 4： 3ηιr 5.如图，在△/!%中，点久F分别在力、SC边上，DE//BC.若AD=↑, BD=2、贝IkTT的值为（）B. (TXS)C.②④D.③④ 6.如图，在正中，D 、F 分别在 初、AB^ 且学圣，AE=BE ∖则有（ ）ΛL ∙ CSA. ^AED^^ABCB. ^ADB^^BEDC. 'BCDsHABCD. HAEM'CBD 7. 如图，AS 0两点被池塘隔开，在朋外取一点G 连结SG BC 9在加上取点£使/IF=3EC 、作EF//AB 交％于点斤量得FF= 6/77,则朋的长为（ ）8. 如图，等边△初C 的边长为3, P 为％上一点，且BP=J D 为AC 上一点,若ZAPD= 60。
,则〃的长是（ ）9. 如图，AD 丄BC 于D 、DErAB 于& DF 丄AC 于化 则下列各式正确的是（ ） ①AE = BADC; Q ）CG= CF ∙CA ；③DE = AE ∙AB ；④AE^AB=AF ∙AC ∙C. 18/77D. 12/77A.傀10.如图，菱形肋〃中，AB=AC,点仁F分别为边他％上的点，且AE=BF9连接如SF交于点//,则下列结论：①厶ABP^NCAE；②ZAHC='2$；③∖AE2\CEA；④∕1F∙AD=AH^AF^其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二.填空题211・已知ZVlDFs△祐G且相似比为千若DE=ACm y则％的长为 ____________________ ・D12.如图，已知在中，点2 E、F分别是边他AC. %上的点，DE//BC. EF//AB3且DB=3: 5,那么圧CB等千_______________________13.在平面直角坐标系MK中，点久0的坐标分别为（3, 0）、（2, 3） , 'AB' O f是厶且点0'的坐标为（-1, 0）,则点夕的坐标为14.如图，以点0为位似中心，将'ABC放大得到ZkQFF,若AD=OA y则△力％与△妙的面积之比为 _________ ・15・如图，在中，DE//FG//BC. G!//EF//AB y若卜ADE、\EFG、Z∖G∕C的面积分别为8c∕π X 32Cm V 18c乳则的面积为 _________________ cm.三.解答题16.在等腰三角形/1%中，AB=AC i AD丄BC于点D, CF//AB, P为AD上一点、,连结并延长BP交AC于点E,交CF于点、F,求证：(1)AACP；(2)BP=PE∙PF.17.如图，在平面直角坐标系中，已知△/!%的三顶点坐标分别为/1(-2, I)I 5(-1, 4) IC ( -3, 2) •(1)请画出BC向右平移3个单位长度后得到的△ A、B、C\(2)以原点0为位似中心，相似比为厶1,在第四象限内，画出△力％放大后的厶A2R1C2.V圉1 图218. 小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小 亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部〃、小颖的头部B 及小亮的眼睛 /1恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置G D,然后测岀两人之间的距离CP= 2/77,小颖与教学楼之间的距离Zw= 38刃，（G 0、〃在同一直线上），小颖的身高.6/77, 小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC=↑m.请你根据以上测呈数据帮助他们求岀教学楼 的高度.19. 在R 仏ABC 中，力=90° , Aβ=8i AC=Z 若动点Q 从点8岀发，沿线段创运动到点/1 为止，速度是每秒2个单位；动点F 从点力出发，沿线段SC 运动，每秒1个单位，两点 同时出发，运动多长时间，F 与相似？丄A DLB20. 在△/!/矽和△/!FC 中，AD=AE, ZDAE= Q 、ΛAEC= ΛADB=W , BD=kCE,延长 ED 交％于点F.（1） 如图1,当W=I 时，是否存在与矿相等的线段？若存在，请找出，并加以证明； 若不存在，说明理由.（2） 如图2,当A≠1时，猜想并证明EC 、ED i FF 的数量关系（用含& α的式子表示）•Z √Z / ZZ Z \"Z参考答案1•解:A.因为0.2X0. 2 = 0. 1X0.4,所以0. 2c% 0.1% 0. Acm9 0.2cm成比例，所以/1 选项正确；B、因为1 ×4≠2×4,所以1c∕⅞ 2cm、3cm, 4呦不成比例，所以0选项错误；C、因为4×6≠8×3,所以4C∕7∕,6cm, 8cm, 3M不成比例，所以G选项错误；D、因为V2×√8≠Λ∕6×V7I所以近∖H}CfΠ9∖(gc∕77,不成比例，所以。
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第四章图形的相似尖子生训练题一．选择题1．下列各组线段能成比例的是（）A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，6cm，8cm，3cmD．cm，cm，cm，cm2．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：24．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝12x B．C．D．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（）A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6m，则AB的长为（）A．30m B．24m C．18m D．12m8．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长是（）A．B．C．D．9．如图，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列各式正确的是（）①AD2＝BD•DC；②CD2＝CF•CA；③DE2＝AE•AB；④AE•AB＝AF•AC．A．①②B．①③C．②④D．③④10．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD＝AH•AF；其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．已知△ADE∽△ABC，且相似比为，若DE＝4cm，则BC的长为．12．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于．13．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为．14．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．15．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为8cm2、32cm2、18cm2，则△ABC的面积为cm2．三．解答题16．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CF∥AB，P为AD上一点，连结并延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：（1）△ABP≌△ACP；（2）BP2＝PE•PF．17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC向右平移3个单位长度后得到的△A1B1 C1（2）以原点O为位似中心，相似比为2：1，在第四象限内，画出△ABC放大后的△A2B2C2．18．小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部B及小亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD＝2m，小颖与教学楼之间的距离DN＝38m，（C、D、M在同一直线上），小颖的身高BD＝1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC＝1m．请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度．19．在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A 为止，速度是每秒2个单位；动点E从点A出发，沿线段AC运动，每秒1个单位，两点同时出发，运动多长时间，△ADE与△ABC相似？20．在△ADB和△AEC中，AD＝AE，∠DAE＝α，∠AEC＝∠ADB＝90°，BD＝kCE，延长ED 交BC于点F．（1）如图1，当k＝1时，是否存在与BF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由．（2）如图2，当k≠1时，猜想并证明EC，ED，EF的数量关系（用含k，α的式子表示）．参考答案一．选择1．解：A、因为0.2×0.2＝0.1×0.4，所以0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A 选项正确；B、因为1×4≠2×4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误；C、因为4×6≠8×3，所以4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误；D、因为×≠×，所以cm，cm，cm，cm不成比例，所以D选项错误．故选：A．2．解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选：A．3．解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE＝AD，∴＝．故选：D．4．解：矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴＝，∴＝，故选：B．5．解：∵AD＝1，DB＝2，∴AB＝AD+BD＝1+2＝3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故选：B．6．解：∵△ABC是等边三角形，＝，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C，设AD＝x，AC＝3x，则BC＝3x，CD＝2x，∵AE＝BE＝x，∴，，∴，∴△AED∽△CBD；故选：D．7．解：∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝＝，∴AB＝4EF＝24m，故选：B．8．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∵AB＝BC＝3，BP＝1，∴PC＝2，∴＝，∴CD＝．故选：C．9．解：∵△ADB与△CDA不能确定相似，∴不能确定＝，故①错误；∵∠ACD＝∠DCF，∠ADC＝∠DFC＝90°，∴△ADC∽△DFC，∴＝，∴CD2＝CA•CF，故②正确；∵∠BDE+∠ADE＝∠B+∠BDE＝90°，∴∠B＝∠ADE，∵∠BED＝∠DEA＝90°，∴△BED∽△DEA，∴＝，∴DE2＝AE•BE，故③错误；∵∠EAD＝∠DAB，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB，同理可证AD2＝AF•AC，∴AE•AB＝AF•AC，故④正确．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°故②正确；∵∠BAF＝∠ACE，∠AEC＝∠AEC，∴△AEH∽△CEA，故③正确；在菱形ABCD中，AD＝AB，∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，∴△AEH∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AE•AD＝AH•AF，故④正确，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为，DE＝4cm，∴，即．解得，BC＝10，故答案为：10cm．12．解：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，∴CE：CA＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．故答案为5：8．13．解：过点B作BE⊥OA与点E，过点B′作B′E′⊥OA于点E′，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴△OAB∽△AB′O′，∴＝＝，解得：B′E′＝4，由题意可得：△OBE∽△O′B′E′，则＝，故＝，解得：O′E′＝，∴OE′＝，∴点B′的坐标为：（，4）．故答案为：（，4）．14．解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴AB：DE＝OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．15．解：∵DE∥FG∥BC，∴∠AED＝∠EGF＝∠GCI，∵GI∥EF∥AB，∴∠A＝∠FEG＝∠IGC，∴△ADE∽△EFG∽△GIC∽△ABC，∵△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为8cm2、32cm2、18cm2，∴AE：EG：GC＝2：4：3，∴AE：AC＝2：9，∴S△ABC ＝•S△ADE＝×8＝162．故答案为：162．三．解答题（共5小题）16．解：（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．在△ABP和△ACP中，，∴△ABP和≌△ACP，（2）∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），∴∠PCE ＝∠PFC ．又∵∠CPE ＝∠EPC ，∴△EPC ∽△CPF ．∴（相似三角形的对应边成比例）．∴PC 2＝PE •PF ．∵PC ＝BP∴BP 2＝PE •PF ．17．解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作．18．解：过A 作CN 的平行线交BD 于E ，交MN 于F ．由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝1m ，AE ＝CD ＝2m ，EF ＝DN ＝38m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°．又∵∠BAE ＝∠MAF ，∴△ABE ∽△AMF ．∴＝，即＝，解得MF ＝12m ．∴MN ＝MF +FN ＝12+1＝13（m ）．∴教学楼的高度为13m ．19．解：∵△ADE与△ABC相似，∴＝或＝．设运动的时间是t秒，则AE＝t，AD＝8﹣2t∴＝或＝，解得t＝或．∴经过t＝12/5或32/11秒两个三角形相似．20．解：（1）结论：BF＝FC．理由如下，如图1中，作CM⊥EF于M，BN⊥EF于N．∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ADE+∠BDN＝90°，∠CEM+∠AED＝90°，∴∠CEM＝∠BDN，∵k＝1，BD＝kEC，∴BD＝EC，∵BN⊥EF，CM⊥EF，∴∠N＝∠CME＝90°，NB∥CM，在△BDN和△CEM中，，∴△BDN≌△CEM，∴BN＝CM，在△CFM和△BFN中，，∴△CFM≌△BFN，∴BF＝CF．（2）结论：2EC•cosα+ED＝（k+1）EF．如图2中，作AH⊥EF于H，CM⊥EF于M，BN⊥EF于N．由（1）可知∠BDN＝∠MEC，∵∠EMC＝∠BND，∴△BDN∽△CEM，∴＝＝k，∵CM∥BN，∴＝＝k，∴MF＝MN，∵AE＝AD，AH⊥ED，∴∠HAE＝∠HAD＝α，∵∠EAH+∠AEH＝90°，∠AEH+∠CEM＝90°，∴∠BDN＝∠CEM＝α，∴EM＝EC•cosα，DN＝BD•cosα，∴EN＝ED+DN＝ED+BD•cosα，∴MN＝EN﹣EM＝ED+k•EC•cosα﹣EC•cosα，∴FM＝•（ED+k•EC•cosα﹣EC•cosα），∴EF＝EM+FM＝EC•cosα+（ED+k•EC•cosα﹣EC•cosα），∴EF＝•EC•cosα+•ED，∴2kEC•cosα+ED＝（k+1）EF．。